3.6.3　余角和补角课件 2026-2027学年华东师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦余角和补角的概念、性质及综合运用，通过倾斜圆柱倾斜角测量的实际问题和角度换算计算导入，衔接直角、平角等旧知，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，通过类比余角性质推导补角性质培养推理意识，用几何语言规范表达概念与性质强化模型意识，结合范例、仿例、变例及表格小结系统梳理知识。学生能提升逻辑思维与应用能力，教师可借助结构化资源高效教学。

第3章 图形的初步认识 3.6 角 3.6.3 余角和补角 华师版七年级数学(上) 1.在水平面上，有一根倾斜的圆柱，想要 知道它与地面的倾斜角，你能用什么方 法测量它倾斜了多少度? 直接测量或间接测量(180°-∠1). 导入新课 2. 计算： (1)1直角= 90 , 1平角= 180 °;1°= 60 ’,1′= 60 ". (2)90° —27° 56′= 62°4′ ; 180° 42°23'19"= 137°36'41" . 探究新知 知识模块一 余角和补角的概念 余角 两个角的和等于90°(直角),就说 2 这两个角互为余角，简称这互余. ∠1 与∠2互余； ∠1是∠2的余角； ∠2是∠1的余角. 讨论1: 此时∠1与∠2还互余吗? ∠1与∠2依然互余. 角的数量关系与位置无关. 总结 2 讨论2: 钝角有余角吗? 只有锐角有余角. 总结 2 ◆几何语言： 因为∠1与∠2互余， 所以∠1+∠2=90° 或∠1=90° -∠2 或 ∠2=90° -∠1. 因为∠1+∠2=90°, 所以∠1与∠2互余. 互 余 定 义 Y 2 如果两个角的和等于180° (平角),就说这两个角互为 补角，简称这两个角互补。 补角 探究1: 你能猜猜∠3与∠4的数量关系吗? 3 4 ◆几何语言 因为∠3与∠4互补， 所以∠3+∠4=180° 或 ∠3=180° -∠4 或 ∠4=180° -∠3. 因为∠3+∠4=180° 所以∠3与∠4互补。 4 3 互 补 定 义 两个角的和等于90° (直角),就说这两 个角互为余角，简称互余. 几何语言：如果∠1+∠2=90°,那么∠1 是∠2的余角，∠2也是∠1的余角； ◆如果两个角的和等于180°(平角),就说这两 个角互为补角，简称互补. 几何语言：如果∠3+∠4=180°,∠3、 ∠4互 为补角； ◆∠a的余角=90° - ∠a,∠ a 的补角=180° 一 ∠a. (1 已知∠A=28.28°, 则∠A的余角的度数为 61.72°,∠ A的补角的度数为151.72 °, ∠ A余 角的补角的度数是 118.28 °; 范例 小20°,求这个角. 解：设这个角的度数为x, 由题意，得9 一x)—20°, 解得x=40°. 答：这个角的度数是40°. (2 已知一个角的余角比这个角的补角的一半还 如图，点0在直线AB上，∠AOD=22°30', ∠BOC=45°,OE 平分∠BOC, 则∠EOC的 补角是( B ) A. ∠AOC B. ∠AOE或∠DOB C. ∠AOE或∠DOB或∠AOC+∠DOE D. 以上都不对 仿例 若∠1、∠2互为补角，且∠1>∠2,则∠2的 余角为( A ) A. B. 1+∠2) D. 变例 知识模块二 余角和补角的性质及综合运用 想想看，如果∠1与∠2互余，∠3与∠4互余， ∠2=∠4,那么∠1与∠3有什么关系? 因为∠1与∠2互余，∠3与∠4互余， 所以∠1=90° -∠2,∠3=90° -∠4. 因为∠2=∠4,所以∠1=90°- ∠4,所以∠1=∠3. 余角的性质：同角或等角的余角相等. 类比，∠1与∠2都互补，∠3与∠4互补， ∠2=∠4, Z1 与∠3的大小有什么关系? 因为∠1与∠2互补，∠3与∠4互补， 所以∠1=180° -∠2,∠3=180° - ∠4. 因为∠2=∠4, 所以∠1=180°- ∠4, 所以∠1=∠3. 补角的性质：同角或等角的补角相等. 例1 已知∠a=50°17', 求∠a 的余角和补角. 解：∠a 的余角=90°-50°17'=39°43'; ∠a 的补角=180°-50°17'=129°43'. 典例精析 例2 如图，点A,0,B 在同一条直线上，射线 OD 和射线OE 分别平分∠AOC和∠BOC, 图中哪 些角互为余角? 解：因为点A,0,B 在同一条直线上， 所以∠AOC和∠BOC互为补角. 补角的定义 所以∠COD+∠COE =22 ∠BOC 等式的性质 =90° 又因为射线 OD 和射线OE 分别平分∠AOC 和∠BOC, 所以∠COD 和∠COE 互为余角， 同理，∠AOD 和∠BOE, ∠AOD和∠COE, ∠COD 和∠BOE 互为余角. 余角的定义 ◆补角的性质：同角或等角的补角相等. ◆余角的性质：同角或等角的余角相等； 若∠a= ∠β, 且∠a+ ∠1=180°, ∠β+∠2 =180°,则∠1与∠2的关系是 ∠1=∠2 9 理由是 等角的补角相等 范例 将一副直角三角尺按下列的不同方式摆放，则 ∠1与∠2都是锐角且相等的是(B) 仿例 , D A B 变例 如图①,∠AOC和∠DOB都是直角. (1如果∠DOC=28°28', 那么∠AOB的度数是 多少? 解：(1)因为∠AOC=∠DOB=90°, 所以∠AOB=∠AOC+∠BOC=∠AOC (∠BOD一∠DOC)=90° 十(90°—28°28) = 151°32'; ① 十 图 (2找出图①中相等的角； (3)若∠DOC越来越小，则∠AOB如何变化? (4在图②中利用能够画直角的工具再画一个与 (3)若∠DOC越来越小，则∠AOB越来越大； (4)如图，∠MON=∠EOF. ∠FOE相等的角. (2)∠AOC=∠BOD,LAOD=∠BOC; 图② 图① 互余 互补 两角间的 数量关系 ∠1+∠2=90° 或∠1=90°-∠2 ∠1+∠2=180° 或∠1=180°-∠2 对应图形 4 2 工 性质 同角或等角的 余角相等 同角或等角的 补角相等 课堂小结 1.下列说法正确的是 ( D ) A. 一个角的补角一定大于它本身 B. 一个角的余角一定小于它本身 C. 一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角 D. 一个角的余角一定小于其补角 随堂检测 2. 一个角的余角是它的2倍，这个角的度数 是 ( A ) A.30° B.45° C.60° D.75° 3.已知∠A 与∠B 互余，∠B 与∠C 互补，若 ∠A=60°, 则∠C的度数是 150° ● 4.∠1与∠2互余，∠1=(6 x+8°,∠2=(4x -8)°,则∠1= 62° ,∠2= 28° . 5.若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这 个角的度数. 解：设这个角为x°, 则它的补角是(180—x)°, 余角是(90-x) °. 根据题意，得180—x=4(90- x). 解得 x=60. 答：这个角的度数是60°. 6.如图，已知直线AB 和 CD相交于点0,OM 平 分∠BOD, ∠MON 是直角，∠AOC=50°. (1求∠BOD的度数. 解：因为 ∠AOC+∠AOD=180°, ∠BOD+∠AOD=180° 且 ∠AOC=50°, 所以∠BOD=∠AOC=50° (同角的补角相等). 因此，∠BOD 的度数是 50°. (2求∠DON 的度数. 解：因为 OM 平分∠BOD 且∠BOD=50° (已知), 所以 ×50° =25° . 因为 ∠DON 与∠DOM 互余， 所以∠DON=90° -∠DOM =90° -25° =65°. 因此，∠DON 的度数是 65°. N $