精品解析：上海市延安中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷

2026年延安中学高二年级上学期期末 2026.01.25 一、填空题（每小题3分，共36分） 1. 半径为2的球的体积为__． 【答案】. 【解析】 【分析】由球体体积公式可得答案. 【详解】. 故答案为： 2. 直线的倾斜角为______（用反三角表示） 【答案】 【解析】 【分析】先根据直线得出斜率，再结合倾斜角及斜率的关系求出倾斜角即可. 【详解】设直线即的倾斜角为. 由直线方程可知，该直线的斜率，所以. 因为，所以. 故该直线的倾斜角为. 3. 双曲线的实轴长为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线方程直接求出实轴长. 【详解】双曲线的实轴长为. 故答案为： 4. 已知空间向量，，，若，，共面，则实数___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据向量共面，可设，先求解出的值，则的值可求. 【详解】因为，，共面且，不共线，所以可设， 所以，所以， 所以，所以， 故答案为：1. 5. 已知抛物线 上一点P到焦点的距离为5，则点P到x轴的距离为________． 【答案】. 【解析】 【分析】根据抛物线的方程求出准线，再由抛物线定义求解即可. 【详解】抛物线方程，则焦点坐标为，准线方程为， 由抛物线的定义可知，点P到准线的距离为5， 所以，解得：，代入， 则 所以点P到x轴的距离为． 故答案为：. 6. 直三棱柱中，若，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，利用空间向量的线性运算即可表示出. 【详解】如图所示 因为，，， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查空间向量的线性运算，属于基础题. 7. 已知直线与圆相交于两点，则________ 【答案】 【解析】 【分析】算出圆心到直线的距离，利用勾股定理即可. 【详解】因为圆，所以圆的标准方程, 其圆心坐标为,半径为. 圆心到直线的距离 则. 8. 已知线段的端点A的坐标是，动点B在双曲线上运动，且，则点M的轨迹方程为______ 【答案】 【解析】 【分析】设，，则，然后通过向量的坐标公式求出，进而代入即可得解. 【详解】设，，则， 因为，所以， 即，所以， 代入得， 所以点M的轨迹方程为：. 9. 已知点，，经过点作直线，若直线与线段没有公共点，则直线的斜率的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】数形结合并根据斜率计算公式即可得到答案． 【详解】作出示意图如图所示： 由题意知直线的斜率分别为，． 因为直线与线段没有公共点，所以或， 所以直线的斜率的取值范围是. 故答案为：． 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆C上任意一点，N为圆（为参数，）上任意一点，则的最小值为________ 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆定义将转化为∣，再结合圆的性质，最后根据两点之间线段最短，用求出的最小值，进而得到原式的最小值. 【详解】由椭圆，得，故，，所以左右焦点为. 对椭圆上任意点，，即， 因此. 将圆的参数方程化为普通方程：，得圆心，半径， 因为在圆上，所以对任意点，有（当且仅当在线段上时取等号）. 所以， 根据两点之间线段最短，， 因为， 因此，即最小值为. 11. 已知实数满足，，，则的最大值为________ 【答案】 【解析】 【分析】设，线段的中点为，分析可知点的轨迹以为圆心，半径的圆，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，可得，结合圆的性质分析求解即可. 【详解】设，，为坐标原点，则，， 因为，，可知两点在以为圆心，半径的圆上， 又因为，且， 即，可得， 且，则， 可知三角形为等边三角形，则， 设线段的中点为，则，可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆， 过点分别作直线的垂线，垂足分别为， 则， 因为点到直线的距离， 则，当且仅当点在线段上时，等号成立， 可得， 所以的最大值为. 12. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理证明、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美；在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线；则下列结论中，正确结论的序号为________ ①曲线C围成的图形有4条对称轴； ②曲线C围成的图形的周长是； ③曲线C上的任意两点间的距离不超过； ④若是曲线C上任意一点，的最小值是； 【答案】①②④ 【解析】 【详解】原方程  整理得： ， 则曲线是圆心坐标分别为，半径为​的四分之一圆弧拼接而成，如图所示. ① 换、方程不变，故轴、轴是对称轴；换、方程也不变， 故、也是对称轴，共4条，故 ① 正确； ② 曲线是4段半圆弧及原点构成，其周长为，故 ② 正确； ③ 由图可知，不妨在曲线上取两点为和，其距离为，故 ③ 错误； ④  令， 所以可把看成点到直线的距离的5倍， 而离最近的是第一象限的圆弧，且圆心到的距离为， 故​，因此，故 ④ 正确. 二、选择题（每小题3分，共12分） 13. “”是“直线和直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】因为直线和直线垂直，所以或，再根据充分必要条件的定义判断得解. 【详解】因为“直线和直线垂直， 所以或. 当时，直线和直线垂直； 当直线和直线垂直时，不一定成立. 所以是直线和直线垂直的充分不必要条件， 故选：A． 14. 已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且 则双曲线的方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后利用离心率求解a的值即可确定双曲线方程. 详解：设双曲线的右焦点坐标为，则， 由可得：， 不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为， 据此可得：，， 则，则， 双曲线的离心率：， 据此可得：，则双曲线的方程为. 本题选择A选项. 点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可. 15. 已知，C在上，则的面积（ ） A. 有最大值，但没有最小值 B. 没有最大值，但有最小值 C. 既有最大值，也有最小值 D. 既没有最大值，也没有最小值 【答案】A 【解析】 【分析】设出曲线上一点为，得出，将三角形的高转化成关于的函数,分析其单调性，从而求解. 【详解】设曲线上一点为，则，则， ，方程为：，即， 根据点到直线的距离公式，到的距离为：， 设， 由于，显然关于单调递减，，无最小值， 即中，边上的高有最大值，无最小值， 又一定，故面积有最大值，无最小值. 故选：A 16. 在平面直角坐标系中，已知椭圆和为上的动点，Q为上的动点，t是的最大值，记在上，Q在上，且，则中元素个数为（ ） A. 2个 B. 4个 C. 8个 D. 无穷个 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆的参数方程，写出点的坐标，表示出，并根据两角差的余弦公式，结合余弦函数的最值可求得，并分析得到答案. 【详解】因为，由题可设，，其中， 则， 当，即，即或或时，等号成立. 所以. 由此在上，Q在上，且中元素的个数为无穷个. 三、解答题（5大题，共52分） 17. 已知直线过点； （1）若直线与的夹角为，求直线的方程； （2）若直线与坐标轴围成的三角形面积为，求直线的斜率； 【答案】（1）或  （2）或或或 【解析】 【分析】(1)利用两直线的夹角公式，即可列方程求解斜率，然后求直线方程； (2)利用设直线方程求与坐标轴的横纵截距，结合面积可得斜率方程求解即可. 【小问1详解】 已知，则直线斜率， 设​斜率为 ​，两直线夹角，由两直线夹角公式： 代入得： ​，整理得，解得 ​或， 结合过，整理得的方程为：或 ； 【小问2详解】 设斜率为，方程为，令得：纵截距， 令得：横截距， 由题意面积， 整理得： ，分情况求解： 当时，方程化为，解得或； 当时，方程化为，解得或， 综上可得直线的斜率为或或或. 18. 如图为正四棱锥，已知点O为底面的中心，点E为中点，且，. （1）求三棱锥的体积； （2）求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正四棱锥的结构特征求相应长度，再根据结合锥体体积公式运算求解； （2）建系并标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【小问1详解】 因为为正四棱锥，则平面， 且平面，则， 由题意可得：，， 所以三棱锥的体积. 【小问2详解】 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 设直线与平面所成角为， 则，可得， 所以直线与平面所成角的大小为. 19. 已知抛物线，定点； （1）过点A且过抛物线C的焦点F的直线，交抛物线C于两点，求； （2）求过点A且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线方程； 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）先求出抛物线焦点与直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理结合弦长公式计算弦长 ； （2）分直线斜率不存在、斜率为、斜率存在且不为三种情况，分别联立直线与抛物线方程，通过判别式或方程解的个数判断直线与抛物线仅有一个公共点的情况，进而得到所有符合条件的直线方程. 【小问1详解】 对于抛物线，得，即，焦点. 已知，直线的斜率，直线方程为. 联立直线与抛物线方程：， 整理得， 设，由韦达定理得， 由弦长公式. 【小问2详解】 若所求直线斜率不存在，则方程为，代入抛物线得，仅有一个公共点，符合条件； 若所求直线斜率存在，设为，则直线为，由，得， 若，方程化为，仅有一个解，对应直线，符合条件； 若，令判别式，得，对应直线，符合条件。 综上，过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线方程为或或. 【点睛】本题核心考查抛物线的几何性质（焦点、弦长）与直线和抛物线的位置关系，方法上通过联立方程 + 韦达定理 / 判别式，结合分类讨论斜率存在与否来解决问题. 20. 已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于和记得到的平行四边形的面积为S；设； （1）求椭圆的离心率； （2）用的坐标表示点C到直线的距离，并证明：平行四边形的面积； （3）设与的斜率之积为，求面积S的值； 【答案】（1） （2） 当时，直线的方程为：， 则点到直线的距离为； 当时，直线的方程为：，则点到直线的距离为， 也满足， 则点到直线的距离为；因为， 则； （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的标准方程计算离心率即可； （2）讨论和，分别写出直线的方程，由距离公式即可求得点到直线的距离，由面积公式即可证明； （3）设出直线和的方程，联立椭圆求出的坐标，结合（2）中面积公式求解即可； 【小问1详解】 因为椭圆，所以，，故， 由此可知； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，，，设， 直线与椭圆联立可得， 同理直线与椭圆联立可得， 不妨令，则，， ，， 则； 21. 已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上； （1）求双曲线的标准方程； （2）设点是双曲线上的动点，是圆：上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； （3）如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上；若关于原点对称，且，是否存在点，使得为定值；若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】（1） （2） （3）存在点，使得为定值. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程组求解即可. （2）根据直线与圆相切得到，设出点坐标，结合二次函数性质求出，进而求得. （3）设出直线方程并与双曲线方程联立，结合韦达定理得到，；求出直线、方程，得到点、坐标，结合对称列方程求出，求得为定值，再结合直角三角形的性质求解即可. 【小问1详解】 因为双曲线的离心率为，点在双曲线上， 所以，解得，. 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 圆：的圆心，半径为. 因为是圆上的动点，直线与圆相切，所以，. 所以. 设，因为点是双曲线上的动点，所以. 所以， 当时，取得最小值，此时， 所以. 【小问3详解】 由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为. 联立，整理得， 且， 设，，则，， 直线的方程为， 令，则，即. 同理可得，. 因为关于原点对称，所以， 即， 整理得， 即， 整理得，即， 所以或. 若，则，则直线方程为，即， 此时直线过点，不符合题意. 若，则直线方程为，恒过定点， 所以为定值， 又，在中，为斜边， 所以当为中点时，. 因此存在点，使得为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年延安中学高二年级上学期期末 2026.01.25 一、填空题（每小题3分，共36分） 1. 半径为2的球的体积为__． 2. 直线的倾斜角为______（用反三角表示） 3. 双曲线的实轴长为______. 4. 已知空间向量，，，若，，共面，则实数___________. 5. 已知抛物线 上一点P到焦点的距离为5，则点P到x轴的距离为________． 6. 直三棱柱中，若，，，则______. 7. 已知直线与圆相交于两点，则________ 8. 已知线段的端点A的坐标是，动点B在双曲线上运动，且，则点M的轨迹方程为______ 9. 已知点，，经过点作直线，若直线与线段没有公共点，则直线的斜率的取值范围是__________. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆C上任意一点，N为圆（为参数，）上任意一点，则的最小值为________ 11. 已知实数满足，，，则的最大值为________ 12. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理证明、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美；在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线；则下列结论中，正确结论的序号为________ ①曲线C围成的图形有4条对称轴； ②曲线C围成的图形的周长是； ③曲线C上的任意两点间的距离不超过； ④若是曲线C上任意一点，的最小值是； 二、选择题（每小题3分，共12分） 13. “”是“直线和直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且 则双曲线的方程为 A. B. C. D. 15. 已知，C在上，则的面积（ ） A. 有最大值，但没有最小值 B. 没有最大值，但有最小值 C. 既有最大值，也有最小值 D. 既没有最大值，也没有最小值 16. 在平面直角坐标系中，已知椭圆和为上的动点，Q为上的动点，t是的最大值，记在上，Q在上，且，则中元素个数为（ ） A. 2个 B. 4个 C. 8个 D. 无穷个 三、解答题（5大题，共52分） 17. 已知直线过点； （1）若直线与的夹角为，求直线的方程； （2）若直线与坐标轴围成的三角形面积为，求直线的斜率； 18. 如图为正四棱锥，已知点O为底面的中心，点E为中点，且，. （1）求三棱锥的体积； （2）求直线与平面所成角的大小. 19. 已知抛物线，定点； （1）过点A且过抛物线C的焦点F的直线，交抛物线C于两点，求； （2）求过点A且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线方程； 20. 已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于和记得到的平行四边形的面积为S；设； （1）求椭圆的离心率； （2）用的坐标表示点C到直线的距离，并证明：平行四边形的面积； （3）设与的斜率之积为，求面积S的值； 21. 已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上； （1）求双曲线的标准方程； （2）设点是双曲线上的动点，是圆：上的动点，且直线与圆相切，求的最小值； （3）如图，是双曲线上两点，直线与轴分别交于点，点在直线上；若关于原点对称，且，是否存在点，使得为定值；若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $