2.3.2 两点间的距离公式（导学案） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“两点间的距离公式”，引导学生掌握公式推导、坐标法证明几何问题及距离型最值求解。通过几何量基本性引入，结合向量法推导公式，衔接直线交点与方程组关系，形成从推导到应用的学习支架。 特色在于注重数学思维与几何直观，通过多方法推导公式培养推理能力，坐标法证明几何问题强化空间观念，习题分层设计并结合对称法求最值，帮助学生用数学语言表达几何关系，支持自主学习与教师评估。

2.3.2 两点间的距离公式（导学案） （1）掌握平面上两点间的距离公式。 （2）会运用坐标法证明简单的平面几何问题。 （3）能解决简单的"距离型"最值问题。 教学重点 (1) 两点间距离公式两种推导思路，熟记标准公式； (2) 直接代入公式计算两点距离，利用距离列方程求解参数； (3) 坐标法证明平面几何命题标准化四步骤。 教学难点 (1) 向量坐标与两点坐标关联推导公式的逻辑衔接； (2) 合理建立平面直角坐标系简化几何证明计算； (3) 识别根式代数式的几何距离意义，利用对称法求解距离和、差最值。 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系 (1)两条直线的交点坐标 几何元素及关系 代数表示 点A A(a，b) 直线l l：Ax＋By＋C＝0 点A在直线l上 Aa＋Bb＋C＝0 直线l1与l2的交点是A (2)两条直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解　 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交　 重合 平行　 [拓展]　两条直线相交，系数满足的条件 (1)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或≠(A2，B2≠0)． (2)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2. 知识点二　两点间的距离公式 已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝．特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝. [点拨]　(1)两点间的距离公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝. (2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|； 当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|. 引言：我们知道，在各种几何量中，直线段的长度是最基本的. 所以，在解析几何中，最基本的公式自然是：用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式. 探究：如图2.3-2，已知平面内两点，，如何求，间的距离? 教师：提示：我们可以用平面向量的知识来解决； 学生：从平面向量的知识入手，考虑求法： 如图，由点，，得． 于是，. 练习：若两个点中，其中一个为原点，另一个为，则 学生：应用自己推导出来的两点间的距离公式， 代入计算，得到两点间的距离的特殊情况： 平面坐标系上任意一点到原点的距离公式：. 设计意图：引导学生体会由一般到特殊的数学思想. 思考：除了向量法，还能借助其他知识，推导两点间的距离公式吗？ 教师：提示：可以考虑构造直角三角形利用勾股定理求解． 学生：回顾初中勾股定理的知识，进行做图求解： 如图，在中，易知， 所以|P1P2|＝. 即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝. 思考：“当直线P1P2平行于x轴时”与“当直线P1P2平行于y轴时”，两点间距离公式可以化简为怎样的形式？ 教师：引导学生分“当时”和“当时”两种情况讨论 学生：分“当时”和“当时”两种情况分别应用两点间距离公式并化简.得出结论. 师生：问题4和问题5的探究分析，辨析两点间的距离公式，并归纳总结. 思考：有些代数式子表示的几何意义就是两点间的具体，那么你能识别吗？ 比如式子的几何意义是什么？ 学生：观察式子的机构，并与两点间的距离公式作对比，得出结论. 例3 已知点，，在轴上求一点，使，并求的值． 教师：引导学生认真审题，并学会用方程的思想去处理问题. 学生：认真审题，并自主尝试解答本题，并收集自己的问题，带着问题去听别的同学的分享. 预设： 设所求点为，则 ， ． 由，得 解得． 所以，所求点为，且 ． 跟踪练习：已知点，，在轴上求一点，使，并求的值． 学生：回顾例题3的解题过程及方法，进行知识的迁移解决该跟踪练习题． 教师：巡视学生的做题情况，并进行个别辅导，寻找规范答题示范和经典错误答题示范，并进行展示和分析． 预设：解：设所求点为，则： ， ， 由，得，解得， 当时，所求点为，且； 当时，所求点为，且. 师生归纳总结：两点间的距离公式求两点间距离的方法： 第1步：确定两点的坐标，若某点坐标未知，就根据题意设点的坐标 第2步：代入两点间距离公式： 两种特殊情况：若坐标的纵坐标相等，则 若坐标的横坐标相等，则 第3步：计算化简即可求得距离. 例4用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍． 师生：共同审题及分析：首先要建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系． 学生：根据分析的解题方法尝试解题，同桌可交流讨论. 预设：证明：如图2.3-4，四边形是平行四边形．以顶点为原点，边所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 思考：如图，若设点的坐标为，点的坐标为，如何利用平行四边形的性质得到点的坐标？ 学生：思考并尝试，交流讨论，为后面解题斜点的坐标做准备. 如何由平行四边形的性质，得到点的坐标为? 在中，点的坐标是，设点的坐标为，点的坐标为，由平行四边形的性质，得点的坐标为． 由两点间的距离公式，得，，，． 所以，． 所以， 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍． 师生归纳总结：“坐标法”解决平面几何问题的四个基本步骤： 第一步：一建：建立适当的平面直角坐标系； 第二步：二表：用坐标表示点、距离等相关量； 第三步：三算：进行相关代数运算； 第四步：四翻译：把代数运算结果“翻译”成几何结论. 跟踪练习：换一个建平面直角坐标系的方法，再证明一次例题4 学生：思考如何重新建立坐标系，再重新求对应点的坐标，再证明. 教师：巡视学生做题情况，个别辅导，挑选优秀证明展示. 预设：证明：以对角线的交点为原点，建立如图所示坐标系，在中，设由平行四边形的性质，得. 由两点间的距离公式，可得 所以 所以 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍． 思考：体会例题4中两种不同建系方法中证明过程，说说适当建立坐标系，对证明的重要性? 预设：不同的建系，相关量的表示不同，证明过程的计算量不同 学生：回顾两种建系后的证明过程，分享自己的体会. 思考：如何建立适当的平面直角坐标系？ 学生：根据之前两次建系的体会思考和总结，交流讨论，得出结论. 师生：总结建系的三大原则： 原则一：让尽可能多的点落在坐标轴上； 原则二：条件中有两条线垂直，一般的这两条线作为坐标轴 原则三：轴对称图形，对称轴一般作为坐标轴 课后练习：如右图所示，建立坐标系，该建系方法是否遵循了以上三个建系原则？ 课后同学们尝试再证明一次, 体会证明过程，并比较. 回顾：在“平面向量及其应用”的学习中，我们用“向量法”证明过这个命题． 思考：比较“坐标法”和“向量法”，你有什么体会? 学生：比较，思考，讨论交流. 1.（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】求平面两点间的距离 【分析】应用两点的距离公式求距离即可. 【详解】由题意. 故选：C 2.（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 【答案】C 【知识点】求平面两点间的距离 【分析】利用两点间的距离公式求解即可. 【详解】因为点到点的距离为5，所以， 所以，所以，解得或. 故选：C. 3.（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的面积是（    ） A．5 B．10 C． D．20 【答案】B 【知识点】求平面两点间的距离、已知两点求斜率 【分析】由的坐标易证，分别求出，再代入的面积公式即可. 【详解】因为， 所以直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以，所以是直角三角形. 因为， 所以的面积. 故选：B. 4.（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的面积是（    ） A．5 B．10 C． D．20 【答案】B 【知识点】求平面两点间的距离、已知两点求斜率 【分析】由的坐标易证，分别求出，再代入的面积公式即可. 【详解】因为， 所以直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以，所以是直角三角形. 因为， 所以的面积. 故选：B. 5.（25-26高二下·江苏南京·期中）在空间直角坐标系中，轴上与点和点距离相等的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求空间中两点间的距离 【分析】利用空间两点间距离公式可构造方程，从而得到所求点坐标. 【详解】设所求点为. 由得， 解得，因此所求点为. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.2 两点间的距离公式（导学案） （1）掌握平面上两点间的距离公式。 （2）会运用坐标法证明简单的平面几何问题。 （3）能解决简单的"距离型"最值问题。 教学重点 (1) 两点间距离公式两种推导思路，熟记标准公式； (2) 直接代入公式计算两点距离，利用距离列方程求解参数； (3) 坐标法证明平面几何命题标准化四步骤。 教学难点 (1) 向量坐标与两点坐标关联推导公式的逻辑衔接； (2) 合理建立平面直角坐标系简化几何证明计算； (3) 识别根式代数式的几何距离意义，利用对称法求解距离和、差最值。 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系 (1)两条直线的交点坐标 几何元素及关系 代数表示 点A A(a，b) 直线l l： 点A在直线l上 直线l1与l2的交点是A (2)两条直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 　 直线l1与l2的公共点的个数 一个 零个 直线l1与l2的位置关系 　 重合 　 [拓展]　两条直线相交，系数满足的条件 (1)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或≠(A2，B2≠0)． (2)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2. 知识点二　两点间的距离公式 已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ ．特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝ . [点拨]　(1)两点间的距离公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝. (2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|； 当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|. 引言：我们知道，在各种几何量中，直线段的长度是最基本的. 所以，在解析几何中，最基本的公式自然是：用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式. 探究：如图2.3-2，已知平面内两点，，如何求，间的距离? 教师：提示：我们可以用平面向量的知识来解决； 学生：从平面向量的知识入手，考虑求法： 如图，由点，，得． 于是，. 练习：若两个点中，其中一个为原点，另一个为，则 学生：应用自己推导出来的两点间的距离公式， 代入计算，得到两点间的距离的特殊情况： 平面坐标系上任意一点到原点的距离公式：. 思考：除了向量法，还能借助其他知识，推导两点间的距离公式吗？ 思考：“当直线P1P2平行于x轴时”与“当直线P1P2平行于y轴时”，两点间距离公式可以化简为怎样的形式？ 思考：有些代数式子表示的几何意义就是两点间的具体，那么你能识别吗？ 比如式子的几何意义是什么？ 学生：观察式子的机构，并与两点间的距离公式作对比，得出结论. 例3 已知点，，在轴上求一点，使，并求的值． 例4用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍． 思考：体会例题4中两种不同建系方法中证明过程，说说适当建立坐标系，对证明的重要性? 预设：不同的建系，相关量的表示不同，证明过程的计算量不同 学生：回顾两种建系后的证明过程，分享自己的体会. 思考：如何建立适当的平面直角坐标系？ 学生：根据之前两次建系的体会思考和总结，交流讨论，得出结论. 师生：总结建系的三大原则： 原则一：让尽可能多的点落在坐标轴上； 原则二：条件中有两条线垂直，一般的这两条线作为坐标轴 原则三：轴对称图形，对称轴一般作为坐标轴 课后练习：如右图所示，建立坐标系，该建系方法是否遵循了以上三个建系原则？ 课后同学们尝试再证明一次, 体会证明过程，并比较. 回顾：在“平面向量及其应用”的学习中，我们用“向量法”证明过这个命题． 思考：比较“坐标法”和“向量法”，你有什么体会? 学生：比较，思考，讨论交流. 1.（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2.（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 3.（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的面积是（    ） A．5 B．10 C． D．20 4.（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的面积是（    ） A．5 B．10 C． D．20 5.（25-26高二下·江苏南京·期中）在空间直角坐标系中，轴上与点和点距离相等的点是（    ） A． B． C． D． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $