2.3.2 两点间的距离公式（分层作业练知识）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以“两点间的距离公式”为核心，通过A、B、C组及拓展的分层设计，实现从基础应用到综合创新的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|求距离、判断三角形形状、求点坐标|基础题型为主，直接应用公式，如选择填空求中线长、三角形面积，培养运算能力| |B组能力进阶|距离最值、动态点问题|综合应用，结合直线方程、几何模型，如将军饮马求最小值，发展推理意识| |C组思维拔高|新定义（曼哈顿/切比雪夫距离）、探究性问题|创新题型，需逻辑推理与数学建模，如证明折线距离性质，提升创新意识| |拓展链接高考|高考真题|对接高考，体现应用意识，如距离坐标新定义问题，强化数学语言表达|

分层作业 2.3.2 两点间的距离公式 目 录 A组 巩固过关 知识点01 求平面两点间的距离 知识点02 由顶点坐标判断三角形的形状 知识点03 由距离求点的坐标 知识点04 由两点间的距离公式求函数的最值（难点） 知识点05 与距离有关的新定义（难点） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 求平面两点间的距离知识点01 知识点速记： 两点间的距离公式 一般地，若两点，的坐标分别为，，则有两点，间的距离公式，． 特别地，原点与任一点的距离． 题型巩固练： 1．（25-26高二上·北京·期中）已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设边的中点，则. 所以，所以. 所以过点的中线长为. 2．（25-26高二上·河北·阶段检测）从点射出的光线经轴反射后到达点，则光线从到所经过的路程为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【详解】由光的反射原理可知，可作点关于轴的对称点，连接， 则，光线从到所经过的路程为. 故选：D. 3．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知，，，是的中点，则________ ． 【答案】5 【详解】因为是的中点，所以，即， 所以的长为． 故答案为：5． 4．（25-26高二上·湖南湘潭·期中）已知的三个顶点，，，则的面积为_____. 【答案】3 【详解】由题意可知：，且直线， 点到直线的距离， 所以的面积为. 由顶点坐标判断三角形的形状知识点02 知识点速记： 由顶点坐标判断三角形的形状解题步骤： 1.计算三边长度：利用两点间距离公式，分别求出三角形三边长度； 2.判定特殊三角形：根据三边长判定三角形的形状，若有两边相等，则为等腰三角形；若三边相等，则为等边三角形；若符合勾股定理，则为直角三角形；若最长边的平方大于其余两边平方之和（），则为钝角三角形；若最长边的平方小于其余两边平方之和（），则为锐角三角形。 题型巩固练： 5．（25-26高二上·北京昌平·期中）已知的三个顶点，，，则的形状为______． 【答案】等腰直角 【详解】方法一：如图， 因为，，，所以，且， 所以是等腰直角三角形． 解法二：因为，，所以， 所以． 又，， 所以，所以是等腰直角三角形． 解法三：，， 则，且， 所以且，所以是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角 6．已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 【答案】(1)等腰直角三角形；(2)26 【详解】（1）因为，，， 所以，， ， 所以， 所以是等腰直角三角形. （2）由（1）得. 7．（23-24高二上·广西玉林·阶段检测）已知三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1)是以为直角的等腰直角三角形；(2) 【详解】（1）因为，，， 所以的斜率，， 的斜率，， 则， 所以且，所以是以为直角的等腰直角三角形； （2）易求中点坐标，所以直线的斜率， 边上的中线为，化为一般式为． 由距离求点的坐标或参数知识点03 知识点速记： 由两点间距离求点的坐标或参数的解题方法： 1.待定系数法：设出所求点的坐标或参数值，代入两点间距离公式，将几何条件转化为代数方程； 2.构建方程求解：根据已知距离，列出方程，通常两边平方去掉根号，化简为一元二次方程或其他形式求解参数； 3.结合图形分析：利用点、线的位置关系（如点在直线上、点在曲线上）补充约束条件，减少未知数个数，简化计算过程。 题型巩固练： 8．（多选）已知，且，则a的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】因为且，所以， 解得 故选：CD 9．（多选）（25-26高二上·河南·阶段检测）已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】设，则，整理得， 解得或.当时，；当时，， 所以点的坐标是或， 故选：BD. 10．（25-26高二上·福建福州·期中）已知、、三点，且，则的值为__________. 【答案】 【详解】因为、、三点，且， 则 则. 11．（24-25高二上·江西上饶·阶段检测）已知点，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为______． 【答案】或 【详解】点在轴上，设， 点与点的距离等于13， ，解得或， 点的坐标为或， 由两点间的距离公式求最值知识点04 知识点速记： 将军饮马模型（求来那个距离之和的最小值）： 当问题形式为时，可看作轴上的动点到两定点和的距离之和。 解法：作其中一个定点（如）关于轴的对称点，连接，线段的长度即为最小值。 原理：两点之间线段最短。 题型巩固练： 12．已知、，则函数的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】函数的几何意义是点和点与的距离的和． 由不等式，可得当，，三点共线，且点在线段上时，等号成立． 此时取得最小值，最小值为． 故选：A． 13．（25-26高二上·内蒙古通辽·阶段检测）已知，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【详解】设，则N关于轴对称的点为， 所以的最小值为； 故选：B. 14．（25-26高二上·广西钦州·开学考试）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】由所求的式子的形式想到距离之差， ， 可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差， 则（当且仅当三点共线时取等号）， 所以的最大值为． 故选：B. 15．（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）函数的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】由， 设，，. 得的几何意义为的值. 点关于轴对称点， 所以. 故选：B 16．（25-26高二上·福建厦门·期中）某同学在研究函数的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则的最小值为___________；类比地，已知函数，则的最小值为___________． 【答案】 ； 【详解】由，得是坐标平面内点与 点距离的和，则，当且仅当重合时取等号， 所以的最小值为；    由，得是坐标平面内点与 点距离的和，则，当且仅当为线段与轴的交点时取等号， 所以的最小值为.    与距离有关的新定义知识点05 知识点速记： “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。 题型巩固练： 17．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有很多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知定点，，点在直线上运动，当线段最短时，点，的切比雪夫距离为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【详解】过点作垂直于已知直线，垂足为，此时线段最短. 又直线的斜率为，则， 所以直线的方程为，即， 联立方程，解得，所以点的坐标是， 又，所以点的切比雪夫距离， 故选：C. 18．（25-26高二上·安徽亳州·期中）设直角坐标平面中任意两点，记．已知点，点在直线上，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设，， ， 当时，取等号， 当时，， 当时，，所以． 所以的最小值是3. 故选：C 19．（25-26高三上·山东青岛·期中）设，为平面上两点，定义为，的“直角距离”.若，则线段长度的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】根据题意，直角距离， 令，则，， 线段长度， 由，得，代入得： ， 当时，取最小值为，此时，即，满足条件. 故选：A 20．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）．若点，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，即， 可知表示正方形，如图，其中，即点在正方形的边上运动， 因为，由图可知： 当取到最小值，即最大， 点有如下两种可能： ①点为点，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取， 则； 因为，所以的最大值为.    故选：C. 1．（25-26高三上·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】已知点和点，根据两点间距离公式可得： ， 故当时，. 故选：A 2．（25-26高二上·江西·期中）一条光线从点出发，与x轴相交于点P，经过x轴反射后，反射光线经过点，则（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【详解】由题意得关于x轴的对称点为， 所以. 故选：D. 3．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知三条直线，，，设，，，则是（   ） A．以为直角顶点的等腰直角三角形 B．以为直角顶点的非等腰直角三角形 C．以为直角顶点的等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【详解】由题意得， 所以， 所以，即， 联立，解得，即， 联立，解得，即， 联立，解得，即， 则， 所以， 所以是以为直角顶点的等腰直角三角形. 故选：A． 4．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的面积是（    ） A．5 B．10 C． D．20 【答案】B 【详解】因为， 所以直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以，所以是直角三角形. 因为， 所以的面积. 故选：B. 5．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线方程可化为：， 令得，所以直线恒过定点， 因为，所以， 又，所以直线与线段有交点，如图所示， 由，则，， 要使直线与线段有交点，则直线的斜率需满足， 则直线的倾斜角范围为. 故选：B 6．（25-26高二上·四川自贡·期末）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 【详解】因为，所以的几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，，作点关于轴的对称点，，当，，三点共线时，取得最小值， ，所以，故A错误，B正确， 因为，所以无解，故C错误，因为，所以有两解，故D错误. 故选：B. 7．（多选）（25-26高二上·甘肃陇南·期中）已知的三个顶点分别为，，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．的面积是10 D．边上的高所在直线方程为 【答案】ACD 【详解】对于A：因为，，，所以，， 则，所以，即，故A正确； 对于B：因为，， 又为直角三角形，所以，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，所以边上的高所在直线方程为，即，故D正确. 故选：ACD 8．（多选）（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知直线，，，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A． B．与过同一个定点 C．若，则与关于轴对称 D．若与交于点，则为定值 【答案】ACD 【详解】直线，，， 对于A：因为，所以，A选项正确； 对于B：直线过定点，过定点，与不过同一个定点，B选项错误； 对于C：若，，，则与关于轴对称，C选项正确； 对于D：若与交于点，直线过定点，过定点， 因为，则，为定值，D选项正确； 故选：ACD. 9．（25-26高二上·北京西城·期中）某工程队准备在一条笔直的公路上的某点处修建一个车站，使得两车站，（可视为点）到车站的距离相等.在地图上建立平面直角坐标系，并按照一定比例确定单位长度，得到：，，及公路上的两点，，则车站的坐标为_____________. 【答案】 【详解】公路上的两点，， 则，所以直线， 则直线上一点， 由可得：，解得， 故车站的坐标为. 10．（25-26高二上·江苏连云港·期中）函数的最大值为__________. 【答案】 【详解】表示点到点的距离与到点的距离之差. 如图，则当点为线段的延长线与轴的交点时，距离之差最大， 最大值为两点间的距离，即， 所以函数的最大值为. 故答案为：. 11．（25-26高二上·湖北十堰·期中）已知实数，，，满足，则的最小值为________. 【答案】 【详解】由题意得，化简得， 所以点分别在两平行直线上，且， 而表示这两点之间距离的平方， 所以其最小值为两平行直线间距离的平方，即为. 12．（2026·上海静安·二模）如图所示，在中，，，，为边的中点，在边上，且，交于点，则______． 【答案】 【详解】因为，，所以. 以点为原点，以为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，，，即. 因为为边的中点，所以. 因为，所以. 直线：，即. 直线：，即. 联立，解得，即. 故. 13．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知点和点． (1)求证：点在定直线上，并求直线的方程； (2)点在直线上，且为等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)证明见解析，直线的方程为；(2)或或. 【详解】（1）设点，由点，得，消去得， 所以点在定直线上，直线的方程为. （2）当为等腰的直角顶点时，，设， 直线的方程为，则，解得，于是； 由，解得或，则点或； 当为等腰的直角顶点时，同理得点，或； 以点为顶点的三角形是等腰直角三角形，且点为直角顶点， 因此为等腰的直角顶点时，点，或点，点， 所以点的坐标是或或. 14．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知直线l过点，O为坐标原点．若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点且面积为24． (1)求直线l方程； (2)若点P为线段AB上一动点，且交OA于点Q．在y轴上是否存在点M，使为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)；(2)存在，，， 【详解】（1）由截距式设直线的方程为， 所以，解得， 所以，即. （2）若存在为等腰直角三角形，不妨设，，则， 因为为等腰直角三角形， 当M为直角顶点时，设， 则，， 所以，即， 解得或（舍）， 所以，即点； 当Q为直角顶点时，点，则，解得， 所以，符合题意； 当P为直角顶点时，设，由可得， 所以，； 综上所以，，，符合题意 1．【数学运算】（多选）（25-26高二上·湖北·期中）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则下列说法正确的是（    ） A． B．为定值 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】由，得． 因为，所以，得． 由，得． 因为，所以，得． 所以，A正确． 由直线：和直线：，知． 所以．所以．所以，为定值，B正确． ，当且仅当时，等号成立，C错误． 因为，所以，即的最大值为，当且仅当时，等号成立，D正确． 故选：ABD． 2．【新定义问题】（（25-26高二上·北京·阶段检测）曼哈顿距离（）是由十九世纪赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在平面直角坐标系内有两个点，它们之间的曼哈顿距离．已知点，点是直线上的动点，点是直线上的动点，其中．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线所过定点的求法和直线垂直关系判定可知，大致锁定两直线位置，并验证出可过点；根据曼哈顿距离的几何意义，结合直线位置关系可确定当过，即重合时，所求曼哈顿距离和取最小值，由此可得结果. 【详解】记直线，则， 由得：，恒过定点； 记直线，则， 由得：，恒过定点； ，； 若过点，则，解得：，与矛盾，不过点； 若过点，则，解得：，符合题意，可过点； 设曼哈顿距离，其中，则点到定点的曼哈顿距离为定值的轨迹是正方形，该正方形以为中心，其中一条对角线在轴上，另一条对角线平行于轴，且对角线长的一半为定值，如下图所示， ，，， ，可知轨迹为该正方形； 当正方形与相交于一点时，；当正方形与相交于一点时，， （当过，即重合时取等号）， 当过时，，此时，则， 的最小值为. 故选：A. 3．【新定义问题】（多选）（（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”.又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（   ） A．，，则 B．O为坐标原点，动点R满足，则R的轨迹为直线 C．对任意三点A、B、C，都有 D．已知点和直线：，则 【答案】ACD 【分析】对于A：根据切比雪夫距离的定义直接运算即可；对于B：设，分析可得，且等号至少有一个成立，即可得结果；对于C：根据题意结合绝对值不等式的分析判断；对于D：设点可得，讨论可得距离，再由函数的性质，求得最小值即可. 【详解】对于选项A：若，，则， 因为，所以，故A正确； 对于选项B：设，若，则，且等号至少有一个成立，故轨迹不是直线，B错误； 对于选项C：设， 则 ， 同理可得， 所以，故C正确； 对于选项D：设为直线上一点， 则， 当，即时，则， 可知当时，取得最小值； 当，即或，则，无最小值， 综上可得：，故D正确； 故选：ACD. 4．【新定义问题】（多选）（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（    ） A．，，则 B．为坐标原点，动点满足，则的轨迹为圆 C．对任意三点、、，都有 D．已知点和直线：，则 【答案】ACD 【分析】对于A：根据切比雪夫距离的定义直接运算即可；对于B：设，分析可得，且等号至少有一个成立，即可得结果；对于C：根据题意结合绝对值不等式的分析判断；对于D：设点可得，讨论可得距离，再由函数的性质，求得最小值. 【详解】对于选项A：若，，则， 因为，所以，故A正确； 对于选项B：设， 若，则，且等号至少有一个成立， 可得的轨迹如图所示，为正方形，故B错误； 对于选项C：设， 则 ， 同理可得， 所以，故C正确； 对于选项D：设为直线上一点， 则， 当，即时，则， 可知当时，取得最小值； 当，即或，则，无最小值； 综上可得：，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：. 5．【动点轨迹问题】（（25-26高二上·青海·阶段检测）十九世纪数学家赫尔曼⋅闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.已知点，是直线上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为__________. 【答案】 【详解】设，则， 即， 所以或或， 解得， 则点的运动轨迹的长度为. 故答案为：. 6．【数学建模】（（25-26高二上·上海·期末）规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置．我们说球是指该球的球心点．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动．如图：在桌面上建立平面直角坐标系，设母球的位置为，目标球的位置为，球的位置为． (1)如图①，若，要使目标球向球的球心方向运动，求母球的球心运动的直线方程； (2)如图②，若，要使目标球向球的球心方向运动，求母球的球心运动的直线方程． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）若，即，所以， 即，此时三点共线， 故的球心运动的直线方程为，即. （2）若，由（1）知过的直线方程为， 依题意，当两球碰撞时，球的球心在直线上，且在第一象限， 设两球碰撞时球的球心坐标为，此时， 则有，解得，即， 所以母球的球心运动的直线方程为. 7．【探究性问题】（（25-26高二上·北京·期中）设是平面直角坐标系上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离为.对于平面上给定的不同的两点. (1)若点是平面上的点，试证明； (2)平面上是否存在点，同时满足①；②，若存在，请求出点C的轨迹方程；若不存在，请说明理由. 【详解】(1) 因为， 所以， 则 ， 所以. （2）当时，则，由条件②得， 即，解得， 由条件①得， 即，解得，此时点， 当时，则，由条件②得， 即，解得， 由条件①得， 即，解得，此时点， 当且时，不妨设， 当时，当条件①成立时， 即同时成立， 即同时成立，所以且， 再由条件②得，即， 此时点在函数上， 当时，由条件①成立得且，从而由条件②得， 此时点在函数上， 可知，当，时， 点在函数上， 当，时，点也在函数上， 综上所述，点的轨迹方程为或. 8．【新定义问题】（（25-26高二上·广东·期中）曼哈顿距离是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和.例如：在平面直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离；在空间直角坐标系中，若，，两点之间的曼哈顿距离. (1)在平面直角坐标系中，已知点，，求的值； (2)在平面直角坐标系中，已知是函数上的动点，为函数上的动点，求的最小值. (3)在空间直角坐标系中，已知点为坐标原点，动点满足，求动点围成的几何体的表面积. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）由曼哈顿距离定义直接计算即可； （2）设，，由曼哈顿距离定义表示，利用函数的单调性结合三角恒等变形可求的最小值即可； （3）利用曼哈顿距离定义求得动点围成的图形为八面体且每个面均为边长为的等边三角形，即可求解其表面积. 【详解】（1），所以. （2）设，，， . 当且仅当时有最小值， 为单调递减函数， 所以， 当，即时，取得最小值， 所以的最小值为. （3）设，因为，所以若，则.         当，，时，.         设，，，则，. 所以，         所以，，，四点共面， 所以当，，时，在边长为的等边三角形内部（含边界）.         对等边三角形内部任意一点，， 因为与不共线，所以设， 则. 所以，所以. 所以满足方程的点构成的图形是边长为的等边三角形内部（含边界）.         由对称性可知，动点围成的图形为八面体，每个面均为边长为的等边三角形. 故该几何体表面积. 9．【探究性问题】（（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）人脸识别技术已融入我们日常生活，小区门禁刷脸即可开门，手机支付凭人脸验证完成交易，机场安检通过它实现旅客快速身份核验，让便捷与安全并存.它通过计算机分析人脸图像或视频，提取面部轮廓、五官间距等关键特征，在这一过程中，判别不同样本间的相似度是核心环节，其主要实现方式为距离测试，目前常用的测量方式主要有3种.设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离；余弦距离，其中（为坐标原点）. (1)若点，，求，之间的欧几里得距离，曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，曲线，问曲线上是否存在点使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，，；(2)；(3)存在， 【详解】（1）已知，，则由题意可得欧几里得距离为； 曼哈顿距离为； 因为，， 所以， 则余弦距离为. （2）设，由题意得：， 由， 作出表示的图形，为如图所示的正方形， 其中，，，， 即点在正方形的边上运动，，， 结合图形，由可知， 当取最小值时，最大. 相应的有最大值.因此，点有如下两种可能： ①点为点时，，则：； ②点在线段上运动时，此时与方向相同，， 则. 因为，所以点在点时，有最大值，最大值为.        （3）设，则，， ， ， ，，即或. 联立，解得，， 联立，解得，， ，，，，则； ，则； ，则. 1．（2006·福建·高考真题）对于直角坐标平面内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”；.给出下列三个命题： ①若点C在线段上，则； ②在中，若，则； ③在中，. 其中真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】对于①，若点在线段上，设点的坐标为，则在之间，在之间， 即，故①成立； 对于②，取, 则，显然不成立； 对于③，取, 作为，故③不成立. 故选：A. 2．（2006·上海·高考真题）如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点，若分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”.已知常数，给出下列命题：①若，则“距离坐标”为的点有且仅有1个；②若，且，则“距离坐标”为的点有且仅有2个；③若，则“距离坐标”为的点有且仅有4个.上述命题中，正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：①，若，则“距离坐标”为的点是两条直线的交点O，因此有且仅有1个，故正确. ②，若，且，则“距离坐标”为或的点有且仅有2个，故正确. ③若，则，“距离坐标”为的点有且仅有4个，为，如图，故正确. 故正确的命题个数为3个. 故选：D 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.3.2两点间的距离公式 目录 A组巩固过关 知识点01求平面两点间的距离 知识，点02由顶，点坐标判断三角形的形状 知识点03由距离求点的坐标 知识，点04由两，点间的距离公式求函数的最值（难，点） 知识，点05：与距离有关的新定义（难点） B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接高考 A组 巩固过关 知识点01 求平面两点间的距离 知识点速记： 两点间的距离公式 一般地，若两点A,B的坐标分别为A(x,乃)，B(:,2),则有两点A,B间的距离公式，AB= V(x-x+(5-y2. 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离OP=V2+y. 题型巩固练： 1.(25-26高二上北京期中)己知三角形的三个顶点A(2,4),B(3,6),C(5,2),则过A点的中线长为 () A.V10 B.2√10 C.112 D.3V10 2.(25-26高二上河北阶段检测)从点P(3,)射出的光线经x轴反射后到达点Q(0,3),则光线从P到9 1/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所经过的路程为() A.V13 B.√21 C.4 D.5 3.(23-24高二上福建厦门期中)已知A5,5),B(4,-3),C(0,5),M是BC的中点，则4MF 4 (25-26高二上湖南湘潭期中)己知△ABC的三个顶点A1,3),B(3,1),C(0,1),则△ABC的面积为 知识点02 、由顶点坐标判断三角形的形状 知识点速记： 由顶点坐标判断三角形的形状解题步骤： 1计算三边长度：利用两点间距离公式，分别求出三角形三边长度： 2判定特殊三角形：根据三边长判定三角形的形状，若有两边相等，则为等腰三角形；若三边相等。 则为等边三角形；若符合勾股定理，则为直角三角形；若最长边的平方大于其余两边平方之和( c2>a2+b2),则为钝角三角形：若最长边的平方小于其余两边平方之和(c2<a2+b2),则 为锐角三角形。 题型巩固练： 5.(25-26高二上北京昌平期中)已知△ABC的三个顶点A(-3,),B(3,-3),C(1,7),则△ABC的形状 为 6.已知△ABC的三个顶点的坐标是A(-3,),B(3,-3),C0,7). (1)判断△ABC的形状： (2)求△ABC的面积 7.(23-24高二上广西玉林阶段检测)已知△ABC三个顶点坐标分别为A(1,),B(2,3),C(4,2): (1)试判断△ABC的形状： (2)求△ABC边AC上的中线所在直线的方程 知识点03 由距离求点的坐标或参数 知识点速记： 由两点间距离求点的坐标或参数的解题方法： 1待定系数法：设出所求点的坐标或参数值，代入两点间距离公式，将几何条件转化为代数方程： 2.构建方程求解：根据已知距离d,列出方程V(x2-x}+(y2-y}=d,通常两边平方去掉根 2111 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 号，化简为一元二次方程或其他形式求解参数： 3结合图形分析：利用点、线的位置关系（如点在直线上、点在曲线上）补充约束条件，减少未知 数个数，简化计算过程。 题型巩固练： 8.(多选)己知4(a,0),B(0,10),且AB上17，则a的取值可能为() A.7 B.-7 C.3/21 D.-3W21 9.(多选)(25-26高二上河南阶段检测)己知0为坐标原点，点P在直线3x+y-6=0上，若 OP=3W2,则点P的坐标可以是() 418 A.(3,3) c.55 D.(3,-3) 10.(25-26高二上福建福州期中)已知P(a,2)、Q(-2,-3)、M(,)三点，且Pg=PM,则a的值为 11.(24-25高二上江西上饶阶段检测)己知点A(4,12),P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于 13,则点P的坐标为 知识点04 由两点间的距离公式求最值 知识点速记： 将军饮马模型（求来那个距离之和的最小值）： 当问题形式为V(x-a}+b2+V(x-c}+d时，可看作x轴上的动点P(x,0)到两定点A(a,b)和 B(c,d)的距离之和。 解法：作其中一个定点（如B)关于x轴的对称点B,连接AB',线段AB的长度即为最小值。 原理：两点之间线段最短。 题型巩固练： 12.已知x、y∈R,则函数f(x,y)=x-2+y2+Vc+1+(y-4的最小值是() A.5 B.6 C.7 D.8 13.(25-26高二上内蒙古通辽阶段检测)己知M(-2,3),N(1,1),点P在x轴上，则PM+PN的最小值 为() A.V13 B.5 c.5 D.17 14.(25-26高二上广西钦州开学考试)著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事 3/11 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：Vc-)+0心-b可以转化为平面上 点M(化，y)与点N(a,b)的距离.结合上述观点，可得V2-2x+5-V2+1的最大值为() A.1 B.√2 C.5 D.2 15.(25-26高二上山西晋中阶段检测)函数y=Vx2-2x+2+Vx2-8x+25的最小值为（) A.4 B.5 C.6 D.7 16. (25-26高二上福建厦门期中)某同学在研究函数f(x)=Vx2+1+|x-1川的性质时，联想到两点间的距 离公式，从而将函数变形为f(x)=V(x-0)2+(0-1)2+Vx-1)2+(0-0)2,则f)的最小值为 类比地，已知函数g(x)=Vx2+2x+2+Vx2-2x+2,则g(x)的最小值为 知识点05 与距离有关的新定义 知识点速记： “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新 定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解对 于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础 数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。 题型巩固练： 17.(25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测)我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念数学中根据 不同定义有很多种距离平面上，欧几里得距离是A(:,)与B(:,)两点间的直线距离，即 dB=V(x-)}+(y-y2).切比雪夫距离是A(:,y)与B(x,乃2)两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝 对值中的最大值，即d=mx怅-by-已知定点4，)，C行5，点g在直线+2y上0 运动，当线段AB最短时，点B,C的切比雪夫距离为() 11 A.5 B.1 C.2 0.5 18.(25-26高二上安徽毫州期中)设直角坐标平面中任意两点A(:,片)，B(x,2),记 d(A,B)=k-xl+4-2l.已知点M(1,0),点P在直线2x-y+4=0上，则d(P,M)的最小值是() A.1 B.2 C.3 D.4 4/11 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(25-26高三上山东青岛期中)设A(x,乃)，B(x,)为平面上两点，定义d(4,B)=书-+- 为A,B的“直角距离”若(4，B)=2,则线段AB长度的最小值为() A√2 B.3 C.2 D.5 20.人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似 度，常用测量距离的方式有3种.设A(:,乃)，B(:,乃)，则欧几里得距离 D(4,B)=V(x-x)'+(y-)};曼哈顿距离d(4,B)=:-x+以-y,余弦距离(A,B)=1-cos(4,B), 其中cos(4,B)=cos(OA,OB)(0为坐标原点).若点M(2,1),d(M,N)=l,则(M,N)的最大值为( ) A130 10 8172 10 c.1-25 5 0.1 5 B组 能力进阶 1.(25-26高三上北京海淀期末)已知点A(-1,0),点P(4+4,3),当1变化时，AP的最小值为() A.3 B.4 C.5 D.6 2.(25-26高二上江西期中)一条光线从点A(,-2)出发，与x轴相交于点P,经过x轴反射后，反射光 线经过点B(O,-3),则AP+BP=() A.4 B.5 c.V17 D.V26 3.(25-26高二上河北保定阶段检测)已知三条直线：x+2y-1=0,12:2x-y-7=0,4:x-3y+4=0 设4∩l,=A,4∩=B,I∩l=C,则△ABC是() A.以A为直角顶点的等腰直角三角形 B.以A为直角顶点的非等腰直角三角形 C.以C为直角项点的等腰直角三角形 D.等边三角形 4.(25-26高二上河南新乡阶段检测)已知△ABC的三个顶点分别为4(4,3)，B(1,2),C(3,-4),则△ABC 的面积是() 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B.10 c.102 D.20 5.(25-26高二上广东东莞期中)已知A(1,-2),B(2,1),直线1：x-2y-2a=0上存在点P,满足 PA+PB=V0,则1的倾斜角的取值范围是() π3π A.44 c. .[引 6.(25-26高二上四川自贡·期末)数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很 多代数问题可以转化为几何问题加以解决函数f(x)=Vx+6x+10+V2-6x+10,下列结论正确的是 () A.f(x)的最小值为6 B.f(x)的最小值为210 C.方程f(x)=6有两解 D.方程f(x)=7无解 7.(多选)(25-26高二上甘肃陇南期中)已知△ABC的三个顶点分别为A(4,3),BL,2),C(3,4),则 下列说法正确的有() A.∠B=90° 8,mA-月 C.△ABC的面积是10 D.AC边上的高BD所在直线方程为+7y-15=0 8.(多选)(25-26高二上安徽阶段检测)己知直线：ar+y+2a=0,☑：x-ay-2=0,a∈R,0为坐 标原点，则下列说法正确的是() A.4112 B.{与2过同一个定点 C.若a=1,则4与2关于y轴对称 D.若马与h交于点M,则OM为定值 9.(25-26高二上北京西城期中)某工程队准备在一条笔直的公路上的某点处修建一个车站P,使得两 车站A,B(可视为点)到车站P的距离相等在地图上建立平面直角坐标系，并按照一定比例确定单位长 度，得到：A(-2,4),B(4,6),及公路上的两点C(4,0),D(0,-4),则车站P的坐标为 10.(25-26高二上江苏连云港期中)函数f(x)=Vx-)2+9-Vx-5)+4的最大值为 a_c-13 11.(25-26高二上：湖北十堰：期中)已知实数a’b:c:d满足方-d-22,则(a-c+(b-d的最 小值为 6/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12。(2026上海静安二模)如图所示，在。1BC中，∠BC-行，4C=21B,hB=1,p为边4C的 中点，D在边AB上，且AD=2DB,CD交BP于点R,则CR=一· D B 13.(25-26高二上北京阶段检测)己知点4(-1,0)和点P(4-21,t∈R), (1)求证：点P在定直线上，并求直线的方程： (2)点B,C在直线I上，且△ABC为等腰直角三角形，求点B的坐标. 14.(25-26高二上山东济南阶段检测)已知直线1过点(3,4)，0为坐标原点.若直线1与x轴、y轴的正 半轴分别交于A,B两点且△AOB面积为24. B (1)求直线1方程： (2)若点P为线段AB上一动点，且P吧∥OB交OA于点Q.在y轴上是否存在点M,使△MP9为等腰直角 三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. C组 思维拔高 1.【数学运算】（多选）(25-26高二上湖北期中)已知m∈R,若过定点A的动直线： x-my+m-2=0和过定点B的动直线2：mx+y-4+2m=0交于点P(P与A,B不重合)，则下列说法 正确的是() A.AB=5 B.PA+PB为定值 7/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 C.SpuB的最大值为2 D.PA+PB的最大值为52 2.【新定义问题】((25-26高二上·北京阶段检测)曼哈顿距离(Manhattan Distance)是由十九世纪赫 尔曼一闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐 标系中的“绝对轴距”总和.例如：在平面直角坐标系内有两个点A(:,乃)，B(x,),它们之间的曼哈顿 距离(4，B)=:-x+以-2l.已知点B(L,0),点M是直线c-y+k+3=0上的动点，点N是直线 x+y-4+1=0上的动点，其中k≥0.则d(B,M)+d(B,N)的最小值为() A.4 。跨 c.5 。.9 3.【新定义问题】（多选）((25-26高二上山东枣庄阶段检测)在平面直角坐标系中，定义 d(A,B)=max{:-x以-y}为两点A(x,),B(x,)的“切比雪夫距离”.又设点P及直线1上任意一 点Q,称d(P,Q)的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作(P,),则下列命题中正确的是 () A2.小. B.O为坐标原点，动点R满足d(O,R)=1,则R的轨迹为直线 C.对任意三点A、B、C,都有d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B) D.已知点PL3)和直线7：X-2y+1=0,则4(P,)-号 4.【新定义问题】（多选）(24-25高二上·黑龙江哈尔滨期中)在平面直角坐标系中，定义 d(A,B)=max{:-以-2}为两点A(:,y),B(,)的“切比雪夫距离”，又设点P及直线I上任意 一点Q,称d(P,Q)的最小值为点P到直线I的“切比雪夫距离”，记作d(P,),则下列命题中正确的是 () A28》,N手则.= B.O为坐标原点，动点R满足d(O,R)=1,则R的轨迹为圆 C.对任意三点A、B、C,都有d(C,A)+d(C,B)≥d(A,B) D.已知点PL3)和直线1：x-2y+1=0~则d(P)- 8111 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.【动点轨迹问题】((25-26高二上·青海阶段检测)十九世纪数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点 P(x,片)，(x,)的曼哈顿距离为D(P,Q)=:-x+y-2己知点M(2,3),N是直线1：2x+y-1=0 上的动点，若D(M,N)≤6，则点N的运动轨迹的长度为 6.【数学建模】（(25-26高二上·上海·期末)规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球 的位置是指球心的位置，我们说球A是指该球的球心点A,两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直 线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心指向目标球球心的方向.所有的球都简 化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动.如图：在桌面上建立平面直 角坐标系，设母球A的位置为(0，aa∈R),目标球B的位置为(4,0)，球B的位置为⑧，-4). (1)如图①，若a=4,要使目标球B向球B的球心方向运动，求母球A的球心运动的直线方程： (2)如图②，若a=0,要使目标球B向球B'的球心方向运动，求母球A的球心运动的直线方程， 2 B 20 2468 -2d2468 .2 B 图① 图② 7.【探究性问题】((25-26高二上北京期中)设A(:,乃)，B(:,乃)是平面直角坐标系x0上的两点， 现定义由点A到点B的一种折线距离P(4,B)为P(4,B)=:-+以-对于平面xO上给定的不同的两 点A(,),B(,) 1)若点C(,)是平面xOy上的点，试证明P(A,C)+p(C,B)≥p(A,B): (2)平面xOy上是否存在点C(x,y),同时满足①p(4,C)+p(C,B)=p(4,B):②p(4,C)=p(C,B),若存 在，请求出点C的轨迹方程；若不存在，请说明理由 8.【新定义问题】((25-26高二上广东·期中)曼哈顿距离是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇， 是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和例如：在平面直 角坐标系中，若A(:,乃)，B(:,2),两点之间的曼哈顿距离(4，B)=:-+以-；在空间直角坐标 系中，若A(),B(,22),两点之间的曼哈顿距离(4，B)=5-x+-+3-. 1)在平面直角坐标系中，已知点A(1,4),B(3,-3),求(4，B)的值： 9111 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)在平面直角坐标系中，已知E是函数y=2W1-x2上的动点，F为函数y=6-2x上的动点，求(E,F)的 最小值 (3)在空间直角坐标系中，己知点0为坐标原点，动点P满足d(O,P)=1,求动点P围成的几何体的表面积 9.【探究性问题】((25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测)人脸识别技术已融入我们日常生活，小区门禁 刷脸即可开门，手机支付凭人脸验证完成交易，机场安检通过它实现旅客快速身份核验，让便捷与安全并 存它通过计算机分析人脸图像或视频，提取面部轮廓、五官间距等关键特征，在这一过程中，判别不同样 本间的相似度是核心环节，其主要实现方式为距离测试，目前常用的测量方式主要有3种设A(:,乃)， B(x2),则欧几里得距离D(4,B)=V(-x)+(y-)}:曼哈顿距离d(4,B)=k-x+以-：余弦 距离e(4,B)=1-cos(4,B),其中cos(4,B)=cos(O1,OB)(O为坐标原点)· (1)若点M(2,4),N(4,2),求M,N之间的欧几里得距离D(M,N),曼哈顿距离d(M,N)和余弦距离 e(M,N): (2)若点M(2,4),d(M,N)=2,求e(M,N)的最大值： 3)已知点M(2,4),曲线C:y=x2,问曲线C上是否存在点N使得d(M,N)≥V2D(M,N),若存在，求 e(M,N)的值；若不存在，请说明理由. 拓展 链接高考 1,(2006·福建高考真题)对于直角坐标平面内的任意两点A(:,入B(:,乃)，定义它们之间的一种 “距离”：‖AB=:一x+y一给出下列三个命题： ①若点C在线段AB上，则AC+HCB=‖ABL: ②在△ABC中，若∠C=90°，则‖ACP+HCB=‖AB； ③在△ABC中，‖AC+ICB>IABL. 其中真命题的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 10/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2006·上海高考真题)如图，平面中两条直线和2相交于点O,对于平面上任意一点M,若P,9分 别是M到直线马和12的距离，则称有序非负实数对(p,9)是点M的“距离坐标”·已知常数p≥0,9≥0，给 出下列命题：①若p=9=0,则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个；②若P9=0,且p+9≠0，则 “距离坐标”为(P,9)的点有且仅有2个：③若P9≠0，则“距离坐标”为(P,9)的点有且仅有4个.上述命 题中，正确命题的个数是() h M(p,q) 12 A.0 B.1 C.2 D.3 11/11 分层作业 2.3.2 两点间的距离公式 参考答案 求平面两点间的距离知识点01 1.B； 2．D； 3．5； 4.3； 由顶点坐标判断三角形的形状知识点02 5. 等腰直角； 6.【答案】(1)等腰直角三角形；(2)26 【详解】（1）因为，，， 所以，， ， 所以， 所以是等腰直角三角形. （2）由（1）得. 7.【答案】(1)是以为直角的等腰直角三角形；(2) 【详解】（1）因为，，， 所以的斜率，， 的斜率，， 则， 所以且，所以是以为直角的等腰直角三角形； （2）易求中点坐标，所以直线的斜率， 边上的中线为，化为一般式为． 由距离求点的坐标或参数知识点03 8. CD； 9．BD； 10．； 11．或； 由两点间的距离公式求最值知识点04 12.A； 13．B； 14．B； 15.B； 16. ； 与距离有关的新定义知识点05 17.C； 18．C； 19．A； 20.C； 1． A； 2．D； 3．A； 4．B； 5．B； 6．B； 7.ACD； 8.ACD； 9．； 10．； 11.； 12. 13.【答案】(1)证明见解析，直线的方程为；(2)或或. 【详解】（1）设点，由点，得，消去得， 所以点在定直线上，直线的方程为. （2）当为等腰的直角顶点时，，设， 直线的方程为，则，解得，于是； 由，解得或，则点或； 当为等腰的直角顶点时，同理得点，或； 以点为顶点的三角形是等腰直角三角形，且点为直角顶点， 因此为等腰的直角顶点时，点，或点，点， 所以点的坐标是或或. 14．【答案】(1)；(2)存在，，， 【详解】（1）由截距式设直线的方程为， 所以，解得， 所以，即. （2）若存在为等腰直角三角形，不妨设，，则， 因为为等腰直角三角形， 当M为直角顶点时，设， 则，， 所以，即， 解得或（舍）， 所以，即点； 当Q为直角顶点时，点，则，解得， 所以，符合题意； 当P为直角顶点时，设，由可得， 所以，； 综上所以，，，符合题意. 1.ABD； 2．A； 3.ACD； 4.ACD； 5.； 6.【答案】(1)；(2). 【详解】（1）若，即，所以， 即，此时三点共线， 故的球心运动的直线方程为，即. （2）若，由（1）知过的直线方程为， 依题意，当两球碰撞时，球的球心在直线上，且在第一象限， 设两球碰撞时球的球心坐标为，此时， 则有，解得，即， 所以母球的球心运动的直线方程为. 7.【详解】(1) 因为， 所以， 则 ， 所以. （2）当时，则，由条件②得， 即，解得， 由条件①得， 即，解得，此时点， 当时，则，由条件②得， 即，解得， 由条件①得， 即，解得，此时点， 当且时，不妨设， 当时，当条件①成立时， 即同时成立， 即同时成立，所以且， 再由条件②得，即， 此时点在函数上， 当时，由条件①成立得且，从而由条件②得， 此时点在函数上， 可知，当，时， 点在函数上， 当，时，点也在函数上， 综上所述，点的轨迹方程为或. 8.【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）由曼哈顿距离定义直接计算即可； （2）设，，由曼哈顿距离定义表示，利用函数的单调性结合三角恒等变形可求的最小值即可； （3）利用曼哈顿距离定义求得动点围成的图形为八面体且每个面均为边长为的等边三角形，即可求解其表面积. 【详解】（1），所以. （2）设，，， . 当且仅当时有最小值， 为单调递减函数， 所以， 当，即时，取得最小值， 所以的最小值为. （3）设，因为，所以若，则.         当，，时，.         设，，，则，. 所以，         所以，，，四点共面， 所以当，，时，在边长为的等边三角形内部（含边界）.         对等边三角形内部任意一点，， 因为与不共线，所以设， 则. 所以，所以. 所以满足方程的点构成的图形是边长为的等边三角形内部（含边界）.         由对称性可知，动点围成的图形为八面体，每个面均为边长为的等边三角形. 故该几何体表面积. 9.【答案】(1)，，；(2)；(3)存在， 【详解】（1）已知，，则由题意可得欧几里得距离为； 曼哈顿距离为； 因为，， 所以， 则余弦距离为. （2）设，由题意得：， 由， 作出表示的图形，为如图所示的正方形， 其中，，，， 即点在正方形的边上运动，，， 结合图形，由可知， 当取最小值时，最大. 相应的有最大值.因此，点有如下两种可能： ①点为点时，，则：； ②点在线段上运动时，此时与方向相同，， 则. 因为，所以点在点时，有最大值，最大值为.        （3）设，则，， ， ， ，，即或. 联立，解得，， 联立，解得，， ，，，，则； ，则； ，则. 1.A； 2．D； 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $