2.3.4 两平行直线间的距离（教学课件） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“两平行直线间的距离”，通过“七夕银河”情境导入牛郎织女直线距离问题，衔接两点间、点到直线距离知识，以转化思想构建公式推导与应用的学习支架。 其亮点在于情境化导入培养数学眼光，探究推导渗透转化与数形结合的数学思维，题型分类训练与真题感知强化数学语言表达。例如导入问题激发兴趣，推导过程培养逻辑推理，多样化例题助学生系统掌握公式应用，既提升学生解题能力，又为教师提供完整教学资源。

·选择性必修第一册· 第二章 直线与圆的方程 2.3.4 两平行直线间的距离 学习目标 理解两条平行线间的距离公式的推导. 掌握量平行线的距离公式,能应用两平行线距离公式解决有关距离问题.（重点） 通过两平行线距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力.（难点） 目录 CATALOG 01.两平行直线距离定义与基本性质 03.应用新知 02.两平行直线间距离公式 04.题型强化训练 05.真题感知 06.小结及随堂练习 2.3.4 两平行直线间的距离 01 两平行直线距离定义与基本性质 导入新知1：七夕银河——牛郎织女的距离 七夕之夜，银河如一条璀璨的光带横亘在星空，牛郎与织女分别站在银河的两侧隔河相望。传说中，银河在坐标平面上可以看作是由两条平行直线构成的，牛郎所在一侧的直线方程为 3x + y - 4 = 0，织女所在一侧的直线方程为 3x + y + 5 = 0。 牛郎思念织女，他想知道自己和织女之间的最小距离是多少？ 同学们，帮忙设计一下牛郎与织女之间的最小距离到底该怎么求呢？ 导入新知2：高铁轨道——安全距离的数学表达 我国高铁飞速发展，轨道建设中对平行轨道间的距离有着严格的标准。标准轨距的铁路，两条钢轨之间的距离（轨距）为 1435 mm，而在复线铁路中，两条平行轨道中心线之间的距离也有明确的安全标准。 在某段直线铁路的平面图中，两条平行轨道的中心线分别表示为直线 l₁：2x - y + 3 = 0 和 l₂：2x - y - 7 = 0（单位：百米）。工程人员需要计算这两条轨道中心线之间的距离，以确认是否满足安全间距要求。 同学们，你能帮工程人员算出这两条平行轨道之间的距离吗？ 探究新知 前面我们已经学习了两点间的距离公式、点到直线的距离公式． 关于平面上的距离问题，两条平行直线间的距离也是值得研究的． 定义 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求平行线间的距离 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求平行线间的距离 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求平行线间的距离 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由距离求已知直线的平行线 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由距离求已知直线的平行线 02 两平行直线间 距离公式 2.3.4 两平行直线间的距离 探究新知 探究 直线 l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)、B(0,1)、C(－1,2)三点， 直线 l2：x＋y－2＝0与直线l1平行， 那么点A、B、C到直线 l2 的距离分别为多少？有什么规律吗？ 规律：距离均相等，平行线之间的距离处处相等． 探究新知 探究 牛郎所在一侧的直线方程为3x＋y－4＝0，织女所在一侧的直线方程为3x＋y＋5＝0. 探究新知 解决 牛郎所在一侧的直线方程为3x＋y－4＝0，织女所在一侧的直线方程为3x＋y＋5＝0. 牛郎与织女之间的最小距离是多少？ 在牛郎所在一侧的直线上取点,则点到织女所在一侧的直线的距离为： 牛郎与织女之间的最小距离是： 探究新知 方法 “转化法”求两平行直线的距离： 将“两平行直线间的距离”转化为“点到直线的距离” 第 1 步 取点：在两条平行直线中的一条上任取一点， 比如：与坐标轴的交点等 第 2 步 求点到直线距离：利用点到直线的距离公式求取的点到另一条平行直线上的距离，即可求解. 探究新知 探究 证 明 探究新知 公式 强调： （1）应用公式前，必须把直线方程要化成一般式； （2）两直线方程中要求x，y的系数要对应相同，若不同要先化为相同，再应用公式求距离. 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由距离求已知直线的平行线 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求关于平行直线对称的直线、求点到直线的距离 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由距离求已知直线的平行线 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由距离求已知直线的平行线、由两条直线平行求方程 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求平行线间的距离 03 应用新知 2.3.4 两平行直线间的距离 应用新知 例7 解析 探究新知 总结 “公式法”求两平行直线的距离： 第 1 步 准备直线一般式方程：在将两平行直线化为一般式，并确保两平行直线的A、B对应相等. 第 2 步 将A、B、C1、C2四个值代入两平行直线的距离公式即可求解. 04 题型强化训练 2.3.4 两平行直线间的距离 重要题型专练 题型一 求两平行直线的距离 例题 解析 重要题型专练 题型二 求含参的两平行直线的距离 例题 解析 总结 先利用平行关系求出参数值，然后再利用“公式法”求两平行直线间的距离. 重要题型专练 题型三 利用两平行直线间的距离求参数值（范围） 例题 解析 重要题型专练 题型三 利用两平行直线间的距离求参数值（范围） 例题 解析 总结 利用两平行直线的距离公式建立关于参数的方程（不等式），解方程（不等式）即可得解. 重要题型专练 题型四 两平行直线间的距离的最值问题 例题 解析 总结 两平行直线上两动点间的距离存在最小值：最小值为两平行直线之间间的距离. 重要题型专练 题型四 两平行直线间的距离的最值问题 例题 解析 总结 两过定点的直线平行，则两平行直线间距离存在最大值：即为两定点之间的距离. 05 真题感知 2.3.4 两平行直线间的距离 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 真题感知 解析 06 小结及随堂练习 2.3.4 两平行直线间的距离 课堂小结 作业 作业1：完成教材：第79页 练习1,2,3. 作业2：配套辅导资料对应的《两平行直线间的距离》。  2.3.4 两平行直线间的距离 课后作业答案 练习（第79页） 解： 课后作业答案 练习（第79页） 解： 课后作业答案 练习（第79页） 解： 课后作业答案 练习（第79页） 解： 课后作业答案 习题2.3（第79页） 解： 课后作业答案 习题2.3（第79页） 解： 课后作业答案 习题2.3（第79页） 解： 课后作业答案 习题2.3（第79页） 解： 课后作业答案 习题2.3（第79页） 解： 课后作业答案 习题2.3（第79页） 解： 课后作业答案 习题2.3（第79页） 解： 课后作业答案 习题2.3（第79页） 解： 课后作业答案 习题2.3（第79页） 解： 课后作业答案 习题2.3（第79页） 解： 课后作业答案 习题2.3（第79页） 解： 习题2.3（第79页） 解： 课后作业答案 习题2.3（第79页） 解： 课后作业答案 习题2.3（第79页） 解： 课后作业答案 习题2.3（第79页） 解： 课后作业答案 习题2.3（第79页） 解： 课后作业答案 习题2.3（第79页） 解： 课后作业答案 习题2.3（第79页） O x 证明： 课后作业答案 习题2.3（第79页） 解： 课后作业答案 习题2.3（第79页） 解： 课后作业答案 习题2.3（第79页） 解： 课后作业答案 习题2.3（第79页） 解： 课后作业答案 习题2.3（第79页） 解： 课后作业答案 习题2.3（第79页） 相交直线系 课后作业答案 习题2.3（第79页） 解： O A B C x y P 课后作业答案 习题2.3（第79页） O A B C x y P 解： 课后作业答案 习题2.3（第79页） O A B C x y P 解： （2）对于（1）中的不等式， 它的几何意义是： 边长为1的正方形内任意一点到四个顶点 的距离的和不小于两条对角线的和． 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第一册· 1.（25-26高一下·重庆·期末）直线 与 间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【详解】直线，直线，即， 故两直线平行，则根据平行直线的距离公式.故选：A. 2.（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线 与直线 之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【详解】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 故选：A. （25-26高二上·江苏镇江·期末）两条平行直线 EMBED Equation.DSMT4 与 EMBED Equation.DSMT4 之间的距离（   ） A． B． C． D． 【详解】变形为， 与之间的距离. 故选：D. 4.（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知两条平行直线 与 间的距离为4，则C的值为（    ） A． B． C． D． 或 【详解】根据两平行直线的距离公式可得， 解得或，又因为，所以． 故选：B. 5.（24-25高二上·全国·课后作业）已知两条平行直线 与 之间的距离为 ，则 的值为（    ） A． 或8 B． 或9 C． 或2 D． 或2 【详解】因为两条平行直线与之间的距离为， 由两平行线间的距离公式，可得，解得或． 故选：A. 6.（25-26高二上·广东江门·阶段检测）到直线 的距离为1的直线方程为（    ） A． B． C． 或 D． 或 【详解】设所求直线方程为．由题意知， 解得或，即所求直线方程为或． 故选：D． 7.（25-26高二上·山东枣庄·期中）若动点 ， 分别在直线 ： 和 ： 上移动，则线段 的中点 点到原点的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意可知：M点的轨迹为平行于直线和且到、距离相等的直线l，因为直线和在轴上的截距分别为， 所以直线l在轴上的截距为，故其方程为：， 故到原点的距离的最小值为. 故选：A （江苏省连云港市东海县2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题） (多选题）下列直线与直线 ： 平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为，，由两平行直线间的距离公式可得，解得或， 故所求直线方程为或． 故选：AC 9.（25-26高二上·河南·阶段检测）已知直线 ，且直线 与 间的距离为 ，若直线 的方程为 ，则直线 的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，且直线的方程为， 设直线的方程为，， 根据题意得，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：BC． 10.（25-26高二上·西藏拉萨·期末）(多选题）已知直线 与直线 之间的距离为 ，则 的值可以是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可知，所以与间的距离， 解得或. 故选：BC 已知两条直线 与 相互 平行，则这两条直线间的距离为（    ） A．2 B．4 C． D．不确定 由两直线平行可得 ，所以 与， 故两直线间的距离为 ，故选：A 若直线 与 之间的距离为 ， 则a的值为（    ）. A．4 B． C．4或 D．8或 将直线 化为 ，则两平行直线间的距离为： ，根据题意可得： ，即 ， 解得 或 ，所以a的值为 或 . 故选：C (2)若直线 与直线 之间的距离不大于 ， 则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 或 直线 化为 ，则两直线之间的距离 ，即 ，解得 . 所以实数 的取值范围为 .故选：B. (1)已知 ，且满足 ，则 的最小值为（ ）. A． B． C． D． 为直线 上的动点， 为直线 上的动点， 可理解为两动点间距离的最小值， 显然最小值即两平行线间的距离： . 故选C ，由 ，解得 ，故 过定点 ． ，由 ，解得 ，故 过定点 ， 故 ， 距离的最大值为 ． （2）已知两条直线 ， ，且 ，则两平行线距离最大为___. 1.（2026高三·全国·专题练习）若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 ∵直线与直线之间的距离为，  ，，或（负值舍去）． ．故选：A 2.（2026·北京海淀·二模）若直线与平行，则与的距离为（   ） A． B．2 C．3 D．4 由题意得，解得， 当时，不重合，故， 可化为，所以与的距离为. .故选：A 3.（2026·山东聊城·二模）已知直线，，且，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 因为，则，解得，即直线的方程为，可化为， 故与的距离为.故选：A． 4.（2026高二·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 设直线上一点关于坐标原点对称的点为，则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． $