2.3.4 两平行直线间的距离课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“两条平行直线间的距离”，系统讲解公式推导与应用。通过游乐场平行滑梯实例导入，衔接已学点到直线距离公式，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生理解距离定义的转化过程。 其亮点在于以情境化问题培养数学眼光，通过公式严谨推导（如例8证明）发展数学思维，结合例7计算及课堂巩固题强化数学语言表达。采用“问题驱动-逻辑推理-应用实践”教学模式，学生能提升逻辑推理与计算能力，教师可高效落实教学重难点。

学习目标 1.探索并掌握两平行直线间的距离公式，体现逻辑推理能 力 ( 重 点 ) 2.能利用两平行直线间的距离公式解决相关问题，体现数 学计算能力( 难 点 ) 新 课 导 入 我们身处一个巨大的游乐场，其中有两组平行的滑梯.第一组滑 梯是标准的直线滑梯，第二组滑梯则稍微倾斜，但始终保持与第一 组滑梯平行的状态.现在，我们想要测量这两组平行滑梯之间的最短 距离，以便安装安全护栏.这个“最短距离”就是我们今天要探索 的— 平行直线间的距离. 任取一点P (x₀,y%), 点 P(x₀,yo) 到直线 l 的距 离就是直线l₁ 与直线l₂ 间的距离. 这样，求两条平行直线间的距离就转化为求点到 直线的距离. 新 课 学 习 若已知两条平行直线 l₁ ,l₂ 的方程，如何求 l₁ 与 l₂ 间的距离? 根据两条平行直线间距离的含义，在直线 l₁ 上 7 P(x₀, yo) 0 X L₂ 在直线 l₁:Ax+By+C₁ =0 上任取一点 P 个 点 P 到直线l₂:Ax+ By+C₂=0 的距离是这两条 平行直线间的距离，即 新课学习 若已知两条平行直线 l₁ ,l₂ 的方程，如何求 l₁ 与 l₂ 间的距离? 因为点 P (x₀ ,yo) 在直线Ax+By+C₁=0 上，所以Ax₀+Byo+C₁=0, 即Ax₀+Byo=-C₁ , 所以 l₁ P(x₀,yo) 0 A / 2 X 新 课 学 习 两条平行直线间的距离的概念 1 7 巨 7 GHJ 已知两条直线l₁:Ax+By+C₁=0 与 l₂:Ax+By+C₂=0(A,B 不 同 时 为 0 ,C₁≠C₂) 平行，则它们之间的距离为 1.当直线l:y=kx+b,l₂ :y=kx+b₂,且b¹b₂ 时， 2. 当直线l:Ax+By+C₁=0, l₂:Ax+By+C₂=0且C₁ ¹C₂ 时， .但必须注意两直线方程x,y的系数相对应相等. 新 课 学 习 对于上述公式的几点说明： 新 课 学 习 例 7 :已知两条平行直线 l₁ :2x-7y-8=0,l2:6x-21y-1=0, 求 l₁ 与 l₂ 间的距离 . 分析：在 l₁ 上选取一点，如 l₁与坐标轴的交点，用点到直线的距离 公式求这点到l 的距离，即 l₁ 与 l₂ 间的距离. 先求l₁ 与x 轴的交点A 的坐标 容易知道，点A 的坐标为(4, O) 点 A 到直线l₂ 的距离 所以 l₁ 与 l₂ 间的距离为 在直线 Ax+By+C₁=0 上任取一点 P(x₀ ,y%), 点 P(x₀,yo) +By+C₂=0 的距离就是这两条平行直线间的距离，即 到直线Ax 新 课 学 习 例 8 :求证：两条平行直线Ax+By+C₁=0 与 Ax+By+C₂=0 间的距 离为 分析：两条平行直线间的距离即为这两条平行直线中的一条直线上的 一点到另一条直线的距离. 新课学习 例8:求证：两条平行直线Ax+By+C₁=0 与 Ax+By+C₂=0 间的距 离为 因为点 P(x₀ ,yo) 在直线 Ax+By+C₁=0 上，所以 Ax₀+Byo+C₁=0, 即Ax₀+By₀=-C₁ , 因 此 练一练 ： 已知直线l:2x-(a-1)y-2=0,l₂ :(a+2)x+(2a+1)y+3=0(a∈R). (1)若l⊥l₂, 求实数a 的值； 由l⊥l₂, 得2(a+2)-(a-1)(2a+1)=0, 即2a²-3a-5=0, 所以(2a-5)(a+1)=0, 解得a=-1 或 新 课 学 习 由l//l₂ , 得2(2a+1)=-(a-1)(a+2), 即a²+5a=0, 解得a=0 或 a=-5. 当a=0 时 ，l₁:2x+y-2=0,l₂:2x+y+3=0, 则l,l₂ 之间的距离为 当a=-5 时 ，l:x+3y-1=0,l₂ :x+3y-1=0, 此时两直线重合，舍去. 综上，若LI//L₂, 则L,l₂ 之间的距离为 √5. 新课学习 已知直线l:2x-(a-1)y-2=0,l₂ :(a+2)x+(2a+1)y+3=0(a∈R). (2)若l//l₂ , 求l,l₂ 之间的距离. 由L₁IL₂, 则m²-3m·(4-m)=0, 化简得4m²-12m=0, 可得m=0 或 m=3, 当m=0 时，不成立， 当 m=3 时 ，l:x+3y-2=0,l₂:x+3y-3=0, 此时l,l₂ 之间的距离为 新 课 学 习 设直线l:mx+3my-6=0 与l₂:(4-m)x+my+m²-4m=0. (1)若l//l₂, 求l、l₂ 之间的距离； 新课学习 设直线l:mx+3my-6=0 与l₂:(4-m)x+my+m²-4m=0. (2)当直线l₂ 与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求m 的值. ∵直线l 与两坐标轴的正半轴围成三角形，所以 则0<m<4, ∴l₂ 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为 ∴ 当m=2 时 ，S有最大值. 的距离是(A) D.1 1.直线l:x-y+1=0 A 与直线l:2x-2y+3=0 B 课 堂 巩 固 C. 解析：直线l:2x-2y+3=0 化为x-y+³=0 又直线l:x-y+1=0, 所以L₁//2, 所以直线l 与直线l₂的距离是 故选：A. 课 堂 巩 固 课 堂 巩 固 2. 设 a 为实数，若直线ax-4y+3=0 与 x-2y+1=0 平行，则它们之间的距离为( A) A B C D 课 堂 巩 固 解析：由题意， 解得a=2, 所以直线2x-4y+3=0, 即 与直线x-2y+1=0 间的距离为 故选：A. 课 堂 巩 固 3.M,N 分别为直线3x-4y-12=0 与 6x-8y+5=0 上任意一点，则 MN| 最小值为 B D A. C 解析： 由 可得两条直线相互平行， 所以|MN 最小值为平行线之间的距离，6x-8y+5=0 可化为 所以， .故选：A 课 堂 巩 固 课 堂 巩 固 4.已知直线L1:6x+my+3=0 与 l₂ :3x+(m-4)y-1=0, 若l 与l₂ 互相平行，则它们之 间的距离是( D A B.1 课 堂 巩 固 解析：若l 与l₂ 互相平行，则需满足 解得m=8, 故直线l:6x+8y+3=0 与l₂:6x+8y-2=0, 故两直线间距离为 故选：C 课 堂 巩 固 5.两条平行直线2x-y+3=0 和ax-y+5=0 间的距离为d, 则 a,d 分别为( B D.a=-2, 课 堂 巩 固 解析：因 直线2x-y+3=0 和ax-y+5=0 平行， 所以2×(-1)-(-1)×a=0, 解得a=2, 所以两直线分别为2x-y+3=0 和 2x-y+5=0, 所以 .故选：B 6.直线l:3x-4y+1=0 与l₂ :6x-8y+7=0 的距离为_ 解 析：因为1:3x-4y+1=0⇔6x-8y+2=0,l₂:6x-8y+7=0, 所以l,l₂ 之间的距离为 故答案为： 0.5 课 堂 巩 固 两条平行直线间的距离 课 堂 总 结 $