2.2.3 直线的一般式方程 （分层作业） 数学人教A版 选择性必修第一册

**基本信息** 以直线方程为核心，通过基础辨析、综合应用、拓展探究三层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|倾斜角、斜率等概念辨析|选取期末真题，强化数学眼光下的概念理解| |进阶层|平行垂直判断及参数求解|通过多地区考题，提升数学思维的推理运算能力| |拓展层|方程互化与过定点问题|融入竞赛题，发展数学语言的模型应用意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 分层作业 19.1.1函数与变量 目录 A组 巩固过关 题型01直线的一般式方程及辨析. 题型02由一般式方程判断直线的平行. 题型03由两条直线平行求方程.… 题型04由一般式方程判断直线的垂直.… 题型05已知直线垂直求参数… 题型06由两条直线垂直求方程… 题型07直线一般式方程与其他形式之间的互化. 题型08直线过定点问题… B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 1/11 上好每一堂课 2 。。。。。。。。。,, 2 2 4 5 6 7 8 9 ...11 12 14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A组 巩固过关 颗型01 题型01直线的一般式方程及辨析 1.(25-26高二上安徽期末)直线x+V3y-2=0的倾斜角为() A.30° B.120° C.150° D.60 2.(25-26高二上浙江湖州期末)直线2x+y-1=0的斜率为() A.-2 B.-2 c.3 D.2 3.(25-26高二上陕西咸阳期末)直线：3x+y+1=0在y轴上的截距是() A.3 B.-3 C.1 D.-1 题型02 题型02由一般式方程判断直线的平行 4.(25-26高二上江苏苏州期末)若直线x+(1+m)y-2=0和直线mr+2y-2=0平行，则m的值 为() A.1 B.-2 C.1或-2 (25-26高二下福建厦门阶段检测)若直线：(m-2)r+3y+3= 与直线： 2x+(m-1)y+2=0 平行，则m=() 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B.-4 C.1或-4 D.-1或4 6.(25-26高二上福建泉州期末)已知直线：2x-4y+3=0,4:x-2y+6=0,则4与的位置关 系为() A.重合 B.平行 C.垂直 D.相交但不垂直 颗型03 题型03由两条直线平行求方程 7(2026高二上陕西威阳竞赛)已知直线：m+-1=0,4(4m-3)r+网-3=0，若%， 则实数m=() A.1 B.3 C.1或3 D.0 &(2026高二上陕西威阳竞赛)已知直线尔m+y-1=0,4(4-3r+m-3=0,若儿 则实数m=() A.1 B.3 C.1或3 D.0 9(2526高=上四川遂宁期未)求经过点1(B,2）,且与直线2x+-2=0平行的直线方程为 () A.2x+y-4=0 B.2x+y-8=0 C.-2x+y-8=0 D.-2x+y-4=0 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04 题型04由一般式方程判断直线的垂直 10.(2026重庆模拟预测)在平面中，已知直线4：4x+By+C=0(4,B不同时为零)，2： Ax+B.y+C2=0 A B2 ( 不同时为零)，则44+B8=0B{1马 是 的() A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 11.(2026重庆·模拟预测)在平面中，已知直线4：4x+By+G=0(A,B不同时为零)，： Ax+B2y+C2=0 A B2 不同时为零)，则44+B8=0是{14 是的() A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3 12.(25-26高二上广东汕头·期末)已知b≠0，则直线ax+2y-1=0与y=6x+4垂直的充要条 件是（) A.3a=2b B.2a=3b C.2ab=3 D.ab=6 颗型05 题型05已知直线垂直求参数 13.(25-26高二上辽宁锦州期末)已知直线 :(m+1x+y+m=0.4:x+(m+y-2=0,则 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () A.若与2相交，则m≠-2且m≠-1B.若与2平行，则m=-2 C.若与2垂直，则m=-1 D.若4与重合，则m=0 14(25-26高二上广西崇左期末)若直线+m+9=0与(m-2r+8y+5= 互相垂直，则m= () 、2 2 A.9 B.-2 C.4 D. 15.(2026陕西咸阳·二模)已知 点P(-12）,21,若直线'：m-y+2m=0与线段P0的延长 线相交，则实数m的取值范围为() A.（-∞，4) D.（5 颗型06 题型06由两条直线垂直求方程 16.(2026高三全国·专题练习)若过点山，2)的直线1与直线x+4y-8=0垂直，则直线I的方程 为() A.x+4y+3=0 B.x+4y-9=0 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.4x-y+3=0 D.4x-y-2=0 17.(24-25高三上陕西期中)已知直线ax+y-1=0与直线k:x-3ay+2=0,则“a=3”是 l112”的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也 不必要条件 18(25-26高二上贵州铜仁期未)过点P2) 且与直线3x-2y+5=0重 垂直的直线方程是 () A.2x-3y-7=0 B.3x+2y-4=0 C.2x+3y-1=0 D.2x+3y-7=0 题型07 题型07直线一般式方程与其他形式之间的互化 19.(2526高二下贵州期中)直线的一个法向量为”=(21)，日过点4(2-），则直线的方 程为（) A.x+2y=0 B.2x+y-5=0 C.x-2y-4=0 D.2x+y-3=0 M(6,3) 20.(25-26高二上·江西赣州·期末)经过点 且在两坐标轴上截距相等的直线是() 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.x+y-9=0 B.x-y-3=0 C.x+y-9=0或x-2y=0 D.x-y-3=0或x-2y=0 21.(25-26高二上江西赣州期末)经过点 M(6,3) 且在两坐标轴上截距相等的直线是() A.x+y-9=0 B.x-y-3=0 C.x+y-9=0或x-2y=0 D.x-y-3=0或x-2y=0 题型08 题型08直线过定点问题 22.(25-26高二上·上海阶段检测)己知k∈R,则直线 3k+1)x+(1-4k)y=5k+4 和直线 (k+4)x+(k-8)y=12 的位置关系不可能是() A.平行 B.重合 C.垂直 D.关于x轴对称 23.(25-26高二下湖南湘潭期末)点M-1,VL3),直线+y-m+1=0与线段N有交 点，则m的值不可能是() A.3 B.2 C.1 D.-1 24(2526高二下潮南湘潭期末)点M-1,N13),直线m+-m+1=0与线段N有交 点，则m的值不可能是() 7/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.3 B.2 C.1 D.-1 B组 能力进阶 1.(25-26高二下辽宁铁岭阶段检测)已知直线5x+12y-13=0,则过原点且与1平行的直线 的方程为() A.5x+12y=0B.5x-12y=0C.12x+5y=0D.12x-5y=0 2.(25-26高二上·福建厦门期中)已知直线：x+y+1=0,则下列结论正确的个数是（) ①直线的纵截距为1： ②向量=(，)是直线的一个方向向量： ③过点1,3)与直线I平行的直线方程为x+y-4=0; ④若直线m:x-y+1=0,则1⊥m A.4 B.3 C.2 D.1 3.(25-26高二上宁夏银川期末)过点(2,3)且平行于直线2x-y+3=0的直线方程为() A.x+2y-8=0 B.x+2y+8=0 C.2x-y-1=0 D.x-2y-8=0 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26高二上河北石家庄·期末)过点 ,2)且垂直于直线-2”+1=0的直线方程为() A,2x-y-4=0B.2x-y+4=0C.2x+y-8=0D,2x+y+4=0 5(2526高二上福建三明期末)若直线'过点12)且与直线2x-3y+4=0垂直，则'的方程 是() A.3x-2y+7=0 B.3x+2y+7=0 C.3x+2y-1=0 D.2x-3y+8=0 6.(25-26高二上：广东·期末)过点 23》且与+2-20垂直的直线方程是（) A.2x-y+1=0 B.2x+y+1=0 C.2x-y-1=0 D.2x+y-1=0 ● C组 思维拔高 1.(25-26高三上北京阶段检测)已知 A2s+26-+2. 则使得数对(s,)唯一的条件 是() A.OB -204 B.o4+o=4 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c. 04+0B=2 D. 0A.0B -O4 OB 2(2526高二下河南信阳阶段检测)经过点B-)且与直线4r+2-1=0平行的直线方程为 () A.2x+y-3=0B.2x+y+3=0C.x-2y-4=0D.x-2y+4=0 3(2526高二下辽宁开学考试)经过点41），且与直线4-3y-2=0平行的直线方程为 () A.4x-3y-5=0 B.4x+3y-11=0 C.3x-4y-2=0 D.3x+4y-10=0 4(25-26高二上山西朔州期未)过点40) 4,0且与直线-2y-2=0平行的直线方程是() A.x-2y-4=0 B.2x+y-4=0 C.x+2y-4=0 D.x-2y+4=0 拓展 链接高考 1.(25-26高二下辽宁铁岭阶段检测)已知直线5x+12y-13=0,则过原点且与1平行的直线 的方程为() 10/11 品学科网·上好课 www.zxxk.com A.5x+12y=0B.5x-12y=0 C.12x+5y=0 D 4:ax+y-1=0,l2:(3a 2.(25-26高二上四川南充期末)已知直线 条件是() A.a=3 B.a=1 C.a=2 D. 11/11 上好每一堂课 12x-5y=0 2)x+ay-2= ,则1的充要 a=1或2 分层作业 19.1.1函数与变量 目 录 2 题型01 直线的一般式方程及辨析 2 题型02由一般式方程判断直线的平行 2 题型03由两条直线平行求方程 4 题型04由一般式方程判断直线的垂直 5 题型05 已知直线垂直求参数 6 题型06 由两条直线垂直求方程 7 题型07 直线一般式方程与其他形式之间的互化 8 题型08直线过定点问题 9 11 12 14 题型01 直线的一般式方程及辨析题型01 1.（25-26高二上·安徽·期末）直线的倾斜角为（   ） A．30° B．120° C．150° D． 【答案】C 【详解】设直线的倾斜角为， 由，得：， 故直线斜率， ，. 故选：C. 2.（25-26高二上·浙江湖州·期末）直线的斜率为（  ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】由，可得，所以直线的斜率为. 故选：A. 3.（25-26高二上·陕西咸阳·期末）直线在轴上的截距是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】对于直线，令，则，解得， 所以直线在轴上的截距是. 故选：D 题型02由一般式方程判断直线的平行题型02 4.（25-26高二上·江苏苏州·期末）若直线和直线平行，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】B 【详解】直线和直线平行， ，解得或，经检验时两条直线重合舍去， 所以． 5.（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）若直线：与直线：平行，则（ ） A．4 B． C．1或 D．或4 【答案】D 【详解】由题可得：直线：与直线：平行， 则，整理可得，解得或， 若，直线：与直线：平行，符合题意； 若，直线：与直线：平行，符合题意； 综上所述：或. 6．（25-26高二上·福建泉州·期末）已知直线，则与的位置关系为（    ） A．重合 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】B 【详解】直线可化为， 所以， ， 直线可化为， 所以，， 因为，， 所以与平行. 故选：B 题型03由两条直线平行求方程题型03 7.（2026高二上·陕西咸阳·竞赛）已知直线，，若，则实数（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以. 8.（2026高二上·陕西咸阳·竞赛）已知直线，，若，则实数（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【知识点】由两条直线平行求方程 【详解】因为，所以，所以. 9.（25-26高二上·四川遂宁·期末）求经过点，且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为所求直线与直线平行，故可设所求直线方程为， 将点坐标代入得，解得， 所以所求直线方程为. 故选：B 题型04由一般式方程判断直线的垂直题型04 10.（2026·重庆·模拟预测）在平面中，已知直线：（，不同时为零），：（，不同时为零），则是的（   ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】是的充要条件. 11.（2026·重庆·模拟预测）在平面中，已知直线：（，不同时为零），：（，不同时为零），则是的（   ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】是的充要条件. 12．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知，则直线与垂直的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以直线的斜率存在， 故两条直线的斜率分别为与， 由垂直可知，即. 故选：A 题型05 已知直线垂直求参数题型05 13.（25-26高二上·辽宁锦州·期末）已知直线；，则（   ） A．若与相交，则且 B．若与平行，则 C．若与垂直，则 D．若与重合，则 【答案】C 【详解】直线；， 若与垂直，则有，则，故C正确； 若与平行，则有，解得或， 时，，，两直线平行， 时，，，两直线平行. 所以与平行时，或，B选项错误； 与不可能重合，故D选项错误； 若与相交，则且， 当时，两直线垂直相交，满足相交的条件，但不满足A选项的结论，A选项错误. 故选：C. 14.（25-26高二上·广西崇左·期末）若直线与互相垂直，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得，故D正确. 故选：D 15.（2026·陕西咸阳·二模）已知点，，若直线：与线段的延长线相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线的斜率为. 直线：可变形为，则直线恒过点，， 直线的斜率为. 当直线与平行时，. 结合图象可知，若直线与线段的延长线相交，则，即. 题型06 由两条直线垂直求方程题型06 16.（2026高三·全国·专题练习）若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设所求直线方程为， 代入， 得， 解得， 所以所求直线方程为. 17.（24-25高三上·陕西·期中）已知直线与直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】直线与直线垂直， 则，解得或3， 故“”是“”的充分不必要条件. 18.（25-26高二上·贵州铜仁·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于直线方程，其斜率为， 而目标直线与垂直，则目标直线斜率为， 则目标直线方程为，化简得，故C正确. 故选：C 题型07 直线一般式方程与其他形式之间的互化题型07 19.（25-26高二下·贵州·期中）直线的一个法向量为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】直线的一个法向量为，且过点， 设直线上任意一点，所以， 所以，即， 直线的方程为：. 20.（25-26高二上·江西赣州·期末）经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】当直线经过原点时，此时直线方程可设为， 代入点，解得，所以直线方程为即； 当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为， 代入点，解得，所以直线方程为. 综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是或. 故选：C. 21.（25-26高二上·江西赣州·期末）经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】当直线经过原点时，此时直线方程可设为， 代入点，解得，所以直线方程为即； 当直线不经过原点时，设所求直线的截距式方程为， 代入点，解得，所以直线方程为. 综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是或. 故选：C. 题型08直线过定点问题题型08 22.（25-26高二上·上海·阶段检测）已知，则直线和直线的位置关系不可能是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．关于轴对称 【答案】D 【详解】由，整理得到，解得或， 当时，两直线方程为和，此时两直线重合， 当时，两直线方程为和，此时两直线平行，所以A和B可能， 对于C，由，整理得到，又， 所以有解，即存在值，使两直线垂直，所以C可能， 对于D，由，得到， 由，解得，所以直线过定点， 若两直线关于轴对称，则点在另一直线上，所以， 得到，此时两直线方程为和，显然两直线不关于轴对称，所以D不可能. 故选：D. 23.（25-26高二下·湖南湘潭·期末）点，，直线与线段有交点，则的值不可能是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【详解】直线整理可得， 联立，解得，， 即直线恒过定点， 可得，因为，的横坐标相同，所以直线斜率不存在， 所以直线与线段有交点，则直线的斜率， 而直线的斜率，解得． 所以选项D符合题意. 24.（25-26高二下·湖南湘潭·期末）点，，直线与线段有交点，则的值不可能是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【详解】直线整理可得， 联立，解得，， 即直线恒过定点， 可得，因为，的横坐标相同，所以直线斜率不存在， 所以直线与线段有交点，则直线的斜率， 而直线的斜率，解得． 所以选项D符合题意. 1.（25-26高二下·辽宁铁岭·阶段检测）已知直线，则过原点且与l平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线的一般式方程及辨析、由两条直线平行求方程 【分析】由已知设所求直线方程为，根据直线过原点求得c，即得答案. 【详解】与平行的直线的方程可以设为， 又直线过原点，所以． 所以过原点且与l平行的直线的方程为． 2.（25-26高二上·福建厦门·期中）已知直线，则下列结论正确的个数是（   ） ①直线的纵截距为1； ②向量是直线的一个方向向量； ③过点与直线平行的直线方程为； ④若直线，则 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线方向向量的概念及辨析（平面中））、由两条直线平行求方程、由斜率判断两条直线垂直 【分析】根据纵截距的定义，结合方向向量的定义、平行直线、垂直直线的性质逐一判断即可. 【详解】①：由，所以直线的纵截距为，所以本序号说法不正确； ②：由直线方向向量可知该直线的斜率为，恰好是直线的斜率，所以本序号的说法正确； ③：设与直线平行的直线方程为，该直线过， 所以，即直线方程为，所以本序号的说法正确； ④：因为直线的斜率为，所以，所以本序号的说法正确， 结论正确的个数是. 故选：B 3.（25-26高二上·宁夏银川·期末）过点且平行于直线的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】设所求直线为，结合点在直线上求参数，即可得. 【详解】由题设，令所求直线为， 由点在直线上，则， 所以直线为. 故选：C 4.（25-26高二上·河北石家庄·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由一般式方程判断直线的垂直、由两条直线垂直求方程 【分析】由题可设垂直于直线的直线方程为，进而利用待定系数法求解. 【详解】设垂直于直线的直线方程为，代入， 得，解得，即， 故选：C. 5.（25-26高二上·福建三明·期末）若直线过点且与直线垂直，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由两条直线垂直求方程 【分析】将所求直线方程设为：，代入求得可得答案. 【详解】注意到，因该直线与垂直， 则设的方程为：，代入，得. 从而. 故选：C 6.（25-26高二上·广东·期末）过点且与垂直的直线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由两条直线垂直求方程 【分析】设所求直线方程为，把点代入得的值即可. 【详解】设与垂直的直线方程为， 把点代入得，解得， 故所求直线方程为. 故选：C. 1.（25-26高三上·北京·阶段检测）已知 ，则使得数对唯一的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、向量的模、由一般式方程判断直线的垂直、求点到直线的距离 【分析】由题意可得动点的轨迹方程，由点到直线距离公式，可得向量的取值范围以及等号成立条件，分别判别四个选项，可得答案. 【详解】由，则点是直线上的点， 同理可得点是直线上的点. 由，则， 可得原点到直线的距离， 原点到直线的距离. 由题意可得，当且仅当等号同时成立时唯一即唯一取值， 此时，，由，则. 对于A，当时，存在两个取值，由，则，此时也存在两个取值，故A错误. 对于B，， 当且仅当等号成立时唯一即唯一取值，故B正确； 对于C，由，，则，令，即， 令，可得，化简可得，由，则存在两个根，故C错误； 对于D，由，则，即， 可得，解得，故D错误. 故选：B. 2.（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由两条直线平行求方程 【详解】直线 的斜率为 。 因为所求直线与已知直线平行，故设所求直线方程为 。 将点 代入方程得： ， 因此，所求直线方程为：。 3.（25-26高二下·辽宁·开学考试）经过点，且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由两条直线平行求方程 【详解】设与直线平行的直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以所求直线方程为． 4.（25-26高二上·山西朔州·期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】由题意设与平行的直线方程为，代入点后即可求得，进而得到直线方程. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 代入，可得，解得， 故所求直线方程为. 故选：A. 1.（25-26高二下·辽宁铁岭·阶段检测）已知直线，则过原点且与l平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线的一般式方程及辨析、由两条直线平行求方程 【分析】由已知设所求直线方程为，根据直线过原点求得c，即得答案. 【详解】与平行的直线的方程可以设为， 又直线过原点，所以． 所以过原点且与l平行的直线的方程为． 2.（25-26高二上·四川南充·期末）已知直线，则的充要条件是（    ） A． B． C． D．或2 【答案】B 【知识点】已知直线平行求参数、根据充要条件求参数、由一般式方程判断直线的平行 【分析】根据两直线平行的充要条件列出满足题意的方程或不等式解出即可. 【详解】由， 则， 由， ，解得：. 故选：B 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $