第10章 空间直线与平面（单元测试·提升卷）数学沪教版2020必修第三册

2025-2026学年高二数学单元检测卷 第10章 空间直线与平面·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．如图所示，是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积为 . 【答案】 【详解】如图，将直观图还原，则， 的面积为. 故答案为：2. 2．二面角的半平面上有一点，到直线的距离为4，到平面的距离为2，则二面角的大小是 . 【答案】或 【详解】①如图，过点作于点，平面于点，则二面角是   ，，则，∴， ①如图，过点作于点，平面于点，则二面角是的补角   ，，则，∴，二面角为 ∴二面角的大小是：或. 故答案为：或. 3．已知平行四边形的四个顶点均在平面的同一侧，若，，三点到平面的距离分别为2、3、4，则点到平面的距离为 . 【答案】3 【详解】如图，连接，相交于点，则点为和的中点， 分别作平面，平面，平面，垂足分别为，，， 则四边形为直角梯形，为梯形的中位线，因为，两点到平面的距离分别为2、4，则， 点B到平面的距离也为3，直线在平面的同侧， 所以上有两个点到平面的距离都为3，则直线平面， 故点D到平面的距离为3. 故答案为：3. 4．空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则 . 【答案】或 【详解】 分别为的中点，连接， 所以，， 所以或其补角就是异面直线和所成的角， 因为异面直线和成的角， 或. 故答案为：或. 5．已知矩形的边平面，现有数据：①；②；③；④；④，当在边上存在点，使时，则可以取 .（填序号） 【答案】①② 【详解】连接， 因为平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，因为平面，所以， 在平面内，直径所对的圆周角为直角， 所以点在以为直径的圆上， 故当与以为直径的圆有公共点时，在边上存在点，使， 因此，即. 故答案为：①②. 6．如图，在正方体中，是棱的中点，记平面与平面的交线，平面与平面的交线，若直线与所成角为，直线与所成角为，则的值是 ． 【答案】/ 【详解】延长与直线相交于，连接， 则平面与平面的交线为， 即为直线，故即为， 又，， 是棱的中点，且， ，， 又为锐角，且，， 则， 又平面平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以，又， 故直线与所成角为， 又，故， 所以， 故答案为：. 7．已知锐二面角α－l－β的平面角为θ，m是α内异于l的一条直线，则m与β所成角的范围是 . 【答案】 【详解】如图，设直线为直线，过作，过作， 则，又，则平面，又平面，则， 则为二面角α－l－β的平面角，即，m与β所成角为， 在中，，在中，， 在中，， 则， 因，则，则， 则， 特别地，当直线时，m与β所成角为；当时，， 故 故答案为： 8．已知斜边长为的等腰直角在平面上的投影为等边，则 的面积为 . 【答案】/ 【详解】由题意可知如图放置，其投影为，则才可为正三角形，    由题意可得，，可设， 将平移至位置， 则由题意可得，， 又，所以 故可设，则， 所以，故， 所以由得， 故，所以等边面积为. 故答案为：. 9．已知四面体中，，则点在平面上的射影是的 心.（填“内”或“外”或“垂”） 【答案】垂 【详解】如图，设点在平面上的射影是，    由题意得平面， 因为面，所以， 因为，，面， 所以平面，因为面， 所以，同理可得， 即有为的垂心. 故答案为：垂 10．如图，正方体棱长为2，E、F分别为、的中点，P是底面上一点.若平面BEF，则直线AP与底面所成角的正切值的取值范围是 . 【答案】 【详解】如图，取的中点的中点，连接， 由正方体分别为的中点，易知， 且，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面平面， 所以平面，因为分别为的中点， 由中位线性质可得，同理可知， 所以，又因为平面平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 因为是底面上一点，且平面，所以点， 正方体棱长为2，由分别为的中点， 故，， 故等腰直角三角形斜边上的高为， 故的最小值为， 当重合或重合时，取得最大值1， 则的长度的取值范围为，设与平面成角为， 在正方体中，易知平面，且为垂足， 所以. 故答案为：. 11．如图，矩形ABCD的长，宽，若平面ABCD，矩形的边CD上至少有一个点Q，使得，则x的范围是 . 【答案】 【详解】 连接，因为平面，平面，所以， 又，且，平面， 由线面垂直的判定定理可得平面， 且平面，所以， 设，则， 在直角三角形中，由勾股定理可得， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，，即， 化简可得，其中， 即，解得， 又，所以，即x的范围是. 故答案为： 12．一个“皇冠”状的空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为.如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则的值为 . 【答案】 【详解】因为一个“皇冠”状的空间图形由一个正方形和四个正三角形组成， 并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为， 过点作底面的垂线，垂足为分别为上下底面正方形的中心， 连接交于，连接，如图所示， 则，又由题意可得， 所以即为正方形与正三角形所成的二面角的平面角，且为钝角； 所以，则， 由三角形都为正三角形得， 设正方形边长为，则，所以， 所以. 故答案为：. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．空间中有两个不同的平面、和两条不同的直线m、n，则下列说法中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【详解】对于选项A：若，，，则可能异面，故A错误； 对于选项B：若，，则与不一定垂直， 且，所以与不一定垂直，故B错误； 对于选项C：若，，可知， 且，所以，故C正确； 对于选项D：若，，，则可能有，故D错误； 故选：C. 14．已知的直观图是直角边长为的等腰直角三角形，那么的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，根据斜二测画法画出原图形，则为直角三角形，且，， 所以. 故选：C.    15．已知是锐角，则“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”是“直线与平面所成角的大小为”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】若直线与平面内一条直线所成角的大小为，则直线与平面内无数条直线所成角的大小为，这无数条直线平行，直线与平面所成角的大小不一定为. 故“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”不能推出“直线与平面所成角的大小为”. 若直线与平面所成角的大小为，则直线与它在平面上的射影所成的角为，直线与平面内无数条直线所成角的大小为，这无数条直线与射影平行. 故“直线与平面所成角的大小为”能推出“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”. 故“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”是“直线与平面所成角的大小为”的必要非充分条件. 故选：B. 16．如图，为正方体，    ①  ②平面 ③与底面所成角的正切值是 ④过点与异面直线与成角的直线有2条. 其中正确结论的个数是（   ）. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】在正方体中，由正方形，则， 又平面，平面，则， 又是平面内两条相交直线，所以平面， 平面，所以，故①正确； 因为，又平面，平面，则， 又是平面内两条相交直线，所以平面，又平面， 所以，同理可得，又是平面内两条相交直线， 所以平面，故②正确； 因为平面，易知是直线在平面内的射影， 则是直线与平面所成角，则，故③错误； 由可得直线与所成的角是， 抽象出图形如下，，，，是的平分线，是其补角的平分线，   与和夹角为，与和夹角为， 直线绕（在平面的垂直平面内，保持与成等角）旋转时， 与，的夹角（锐角）最大到，中间有成角的直线，共两条， 而直线同样旋转时，最小角是，不可能有角． 所以过点与异面直线与成角的直线有2条，故④正确． 综上，正确的有①②④. 故选：D. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．如图，长方体中，，，，点P为的中点.. (1)求证：直线∥平面PAC； (2)求异面直线PO与AB所成角的大小. 【详解】（1）由题意可知：分别为的中点，则∥， 且平面PAC，平面PAC，所以直线∥平面PAC. （2）连接， 由（1）可知∥， 则异面直线PO与AB所成角的大小即为（或其补角）， 由题意可知：， 则，即，可得， 所以异面直线PO与AB所成角的大小为. 18．如图，边长为2的正方形所在平面与平面垂直，与的交点为，，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【详解】（1）由是正方形，则， 因为面面，面面，，面， 所以面，又面， 所以， 又因为，平面，平面， 所以平面. （2）过作交于，连接， 因为是正方形，则， 因为面面，面面，面， 所以面，又面， 所以， 又因为，，面，面， 所以面， 所以即为直线与平面所成角， 因为正方形边长为2，，， 所以，， 所以， 因为， 所以，即直线与平面所成角的大小为. 19．已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值. 【详解】（1）取的中点，连接、，又为的中点，则且， 而平面，平面，则，，又，则， 因此四边形为平行四边形，则，而平面，平面， 所以平面. （2）在等边中，为的中点，则， 由平面，平面，得， 而，于是，，又，平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面. （3）在平面内，过作于，连接， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，则为和平面所成的角， 由，，得，，， 在中，， 所以直线和平面所成角的正弦值为. 20．已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的投影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的大小（结果用反三角表示）； (3)若点是线段上的动点，请找出点所在的位置，使得直线与平面所成的角最大. 【详解】（1）由题意可得都是边长为2的等边三角形， 所以，则， 所以，因为， 所以， 设点到平面的距离为， 则，可得， 即，解得， 则点到平面的距离为. （2） 过作于，连接，因为平面， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 由题意知，是边长为2的等边三角形， 所以，由， 知， 在中，，即， 所以二面角的大小为． （3）因为，且平面平面，所以平面， 所以到平面的距离即为到平面的距离，因为， 所以，即， 所以， 即到平面的距离为， 设直线与平面所成的角为，则， 要使最大，则需使最小，此时，由对称性知，， 所以， 即， 故当点在线段上靠近点的处时， 直线与平面所成的角最大，最大角为． 21．如图所示，点是平面外一点，平面，点是线段的中点. (1)求证:平面 (2)问：是否存在线段上的一点，使得对线段上的任一动点，均有平面成立？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； (3)若，二面角为，求的余弦值. 【详解】（1） 如图，取中点，连接， ∵分别是的中点，∴. ∵平面，平面，平面平面， ∴. ∵，∴, ∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面. （2）存在，点为的中点.证明如下： 如图，取的中点，连接. ∵分别是的中点，∴. ∵平面，平面，∴平面. 由（1）得，平面， ∵，平面，平面，∴平面平面， ∵平面，∴平面. （3） 如图，过点作平面，垂足为，过点作，垂足分别为，连接. ∵平面，平面，平面，∴，. ∵，，平面，平面，∴平面， ∵平面，∴，故为二面角的平面角，即. 设， 在中，由得，，∴. 在中，由得，， 在中，， ∴，同理得，即 ∴，即的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第10章 空间直线与平面·能力提升（参考答案） 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2 2. 或 3. 3 4. 或 5. ①② 6. 7. 8. 9. 垂 10. 11. 12. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 C C B D 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17（14分）【详解】（1）由题意可知：分别为的中点，则∥， 且平面PAC，平面PAC，所以直线∥平面PAC.（7分） （2）连接， 由（1）可知∥， 则异面直线PO与AB所成角的大小即为（或其补角）， 由题意可知：， 则，即，可得， 所以异面直线PO与AB所成角的大小为.（14分） 18（14分）【详解】（1）由是正方形，则， 因为面面，面面，，面， 所以面，又面， 所以， 又因为，平面，平面， 所以平面.（7分） （2）过作交于，连接， 因为是正方形，则， 因为面面，面面，面， 所以面，又面， 所以， 又因为，，面，面， 所以面， 所以即为直线与平面所成角， 因为正方形边长为2，，， 所以，， 所以， 因为， 所以，即直线与平面所成角的大小为.（14分） 19（14分）【详解】（1）取的中点，连接、，又为的中点，则且， 而平面，平面，则，，又，则， 因此四边形为平行四边形，则，而平面，平面， 所以平面. （7分） （2）在等边中，为的中点，则， 由平面，平面，得， 而，于是，，又，平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面. （3）在平面内，过作于，连接， 由平面平面，平面平面，平面， 得平面，则为和平面所成的角， 由，，得，，， 在中，， 所以直线和平面所成角的正弦值为. （14分） 20（18分）【详解】（1）由题意可得都是边长为2的等边三角形， 所以，则， 所以，因为， 所以， 设点到平面的距离为， 则，可得， 即，解得， 则点到平面的距离为.（6分） （2） 过作于，连接，因为平面， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 由题意知，是边长为2的等边三角形， 所以，由， 知， 在中，，即， 所以二面角的大小为．（12分） （3）因为，且平面平面，所以平面， 所以到平面的距离即为到平面的距离，因为， 所以，即， 所以， 即到平面的距离为， 设直线与平面所成的角为，则， 要使最大，则需使最小，此时，由对称性知，， 所以， 即， 故当点在线段上靠近点的处时， 直线与平面所成的角最大，最大角为．（18分） 21（18分）【详解】（1） 如图，取中点，连接， ∵分别是的中点，∴. ∵平面，平面，平面平面， ∴. ∵，∴, ∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面.（6分） （2）存在，点为的中点.证明如下： 如图，取的中点，连接. ∵分别是的中点，∴. ∵平面，平面，∴平面. 由（1）得，平面， ∵，平面，平面，∴平面平面， ∵平面，∴平面.（12分） （3） 如图，过点作平面，垂足为，过点作，垂足分别为，连接. ∵平面，平面，平面，∴，. ∵，，平面，平面，∴平面， ∵平面，∴，故为二面角的平面角，即. 设， 在中，由得，，∴. 在中，由得，， 在中，， ∴，同理得，即 ∴，即的余弦值为.（18分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第10章 空间直线与平面·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．如图所示，是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积为 . 2．二面角的半平面上有一点，到直线的距离为4，到平面的距离为2，则二面角的大小是 . 3．已知平行四边形的四个顶点均在平面的同一侧，若，，三点到平面的距离分别为2、3、4，则点到平面的距离为 . 4．空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则 . 5．已知矩形的边平面，现有数据：①；②；③；④；④，当在边上存在点，使时，则可以取 .（填序号） 6．如图，在正方体中，是棱的中点，记平面与平面的交线，平面与平面的交线，若直线与所成角为，直线与所成角为，则的值是 ． 7．已知锐二面角α－l－β的平面角为θ，m是α内异于l的一条直线，则m与β所成角的范围是 . 8．已知斜边长为的等腰直角在平面上的投影为等边，则 的面积为 . 9．已知四面体中，，则点在平面上的射影是的 心.（填“内”或“外”或“垂”） 10．如图，正方体棱长为2，E、F分别为、的中点，P是底面上一点.若平面BEF，则直线AP与底面所成角的正切值的取值范围是 . 11．如图，矩形ABCD的长，宽，若平面ABCD，矩形的边CD上至少有一个点Q，使得，则x的范围是 . 12．一个“皇冠”状的空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为.如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则的值为 . 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．空间中有两个不同的平面、和两条不同的直线m、n，则下列说法中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 14．已知的直观图是直角边长为的等腰直角三角形，那么的面积为（    ）    A． B． C． D． 15．已知是锐角，则“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”是“直线与平面所成角的大小为”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要条件 16．如图，为正方体，    ①  ②平面 ③与底面所成角的正切值是 ④过点与异面直线与成角的直线有2条.其中正确结论的个数是（   ）. A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．如图，长方体中，，，，点P为的中点.. (1)求证：直线∥平面PAC； (2)求异面直线PO与AB所成角的大小. 18．如图，边长为2的正方形所在平面与平面垂直，与的交点为，，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 19．已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值. 20．已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的投影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的大小（结果用反三角表示）； (3)若点是线段上的动点，请找出点所在的位置，使得直线与平面所成的角最大. 21．如图所示，点是平面外一点，平面，点是线段的中点. (1)求证:平面 (2)问：是否存在线段上的一点，使得对线段上的任一动点，均有平面成立？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； (3)若，二面角为，求的余弦值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第10章 空间直线与平面·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．如图所示，是用斜二测画法画出的的直观图，其中，则的面积为 . 2．二面角的半平面上有一点，到直线的距离为4，到平面的距离为2，则二面角的大小是 . 3．已知平行四边形的四个顶点均在平面的同一侧，若，，三点到平面的距离分别为2、3、4，则点到平面的距离为 . 4．空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则 . 5．已知矩形的边平面，现有数据：①；②；③；④；④，当在边上存在点，使时，则可以取 .（填序号） 6．如图，在正方体中，是棱的中点，记平面与平面的交线，平面与平面的交线，若直线与所成角为，直线与所成角为，则的值是 ． 7．已知锐二面角α－l－β的平面角为θ，m是α内异于l的一条直线，则m与β所成角的范围是 . 8．已知斜边长为的等腰直角在平面上的投影为等边，则 的面积为 . 9．已知四面体中，，则点在平面上的射影是的 心.（填“内”或“外”或“垂”） 10．如图，正方体棱长为2，E、F分别为、的中点，P是底面上一点.若平面BEF，则直线AP与底面所成角的正切值的取值范围是 . 11．如图，矩形ABCD的长，宽，若平面ABCD，矩形的边CD上至少有一个点Q，使得，则x的范围是 . 12．一个“皇冠”状的空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为.如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则的值为 . 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．空间中有两个不同的平面、和两条不同的直线m、n，则下列说法中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 14．已知的直观图是直角边长为的等腰直角三角形，那么的面积为（    ）    A． B． C． D． 15．已知是锐角，则“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”是“直线与平面所成角的大小为”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要条件 16．如图，为正方体，    ①  ②平面 ③与底面所成角的正切值是 ④过点与异面直线与成角的直线有2条.其中正确结论的个数是（   ）. A．0 B．1 C．2 D．3 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．如图，长方体中，，，，点P为的中点.. (1)求证：直线∥平面PAC； (2)求异面直线PO与AB所成角的大小. 18．如图，边长为2的正方形所在平面与平面垂直，与的交点为，，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 19．已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值. 20．已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的投影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的大小（结果用反三角表示）； (3)若点是线段上的动点，请找出点所在的位置，使得直线与平面所成的角最大. 21．如图所示，点是平面外一点，平面，点是线段的中点. (1)求证:平面 (2)问：是否存在线段上的一点，使得对线段上的任一动点，均有平面成立？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； (3)若，二面角为，求的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$