重难点培优01 集合、常用逻辑用语及其参数、新定义问题（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦集合、常用逻辑用语、参数及新定义问题等高考核心考点，按“知识重构-题型精研-实战检测”逻辑架构，通过梳理集合关系、逻辑判断等基础概念，结合参数问题分类解析与新定义问题四步处理法，帮助学生构建系统知识网络，突破高频难点。 资料以数学思维培养为核心，如集合运算参数问题采用数轴法直观分析，新定义问题通过“找要素-看所求-代条件-解问题”流程训练，配合分层练习（重难巩固、创新提升），助力学生高效掌握解题通法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

重难点培优01 集合、常用逻辑用语及其参数、新定义问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 3 题型01 元素与集合关系及其参数问题（★★） 3 题型02 集合间的基本关系及其参数问题（★★★） 5 题型03 集合的基本运算及其参数问题（★★★★） 9 题型04 充分必要条件及其参数问题（★★★★） 14 题型05 全称量词与存在量词及其参数问题（★★） 17 题型06 集合中新定义问题（★★★★） 20 03 实战检测·分层突破验成效 27 重难知识巩固 27 创新能力提升 41 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 集合常用结论 1、常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 2、有限集的子集个数确定 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 3、根据集合间的基本关系求参数的值或取值范围 对于两个集合和，或中含有待定的参数（字母），常采用分类讨论或数形结合的方法： （1）分类讨论：若，在未指明非空时，应分为和两种情况来讨论． （2）数形结合：对这种情况，在确定参数时，需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清端点处是实心点还是空心点，确定两个集合间的包含关系，列不等式（组）求解． 4、集合的运算性质 （1），，． （2），，． （3），，． （4）． （5）,． 5、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 知识点02 集合中的新定义问题 1、集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题． 2、集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的． 3、集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题． 4、集合新定义问题处理步骤 ①找：要抓住新定义的本质——新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一个都不是“新的定义”哦；然后找出要素分别是什么 ②看：看所求是什么？ ③代：将已知条件代入新定义的要素 ④解：结合数学知识进行解答． 知识点03 从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， （1）若AB，则p是q的充分不必要条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若AB，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 题型精研·技巧通法提能力 题型01 元素与集合关系及其参数问题 【技巧通法·提分快招】 与集合含义及其表示有关的问题的解题技巧 （1）明确集合的类型，即确定集合是数集、点集，还是其他集合. （2）理清集合中的元素满足的限制条件，确定元素的属性. （3）注意检验集合中的元素是否满足互异性，确定集合元素的个数. （4）理清描述法表示的集合中相关字母变量的取值范围及条件. 1．已知集合，，则集合中的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】已知集合，根据，讨论得出，从而得出集合中的元素个数. 【详解】因为集合， 又因为，则： 当时，的可能取值为， 当时，， 当时，的可能取值为，，， 所以，故集合中的元素个数为7． 故选：C. 2．集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．6 D．18 【答案】B 【分析】根据题意先求出，进而求出即可. 【详解】由题意有：，又，所以， 所以或或， 所以，所以中的元素个数为3个， 故选：B. 3．（2026·江西·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A．10或18 B．或 C．18 D． 【答案】B 【分析】分，两种情况结合题意讨论求解即可. 【详解】若，则方程只有一个解， 则，得， 所以或，此时， 若，则方程有两相异实数解且是方程的其中一个解， 则，得， 所以方程可化为，则，； 综上，或. 4．设集合，，若，则的值为________． 【答案】 【分析】首先由集合元素的特征得，再由集合相等分和两种情况解得. 【详解】由集合，，得， 又因为，则或， 当时，，，， 于是，得，因此； 当时，集合，，有，则，解得与矛盾，舍去. 因此． 5．（2025·河南·一模）集合，集合，对任意，有，则集合M中元素个数的最大值是_____. 【答案】51 【分析】由题意，要使中元素的个数最大，则，再应用抽屉原理及集合的性质分析其它元素与集合的关系，确定的元素个数及集合的可能情况，即可得. 【详解】要使中元素的个数最大，且，有，必有， 此时其余元素分组为、、、，共有50组， 注意每组的两个元素必不能同时出现在集合（因为它们的和为）， 所以，要使中元素的个数最大，每组至多能取一个元素，即50组中共取50个元素， 由抽屉原理知，不可能从50组中取51个元素，否则必有两个元素的和为，不满足， 综上，中元素的个数最大为51个， 如、均符合，元素个数为. 故答案为：51 题型02 集合间的基本关系及其参数问题 【技巧通法·提分快招】 1、根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解. ①若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性. ②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为方程（组）或不等式（组）求解，此时注意检验端点值能否取到. 2、集合的子集与真子集结论 （1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）． 1．（2026·陕西·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 因为，且， 所以，即实数的取值范围是. 2．（25-26高三上·湖北武汉·阶段检测）集合，则满足的集合的个数为（  ） A．4 B．7 C．15 D．16 【答案】A 【分析】解不等式求出集合，然后根据子集的概念求解． 【详解】， 又， 则满足的集合有：，共4个， 故选：A． 3．（2026·青海西宁·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再利用集合间的关系，即可求解. 【详解】由，得到，解得，则, 又， 当时，，当时，，当时，， 又，当时，， 当时，， 由是任何集合的子集，可得满足条件， 综上所述，. 4．已知，集合有8个子集，则的一个值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据已知条件得出集合中元素的个数，从而得出的因数个数，即可求出的值． 【详解】由题意得集合中有8个子集， 又，集合中有三个元素，即有三个正因数， 而在正整数中，恰有3个正因数的数是质数的平方， 设为质数，则，此时正因数为， ，，则或3， 的值可以为4或9，故A正确． 故选：A． 5．已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，将集合中元素化为统一形式，进而判断各选项. 【详解】依题意，， ， 所以对任意，存在使， 令，则且，所以. 同理，对任意，存在使， 令，则且，所以，综上，. ，则， 所以的关系满足. 故选：A 6．（24-25高三上·河北·开学考试）已知是三个集合，且满足，则满足条件的有序集合对的总数是__________.（用数字作答） 【答案】1024 【分析】先求出集合的子集的个数，从而根据题意可得集合的个数，进而可得有序集合对的总数. 【详解】集合的子集共有个， 因为， 所以集合有32种情况，集合有32种情况， 所以满足条件的有序集合对的总数是. 故答案为：1024. 7．已知数列是首项为，公差为的等差数列，集合，则集合的子集个数为____． 【答案】 【分析】先根据等差数列的公式得到的通项，再结合正弦型函数的周期，及集合元素的互异性得到集合，进而得到集合的子集个数． 【详解】由题意得， 则，所以其周期， 又， ， ， ， ， ，…… 结合集合元素的互异性，得， 即集合有个元素，故集合的子集个数为． 题型03 集合的基本运算及其参数问题（交并补） 【技巧通法·提分快招】 利用集合的运算求参数的方法 （1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍. （2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解. 注：在求出参数后，注意结果的验证（满足集合中元素的互异性）. 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过解分式不等式得到集合A，再由对数函数的定义域求得集合B，然后取交集，最后在实数范围内求补集即可得出结果. 【详解】化简集合，分式不等式等价于， 整理得， 解得或，即， 化简集合，对数函数要求真数大于0， 即，解得，即， ，. 故选：A 2．已知，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过，确定满足的不等式，求解即可. 【详解】， 可得，解得， 即实数的取值范围是. 3．（2026·重庆·二模）已知集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不等式，即，即， 解得，故， 不等式可化为，即， 解得，故， 所以. 4．（24-25高三上·辽宁·期中）已知集合为全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取，可得出，可判断A选项；取，可判断B选项；根据，可判断C选项；根据，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，则、均不为空集， 因为，所以，当时，则，    又因为为的真子集，A错； 对于B选项，若，则，B错；    对于C选项，因为， 所以，，C错； 对于D选项，因为，所以，，D对. 故选：D. 5．（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）已知集合，．若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简集合，再分析，利用的性质，得或，要使，需保证补上未覆盖的部分且无遗漏，因此关键是让唯一的“漏洞点”落在内，即，解得． 【详解】， ①当时，， 此时，满足条件． ②当时，对所有成立，所以， 要使，需要（否则会是一个不在中的点），即． 综上，的取值范围是． 6．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数． 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 7．（多选题）（2026·四川成都·模拟预测）已知集合，，则下列结论正确的是（   ） A．当时， B．， C．当且仅当时， D．，使得 【答案】AB 【分析】求直线交点坐标判断A；利用直线方程分析判断B；利用空集的定义，结合直线平行求解判断C；利用两条直线重合分析求解D. 【详解】对于A，当时，则，， 由，解得，因此，A正确； 对于B，直线过定点， 表示直线上所有的点，因此，B正确； 对于C，，若，则；若，则直线 与直线平行，且，于是，解得， 因此当或时，，C错误； 对于D，若，由选项C知，且，无解，D错误. 8．已知集合A＝，，若，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【分析】通过解不等式化简集合，利用集合间的关系可求实数a的取值范围. 【详解】∵不等式等价于， ∴不等式的解集为，即， ∴或. 由得，，故， ∵，∴， ∴，解得，即实数a的取值范围是. 故答案为：. 9．（2026·安徽合肥·一模）已知集合，，同时满足，，则___________． 【答案】或 【分析】易知，则，即集合中的元素互为倒数，由题意可求出集合，进而确定集合，根据并集的运算即可求出答案． 【详解】设，若，又，故，此时，与已知矛盾， 故，所以，得，所以， 即集合中的元素互为倒数， 因为， 所以存在，使得且，解得， 又因为， 所以或， 若，则，则； 若，则，则. 综上所述，或． 题型04 充分必要条件及其参数问题 【技巧通法·提分快招】 1、充分必要条件的判断 若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则 (1)若A⊆B,则p是q的充分条件. (2)若B⊆A,则p是q的必要条件. (3)若A⫋B,则p是q的充分不必要条件. (4)若B⫋A,则p是q的必要不充分条件. (5)若A不是B的子集且B不是A的子集,则p是q的既不充分也不必要条件. 2、参数问题 根据条件与结论之间的充分、必要性求解参数的取值范围问题,首先根据条件和结论对应的命题理出推出关系,并将该推出关系转化为构成条件和结论对应的集合的子集、真子集关系,再构建不等式(组)求解. 1．已知直线，则的充要条件是（    ） A． B． C． D．或2 【答案】B 【分析】根据两直线平行的充要条件列出满足题意的方程或不等式解出即可. 【详解】由， 则， 由， ，解得：. 故选：B 2．“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为幂函数在定义域R上单调递增，由可得， 因为指数函数在定义域R上单调递增，由可得， 所以由推不出，即充分性不成立； 由可推出，即必要性成立. 所以“”是“”成立的必要不充分条件. 3．（25-26高三下·云南昭通·期中）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由幂函数的性质可知，当时，函数在上单调递增； 若函数在上单调递增，则，不能推出. 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 4．（2026·江苏扬州·三模）已知单位向量，，则是“存在实数，使得”的（     ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】已知是单位向量，故. 对两边平方得， 代入，解得. 由点积定义得（为两向量夹角）， 得，即同向共线，存在使，充分性成立； 若存在使，由， 得. 当时，，此时，必要性不成立. 因此是“存在实数，使得”的充分不必要条件. 5．（2026·福建福州·三模）记为等比数列的前项和，设甲：为等差数列，乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【分析】根据等差性质、等比数列的性质，结合充分条件、必要条件的概念求解判断即可. 【详解】设等比数列的公比为，首项为. 甲：，，. 因为为等差数列，所以，即， 整理得，即，所以. 乙：，，. 因为为等差数列，所以，即， 整理得，即，解得或. 所以若甲成立，乙一定成立，故甲是乙的充分条件；若乙成立，甲不一定成立，故甲不是乙的必要条件； 综上，甲是乙的充分不必要条件. 6．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是的必要不充分条件，可得是的真子集，再分，和三种情况讨论，求出集合，根据集合的包含关系即可得解. 【详解】由，得或， 因为是的必要不充分条件， 所以是的真子集， 当时，，符合题意； 当时，， 因为是的真子集，所以，解得； 当时，， 因为是的真子集，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 7．（25-26高三上·上海嘉定·阶段检测）已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是（    ） A．； B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性，可求解不等式，即可将充分条件转化为集合的包含关系进行求解. 【详解】由于均为内的单调递增函数， 故函数为内的单调递增函数，由于当时，， 故不等式的解为， 由于是的充分条件，所以，故， 故选：D 题型05 全称量词与存在量词及其参数问题 【技巧通法·提分快招】 1、全称量词命题与存在量词命题的真假判定的技巧 （1）全称量词命题的真假判定: 要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只需举出集合M中的一个x,使得 p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”). （2）存在量词命题的真假判定: 要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x,使p(x)成立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题. 2、利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧 （1）含参数的全称量词命题为真时,常转化为不等式的恒成立问题来处理,最终通过构造函数转化为求函数的最值问题. （2）含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解的问题来处理,最终借助根的判别式或函数等相关知识来解决. （3）根据含有量词的命题的真假求参数的取值范围,若是直接求解比较简单,就可以直接求解参数的取值范围;若是直接求解比较复杂,可以根据原命题与其否定必然真假相反,转化为命题的否定问题. 1．（2026·广西崇左·二模）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【详解】由，得，即，解得. 方法二：由，得或. 解得. 所以是假命题，是真命题. 当时，显然成立，所以是真命题，是假命题. 2．下列命题为真命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对每个选项逐一分析，找出特例或者反例验证选项即可. 【详解】选项A：要使，则需要，而，所以为假命题； 选项B：所有，可找反例，取特殊值，代入得，此时不成立，所以为假命题； 选项C：存在，符合即可，取，代入得成立，所以为真命题； 选项D：所有，可找反例，取特殊值，代入得，，此时不成立，所以为假命题； 故选：C. 3．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题意说明：“，恒成立”是真命题，然后对分类讨论可得. 【详解】命题“，使得不等式成立”为假命题，则命题：“，恒成立”是真命题， 时，不等式为恒成立，满足题意， 时，则，解得， 综上，的范围是. 4．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. 5．命题“，使”是假命题的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据命题为假命题求出的范围，再根据选项和必要不充分条件的判断确定答案. 【详解】∵“，使”是假命题， 即“，”是真命题， ∴，∴. 即命题“，使”是假命题等价于， 设有集合，命题：，命题的必要不充分条件为命题：， 则命题，而不能， ∴集合是集合的真子集，选项B中集合满足要求. ∴选项B正确. 6．已知命题，命题，不等式恒成立，若p和q有且仅有一个正确，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于命题，在上有解，而为减函数， 所以当时，，解得. 对于命题，不等式恒成立，可化为在上恒成立. 又在上单调递减，在上单调递增， 当时，当时，，所以，所以. 和有且仅有一个正确，只有两种情况： ①真假，此时，解得； ②假真，此时，则. 综上，. 题型06 集合中新定义问题 【技巧通法·提分快招】 解决以集合为背景的新定义问题的关键点 （1）准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆. （2）方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解. 1．（2026·河南开封·二模）定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，集合，集合，， 所以，，， 选项A：因为，所以或者（且满足集合元素的互异性）； 选项B：因为，所以一定成立； 选项C：当时，集合，集合，，C错误； 选项D：当，时，集合，集合，，D错误. 2．（2025·江西·模拟预测）中国剩余定理又称“孙子剩余定理”，它是中国古代史上最有创造性的成就之一，其中“韩信点兵”“物不知数”等问题的解法在数论中有相应的推广，数论中的形式表示和除以的余数相同．已知集合满足，，．对于集合中的任意一个元素，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同余的定义式，分别求出集合中元素满足的式子，进而得到集合，再利用同余的定义式检验ABD选项，最后取特殊值，检验C选项. 【详解】因，则， 因，则， 又，， 则 又，则，故A正确； ，则，故B正确； ，则，故D正确； 不妨取，不满足，故C错误. 故选：C. 3．（25-26高三上·四川·阶段检测）我们定义：一个集合的“极差”为该集合最大元素与最小元素的差值．则集合的极差为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】利用不等式的性质与导数求得函数单调性从而得到最大、最小值即可得. 【详解】由，则， 令，，则， 则在上单调递增，则， 故，当且仅当时取等， 即； 由，则，， 则，当且仅当，时取等； 故的极差为. 故选：D. 4．（25-26高三上·山东临沂·期中）置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，.已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组，且中所有数之和为2026，则（    ） A．1004 B．1007 C．1010 D．1013 【答案】C 【分析】本题通过分析数组元素的大小关系，结合绝对值的运算求解参数. 【详解】由“间距置换”定义，得，，. 由，得. 因且，故或. 若，则，，， 于是， 得，即，故. 若，同理可得. 综上所述，的值为. 故选：C. 5．（多选题）群的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学､晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设G是一个非空集合，“”是一个适用于G中元素的运算，若同时满足以下四个条件，则称G对“o”构成一个群：（1）封闭性，即若，则存在唯一确定的，使得；（2）结合律成立，即对G中任意元素都有；（3）单位元存在，即存在，对任意，满足，则称为单位元；（4）逆元存在，即任意，存在，使得则称a与b互为逆元.根据以上信息，下列说法中错误的是（    ） A．关于数的乘法构成群 B．关于数的加法构成群 C．和均关于数的加法构成群 D．关于数的乘法构成群 【答案】BD 【分析】由集合新定义中“乘法结合律”可判断A；由集合新定义可判断B、D；由集合新定义中“群”的概念可判断C. 【详解】对于A，，有，且满足（乘法结合律）； ，使得，有； ，有，即关于数的乘法构成群，故A正确； 对于B，因为，且，但，故B错误； 对于C，若，即为所有偶数组成的集合， ，有，且满足（加法结合律）， ，使得，有； ，有，故关于数的加法构成群； 若，设，则， 且对满足， 当时，，满足， ，使， 故关于数的加法构成群，故C正确； 对于D，因为，且，但，故D错误. 故选：BD. 6．（2024·安徽马鞍山·三模）已知S是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，则称S是数环．设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域．由定义知有理数集是数域． (1)求元素个数最小的数环； (2)证明：记，证明：是数域； (3)若是数域，判断是否是数域，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3)不一定是数域，证明见详解 【分析】（1）根据题意分析可知中至少有一个元素，分和两种情况，结合题意分析证明； （2）根据题中数环和数域的定义分析证明； （3）举特例，取，举例数列即可. 【详解】（1）因为为数环，可知不是空集，即中至少有一个元素， 若，则，可知为数环； 若，则，可知中不止一个元素，不是元素个数最小的数环； 综上所述：元素个数最小的数环为. （2）设，可知，则有： ， ， ， 因为，则， 可知，所以是数环； 若，可知，满足①； 若，则， 因为，则， 可知，满足②； 综上所述：是数域. （3）不一定是数域，理由如下： 1.若，显然均为数域，且是数域； 2.设，可知，则有： ， ， ， 因为，则， 可知，所以是数环； 若，可知，满足①； 若，则， 因为，则， 可知，满足②； 综上所述：是数域. 例如：，例如， 但， 所以不是数域； 综上所述：不一定是数域. 【点睛】方法点睛：与集合的新定义有关的问题的求解策略： 1.通过给出一个新的集合的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 7．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）对于给定的闭区间，现将按如下规则构造的区间列称为的“就近隔离区间列”： （i）确定，取； （ii）确定，若与的交集为空集，则，否则判断与的交集是否为空集，若为空集，则，否则判断与的交集是否为空集，若为空集，则，以此类推，直到找到，设； （iii）确定，若与的交集为空集，则，否则判断与的交集是否为空集，若为空集，则，以此类推，直到找到，设； （iv）依照（ii）（iii）的方法依次确定. 已知数列满足，区间是的“就近隔离区间列”. (1)求的通项公式及. (2)证明：. (3)设是给定的正整数，求集合中的元素之和. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据给定的递推公式，结合等差中项的意义求出通项公式，再求出即可得. （2）令，利用“就近隔离区间列”的定义探求得，求出数列的通项，再比较大小即可得证. （3）按的奇偶分类确定的最大取值，再利用等比数列前项和公式求出. 【详解】（1）由，得，则是等差数列， 设的公差为，则，解得， 所以， ， 所以. （2）设，则， 设且，则， 即， 于是，即， 而，则，由的定义知，， 即，则， 因此是首项为2，公比为2的等比数列，，即， 则， 而， 所以. （3）由，得， 当时，，解得； 当时，，， ，， 即，则， 当时，若为奇数，则正整数不存在；若为偶数，则， 因此当为奇数时，； 当为偶数时，， 所以. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（2026·湖南郴州·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式求得集合，求函数的定义域求得集合，进而求得. 【详解】对于集合，， 所以. 对于集合，， 所以. 所以. 2．（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解一元二次不等式求解集合，再根据集合间的关系得出参数范围即可. 【详解】因为， ，所以，所以. 故选：C. 3．（2026·广西南宁·三模）下列命题为真命题的是（   ） A．命题，，则命题p的否定是：， B．“”是“”的充分不必要条件 C．方程的两根都大于1的充要条件是 D．是关于x的不等式对一切实数x恒成立的充要条件 【答案】B 【分析】对于A，根据全称量词的命题的否定要求判断；对于B，利用不等式的性质与举反例说明即可；对于C，利用三个二次的关系，数形结合列不等式求解即可判断；对于D，根据参数的取值分类讨论，并结合图象列不等式求解即得. 【详解】对于A，因含全称量词的命题的否定需要改变量词，否定结论， 故命题，的否定是：，，故A错误； 对于B，由可得；但时，满足，却得不到， 故“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，设，则方程的两根都大于1等价于： ，解得，故C错误； 对于D，对于x的不等式，当时，不等式恒成立， 当时，不等式对一切实数x恒成立等价于，解得. 综上可得，是关于x的不等式对一切实数x恒成立的充要条件，故D错误. 4．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知a为实数，p:在(0，+∞)上单调递增，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由命题为真分别求出的范围，再根据充分条件、必要条件的概念求解. 【详解】由知，在上有解， 所以； 因为的对称轴方程为，由知，， 因为不能推出，， 所以p是q的必要不充分条件， 故选：B 5．已知命题；命题，若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 因为p为假命题，所以或， ，则在上恒成立， 又当，当且仅当时取得等号， 因为q为真命题，所以， 所以实数a的取值范围为. 6．设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】首先由知两集合元素完全相同，而，故必属于，从而、、中必有一个等于，结合互异性排除后，分与两类讨论，每一类下将表达为具体元素，并与逐项对照，利用元素相等关系及互异性消去变量、检验合理性，最终得出符合所有条件的实数对. 【详解】由题意，根据集合元素的互异性可知，，因为，所以， 又因为，所以或， 若，则，此时，， 因为，所以，解得，此时，，满足题意； 若，则，此时，， 因为，所以，即，又因为且，所以此种情况无解； 综上所述，， 所以. 故选：B 7．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知集合，，则的子集个数为（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】构造函数，借助导数计算可得该函数有且仅有一个零点，即可得中有且仅有一个元素，即可得的子集个数. 【详解】令，则，故在上单调递增， 又，故有且仅有一个零点， 即图象与图象有且仅有一个交点， 即中有且仅有一个元素，故的子集个数为. 8．（2026·江苏·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由且在上单调递增，， 若，则， 由且在上单调递减，， 若，则， 显然可推出，反之不一定成立， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 9．若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出两个不等式的解集，然后根据充分不必要条件的定义求出实数的取值范围. 【详解】由题意可得，且， 又 ， ， 则解得， 故选：D． 10．已知集合，集合，集合，则以下元素属于集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的运算求得，各选项逐个验证即可. 【详解】由题意，， 又，则， 对于A，元素不符合，所以不属于，故A错误； 对于B，元素不符合，所以不属于，故B错误； 对于C，元素符合条件，所以属于，故C正确； 对于D，元素不符合，所以不属于，故D错误. 故选：C. 11．《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用容斥原理，结合韦恩图列式求解. 【详解】不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的同学分别用集合表示， 设同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人，    在相应的位置填上数字，则，解得， 因此同时观看了《浪浪山小妖怪》和《长安的荔枝》有人， 所以只观看了《长安的荔枝》的人数为人. 故选：C 12．已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合间的基本关系及集合的基本运算，借助Venn图即可求解. 【详解】由得当时，，故选项A不正确； ，当时，，故选项B不正确； 当时，，故选项C不正确； 因为，所以，故选项D正确. 故选：D. 13．（2026·河南·模拟预测）已知，， 在上单调递增，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】对于，通过分离参数由基本不等式求出另一侧的取值范围进而得到的范围，对于，通过二次函数单调性得到的范围，通过两个范围的推出关系即可求解. 【详解】，，所以在上有解， 又，当且仅当时等号成立，所以等号取不到，即， 所以. 对于图象的对称轴为直线，所以的递增区间是， 故当在上单调递增时，. 因为小范围可以推出大范围，大范围推不出小范围，所以是的充分不必要条件. 14．（2024·北京朝阳·模拟预测）已知集合，若集合A、B满足：，则集合对共有（   ）个． A．36 B．48 C．64 D．81 【答案】D 【分析】利用子集的意义分类讨论可求得集合对的个数. 【详解】因为，， 当时，又，故， 当集合中有一个元素时，又，这样的集合对有， 当集合中有两个元素时，又，这样的集合对有， 当集合中有三个元素时，又，这样的集合对有， 当集合中有四个元素时，又，这样的集合对有， 所以集合对共有. 故选：D. 15．（2026·山东聊城·三模）记等差数列的前n项和为，则“的公差为2”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若的公差，则， 故， 记，则为常数，故是等差数列，充分性成立； 若为等差数列，则为常数，而， 故常数，故，即，必要性成立， 因此“的公差为2”是“为等差数列”的充要条件. 16．（2026·山东临沂·二模）已知集合，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于集合，根据正弦函数的性质，时，，所以． 对于集合，根据余弦函数的性质，时，，所以． 选项A：集合，集合，集合中的元素是集合中为偶数时的元素，即． 这意味着存在，但，例如当时，，但，所以选项A错误． 选项B：因为，所以对于任意，都有，不存在，使得，选项B错误． 选项C：已知，任取，设，，，则． 当为奇数时，，例如，，，选项C错误． 选项D：已知，任取，设，，，则． 因为，所以，那么满足，即，选项D正确． 17．（25-26高三上·上海·期中）已知集合，，若，则满足条件的集合个数为（    ） A．408 B．409 C．410 D．411 【答案】C 【分析】由题意得除以3的余数相同，按照除以3所得余数进行分类讨论，结合组合数求解即可. 【详解】，且 能被3整除，    ∴除以3的余数相同， 集合的元素中， 能被3整除的整数有， 被3除余1的整数有， 被3除余2的整数有， 当都被3整除时，则从被3整除的5个数中选取3个， 或可从被3整除的5个数中选取2个，从其余11个数中选择， ∴的个数为， 当被3除余1时，则从被3除余1的6个数中选取3个， 或可从被3除余1的6个数中选取2个，从其余10个数中选择， ∴的个数为， 当被3除余2时，则从被3除余2的5个数中选取3个，或可从被3除余2的5个数中选取2个，从其余11个数中选择， ∴的个数为， ∴满足条件的集合共有个． 故选：C. 18．（2025高三·北京·专题练习）对于数集，，它们的Descartes积，则下列选项错误的是（ ） A． B．若，则 C． D．集合表示轴所在直线 【答案】A 【分析】根据集合的新定义及点坐标的性质，结合集合的交运算、包含关系判断各项的正误. 【详解】由表示数集中的数表示横坐标，数集中的数表示纵坐标，组成的点的全体，故，A错； 若，因为点集中来自集合的横坐标值一定在集合中，且纵坐标值都来自集合，则，B正确； ， ， 则，C正确； 集合表示横坐标为0的点集，即为轴所在直线，D正确. 故选：A 19．（2026·北京朝阳·一模）已知函数，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】A.由时，，的值域判断；BC. 由时，令，用导数法判断；D.由时，令，用导数法判断. 【详解】当时，，，所以，，故A错误； 时，令，则， 令，则，所以在上递增， 又，，所以，有， 即，当时，，递减；当时，，递增； 又，则，即，，故C正确；B错误； 时，令，则，易知在上递增，则，则在上递增，所以，即恒成立，故D错误. 20．（25-26高三上·山东青岛·期中）已知函数的定义域为，对于正实数，定义集合，则（   ） A．若，则对于任意正实数，集合中有无限多个元素 B．若，则中可能含有个元素 C．若，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据的定义分别列方程，探究解的情况. 【详解】A选项：，即得，解得，不满足题意，即，A选项错误； B选项：，即得，， 化简可得，即，即集合中只有个元素，B选项错误； C选项：，则，当时，方程有无数个解，即，C选项错误； D选项：由，则函数在和上分别单调递增， 由可知，若或时，二者显然不可能同时成立，则方程无解，满足， 若，时，，即有解， 设，则，即有解， 则，即， 且方程的解为，， 所以或， 解得或， 综上所述， 故选：D. 21．设集合是实数集的子集，如果满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（    ） ①        ② ③        ④ A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据聚点的含义，一一判断各集合是否满足聚点定义，即可判断答案. 【详解】对于①，对任意，都存在， 使得，故0是集合的聚点； 对于②，取，此时对于任意， 都有，即不可能成立，故0不是集合的聚点； 对于③，对任意，都存在，即， 使得，故0是集合的聚点； 对于④，，即随n的增大而增大， 故的最小值为，故当时，不存在x，使得， 故0不是集合的聚点； 故选：B 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解聚点的含义，判断所给集合是否满足聚点定义. 22．（25-26高三上·上海·阶段检测）设集合中元素均为正整数，且至少有两个元素，若满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则．则关于下面两个命题，说法正确的是（   ） 命题：若S有3个元素，则有4个元素． 命题：若有4个元素，则有7个元素． A．是真命题，是真命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．是假命题，是假命题 【答案】C 【分析】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除假命题，然后证明命题的正确性即可. 【详解】若取，则，此时，包含5个元素，则命题是假命题； 若取，则，此时，包含7个元素，则命题可能是真命题； 下面来证明： 设集合，且，， 则，且，则， 同理，，，，， 若，则，则，故即， 又，故，所以， 故，此时，故，矛盾，舍. 若，则，故即， 又，故，所以， 故，此时. 若，则，故存在，使得， 故，故，故， 此时即中有7个元素. 故选：C 23．（2025·湖南长沙·三模）已知数列，，记集合的元素个数为. (1)若为1，2，4，8，12，写出集合，并求的值； (2)若为1，3，a，b，且，求和集合； (3)若数列项数为，满足，求证：“”的充要条件是“为等比数列”. 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定的定义，计算出所有即可. （2）结合集合的性质，可得，解出即可. （3）根据给定的定义，分别证明命题成立的充分条件和必要条件即可. 【详解】（1）集合，. （2）由为1，3，，，当之一为2时，不妨令，则互不相等， 是集合中元素，又，则，，解得，不符合题意， 则必有，得，，互不相等， 则3，，都是集合中的元素，又，则，解得，， 因此为1，3，9，27，所以. （3）充分性：若是递增的等比数列，设的公比为， 当时，， 所以，且，故充分性成立； 必要性：若是递增数列，且，则， 于是，且互不相等，又， 则，且互不相等， 因此，， 从而，所以为等比数列，故必要性成立， 综上，“”的充要条件是“为等比数列”. 24．（24-25高三下·浙江·开学考试）定义：为在集合中去掉一个元素后得到的集合；为集合中的所有元素之和.已知由个正整数组成的集合，若对于，都存在两个集合，使得，且，就称集合为“完美集”. (1)若，判断是否为“完美集”，并说明理由； (2)若集合是“完美集”，证明：是奇数； (3)若集合是“完美集”，且中所有元素从小到大排序后能构成一个等差数列，则称为“等差完美集”.已知集合是“等差完美集”，求的最小值. 【答案】(1)不是；理由见解析 (2)证明见解析 (3)7 【分析】（1）根据“完美集”的定义即可判断； （2）由是偶数，所以与必定同奇同偶.再分奇数偶数讨论； （3）先假设最小值为，推出矛盾，再求当时成立即可. 【详解】（1）不是“完美集”， 因为去掉2时，所有元素和为15，无法拆分为两个和相等的集合； （2）记为集合中的所有元索之和，是偶数， 所以与必定同奇同偶. 当为奇数时，也是奇数，是奇数个奇数相加，故是奇数： 当为偶数时，也是偶数，设，则也是“完美集”， 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“完美集”，此时集合元索个数是奇数； 所以得证： （3）最小值是7. 设是等差数列，. 当时，去掉时，，不成立： 当时，，不妨设， 去掉，假设可以拆分成两个交为空且和相等的集合， 则有两种情况： ①，因为，这与矛盾； ②，因为，这与均为正整数矛盾，故假设不成立： 故，下证的最小值为7. 当时，构造（写出一个即可），. 去掉； 去掉； 去掉； 去掉； 同理去掉； 去掉； 去掉； 所以，是“等差完美集”. 综上所述，的最小值为7. 【点睛】思路点睛：对于第二小问：由是偶数， 所以与必定同奇同偶.再分奇数偶数讨论； 第三小问：先假设最小值为，推出矛盾，再求当时成立即可. 创新能力提升 1．已知，若命题“或”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从作为题目切入点，分段讨论x的取值范围，结合命题的真假列出相应不等式，最后综合即可得答案. 【详解】解得，此时无论取何值，均符合题意； 当时，，只需， 解得或； 当时，，由题中条件，只需对于恒成立， 当时，不符合题意； 当时，图象为开口向上的抛物线， 不能满足对恒成立，不符合题意； 当时，的2个根为， 需，结合，可得， 综合上述可知的取值范围是， 故选：B. 【点睛】将作为题目的切入点，根据命题的真假分类讨论的范围分类讨论求解； 2．（2026·北京西城·二模）已知正方体W和平面，则“正方体W的8个顶点中存在6个到平面的距离相等”是“平面将正方体W分成体积相等的两部分”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合正方体的结构特征推理判断. 【详解】如图，在正方体中，依次取棱的中点， 则点与点到平面的距离相等，而平面将正方体分成的两部分体积不等； 反之，平面将正方体W分成体积相等的两部分，平面必过该正方体的中心， 正方体W的8个顶点中到平面的距离相等的顶点不一定是6个， 如在正方体中，平面过该正方体的中心， 只有4个顶点或到平面距离相等， 所以“正方体W的8个顶点中存在6个到平面的距离相等”是“平面将正方体W分成体积相等的两部分”的既不充分也不必要条件. 3．（2026·北京昌平·二模）设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数有最大值的充要条件，再判断哪个选项是其充分不必要条件. 【详解】当时：，当时，单调递减，；当时，，无最大值. 当时：时，单调递增，当时，，无最大值. 当时：时，单调递减，故； 时，，开口向下，对称轴为. 若时，即时，在上的最大值为， 则，解得； 若时，即时，在上单调递增，最大值为， 则即，因为， ，不等式无解，函数此时无最大值； 综上有最大值的充要条件为. 因为， 所以有最大值的一个充分不必要条件是. 4．（25-26高三上·上海宝山·阶段检测）已知集合，若对于任意，总存在与之相应的 (其中)，使得 成立，则称集合是“集合”．下列为“集合”的有（    ）个 ①                      ②     ③                   ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，函数和为奇函数，根据“集合”的定义易知若，存在时，使得成立，即可判断①④；对于②③可举例判断． 【详解】设， 因为， 平方整理得，即，所以， 即，即三点共线， 所以集合要为“集合”， 则集合上任取一点，直线与曲线有另一个交点， 对于①，函数，为奇函数， 所以若，存在时，使得， 即，所以①是“集合”； 对于②，当点，此时直线的方程为与曲线只有一个交点，故②不是“集合”； 对于③，易知，此时直线的方程为与曲线只有一个交点，故③不是“集合”； 对于④，函数是上的奇函数， 所以若，存在时，使得， 即，所以④是“集合”； 故选：B． 5．（多选题）（2026·福建厦门·模拟预测）已知，，…，，…均为有限实数集，记中的最大元素为，，，若，则（    ） A． B． C．中所有元素的平均数为191 D．中所有元素的和为3008 【答案】ACD 【分析】抓住集合构造的递推规律：最大元素，直接得到的等比通项；集合元素个数，结合元素和的递推关系，推导出的通项，再逐一验证选项即可. 【详解】选项A，已知，最大元素， 根据定义， 则，A正确； 选项B，由的构造，的最大元素是，则的最大元素是， 因此，即是首项为，公比为2的等比数列：. 当时， ，B错误； 设为所有元素之和，则 ，因为， 所以 .一般地，，其中是的元素个数. 由构造可知，(即每次新增元素与原集合无重复)，因为 ，故. 结合，递推得：， 等式两边同除以得.令 ，则， 累加法求， 则. 选项C，当时，均值为 ，C正确； 选项D，当时， ，D正确. 6．（2026·河南许昌·三模）已知，，，，若且，则____________． 【答案】或 【分析】已知四个递增数两两之和构成集合,根据大小关系可确定最小两数和为6、最小与第三数和为10、最大两数和为24、第二与最大数和为20,再分第二与第三数和为12或18两种情况,分别联立前三个和的方程,通过整体代入求出的两个可能取值. 【详解】由题意知. 满足,因为. 则必有. 若,联立，两式相加得， 代入得，解得. 若,联立，两式相加得， 代入得,解得. 7．（25-26高三下·江苏扬州·阶段检测）设集合，若对于满足的任意k个元素的集合，都存在，使得，则k的最小值是______． 【答案】 【分析】设集合，对于任意，，，计算出此时的最大值即可得到k的最小值． 【详解】解：根据题意，， 设集合，对于任意，，， 现计算此时的最大值， 要使最大，则数列的增长速度应该尽可能的慢，首先尽可能小， 所以，则应该是满足的最小整数，故， ， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，，即， 又且， 的最大值为，例如， 则k的最小值是． 8．（2026·山东·模拟预测）对于集合，定义，若 ，则称为理想集．例如，不是理想集，而是理想集． (1)判断下列集合是否为理想集，不需要说明理由； ①；②；③． (2)若存在个非空理想集，，…，，且，使得 ，则称是可分的，记． （i）证明：； （ii）证明：． 【答案】(1)集合①②是理想集，③不是理想集 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据理想集定义，计算每个集合对应的，再判断与是否无公共元素即可； （2）（i）：构造出3个两两不交的非空理想集，使得它们的并集为即可； （ii）：结合题意推导的取值规律，得到的放缩方式，再结合裂项相消原理求和证明不等式. 【详解】（1）根据理想集定义：为理想集当且仅当 ，其中， ① 集合：计算得， ， 因此是理想集， ②集合：计算得：， ， 因此是理想集. ③ 集合：因为，故且， ， 因此不是理想集. 所以集合①②是理想集，③不是理想集． （2）（i）构造集合，，， ，无公共元素，是理想集； ，无公共元素，是理想集； 中最小两元素和为，故，是理想集， 且， ， 所以是可分的，故． （ii）若存在个非空理想集，，…，，且，使得，则对于，取， 其中表示将集合中每个数都加上后所得的新集合． 取，此时存在个非空理想集，，…，， 且，使得． 设，则有 ， 则，又， 于是当时，， 故，当时，依然成立，所以， 于是， 当时，成立； 当时，． 综上所述，． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优01 集合、常用逻辑用语及其参数、新定义问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 3 题型01 元素与集合关系及其参数问题（★★） 3 题型02 集合间的基本关系及其参数问题（★★★） 4 题型03 集合的基本运算及其参数问题（★★★★） 5 题型04 充分必要条件及其参数问题（★★★★） 6 题型05 全称量词与存在量词及其参数问题（★★） 7 题型06 集合中新定义问题（★★★★） 8 03 实战检测·分层突破验成效 10 重难知识巩固 10 创新能力提升 14 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 集合常用结论 1、常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 2、有限集的子集个数确定 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 3、根据集合间的基本关系求参数的值或取值范围 对于两个集合和，或中含有待定的参数（字母），常采用分类讨论或数形结合的方法： （1）分类讨论：若，在未指明非空时，应分为和两种情况来讨论． （2）数形结合：对这种情况，在确定参数时，需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清端点处是实心点还是空心点，确定两个集合间的包含关系，列不等式（组）求解． 4、集合的运算性质 （1），，． （2），，． （3），，． （4）． （5）,． 5、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 知识点02 集合中的新定义问题 1、集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题． 2、集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的． 3、集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题． 4、集合新定义问题处理步骤 ①找：要抓住新定义的本质——新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一个都不是“新的定义”哦；然后找出要素分别是什么 ②看：看所求是什么？ ③代：将已知条件代入新定义的要素 ④解：结合数学知识进行解答． 知识点03 从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， （1）若AB，则p是q的充分不必要条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若AB，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 题型精研·技巧通法提能力 题型01 元素与集合关系及其参数问题 【技巧通法·提分快招】 与集合含义及其表示有关的问题的解题技巧 （1）明确集合的类型，即确定集合是数集、点集，还是其他集合. （2）理清集合中的元素满足的限制条件，确定元素的属性. （3）注意检验集合中的元素是否满足互异性，确定集合元素的个数. （4）理清描述法表示的集合中相关字母变量的取值范围及条件. 1．已知集合，，则集合中的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．集合的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．6 D．18 3．（2026·江西·模拟预测）已知集合，若，则（    ） A．10或18 B．或 C．18 D． 4．设集合，，若，则的值为________． 5．（2025·河南·一模）集合，集合，对任意，有，则集合M中元素个数的最大值是_____. 题型02 集合间的基本关系及其参数问题 【技巧通法·提分快招】 1、根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解. ①若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性. ②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为方程（组）或不等式（组）求解，此时注意检验端点值能否取到. 2、集合的子集与真子集结论 （1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）． 1．（2026·陕西·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·湖北武汉·阶段检测）集合，则满足的集合的个数为（  ） A．4 B．7 C．15 D．16 3．（2026·青海西宁·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知，集合有8个子集，则的一个值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·河北·开学考试）已知是三个集合，且满足，则满足条件的有序集合对的总数是__________.（用数字作答） 7．已知数列是首项为，公差为的等差数列，集合，则集合的子集个数为____． 题型03 集合的基本运算及其参数问题（交并补） 【技巧通法·提分快招】 利用集合的运算求参数的方法 （1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍. （2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解. 注：在求出参数后，注意结果的验证（满足集合中元素的互异性）. 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆·二模）已知集合，，则=（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·辽宁·期中）已知集合为全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）已知集合，．若，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 7．（多选题）（2026·四川成都·模拟预测）已知集合，，则下列结论正确的是（   ） A．当时， B．， C．当且仅当时， D．，使得 8．已知集合A＝，，若，则实数a的取值范围是________. 9．（2026·安徽合肥·一模）已知集合，，同时满足，，则___________． 题型04 充分必要条件及其参数问题 【技巧通法·提分快招】 1、充分必要条件的判断 若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则 (1)若A⊆B,则p是q的充分条件. (2)若B⊆A,则p是q的必要条件. (3)若A⫋B,则p是q的充分不必要条件. (4)若B⫋A,则p是q的必要不充分条件. (5)若A不是B的子集且B不是A的子集,则p是q的既不充分也不必要条件. 2、参数问题 根据条件与结论之间的充分、必要性求解参数的取值范围问题,首先根据条件和结论对应的命题理出推出关系,并将该推出关系转化为构成条件和结论对应的集合的子集、真子集关系,再构建不等式(组)求解. 1．已知直线，则的充要条件是（    ） A． B． C． D．或2 2．“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高三下·云南昭通·期中）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·江苏扬州·三模）已知单位向量，，则是“存在实数，使得”的（     ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·福建福州·三模）记为等比数列的前项和，设甲：为等差数列，乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 6．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·上海嘉定·阶段检测）已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是（    ） A．； B． C． D． 题型05 全称量词与存在量词及其参数问题 【技巧通法·提分快招】 1、全称量词命题与存在量词命题的真假判定的技巧 （1）全称量词命题的真假判定: 要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只需举出集合M中的一个x,使得 p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”). （2）存在量词命题的真假判定: 要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x,使p(x)成立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题. 2、利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧 （1）含参数的全称量词命题为真时,常转化为不等式的恒成立问题来处理,最终通过构造函数转化为求函数的最值问题. （2）含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解的问题来处理,最终借助根的判别式或函数等相关知识来解决. （3）根据含有量词的命题的真假求参数的取值范围,若是直接求解比较简单,就可以直接求解参数的取值范围;若是直接求解比较复杂,可以根据原命题与其否定必然真假相反,转化为命题的否定问题. 1．（2026·广西崇左·二模）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 2．下列命题为真命题的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．命题“，使”是假命题的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 6．已知命题，命题，不等式恒成立，若p和q有且仅有一个正确，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型06 集合中新定义问题 【技巧通法·提分快招】 解决以集合为背景的新定义问题的关键点 （1）准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆. （2）方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解. 1．（2026·河南开封·二模）定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江西·模拟预测）中国剩余定理又称“孙子剩余定理”，它是中国古代史上最有创造性的成就之一，其中“韩信点兵”“物不知数”等问题的解法在数论中有相应的推广，数论中的形式表示和除以的余数相同．已知集合满足，，．对于集合中的任意一个元素，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·四川·阶段检测）我们定义：一个集合的“极差”为该集合最大元素与最小元素的差值．则集合的极差为（　　） A． B．1 C． D．2 4．（25-26高三上·山东临沂·期中）置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，.已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组，且中所有数之和为2026，则（    ） A．1004 B．1007 C．1010 D．1013 5．（多选题）群的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学､晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设G是一个非空集合，“”是一个适用于G中元素的运算，若同时满足以下四个条件，则称G对“o”构成一个群：（1）封闭性，即若，则存在唯一确定的，使得；（2）结合律成立，即对G中任意元素都有；（3）单位元存在，即存在，对任意，满足，则称为单位元；（4）逆元存在，即任意，存在，使得则称a与b互为逆元.根据以上信息，下列说法中错误的是（    ） A．关于数的乘法构成群 B．关于数的加法构成群 C．和均关于数的加法构成群 D．关于数的乘法构成群 6．（2024·安徽马鞍山·三模）已知S是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，则称S是数环．设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域．由定义知有理数集是数域． (1)求元素个数最小的数环； (2)证明：记，证明：是数域； (3)若是数域，判断是否是数域，请说明理由． 7．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）对于给定的闭区间，现将按如下规则构造的区间列称为的“就近隔离区间列”： （i）确定，取； （ii）确定，若与的交集为空集，则，否则判断与的交集是否为空集，若为空集，则，否则判断与的交集是否为空集，若为空集，则，以此类推，直到找到，设； （iii）确定，若与的交集为空集，则，否则判断与的交集是否为空集，若为空集，则，以此类推，直到找到，设； （iv）依照（ii）（iii）的方法依次确定. 已知数列满足，区间是的“就近隔离区间列”. (1)求的通项公式及. (2)证明：. (3)设是给定的正整数，求集合中的元素之和. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．（2026·湖南郴州·三模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广西南宁·三模）下列命题为真命题的是（   ） A．命题，，则命题p的否定是：， B．“”是“”的充分不必要条件 C．方程的两根都大于1的充要条件是 D．是关于x的不等式对一切实数x恒成立的充要条件 4．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知a为实数，p:在(0，+∞)上单调递增，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知命题；命题，若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．设集合，，若，则的值为（） A． B． C． D．或 7．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知集合，，则的子集个数为（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 8．（2026·江苏·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．已知集合，集合，集合，则以下元素属于集合的是（    ） A． B． C． D． 11．《南京照相馆》､《浪浪山小妖怪》､《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名.高一（1）班共有28名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影.只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 12．已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（    ）. A． B． C． D． 13．（2026·河南·模拟预测）已知，， 在上单调递增，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（2024·北京朝阳·模拟预测）已知集合，若集合A、B满足：，则集合对共有（   ）个． A．36 B．48 C．64 D．81 15．（2026·山东聊城·三模）记等差数列的前n项和为，则“的公差为2”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．（2026·山东临沂·二模）已知集合，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 17．（25-26高三上·上海·期中）已知集合，，若，则满足条件的集合个数为（    ） A．408 B．409 C．410 D．411 18．（2025高三·北京·专题练习）对于数集，，它们的Descartes积，则下列选项错误的是（ ） A． B．若，则 C． D．集合表示轴所在直线 19．（2026·北京朝阳·一模）已知函数，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 20．（25-26高三上·山东青岛·期中）已知函数的定义域为，对于正实数，定义集合，则（   ） A．若，则对于任意正实数，集合中有无限多个元素 B．若，则中可能含有个元素 C．若，则 D．若，，则 21．设集合是实数集的子集，如果满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（    ） ①        ② ③        ④ A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 22．（25-26高三上·上海·阶段检测）设集合中元素均为正整数，且至少有两个元素，若满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则．则关于下面两个命题，说法正确的是（   ） 命题：若S有3个元素，则有4个元素． 命题：若有4个元素，则有7个元素． A．是真命题，是真命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．是假命题，是假命题 23．（2025·湖南长沙·三模）已知数列，，记集合的元素个数为. (1)若为1，2，4，8，12，写出集合，并求的值； (2)若为1，3，a，b，且，求和集合； (3)若数列项数为，满足，求证：“”的充要条件是“为等比数列”. 24．（24-25高三下·浙江·开学考试）定义：为在集合中去掉一个元素后得到的集合；为集合中的所有元素之和.已知由个正整数组成的集合，若对于，都存在两个集合，使得，且，就称集合为“完美集”. (1)若，判断是否为“完美集”，并说明理由； (2)若集合是“完美集”，证明：是奇数； (3)若集合是“完美集”，且中所有元素从小到大排序后能构成一个等差数列，则称为“等差完美集”.已知集合是“等差完美集”，求的最小值. 创新能力提升 1．已知，若命题“或”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·北京西城·二模）已知正方体W和平面，则“正方体W的8个顶点中存在6个到平面的距离相等”是“平面将正方体W分成体积相等的两部分”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·北京昌平·二模）设，函数有最大值的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·上海宝山·阶段检测）已知集合，若对于任意，总存在与之相应的 (其中)，使得 成立，则称集合是“集合”．下列为“集合”的有（    ）个 ①                      ②     ③                   ④ A．1 B．2 C．3 D．4 5．（多选题）（2026·福建厦门·模拟预测）已知，，…，，…均为有限实数集，记中的最大元素为，，，若，则（    ） A． B． C．中所有元素的平均数为191 D．中所有元素的和为3008 6．（2026·河南许昌·三模）已知，，，，若且，则____________． 7．（25-26高三下·江苏扬州·阶段检测）设集合，若对于满足的任意k个元素的集合，都存在，使得，则k的最小值是______． 8．（2026·山东·模拟预测）对于集合，定义，若 ，则称为理想集．例如，不是理想集，而是理想集． (1)判断下列集合是否为理想集，不需要说明理由； ①；②；③． (2)若存在个非空理想集，，…，，且，使得 ，则称是可分的，记． （i）证明：； （ii）证明：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $