2.3.2 两点间的距离公式 课时同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦两点间距离公式，分层设计从基础应用到综合探究，通过选择、多选、填空、解答题梯度递进，适配课时知识巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|公式直接计算与参数求解|选择题1-3题直接应用公式求距离、确定点坐标，夯实运算能力| |能力提升|公式几何意义与综合判断|多选题9题结合距离公式几何表征，填空题12题计算三角形高，发展几何直观| |综合探究|三角形性质与实际情境|解答题15题证明与16题中线方程，融入欧拉线等情境，培养推理能力与应用意识|

2.3.2 两点间的距离公式 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1.已知直线l上两点A，B的坐标分别为(3,5)，(a，2)，且直线l与直线3x＋4y－5＝0垂直，则|AB|的值为(　　) A. B. C. D.5 【答案】B 【解析】直线3x＋4y－5＝0的斜率为－， 若直线l与直线3x＋4y－5＝0垂直，则直线l的斜率存在， 由直线l上两点的坐标分别为A(3,5)，B(a，2)， 得k1＝＝. 由·＝－1，解得a＝. ∴|AB|＝＝.故选B. 2.已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为(    ) A. B. C.或 D.1或 【答案】C 【解析】因为点与点之间的距离为5， 可得， 整理得，即，解得或． 故选：C. 3.若x轴的正半轴上的点M到原点的距离与点(5，－3)到原点的距离相等，则点M的坐标为(　　) A.(－2，0) B.(1，0) C. D.(，0) 【答案】D 【解析】设点M的坐标为(x，0)， 根据题意得x2＝52＋(－3)2，解得x＝±. 又点M在x轴的正半轴上， 所以点M的坐标为(，0)，故选D. 4.已知点A(2，5)，B(4，1).若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为(　　) A.－1 B.3 C.7 D.8 【答案】C 【解析】依题意得kAB＝＝－2， 所以线段lAB：y－1＝－2(x－4)，x∈[2，4]， 即y＝－2x＋9，x∈[2，4]， 故2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9，x∈[2，4]. 设h(x)＝4x－9，易知h(x)＝4x－9在[2，4]上单调递增， 故当x＝4时，h(x)max＝4×4－9＝7. 5.以，，为顶点的是（       ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 【答案】A 【解析】由，，得，，， ，故是直角三角形，故选A． 6.以点A(－3,0)，B(3，－2)，C(－1,2)为顶点的三角形是(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.以上都不是 【答案】C 【解析】|AB|＝＝＝＝2， |BC|＝＝＝＝4， |AC|＝＝＝2， ∵|AC|2＋|BC|2＝|AB|2， ∴△ABC为直角三角形．故选C. 7.设定点A(3,1)，B是x轴上的动点，C是直线y＝x上的动点，则△ABC周长的最小值是(　　) A. B.2 C.3 D. 【答案】B 【解析】作出点A(3,1)关于y＝x的对称点A′(1,3)， 关于x轴的对称点A″(3，－1)， 连接A′A″，交直线y＝x于点C，交x轴于点B，如图， 则|AC|＝|A′C|，|AB|＝|A″B|， ∴△ABC周长的最小值为|A′A″|＝＝2.故选B. 8.已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设的中点为，由中点坐标公式得，所以， 所以． 故选：A. 二、多选题（共3小题） 9.对于，下列说法正确的是(　　) A.可看作点(x，0)与点(1，2)的距离 B.可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离 C.可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离 D.可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离 【答案】BCD 【解析】＝＝＝， 可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离，可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离，故选项A不正确. 10.（2024-2025·江苏高二期末）点、，过A、的直线为，下列说法正确的有（    ） A.若，则直线的方程为 B.若，则直线的倾斜角为 C.任意实数，都有 D.存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数 【答案】ABD 【解析】对于A选项，当时，点，又因为点，则， 此时，直线的方程为，即，A对； 对于B选项，若，则，又因为点，， 设直线的倾斜角为，则，且，则， 即直线的倾斜角为，B对； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，C错； 对于D选项，若直线过原点，则直线的斜率为， 此时，直线的方程为，即， 因为点在直线上，则，解得， 若直线不经过原点，设直线的方程为， 因为点在直线上，则，此时，直线的方程为， 因为点在直线上，则，解得. 综上所述，存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数，D对. 故选：ABD. 11.（2024-2025·湖南高二月考）在平面直角坐标系中，设定点，是函数图象上一动点.若点，之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】AD 【解析】设，， ， 令，由基本不等式得，所以， ， 当时，当时，取得最小值， 最小值为， 令，解得或3（舍去）， 当时，当时，， 令，解得或（舍去）， 综上，满足条件的实数的所有值为或. 故选：AD. 三、填空题（共3小题） 12.已知△ABC的三顶点A(3,8)，B(－11,3)，C(－8，－2)，则BC边上的高AD的长度为                  ． 【答案】 【解析】由两点间距离公式得|AB|＝，|BC|＝，|AC|＝.∵|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰三角形，∴D为BC的中点，由中点坐标公式易得 D.∴|AD|＝＝. 13.已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为                  ；的面积为                  . 【答案】直角三角形 5 【解析】因为， ，， 所以，即是以A为直角顶点的直角三角形． 由于是以A为直角顶点的直角三角形，所以. 故答案为：直角三角形；. 14.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标为                  . 【答案】(－4，0) 【解析】设C(m，n)，则△ABC的重心坐标为，代入欧拉线方程x－y＋2＝0得－＋2＝0， 整理得m－n＋4＝0.① AB的中点坐标为(1，2)，kAB＝＝－2， ∴AB的垂直平分线方程为y－2＝(x－1)， 即x－2y＋3＝0. 联立解得 ∴△ABC的外心为(－1，1)， ∴(m＋1)2＋(n－1)2＝[2－(－1)]2＋(0－1)2， 整理得m2＋n2＋2m－2n＝8，② 联立①②得或 当时，B，C重合，舍去， ∴顶点C的坐标是(－4，0). 四、解答题（共2小题） 15.解答下列各题： (1)已知四点，，，，求证：； (2)已知直线，，求证：． 【答案】证明　(1)由斜率公式，得，， 则，所以． (2)由，的方程可知，它们的斜率，， 从而，所以． 16.（2024-2025·云南高二期中）已知三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程. 【答案】解：(1)因为，，， ， ， ， 又， ，所以. 因为且， 所以是以为直角的等腰直角三角形. (2)AC的中点坐标，，即. 又. 所以边AC上的中线方程为， 即. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.2 两点间的距离公式 课时同步练习 2026-2027学年高二数学同步备课系列【基础题】 一、选择题（共8小题） 1.已知直线l上两点A，B的坐标分别为(3,5)，(a，2)，且直线l与直线3x＋4y－5＝0垂直，则|AB|的值为(　　) A. B. C. D.5 2.已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为(    ) A. B. C.或 D.1或 3.若x轴的正半轴上的点M到原点的距离与点(5，－3)到原点的距离相等，则点M的坐标为(　　) A.(－2，0) B.(1，0) C. D.(，0) 4.已知点A(2，5)，B(4，1).若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为(　　) A.－1 B.3 C.7 D.8 5.以，，为顶点的是（       ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 6.以点A(－3,0)，B(3，－2)，C(－1,2)为顶点的三角形是(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.以上都不是 7.设定点A(3,1)，B是x轴上的动点，C是直线y＝x上的动点，则△ABC周长的最小值是(　　) A. B.2 C.3 D. 8.已知三角形的三个顶点，，，则边上中线的长为(    ) A. B. C. D. 二、多选题（共3小题） 9.对于，下列说法正确的是(　　) A.可看作点(x，0)与点(1，2)的距离 B.可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离 C.可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离 D.可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离 10.（2024-2025·江苏高二期末）点、，过A、的直线为，下列说法正确的有（    ） A.若，则直线的方程为 B.若，则直线的倾斜角为 C.任意实数，都有 D.存在两个不同的实数，能使直线在、轴上的截距互为相反数 11.（2024-2025·湖南高二月考）在平面直角坐标系中，设定点，是函数图象上一动点.若点，之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为（ ） A. B. C. 1 D. 三、填空题（共3小题） 12.已知△ABC的三顶点A(3,8)，B(－11,3)，C(－8，－2)，则BC边上的高AD的长度为                  ． 13.已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为                  ；的面积为                  . 14.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，若其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标为                  . 四、解答题（共2小题） 15.解答下列各题： (1)已知四点，，，，求证：； (2)已知直线，，求证：． 16.（2024-2025·云南高二期中）已知三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $