2.3.4 两平行直线间的距离（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第一册

2.3.4 两平行直线间的距离 题型一：求两平行直线间的距离（A、B相同） 1．直线 和直线间的距离是 . 【答案】 【分析】利用平行线间的距离公式可求得答案. 【详解】易知直线 和直线平行， 这两条直线间的距离为. 故答案为：. 2．已知平行直线，则与的距离是 . 【答案】/ 【分析】利用两平行线间的距离公式计算即可. 【详解】由题意，根据两平行线间的距离公式可得. 故答案为：. 3．直线：与：之间的距离为 . 【答案】2 【分析】根据两平行直线的距离公式计算直接得出结果. 【详解】由可得， 又，所以， 所以两直线的距离为. 故答案为：2 4．两条平行直线与间的距离为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】利用两条平行线间的距离公式计算可得答案. 【详解】两条平行直线与间的距离 为. 故选：C. 5．直线与直线的距离（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据平行线间的距离公式，即可求得答案. 【详解】由题意知直线，即与直线平行， 故它们之间的距离为， 故选：A 题型二：求两平行直线间的距离（A、B不同） 1．已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将两条直线化为和的形式，然后利用两条平行直线间的距离公式来求解即可. 【详解】直线可化为，设两条平行直线间的距离为，则. 故选：. 2．直线与直线间的距离是（    ） A． B． C． D．１ 【答案】B 【分析】利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】直线方程为，直线方程为， 所以所求距离为. 故选：B 3．直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】可变为，则两条平行直线间的距离为． 故选：C. 4．直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两条平行直线间的距离公式即可. 【详解】可变为， 则两条平行直线间的距离为. 故选：B 题型三：求含参的两平行直线的距离 1．已知两直线，，若，则与间的距离为 ． 【答案】 【分析】根据直线平行求得，进而求两平行线间距离. 【详解】已知两直线，， 若，则解得，则直线， 则与间的距离为． 故答案为：. 2．若直线与直线平行，则与的距离为 . 【答案】 【分析】根据两直线平行可求得，进而利用平行直线间距离公式可求得结果. 【详解】，，解得：，，即， 之间的距离. 故答案为：. 3．若两平行直线与之间的距离是，则 【答案】 【分析】利用两直线平行的充要条件及平行间的距离公式计算即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以有，所以有， 又因为这两条平行线间距离为， 所以有，或舍去， 所以. 故答案为： 4．若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】根据两直线平行可得，再由平行线间的距离公式计算可得结果. 【详解】由两直线平行可得， 所以直线：，也即， 又直线：， 因此直线与之间的距离为. 故答案为： 5．已知两条平行直线：，：间的距离为，则 ． 【答案】或16 【分析】可先通过两直线平行求出参数，接着将两直线的变量系数化为一致，再利用距离公式求解即可. 【详解】因为，所以，解得， 则：，可化直线为， 所以与的距离为，解得或 则或． 题型一：利用两平行直线间的距离求参数值 1．若直线与直线之间的距离为，则实数的值为 ； 【答案】或 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式列式求出值. 【详解】直线，即与直线之间的距离为， 则，解得或，经验证，符合题意， 所以实数的值为或. 故答案为：或 2．已知直线与直线的距离为，则 . 【答案】或 【分析】利用平行线间的距离公式得到关于的方程，从而得解. 【详解】直线可化为，直线， 所以，解得或， 所以或. 故答案为：或 3．已知平行直线和的距离为，则 . 【答案】6或8 【分析】根据直线平行求出，再由平行线间的距离求出. 【详解】因为直线和平行， 所以， 又，解得或， 故答案为：6或8 4．已知两平行直线与之间的距离是，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两直线平行得到，结合条件，利用两平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】因为直线与平行，则，得到， 所以两平行线为与， 由题有，得到，又，所以，此时两直线不重合，符合题意， 得到， 故选：D. 5．若直线与直线平行，且与间的距离为，则 ． 【答案】或 【分析】根据两直线平行可求出的值，根据平行线间的距离公式求出的值，即可求得的值. 【详解】因为直线与直线平行， 则，解得， 所以，直线的方程为，可化为， 因为与间的距离为，则，解得或， 当时，； 当时，. 故答案为：或. 题型二：利用两平行直线间的距离求参数范围 1．若直线与直线之间的距离不大于，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用平行线之间的距离列出不等式求解即可. 【详解】直线化为， 则两直线之间的距离，即， 解得. 所以实数的取值范围为. 故选：B. 2．直线按向量平移后得直线，设直线与之间的距离为，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的方向向量与的位置关系考虑. 【详解】当直线的方向向量与共线时，这时候直线与重合，距离为最短，； 当直线的方向向量与垂直时，这时候直线与平行且距离为最长，. 故选：B. 题型三：两平行直线间的距离的最值问题 1．P，Q分别为直线与上任意一点，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】转化两点的距离为平行线之间的距离，即得解. 【详解】即，则两直线平行， 因为、分别为直线与上任意一点， 则的最小值为两平行线之间的距离， 所以的最小值是：.    故答案为：. 2．已知，，，均为实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】表示两点与之间的距离，表示两点与之间的距离，进而可得点的轨迹方程为两平行直线，可求最小值. 【详解】表示两点与之间的距离， 表示两点与之间的距离， 又点是直线上的动点，点是直线上的动点， 且直线与直线平行， 所以的最小值即为直线与直线之间的距离， 所以的最小值为. 故选：B. 3．已知实数满足， ， 则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，结合两平行直线距离公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，是直线上的点， 是直线上的点，则两直线平行， 的最小值是平行直线之间的距离的平方， 可得最小值为. 故选：D 4．若分别为直线与上的动点，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】先判断两直线平行，再由两平行线间距离公式求解即可； 【详解】由题意可得两直线斜率均为，所以两直线平行， 所以的最小值为两平行线间距离，为， 故答案为：4. 5．已知分别是直线与上的动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得的最小值即为两平行直线与的距离，代公式计算可得． 【详解】， 直线与平行， 的最小值，即为两平行直线与的距离， 化直线方程为， 由平行线间的距离公式可得 故选：B． 6．设两条平行直线的方程分别为，.已知、是方程的两个实根，且，则这两条平行直线之间的距离的最大值为 . 【答案】/ 【分析】利用韦达定理求出的取值范围，再利用平行间的距离公式可求得这两平行直线间距离 的最大值. 【详解】因为、是方程的两个实根， 由韦达定理可得，， 所以，， 又两条平行直线间的距离，所以，， 所以，两条平行直线间距离的最大值为. 故答案为：. 7．设，已知直线，过点作直线，且 ，则直线与之间距离的最大值是 . 【答案】5 【分析】求出直线恒过点，从而得到两平行线的最大距离为点与点的距离，得到答案. 【详解】由于直线，整理得：， 故，解得， 即直线恒过点，则过点作直线， 且 ，则最大距离为点与点的距离， 即. 故答案为：5 8．已知直线，，则直线与之间的距离最大值为 . 【答案】5 【分析】分别求出直线，过的定点，，当与两直线垂直时距离最大，且最大值为，由此即可求解． 【详解】直线化简为：， 令且，解得，， 所以直线过定点， 直线化简为：， 令且，解得，， 所以直线过定点，， 当与直线，垂直时，直线，的距离最大， 且最大值为， 故答案为：5． 题型：对称问题 ①求点关于直线对称的点 1．点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点关于直线的对称点为，列出方程组，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即. 故选：C. 2．在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出点关于直线的对称点的坐标，根据题意列出方程组，解方程组即可． 【详解】设点关于直线的对称点是,则，解得：. 故选：B． 3．点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设关于直线的对称点坐标为，根据直线与垂直， 和中点在直线上，列方程组即可求解. 【详解】设关于直线的对称点坐标为， 因为直线与垂直， 所以，即， 又因为和中点在直线上， 所以，即， 所以，，所以点关于直线的对称点坐标为， 故选：C 4．已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，进而得，再解方程即可得答案. 【详解】解：设点，因为点与点关于直线对称， 所以，解得， 所以 故选：B 5．已知点的坐标为，直线的方程为，则点关于的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点关于直线的对称点的坐标为，利用垂直及中点在轴上这两个条件，求出、的值，可得答案． 【详解】解：设点关于直线的对称点的坐标为， 则由，求得，，故点， 故选：B． 6．点（4，0）关于直线5x＋4y＋21＝0的对称点是  ． A．（－6，8） B．（－8，－6） C．（6，8） D．（－6，－8） 【答案】D 【详解】试题分析：设点（4，0）关于直线5x＋4y＋21＝0的对称点是，则点在直线5x＋4y＋21＝0上，将选项代入就可排除A,B,C,答案为D 考点：点关于直线对称，排除法的应用 7．点关于直线的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点关系可得，根据斜率关系可得，解方程组求解，即可． 【详解】设点关于直线的对称点坐标为， 可得，① 斜率，②． 由①②解得：． 则点关于直线的对称点坐标为． 故选：B． 8．点关于直线对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知点和对称点的中点在已知直线上，且已知点和对称点的连线与已知直线垂直，直接列式求解即可得出答案. 【详解】设点关于直线对称的点的坐标为，则由， 解得：，，即得该点坐标为. 故选：A. ②求直线关于点对称的直线 1．与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于原点的对称点坐标，代入已知直线方程，即可. 【详解】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，， 代入，得， 即所求直线的方程为． 故选：D． 2．直线关于点对称的直线方程为 . 【答案】 【分析】设直线关于点对称的直线任一点为，根据点对称代入即可求解. 【详解】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解之可得， 所以在直线上，代入即可得， 化简的，即. 故答案为： 3．直线关于点对称的直线方程为 ． 【答案】 【分析】在直线上取点、，求出这两点关于点的对称点的坐标，并求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】在直线上取点、， 点关于点的对称点为，点关于点的对称点为， 直线的斜率为， 所以，所求直线方程为，即. 故答案为：. 4．直线关于点对称的直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据直线关于点对称，设上的点坐标，写出关于对称的点坐标，根据点在已知直线上求直线方程. 【详解】设为上任意一点，则关于点的对称点为， 因为在直线l上，所以，即直线的方程为． 故答案为： 5．求直线关于点对称的直线l的方程． 【答案】． 【分析】解法一设，得到对称点坐标，再代入直线即可得到答案；解法二在直线上取两特殊点，得到其关于的对称点，则得到直线l方程；解法三根据对称特点设l的方程为，代入一个具体的对称点坐标即可得到答案. 【详解】解法一:设直线l上任意一点M的坐标为， 则此点关于点的对称点为， 且在直线上， 所以， 即． 所以所求直线l的方程为． 解法二：在直线上取两点， 则点关于点的对称点为，即 点关于点的对称点为， ，所以直线的方程为 化简得， 即所求直线l的方程为． 解法三：由平面几何知识易知所求直线l与直线平行， 则可设l的方程为． 在直线上取一点， 则点关于点的对称点在直线上， 所以，所以， 所以所求直线l的方程为． ③求直线关于直线对称的直线 1．直线关于轴对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出直线的斜率及与x轴的交点，从而得到所求直线的斜率，再由点斜式计算可得. 【详解】直线斜率为，且过点， 则直线关于x轴对称的直线的斜率为，且过点， 所以所求直线方程为，即. 故选：B 2．直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求直线上任意一点的坐标为，利用对称的性质得到点P关于直线对称的点为代入直线即可求得结果. 【详解】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为， 则,故对称点坐标为，代入直线上，， 故选：D 3．已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ． 【答案】. 【分析】由于两条直线平行，所以可设，利用对称的性质，可求得，进而求得直线方程为. 【详解】由题意知，设直线，在直线上取点， 设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即， 将代入的方程得， 所以直线的方程为. 故答案为： 4．直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【详解】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 5．已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是 ． 【答案】 【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，故. 由于反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.4 两平行直线间的距离 题型一：求两平行直线间的距离（A、B相同） 1．直线 和直线间的距离是 . 2．已知平行直线，则与的距离是 . 3．直线：与：之间的距离为 . 4．两条平行直线与间的距离为（    ） A．4 B． C．2 D．1 5．直线与直线的距离（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二：求两平行直线间的距离（A、B不同） 1．已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 2．直线与直线间的距离是（    ） A． B． C． D．１ 3．直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 4．直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 题型三：求含参的两平行直线的距离 1．已知两直线，，若，则与间的距离为 ． 2．若直线与直线平行，则与的距离为 . 3．若两平行直线与之间的距离是，则 4．若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为 ． 5．已知两条平行直线：，：间的距离为，则 ． 题型一：利用两平行直线间的距离求参数值 1．若直线与直线之间的距离为，则实数的值为 ； 2．已知直线与直线的距离为，则 . 3．已知平行直线和的距离为，则 . 4．已知两平行直线与之间的距离是，若，则（    ） A． B． C． D． 5．若直线与直线平行，且与间的距离为，则 ． 题型二：利用两平行直线间的距离求参数范围 1．若直线与直线之间的距离不大于，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 2．直线按向量平移后得直线，设直线与之间的距离为，则的范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：两平行直线间的距离的最值问题 1．P，Q分别为直线与上任意一点，则的最小值为 . 2．已知，，，均为实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 3．已知实数满足， ， 则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若分别为直线与上的动点，则的最小值为 . 5．已知分别是直线与上的动点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 6．设两条平行直线的方程分别为，.已知、是方程的两个实根，且，则这两条平行直线之间的距离的最大值为 . 7．设，已知直线，过点作直线，且 ，则直线与之间距离的最大值是 . 8．已知直线，，则直线与之间的距离最大值为 . 题型：对称问题 ①求点关于直线对称的点 1．点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 3．点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．已知点的坐标为，直线的方程为，则点关于的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．点（4，0）关于直线5x＋4y＋21＝0的对称点是  ． A．（－6，8） B．（－8，－6） C．（6，8） D．（－6，－8） 7．点关于直线的对称点坐标是（    ） A． B． C． D． 8．点关于直线对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． ②求直线关于点对称的直线 1．与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．直线关于点对称的直线方程为 . 3．直线关于点对称的直线方程为 ． 4．直线关于点对称的直线的方程为 ． 5．求直线关于点对称的直线l的方程． ③求直线关于直线对称的直线 1．直线关于轴对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 3．已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ． 4．直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $