2.3.4 两平行直线间的距离（教学设计）数学人教A版2019选择性必修第一册

2.3.4 两平行直线间的距离 教学设计 1.教学内容 本节课是人教A版（2019）选择性必修第一册 第二章 直线和圆的方程 2.3.4 两平行直线间的距离，内容包括：本节主要学习两条平行直线间的距离，先明确其定义为两条平行直线的公垂线段的长度；接着推导距离公式：若两条平行直线为 l₁：，l₂：，则它们之间的距离为，推导中通过在一条直线上取点，将平行线间距离转化为点到直线的距离，体现转化思想；强调使用公式需先将两直线方程化为 x、y 系数相同的一般式；最后通过实例说明公式的应用，帮助理解和掌握计算方法。 2.内容解析 本节课是直线与圆方程章节的重要内容，承接点到直线距离知识，又为后续复杂图形距离计算奠定基础。内容以 “定义 — 公式 — 应用” 为主线：先明确公垂线段长度的定义，建立距离的几何直观；再通过转化思想，将平行线距离转化为点到直线距离，推导得出公式 ，体现数形结合与化归的数学思想；强调公式使用前提是两直线方程化为 x、y 系数相同的一般式，这是避免错误的关键；最后结合实例巩固应用，培养运算能力。教学难点在于理解转化的合理性及公式推导逻辑，需通过几何图形演示突破。其价值不仅在于掌握计算方法，更在于提升数学思维能力。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握两平行直线间距离公式，理解推导的转化思想，能熟练应用公式计算。 1.教学目标 （1）理解两条平行线间的距离公式的推导. （2）掌握量平行线的距离公式,能应用两平行线距离公式解决两平行直线的有关距离问题. （3）通过两平行线距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力. 2.目标解析 （1）该目标聚焦公式推导的理解，要求学生明晰将平行线距离转化为点到直线距离的逻辑，把握推导中等价转化的思路，理解每一步推导的合理性，是掌握公式和运用思想的基础。​ （2）此目标强调公式的掌握与应用，需学生熟记公式形式，明确使用前需统一 x、y 系数的前提，能将具体问题转化为公式适用形式，解决实际距离计算问题。​ （3）该目标侧重能力培养，通过推导过程让学生体会等价转化（化未知为已知）、数形结合（几何意义与代数运算结合）的运用，提升用数学思想解决问题的意识与能力。 学生已学直线方程的一般式、点到直线的距离公式，对直线位置关系有初步认识，多数能熟练计算点到直线的距离，但对转化思想的应用不够灵活。​ 预估困难： （1）难以理解将平行线间距离转化为点到直线距离的合理性； （2）易忽略公式使用前提（直线方程系数统一）； （3）对公垂线段几何意义理解模糊。​ 解决方法： （1）用几何画板演示公垂线段，通过对比点到直线距离与平行线距离的关系突破转化难点； （2）设计错题辨析，强调方程标准化步骤； （3）分组推导公式，强化逻辑理解。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解平行线距离到点到直线距离的转化逻辑，掌握公式适用条件及公垂线段几何意义。 情境引入 七夕之夜，银河如一条璀璨的光带横亘在星空，牛郎与织女分别站在银河的两侧隔河相望。传说中，银河在坐标平面上可以看作是由两条平行直线构成的，牛郎所在一侧的直线方程为3x＋y－4＝0，织女所在一侧的直线方程为3x＋y＋5＝0. 牛郎思念织女，他想知道自己和织女之间的最小距离是多少?​ 同学们，帮忙设计一下牛郎与织女之间的最小距离到底该怎么求呢 教师：要完成这个任务，需要认真学习今天的内容 —— 两平行直线间的距离 设计意图：以七夕传说为背景，激发学习兴趣，将实际距离问题转化为平行线距离计算，自然引出课题。 教学建议：引导学生观察直线方程特点，回忆点到直线距离公式，思考如何转化求解，鼓励小组讨论。 教师：前面我们已经得到了两点间的距离公式、点到直线的距离公式．关于平面上的距离问题，两条平行直线间的距离也是值得研究的． 定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 探究：直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)、B(0,1)、C(－1,2)三点，直线l2：x＋y－2＝0与直线l1平行，那么点A、B、C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？ 学生：根据点到直线的距离公式求得三个距离，并总结其中的规律 预设：A、B、C到直线l2距离分别为，；规律：距离均相等，平行线之间的距离处处相等． 探究：已知两条平行直线的方程，如何求间的距离？ 学生：同桌之间进行交流讨论，并结合以上探究的答案，进行总结分析出方法。 预设：根据两条平行直线间距离的含义，在直线上取任一点P，,点P到直线的距离就是直线与直线间的距离，这样求两条平行线间的距离就转化为求点到直线的距离。 教师：前面我们已经得到了两点间的距离公式、点到直线的距离公式．关于平面上的距离问题，两条平行直线间的距离也是值得研究的． 解决:牛郎所在一侧的直线方程为3x＋y－4＝0，织女所在一侧的直线方程为3x＋y＋5＝0. 牛郎与织女之间的最小距离是多少？ 学生：根据以上分析思路和方法，尝试解决牛郎织女的问题 预设：在牛郎所在一侧的直线上取点P(0,4),则点P到织女所在一侧的直线的距离为： 牛郎与织女之间的最小距离是：. 师生：根据以上例题归纳总结：“转化法”求求两平行直线的距离 思路：将“两平行直线间的距离”转化为“点到直线的距离” 第一步：取点：在两条平行直线中的一条上任取一点，比如：与坐标轴的交点等； 第二步：求点到直线距离：利用点到直线的距离公式求取的点到另一条平行直线上的距离，即可求解. 探究：求证：两条平行直线与间的距离为 ． 师生：共同分析：两条平行直线间的距离即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离． 学生：思考并与同桌交流，结合分析，共同得出证明过程，做好分享准备. 预设：证明： 在直线上任取一点，点到直线的距离就是这两条平行直线间的距离，即． 因为点在直线上，所以，即，因此 ． 设计意图：通过两平行线间距离公式的推导，体会数学中的转化思想，发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。 教师：板书公式： 两条平行直线与的距离公式： 师生：总结该公式得特点及注意事项： （1）应用公式前，必须把直线方程要化成一般式； （2）两直线方程中要求x，y的系数要对应相同，若不同要先化为相同，再应用公式求距离. 牛刀小试 练1：两平行直线和之间的距离为（     ） A． B．2 C． D．3 解析：平行直线和之间的距离. 故选：A 练2：两条直线与之间的距离是（     ） A． B． C． D． 解析：由两平行线之间的距离公式可得. 故选：C 练3：平行线与之间的距离为（    ） A． B． C． D．5 解析：由已知所求距离为. 故选：A． 练4：（多选）下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（     ） A． B． C． D． 解析：对于A，，符合题意，故A正确；对于B，，不符合题意，故B错误． 对于C，，不符合题意，故C错误；对于D，，符合题意，故D正确． 故选：AD 例7已知两条平行直线，，求与间的距离． 师生：共同分析：在上选取一点，如与坐标轴的交点，用点到直线的距离公式求这点到的距离，即与间的距离． 学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备， 预设：先求与轴的交点A的坐标．容易知道，点的坐标为． 点到直线的距离， 所以与间的距离为． 跟踪练习：求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离． 师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案； 预设：l1等价变形为 l1： 又l2： 由两平行直线间的距离公式可得： 所以，平行直线l1与l2的距离为：. 师生：根据以上例题归纳总结：“公式法”求求两平行直线的距离 第一步：准备直线一般式方程：在将两平行直线化为一般式，并确保两平行直线的A、B对应相等. 第二步：将A、B、C1、C2四个值代入两平行直线的距离公式即可求解. 题型一：求两平行直线的距离 例题：求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离． 预设：l1等价变形为 l1： 又l2： 由两平行直线间的距离公式可得： 所以，平行直线l1与l2的距离为：. 方法总结：“公式法”求求两平行直线的距离 第一步：准备直线一般式方程：在将两平行直线化为一般式，并确保两平行直线的A、B对应相等. 第二步：将A、B、C1、C2四个值代入两平行直线的距离公式即可求解. 四个值代入两平行直线的距离公式即可求解. 题型二：求含参的两平行直线的距离 例题、已知两条直线与相互平行，则这两条直线间的距离为（    ） A．2 B．4 C． D．不确定 预设：由两直线平行可得，所以 与， 故两直线间的距离为 ，故选：A 方法总结：先利用平行关系求出参数值，然后再利用“公式法”求两平行直线间的距离. 题型三：利用两平行直线间的距离求参数值（范围） 例题、（1）若直线与之间的距离为，则a的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．8或 预设：将直线化为， 则直线与直线之间的距离， 根据题意可得：，即，解得或， 所以a的值为或. 故选：C （2）若直线与直线之间的距离不大于，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 预设：直线化为，则两直线之间的距离，即，解得.所以实数的取值范围为.故选：B. 方法总结：利用两平行直线的距离公式建立关于参数的方程（不等式），解方程（不等式）即可得解. 题型四：两平行直线间的距离的最值问题 例题、（1）已知，且满足，则 的最小值为 A． B． C． D． 预设：为直线上的动点，为直线上的动点， 可理解为两动点间距离的最小值， 显然最小值即两平行线间的距离：. 故选C 方法总结：两平行直线上两动点间的距离存在最小值：最小值为两平行之间间的距离 （2）已知两条直线，，且，则两平行线距离最大为_________. 预设：，由，解得，故过定点． ，由，解得，故过定点， 故，距离的最大值为． 方法总结：两过定点的直线平行，则两平行直线间距离存在最大值：即为两定点之间的距离. 1．（23-24高二上·全国·课后作业）两条平行直线之间的距离为（    ） A． B． C． D．1 解析：由两平行线间的距离公式可得：．故选：C 2．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）两平行直线，的距离等于（    ） A． B． C． D． 解析：即为，则.故选：B. 3．（23-24高二上·全国·课后作业）直线与之间的距离为（    ） A． B． C． D．24 解析：两直线变形为与，故选：B 4．（23-24高二上·广东·期末）下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（    ） A． B． C． D． 解析：设所求直线的方程为，由题意可得，解得或， 故所求直线的方程为或.故选：BC 5．（24-25高二上·江苏扬州·期中）若直线与直线平行，则它们之间的距离为（    ） A． B． C． D． 解析：依题意可得，解得，则直线方程为， 而方程，即，所以两条平行线间的距离为.故选：B. 6．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知直线与直线间的距离为，则（    ） A．或 B． C．或11 D．6或 解析：直线可化为，所以，解得或．故选：A. 7．（2025·上海奉贤·二模）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ． 解析：直线和直线互相平行，故点与点之间距离的最小值即两条直线间的距离，且两条直线间的距离：. 故答案为： 1．两条平行直线之间的距离 （1）两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上 到另一条直线的 ． （2）两条平行直线：与：之间的距离： ． 【答案】 作业1：完成教材：第79页 练习1,2,3. 作业2：配套辅导资料对应的《两平行直线间的距离》。  2.3.4 两平行直线间的距离 1. 转化思路：转化为点到直线的距离 2. 两平行直线间距离公式： 3. 例题区：（学生板演区域） 本节课通过七夕情境引入，有效激发了学生兴趣，帮助快速聚焦平行线距离问题。公式推导环节，借助转化思想衔接点到直线距离，多数学生能理解逻辑，但部分学生对 “公垂线段” 几何意义仍模糊。应用中，不少学生因未统一直线方程系数出错，反映出对公式适用条件重视不足。后续需加强几何直观演示，增加错题对比练习，强化细节把控，提升知识运用的准确性。. 学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $