第12章 函数与一次函数（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材沪科版八年级上册

**基本信息** 聚焦函数与一次函数单元，通过120分钟150分的题量，融合华山爬山、蚊香燃烧等真实情境与梯度设计，强化单元知识应用与核心素养（抽象能力、模型意识）培养，适配初中数学单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|函数定义、正比例函数象限、实际情境图像分析|基础概念判断与图像直观结合，如函数关系图像识别| |填空题|4/20|函数平移、方程组与函数交点、一次函数与线段交点|核心性质应用，如函数平移后点坐标计算| |解答题|9/90|正反比例综合、运输费用优化、交换函数创新概念|情境化问题（倍速播放、测浮力实验）与综合应用，体现模型意识与推理能力，如运输费用函数与最少总费用求解|

第十二章 函数与一次函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列四个图象中，能表示是的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 2．正比例函数的图象经过的象限是（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 3．如图，直线与直线相交于点，与轴正半轴交于点．关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 4．华山是中国五岳之一，位于陕西省渭南市，有着“奇险天下第一山”的美誉．端午节假期，小明去爬华山，他从山脚爬到半山腰的地方休息了片刻，接着一鼓作气爬到山顶，在山顶休息、观景，然后下山回到山脚．下列选项中能较好地刻画小明在爬山过程中所处位置与山脚的竖直高度与时间之间的关系的是（     ） A． B． C． D． 5．已知一次函数，下列描述正确的是（     ） A．随增大而增大 B．图象与轴交于点 C．图象经过第一、二、三象限 D．图象过定点 6．夏天蚊虫肆虐，许多家庭会使用蚊香进行灭蚊．为了测试某品牌一盘蚊香的燃烧时间与蚊香剩余长度的关系，数学小组的同学通过试验得到下列一组数据： 蚊香燃烧时间 0 0.5 1 1.5 2 … 蚊香剩余长度 105 100 95 90 85 … 则以下说法错误的是（     ） A．在这个变化过程中，蚊香的燃烧时间t是自变量 B．当时， C．在一定范围内，蚊香燃烧时间每增加，其剩余长度就减少 D．预计当时， 7．已知函数的图象如图，则的图象可能是（     ） A． B． C． D． 8．函数的图象与函数的图象交于x轴上一点，那么的值是（     ） A． B． C． D． 9．在测浮力的实验中，某实验小组将一长方体石块从玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，如图①．在此过程中弹簧测力计的示数与石块下降的高度之间的关系如图②所示．已知石块入水后，，则以下说法一定正确的是（     ） A．长方体石块的高度为 B．当时，与的函数表达式为 C．石块下降时，石块所受的浮力是 D．当弹簧测力计的示数为时，石块距离器皿底部 10．在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式．例如点从原点出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．若从点出发连续移动15次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点，则关于的函数解析式正确的为（     ） A． B． C． D．． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．将一次函数的图象向上平移3个单位长度后经过点，则的值为________． 12．已知正比例函数，且随的增大而增大，则_____． 13．若函数与的图象交于点，则方程组的解为______________． 14．在平面直角坐标系中，，，下面有四种说法： ①当时，一次函数的图象与线段有公共点； ②x轴上存在一点C使得； ③当时，一次函数的图象与线段有公共点； ④当，时，一次函数的图象与线段有公共点． 上述说法中正确的是______（填序号）． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求y的值． 16．（8分）某校为了让学生参与到课堂教学实验当中，培养学生的动手能力，计划购进甲、乙两种化学实验仪器共100件，已知甲仪器的单价为30元/件，乙仪器的单价为50元/件．若该校购买甲仪器的数量为x件（x为正整数），购买这两种化学仪器所需的总费用为y（元）． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若该校购买这两种化学仪器共花费3400元，求该校购买甲、乙两种化学仪器各多少件？ 17．（8分）如图，在直角坐标系中，点在直线：上，过点的直线交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)若点在线段上，点在直线：上，求的最大值． 18．（8分）已知关于的函数，且该函数是正比例函数． (1)求的值； (2)若点，在该函数的图象上，请比较，的大小关系． 19．（10分）“倍速播放”功能使视频用户可以加快或减慢视频的播放速度．如：原时长为60分钟的视频，用户用2倍速只需要（分钟）看完；原时长为10分钟的视频，用户用倍速需要（分钟）看完．小亮观看一部原时长为110分钟的视频，如图是实际播放时间y（分钟）与原播放时长x（分钟）之间的函数图象． (1)小亮在观看视频原时长前50分钟设置的是a倍速，则a的值为__________； (2)当时，求y与x之间的函数关系式； (3)若小明在小亮观看20分钟时，也开始观看这个视频，小明按原速播放m分钟后，余下部分按2倍速播放，恰好在小亮实际播放70分钟时，与小亮看到同一帧画面，求m的值． 20．（10分）如图，已知直线经过点和点，直线与直线相交于点，与轴交于点，且点的横坐标为． (1)根据图象，直接写出当时，的取值范围是______； (2)求和的值； (3)若点在直线上，且，求点的坐标． 21．（12分）已知、为常数，且，，我们称函数与互为“交换函数”，即函数是函数的“交换函数”，函数是函数的“交换函数” (1)一次函数的“交换函数”是 ； (2)在同一平面直角坐标系中，求一次函数的图象与其“交换函数”的图象的交点坐标； (3)若、为常数，且，直线 ，在平面直角坐标系中，将直线先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后得到直线，若直线对应的函数与一次函数互为“交换函数”，求、的值． 22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且． (1)直接写出，，的值； (2)如图，把点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到点，且点在第四象限，连接，，若三角形的面积等于，求的值； (3)如图，过点作直线，点为直线上一动点，在点运动过程中，若，求的取值范围． 23．（14分）城有水果 ，城有水果 ，现要把这些水果全部运往，两乡，从城往，两乡运水果的费用分别为元和元；从城往，两乡运水果的费用分别为元和元；现乡需要水果 ，乡需要水果 ，设城运往乡的水果为吨，运往乡水果的总运费为元，运往乡水果的总运费为元（要求所有运输量无吨调配，均大于且为整数）． (1)分别求出，关于的函数关系式，并写出的取值范围； (2)怎样调度使得该过程的总运费最少，并求出最少的运输总费用以及对应的运输方案； (3)由于从城到乡开辟了一条新的公路，使城到乡的运输费每吨减少了元，如何调度才能使总运费最少？最少的运输总费用是多少？（用含的式子表示） 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二章 函数与一次函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B D D D C C D C A 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．10 12．2 13． 14．①③/③① 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设，由可得：， ∴把，和，代入得： ，解得：， ∴y与x的函数解析式为：； （2）解：由（1）可把代入得：． 16．【答案】(1)（且x为正整数） (2)该校购买甲仪器80件，乙仪器20件 【详解】（1）解：由题意，得 （且x为正整数）； （2）解：当时，， 解得， ∴（件）． 答：该校购买甲仪器80件，乙仪器20件． 17．【答案】(1) (2)6 【详解】（1）解：把代入得， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：根据题意，，， ， ∵在线段上， ∴， 对于， ∵， ∴的值随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为． 18．【答案】(1)的值为 (2) 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ，         解得， 的值为； （2）解：由（1）中，得，                         ， 随的增加而减少，                                 ， ． 19．【答案】(1) (2) (3)5 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：设当时，y与x之间的函数关系式为， 则， ∴， ∴当时，y与x之间的函数关系式为； （3）解：在中，当时，，解得， 由题意得，， 解得． 20．【答案】(1) (2)， (3)或 【详解】（1）解：∵不等式表示直线在直线下方的部分对应的范围，两直线交点横坐标为， ∴由图象可得：； （2）解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴点的坐标为， 把代入，得， 解得； （3）解：对，令，得， 解得， ∴． ∵，在轴上， ∴和同底为，面积比等于对应高（纵坐标的绝对值）的比， ∵， ∴， 即或． ∵在直线上， ∴当时，，解得，得； 当时，，解得，得． ∴点的坐标为或． 21．【答案】(1) (2)一次函数与其“交换函数”的交点坐标为 (3) 【详解】（1）一次函数的“交换函数”是； （2）解：由题意得：一次函数的“交换函数”是，     令，解得， 将代入，得， 一次函数与其“交换函数”的交点坐标为． （3）解：直线 先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到直线， 对应的函数解析式为，         与互为“交换函数”， ， 解得． 22．【答案】(1) (2) (3)的取值范围为． 【详解】（1）解： ， ， 解得； （2）解：结合（1）可知，，， 点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到点， ， 三角形的面积等于， ， 整理得， 解得； （3）解： ，， 设直线的解析式为， 有， 解得， 直线的解析式为， 过点作直线， 直线的解析式为， 点为直线上一动点，即点坐标可为， 不变，且， ， 当点在下方时， ， 则， 解得； 当点在上方时， 则， 解得； 综上所述，的取值范围为． 23．【答案】(1)，， (2)从城运往乡吨，运往乡吨；从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，总运费最小值是元 (3)当时，从城运往乡吨，运往乡吨，从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少， 【详解】（1）解：据题意得：， ． ， ． （2）设总运费为元，根据题意可得，与之间的函数关系为： ， ，随的增大而增大， 由，且要求无吨调配，均大于且为整数， 当时，， 从城运往乡吨，运往乡吨；从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，总运费最小值是元． （3）设改善后的总运费为元，根据题意可得，与之间的函数关系为： ， 当，即时，随的增大而减小， 由，要运费最少，取最大值（保证城运往乡）． 当时，． 当时，从城运往乡吨，运往乡吨，从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二章 函数与一次函数（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列四个图象中，能表示是的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：观察可知，只有选项B中的图象，对于每一个确定的的值，都有唯一确定的值与之对应，能表示是的函数，其他选项，均存在一个确定的的值，有2个值与之对应，不能表示是的函数. 2．正比例函数的图象经过的象限是（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数的性质，只需根据正比例函数（）中比例系数的符号，即可判断图象经过的象限． 【详解】解：∵正比例函数中，比例系数， ∴根据正比例函数的性质，当时，函数图象经过第二、四象限． 3．如图，直线与直线相交于点，与轴正半轴交于点．关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数形结合观察直线在直线的下方时所对应的自变量的取值范围即不等式的解集． 【详解】解：由函数图像可知：当时，． 4．华山是中国五岳之一，位于陕西省渭南市，有着“奇险天下第一山”的美誉．端午节假期，小明去爬华山，他从山脚爬到半山腰的地方休息了片刻，接着一鼓作气爬到山顶，在山顶休息、观景，然后下山回到山脚．下列选项中能较好地刻画小明在爬山过程中所处位置与山脚的竖直高度与时间之间的关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据小明的运动过程，将高度随时间的变化分为五个阶段进行分析：上山、半山腰休息、继续上山、山顶休息、下山，观察各阶段高度随时间的变化趋势即可判断． 【详解】解：小明从山脚爬到半山腰，高度随时间增加而增加，图象为上升线段； 在半山腰休息片刻，时间增加但高度不变，图象为水平线段； 接着一鼓作气爬到山顶，高度继续增加，图象为上升线段； 在山顶休息、观景，时间增加但高度保持在最大值不变，图象为最高处的水平线段； 最后下山回到山脚，高度随时间增加而减小直至为0，图象为下降线段； ∴符合上述变化过程的图象是D． 5．已知一次函数，下列描述正确的是（     ） A．随增大而增大 B．图象与轴交于点 C．图象经过第一、二、三象限 D．图象过定点 【答案】D 【分析】根据一次函数的增减性、一次函数图象与坐标轴的交点、一次函数图象经过的象限及函数图象上点的坐标特征逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．∵一次函数中，的符号不确定， ∴无法判断随的变化情况，原描述不正确，故此选项不符合题意； B．当时，， ∴图象与轴交于点，原描述不正确，故此选项不符合题意； C．当且时，图象经过第二、三、四象限，原描述不正确，故此选项不符合题意； D．当时，， ∴无论取何值，图象都经过点，原描述正确，故此选项符合题意． 6．夏天蚊虫肆虐，许多家庭会使用蚊香进行灭蚊．为了测试某品牌一盘蚊香的燃烧时间与蚊香剩余长度的关系，数学小组的同学通过试验得到下列一组数据： 蚊香燃烧时间 0 0.5 1 1.5 2 … 蚊香剩余长度 105 100 95 90 85 … 则以下说法错误的是（     ） A．在这个变化过程中，蚊香的燃烧时间t是自变量 B．当时， C．在一定范围内，蚊香燃烧时间每增加，其剩余长度就减少 D．预计当时， 【答案】C 【分析】根据自变量和因变量的定义即可判断A；根据表格中数据即可判断B；根据表格中数据判断C；根据在一定范围内，蚊香燃烧时间每增加，其剩余长度就减少，列出算式求出结果即可． 【详解】解：A．根据表格中数据可得：在这个变化过程中，蚊香的燃烧时间t是自变量，故A正确，不符合题意； B．根据表格可得：当时，，故B正确，不符合题意； C．根据表格可得：在一定范围内，蚊香燃烧时间每增加，其剩余长度就减少，故C错误，符合题意； D．预计当时，，故D正确，不符合题意． 7．已知函数的图象如图，则的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一次函数的图象和性质判断即可． 【详解】由函数的图象，可得，， 对于一次函数， 一次项系数， 图象经过第一、三象限 ， 常数项， 图象与轴交于负半轴 一次函数的图象经过一、三、四象限， 只有选项C图象符合题意． 8．函数的图象与函数的图象交于x轴上一点，那么的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用轴上点的纵坐标为0的性质，先分别求出两个函数与轴交点的横坐标，再根据交点为同一点得到横坐标相等，整理即可求出的值． 【详解】解：当时，解得， 当时，解得 ∵两个函数图象交于轴上同一点， ∴， ∴． 9．在测浮力的实验中，某实验小组将一长方体石块从玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，如图①．在此过程中弹簧测力计的示数与石块下降的高度之间的关系如图②所示．已知石块入水后，，则以下说法一定正确的是（     ） A．长方体石块的高度为 B．当时，与的函数表达式为 C．石块下降时，石块所受的浮力是 D．当弹簧测力计的示数为时，石块距离器皿底部 【答案】C 【分析】通过函数图象获取石块重力、入水点及完全浸没时的拉力信息，利用待定系数法求出函数解析式，结合浮力公式及几何关系逐项判断即可． 【详解】解：由图②可知，当时，保持不变，说明此时石块未接触水面，则， 当时，石块开始进入水中，当时，保持不变，说明此时石块全部浸入水中， 由图①可知，石块初始位置底部距离容器底，则石块距离水底的高度， A．，故石块的高度为，故A选项错误； B．当时， 设， 将点，代入得， 解得， ，故B选项错误； C．当时，， 此时，故C选项正确； D．当时，由图②可知， 此时石块距离水底的距离无法确定，故D选项错误 ． 10．在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式．例如点从原点出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点．若从点出发连续移动15次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点，则关于的函数解析式正确的为（     ） A． B． C． D．． 【答案】A 【分析】设甲方式移动次数为参数，根据移动规则分别表示出和，消去参数即可得到函数解析式． 【详解】解：设15次移动中使用了次甲方式，则使用了次乙方式． ∵起点坐标为，每次甲方式使增加2，增加1，每次乙方式使增加1，增加2． ∴． 整理得． 又∵． 将代入， 得， 化简得． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．将一次函数的图象向上平移3个单位长度后经过点，则的值为________． 【答案】10 【分析】先根据“上加下减，左加右减”的平移规律得到平移后的直线解析式为，再把代入平移后的直线解析式中求解即可． 【详解】解：一次函数的图象向上平移3个单位长度后的直线解析式为， ∵平移后的直线经过点， ∴， ∴ 12．已知正比例函数，且随的增大而增大，则_____． 【答案】 【分析】根据正比例函数定义可得常数项为，结合随增大而增大得到比例系数大于，联立求解即可得到的值. 【详解】解：根据正比例函数的定义，正比例函数（）中常数项为，结合随的增大而增大，可得 ， 解方程，得或， 解不等式，得， ∴符合条件的. 13．若函数与的图象交于点，则方程组的解为______________． 【答案】 【分析】先将交点代入解析式求出的值，再根据一次函数图象的交点是方程组的解． 【详解】解：∵函数的图象过点， ∴点代入函数得 ， 解得， ∴点坐标为， ∴方程组的解为． 14．在平面直角坐标系中，，，下面有四种说法： ①当时，一次函数的图象与线段有公共点； ②x轴上存在一点C使得； ③当时，一次函数的图象与线段有公共点； ④当，时，一次函数的图象与线段有公共点． 上述说法中正确的是______（填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．根据一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质即可判断． 【详解】解：①当代入，得到， 一次函数的图象交轴于点， ， 当时，，代入，得到，那么此时一次函数的图象与线段有公共点，其交点为； 当时，，代入，得到，那么此时一次函数的图象与线段有公共点，其交点为； 那么当时，一次函数的图象与线段有公共点，其交点在线段上（不含，）， 如图所示： 故①说法正确； ②设点在轴上，即， ∵水平，长度， 点到直线（）的距离为， ∴， ∴面积恒为，不可能为，故②错误； ③当时，一次函数 当时，；当时，； 那么一次函数一定过，， ， 那么当时，，当代入，得到，此时交线段于点， 当时，，代入，得到，此时交线段于点， 画出图象，如下图所示： 可知当时，一次函数的图象与线段有公共点；故③正确； ④当时， 不妨设，那么一次函数． 当时，； 当时，，如图所示： 那么一次函数的图象与线段没有公共点．故④错误； 故答案为：①③ 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则有，然后把当时，；当时，代入求解即可； （2）直接把代入（1）中求解的函数解析式即可． 【详解】（1）解：设，由可得：， ∴把，和，代入得： ，解得：， ∴y与x的函数解析式为：； （2）解：由（1）可把代入得：． 16．（8分）某校为了让学生参与到课堂教学实验当中，培养学生的动手能力，计划购进甲、乙两种化学实验仪器共100件，已知甲仪器的单价为30元/件，乙仪器的单价为50元/件．若该校购买甲仪器的数量为x件（x为正整数），购买这两种化学仪器所需的总费用为y（元）． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若该校购买这两种化学仪器共花费3400元，求该校购买甲、乙两种化学仪器各多少件？ 【答案】(1)（且x为正整数） (2)该校购买甲仪器80件，乙仪器20件 【分析】（1）根据总费用等于甲、乙两种化学实验仪器的费用之和，列出函数关系式即可； （2）将代入，求出x的值，再计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意，得 （且x为正整数）； （2）解：当时，， 解得， ∴（件）． 答：该校购买甲仪器80件，乙仪器20件． 17．（8分）如图，在直角坐标系中，点在直线：上，过点的直线交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)若点在线段上，点在直线：上，求的最大值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）先把代入可求出的值，则得到，然后利用待定系数法求直线解析式； （2）写出关于的函数，因为在线段上，所以，利用一次函数的增减性求得的最值． 【详解】（1）解：把代入得， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：根据题意，，， ， ∵在线段上， ∴， 对于， ∵， ∴的值随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为． 18．（8分）已知关于的函数，且该函数是正比例函数． (1)求的值； (2)若点，在该函数的图象上，请比较，的大小关系． 【答案】(1)的值为 (2) 【分析】（1）根据正比例函数定义建立等式与不等式求解，即可解题； （2）根据（1）得到正比例函数解析式，再根据正比例函数性质分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ，         解得， 的值为； （2）解：由（1）中，得，                         ， 随的增加而减少，                                 ， ． 19．（10分）“倍速播放”功能使视频用户可以加快或减慢视频的播放速度．如：原时长为60分钟的视频，用户用2倍速只需要（分钟）看完；原时长为10分钟的视频，用户用倍速需要（分钟）看完．小亮观看一部原时长为110分钟的视频，如图是实际播放时间y（分钟）与原播放时长x（分钟）之间的函数图象． (1)小亮在观看视频原时长前50分钟设置的是a倍速，则a的值为__________； (2)当时，求y与x之间的函数关系式； (3)若小明在小亮观看20分钟时，也开始观看这个视频，小明按原速播放m分钟后，余下部分按2倍速播放，恰好在小亮实际播放70分钟时，与小亮看到同一帧画面，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】（1）用前50分钟的原时长除以实际时长即可得到答案； （2）利用待定系数法求解即可； （3）在中，求出时，x的值，即可得到小亮实际播放70分钟时的原时长，据此建立关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：设当时，y与x之间的函数关系式为， 则， ∴， ∴当时，y与x之间的函数关系式为； （3）解：在中，当时，，解得， 由题意得，， 解得． 20．（10分）如图，已知直线经过点和点，直线与直线相交于点，与轴交于点，且点的横坐标为． (1)根据图象，直接写出当时，的取值范围是______； (2)求和的值； (3)若点在直线上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）对于不等式，因为其几何意义是直线在上方时对应的范围，所以结合两直线交点的横坐标即可直接确定取值范围； （2）求的值，因为点在直线上，所以将点坐标代入即可计算；求的值，先将的横坐标代入表达式得到的纵坐标，再将点坐标代入即可计算； （3）解决三角形面积问题，先求出点的坐标，可得的长度为定值，因为和同底，所以面积比等于高的比，即点纵坐标的绝对值是点纵坐标绝对值的倍，再结合点在直线上，代入直线解析式即可求出的坐标． 【详解】（1）解：∵不等式表示直线在直线下方的部分对应的范围，两直线交点横坐标为， ∴由图象可得：； （2）解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴点的坐标为， 把代入，得， 解得； （3）解：对，令，得， 解得， ∴． ∵，在轴上， ∴和同底为，面积比等于对应高（纵坐标的绝对值）的比， ∵， ∴， 即或． ∵在直线上， ∴当时，，解得，得； 当时，，解得，得． ∴点的坐标为或． 21．（12分）已知、为常数，且，，我们称函数与互为“交换函数”，即函数是函数的“交换函数”，函数是函数的“交换函数” (1)一次函数的“交换函数”是 ； (2)在同一平面直角坐标系中，求一次函数的图象与其“交换函数”的图象的交点坐标； (3)若、为常数，且，直线 ，在平面直角坐标系中，将直线先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后得到直线，若直线对应的函数与一次函数互为“交换函数”，求、的值． 【答案】(1) (2)一次函数与其“交换函数”的交点坐标为 (3) 【分析】（1）根据“交换函数”的定义，即可求解； （2）根据“交换函数”的定义，可得一次函数的“交换函数”是，再令，可求出x，y的值，即可求解； （3）根据平移的性质可得对应的函数解析式，再根据直线对应的函数与一次函数互为“交换函数”，即可求解． 【详解】（1）一次函数的“交换函数”是； （2）解：由题意得：一次函数的“交换函数”是，     令，解得， 将代入，得， 一次函数与其“交换函数”的交点坐标为． （3）解：直线 先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到直线， 对应的函数解析式为，         与互为“交换函数”， ， 解得． 22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且． (1)直接写出，，的值； (2)如图，把点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到点，且点在第四象限，连接，，若三角形的面积等于，求的值； (3)如图，过点作直线，点为直线上一动点，在点运动过程中，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)的取值范围为． 【分析】（1）根据二次根式、绝对值、平方式的非负性求解，即可解题； （2）结合（1）可知，，，根据平移的性质推出，再结合割补法，以及三角形的面积等于，建立方程求解，即可解题； （3）设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，进而得到直线的解析式，再根据，分两种情况，当点在下方时，当点在上方时，建立不等式求解，即可解题。 【详解】（1）解： ， ， 解得； （2）解：结合（1）可知，，， 点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到点， ， 三角形的面积等于， ， 整理得， 解得； （3）解： ，， 设直线的解析式为， 有， 解得， 直线的解析式为， 过点作直线， 直线的解析式为， 点为直线上一动点，即点坐标可为， 不变，且， ， 当点在下方时， ， 则， 解得； 当点在上方时， 则， 解得； 综上所述，的取值范围为． 23．（14分）城有水果 ，城有水果 ，现要把这些水果全部运往，两乡，从城往，两乡运水果的费用分别为元和元；从城往，两乡运水果的费用分别为元和元；现乡需要水果 ，乡需要水果 ，设城运往乡的水果为吨，运往乡水果的总运费为元，运往乡水果的总运费为元（要求所有运输量无吨调配，均大于且为整数）． (1)分别求出，关于的函数关系式，并写出的取值范围； (2)怎样调度使得该过程的总运费最少，并求出最少的运输总费用以及对应的运输方案； (3)由于从城到乡开辟了一条新的公路，使城到乡的运输费每吨减少了元，如何调度才能使总运费最少？最少的运输总费用是多少？（用含的式子表示） 【答案】(1)，， (2)从城运往乡吨，运往乡吨；从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，总运费最小值是元 (3)当时，从城运往乡吨，运往乡吨，从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少， 【分析】（1）根据题意分别列出的函数关系式，根据题意列出不等式组求得的取值范围； （2）设总运费为元，根据题意可得，与之间的函数关系，进而根据一次函数的性质，即可求解． （3）设改善后的总运费为元，根据题意可得，与之间的函数关系，结合一次函数的性质求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：据题意得：， ． ， ． （2）设总运费为元，根据题意可得，与之间的函数关系为： ， ，随的增大而增大， 由，且要求无吨调配，均大于且为整数， 当时，， 从城运往乡吨，运往乡吨；从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，总运费最小值是元． （3）设改善后的总运费为元，根据题意可得，与之间的函数关系为： ， 当，即时，随的增大而减小， 由，要运费最少，取最大值（保证城运往乡）． 当时，． 当时，从城运往乡吨，运往乡吨，从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $