2.3.4 两平行直线间的距离（导学案） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“两平行直线间的距离”，引导学生理解几何定义与“距离处处相等”性质，掌握公式推导及应用。通过回顾点到直线距离公式，结合牛郎织女问题等探究活动，将平行线距离转化为点到直线距离，构建知识支架。 导学案以转化化归思想为主线，通过自主探究推导公式，培养学生数学思维。习题涵盖选择、多选及参数求解，结合实际问题，提升应用意识，助力学生用数学语言表达和解决问题，同时设置总结反思环节，强化知识梳理与核心素养发展。

2.3.4 两平行直线间的距离 （导学案） 1.理解两平行直线间距离的几何定义 —— 夹在平行线间公垂线段的长度， 2.掌握 “平行线距离处处相等” 的性质； 3.能借助转化化归思想，利用上一节点到直线距离公式完整推导两平行直线距离公式。 教学重点 1. 两平行直线距离公式的推导逻辑（转化思想）； 2. 公式使用前提：统一系数，规范标准化直线方程； 3. 熟练运用公式计算距离、求解参数。 教学难点 1. 理解“平行线距离等价于线上任意一点到另一直线距离”的几何合理性； 2. 直线系数不匹配时，等式同乘变形统一的运算规范； 3. 距离最值模型识别（两平行线上动点最小距离、动平行线最大距离）。 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　点到直线的距离 (1)定义 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段的长度． (2)点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． [说明]　直线方程必须是一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式． 知识点二　两条平行直线间的距离 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长，也就是一条平行直线上任一点到另一直线的距离． (2)两条平行直线间的距离公式 ①P(x0，y0)为l1：Ax＋By＋C1＝0上一点，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，则l1与l2间的距离d＝． ②两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝． [说明]　两条直线的方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等． 教师：前面我们已经得到了两点间的距离公式、点到直线的距离公式．关于平面上的距离问题，两条平行直线间的距离也是值得研究的． 定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 探究：直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)、B(0,1)、C(－1,2)三点，直线l2：x＋y－2＝0与直线l1平行，那么点A、B、C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？ 学生：根据点到直线的距离公式求得三个距离，并总结其中的规律 预设：A、B、C到直线l2距离分别为，；规律：距离均相等，平行线之间的距离处处相等． 探究：已知两条平行直线的方程，如何求间的距离？ 学生：同桌之间进行交流讨论，并结合以上探究的答案，进行总结分析出方法。 预设：根据两条平行直线间距离的含义，在直线上取任一点P，,点P到直线的距离就是直线与直线间的距离，这样求两条平行线间的距离就转化为求点到直线的距离。 教师：前面我们已经得到了两点间的距离公式、点到直线的距离公式．关于平面上的距离问题，两条平行直线间的距离也是值得研究的． 解决:牛郎所在一侧的直线方程为3x＋y－4＝0，织女所在一侧的直线方程为3x＋y＋5＝0. 牛郎与织女之间的最小距离是多少？ 学生：根据以上分析思路和方法，尝试解决牛郎织女的问题 预设：在牛郎所在一侧的直线上取点P(0,4),则点P到织女所在一侧的直线的距离为： 牛郎与织女之间的最小距离是：. 师生：根据以上例题归纳总结：“转化法”求求两平行直线的距离 思路：将“两平行直线间的距离”转化为“点到直线的距离” 第一步：取点：在两条平行直线中的一条上任取一点，比如：与坐标轴的交点等； 第二步：求点到直线距离：利用点到直线的距离公式求取的点到另一条平行直线上的距离，即可求解. 探究：求证：两条平行直线与间的距离为 ． 师生：共同分析：两条平行直线间的距离即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离． 学生：思考并与同桌交流，结合分析，共同得出证明过程，做好分享准备. 预设：证明： 在直线上任取一点，点到直线的距离就是这两条平行直线间的距离，即． 因为点在直线上，所以，即，因此 ． 设计意图：通过两平行线间距离公式的推导，体会数学中的转化思想，发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。 教师：板书公式： 两条平行直线与的距离公式： 师生：总结该公式得特点及注意事项： （1）应用公式前，必须把直线方程要化成一般式； （2）两直线方程中要求x，y的系数要对应相同，若不同要先化为相同，再应用公式求距离. 例7已知两条平行直线，，求与间的距离． 师生：共同分析：在上选取一点，如与坐标轴的交点，用点到直线的距离公式求这点到的距离，即与间的距离． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备， 预设：先求与轴的交点A的坐标．容易知道，点的坐标为． 点到直线的距离， 所以与间的距离为． 跟踪练习：求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离． 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：l1等价变形为 l1： 又l2： 由两平行直线间的距离公式可得： 所以，平行直线l1与l2的距离为：. 师生：根据以上例题归纳总结：“公式法”求求两平行直线的距离 第一步：准备直线一般式方程：在将两平行直线化为一般式，并确保两平行直线的A、B对应相等. 第二步：将A、B、C1、C2四个值代入两平行直线的距离公式即可求解. 1.（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求平行线间的距离 【详解】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 2.（25-26高二上·江苏镇江·期末）两条平行直线与之间的距离（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求平行线间的距离 【分析】利用两条平行直线间的距离求解. 【详解】变形为， 与之间的距离. 故选：D. 3.（25-26高二上·江苏镇江·期末）两条平行直线与之间的距离（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求平行线间的距离 【分析】利用两条平行直线间的距离求解. 【详解】变形为， 与之间的距离. 故选：D. 4.（江苏省连云港市东海县2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）(多选题）下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】由距离求已知直线的平行线 【分析】设与直线平行的直线方程为，，然后由平行直线间的距离公式可得答案. 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为，， 由两平行直线间的距离公式可得，解得或， 故所求直线方程为或． 故选：AC 5.（25-26高二上·西藏拉萨·期末）(多选题）已知直线与直线之间的距离为，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】求平行线间的距离 【分析】根据平行线间距离公式列方程，解方程即可. 【详解】由题意可知，所以与间的距离， 解得或. 故选：BC 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.4 两平行直线间的距离 （导学案） 1.理解两平行直线间距离的几何定义 —— 夹在平行线间公垂线段的长度， 2.掌握 “平行线距离处处相等” 的性质； 3.能借助转化化归思想，利用上一节点到直线距离公式完整推导两平行直线距离公式。 教学重点 1. 两平行直线距离公式的推导逻辑（转化思想）； 2. 公式使用前提：统一系数，规范标准化直线方程； 3. 熟练运用公式计算距离、求解参数。 教学难点 1. 理解“平行线距离等价于线上任意一点到另一直线距离”的几何合理性； 2. 直线系数不匹配时，等式同乘变形统一的运算规范； 3. 距离最值模型识别（两平行线上动点最小距离、动平行线最大距离）。 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　点到直线的距离 (1)定义 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的 长度． (2)点到直线的距离公式 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ ． [说明]　直线方程必须是一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式． 知识点二　两条平行直线间的距离 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的 的长，也就是一条平行直线上任一点到另一直线的 ． (2)两条平行直线间的距离公式 ①P(x0，y0)为l1：Ax＋By＋C1＝0上一点，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)，则l1与l2间的距离d＝ ． ②两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝ ． [说明]　两条直线的方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等． 教师：前面我们已经得到了两点间的距离公式、点到直线的距离公式．关于平面上的距离问题，两条平行直线间的距离也是值得研究的． 定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 探究：直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)、B(0,1)、C(－1,2)三点，直线l2：x＋y－2＝0与直线l1平行，那么点A、B、C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？ 学生：根据点到直线的距离公式求得三个距离，并总结其中的规律 预设：A、B、C到直线l2距离分别为，；规律：距离均相等，平行线之间的距离处处相等． 探究：已知两条平行直线的方程，如何求间的距离？ 学生：同桌之间进行交流讨论，并结合以上探究的答案，进行总结分析出方法。 预设：根据两条平行直线间距离的含义，在直线上取任一点P，,点P到直线的距离就是直线与直线间的距离，这样求两条平行线间的距离就转化为求点到直线的距离。 教师：前面我们已经得到了两点间的距离公式、点到直线的距离公式．关于平面上的距离问题，两条平行直线间的距离也是值得研究的． 解决:牛郎所在一侧的直线方程为3x＋y－4＝0，织女所在一侧的直线方程为3x＋y＋5＝0. 牛郎与织女之间的最小距离是多少？ 学生：根据以上分析思路和方法，尝试解决牛郎织女的问题 预设：在牛郎所在一侧的直线上取点P(0,4),则点P到织女所在一侧的直线的距离为： 牛郎与织女之间的最小距离是：. 师生：根据以上例题归纳总结：“转化法”求求两平行直线的距离 思路：将“两平行直线间的距离”转化为“点到直线的距离” 第一步：取点：在两条平行直线中的一条上任取一点，比如：与坐标轴的交点等； 第二步：求点到直线距离：利用点到直线的距离公式求取的点到另一条平行直线上的距离，即可求解. 探究：求证：两条平行直线与间的距离为 ． 师生：共同分析：两条平行直线间的距离即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离． 学生：思考并与同桌交流，结合分析，共同得出证明过程，做好分享准备. 预设：证明： 在直线上任取一点，点到直线的距离就是这两条平行直线间的距离，即． 因为点在直线上，所以，即，因此 ． 教师：板书公式： 两条平行直线与的距离公式： 师生：总结该公式得特点及注意事项： （1）应用公式前，必须把直线方程要化成一般式； （2）两直线方程中要求x，y的系数要对应相同，若不同要先化为相同，再应用公式求距离. 例7已知两条平行直线，，求与间的距离． 1.（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·江苏镇江·期末）两条平行直线与之间的距离（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高二上·江苏镇江·期末）两条平行直线与之间的距离（   ） A． B． C． D． 4.（江苏省连云港市东海县2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）(多选题）下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 5.（25-26高二上·西藏拉萨·期末）(多选题）已知直线与直线之间的距离为，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $