3.6.3 余角和补角 暑期预习知识清单 2026-2027学年华东师大版数学七年级上册

　 　 　 3.6.3 余角和补角 暑期预习知识清单 　 2026-2027学年 · 华东师大版 · 七年级数学上册 （第三章 图形认识初步 · 3.6.3） 学习建议：用一副三角板找“凑成直角/平角”的角对，体会余角、补角 　 一、预习导航 🎯 本节核心内容 理解余角（两角和=90°）与补角（两角和=180°）；掌握重要性质——同角（或等角）的余角相等、同角（或等角）的补角相等；了解方位角的基本说法。 ⏱ 预计学习时间 约 70 分钟。 🔗 与小学知识的联系 小学知道“两角拼成一个直角叫互余”“拼成平角叫互补”；本节给出严格定义与性质定理，并用于推理。 💡 预习建议 用三角板：30° 与 60° 互余（和 90°），30° 与 150° 互补（和 180°）；自己举几对余角、补角，验证“同角的余角相等”。 二、3.6.3 余角和补角 知识清单 🎯 第一步：预习目标 ✔ 能判断两角是否互余（和 90°）或互补（和 180°） ✔ 记住并会运用同角（等角）余角相等、同角（等角）补角相等 ✔ 会求一个角的余角、补角 ✔ 知道锐角才有余角，钝角没有余角 📌 第二步：知识清单 📌 知识点1：余角的概念 如果两个角的和等于 90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。即若 ∠1 + ∠2 = 90°，则 ∠1 是 ∠2 的余角，∠2 也是 ∠1 的余角。 【例】30° 与 60° 互余；∠α 的余角 = 90° − ∠α。 ⚠ 特别注意：互余是两个角之间的关系，不能单独说“某个角是余角”；且只有锐角才有余角（因为余角需为正）。 📌 知识点2：补角的概念 如果两个角的和等于 180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。即若 ∠1 + ∠2 = 180°，则互为补角。∠α 的补角 = 180° − ∠α。 【例】120° 与 60° 互补；30° 与 150° 互补。 📌 知识点3：同角（等角）的余角相等 同角的余角相等：若 ∠1 + ∠2 = 90° 且 ∠1 + ∠3 = 90°，则 ∠2 = ∠3。 等角的余角相等：若 ∠1=∠4，且 ∠1+∠2=90°、∠4+∠5=90°，则 ∠2=∠5。 【一句话】“同一个角的余角都一样大；相等的角的余角也相等。” 📌 知识点4：同角（等角）的补角相等 同角的补角相等：若 ∠1+∠2=180° 且 ∠1+∠3=180°，则 ∠2=∠3。 等角的补角相等：相等的角，它们的补角也相等。 【辨析】余角、补角都讲“相等”性质；它常用于几何推理中“不用量角器就能说明两角相等”。 📌 知识点5：余角、补角的存在条件 余角：仅当角 < 90°（锐角）时存在正的余角；直角余角为 0°（通常不算互余）。 补角：任何小于 180° 的角都有正补角；平角补角为 0°。 关系：若两角互余，则它们一定都 < 90°；若两角互补，可能一锐一钝，或两个直角。 ⚠ 第三步：特别提醒 ⚠ 提醒1 互余、互补是两个角的关系，不能单独说一个角是余角。 ⚠ 提醒2 余角之和 90°，补角之和 180°；记混就错。 ⚠ 提醒3 只有锐角有余角；钝角没有余角（其补角存在）。 ⚠ 提醒4 “同角的余角相等”是推理依据，可直接引用。 ❌ 第四步：易错点剖析 易错点1：把“余角”当单个角 ❌ 错例：30° 是余角。 ✅ 正确：应说“30° 是 60° 的余角”，互余描述两个角的关系。 错因：误解词义。规避：余角讲两角关系。 　 易错点2：余角补角和记反 ❌ 错例：互余两角和 180°。 ✅ 正确：互余 和 90°，互补 和 180°。 错因：记忆混淆。规避：余九补百八（90/180）。 　 易错点3：钝角找余角 ❌ 错例：120° 的余角是 −30°。 ✅ 正确：120°>90°，没有正的余角（其补角=60°）。 错因：忽略存在条件。规避：只有锐角有余角。 ✏️ 第五步：典型例题 【例题1】（基础题·★）一个角是 35°，它的余角是（　） A. 55°　　B. 145°　　C. 35°　　D. 65° 【分析】余角=90°−35°=55°。 【解】55°。 【答】A。 　 【例题2】（中档题·★★）已知 ∠1 与 ∠2 互余，∠1 与 ∠3 互余，则（　） A. ∠2>∠3　　B. ∠2=∠3　　C. ∠2<∠3　　D. 无法比 【分析】同角的余角相等。 【解】∠2=∠3。 【答】B。 　 【例题3】（易错题·★★）已知 ∠α=110°，求它的补角，并判断有无余角。 【解】补角=180°−110°=70°；110°>90°，没有正的余角。 【答】补角 70°，无余角。 📝 第六步：随堂小测（5题） 1. 两角互余，则它们的和是（　） A. 90°　　B. 180°　　C. 360°　　D. 45° 2. 一个角 47°，它的补角是（　） A. 43°　　B. 133°　　C. 47°　　D. 137° 3. 下列有余角的是（　） A. 100°　　B. 90°　　C. 50°　　D. 180° 4. 同角的______角相等（填“余”或“补”）；可直接用于推理。 5. 若 ∠1 + ∠2 = 180°，则 ∠1 与 ∠2 互为______。 　 📝 随堂小测参考答案 1. A（互余和90°） 2. B（180−47=133） 3. C（只有锐角有余角） 4. 余（或补，均对；此处填“余”） 5. 补角 三、本节思维导图 中心主题：3.6.3 余角和补角： ① 余角 → 两角和 90°；∠α余角=90°−∠α。 ② 补角 → 两角和 180°；∠α补角=180°−∠α。 ③ 性质 → 同角(等角)余角相等；同角(等角)补角相等。 ④ 条件 → 仅锐角有余角；钝角无余角。 四、核心概念速查卡 🔑 余角：两角和 90°；∠α余角=90°−∠α（仅锐角）。 🔑 补角：两角和 180°；∠α补角=180°−∠α。 🔑 性质：同角(等角)余角相等；同角(等角)补角相等。 🔑 提醒：互余/互补是“两角关系”，钝角无余角。 五、本节易错点汇总 序号 易错点 正确做法 1 说“某角是余角” 余角讲两角关系 2 余和记成180° 余90补180 3 钝角找余角 只有锐角有余角 4 忽略性质可推理 同角余/补角相等 六、分层自测卷（3.6.3 余角和补角） 说明：A层（基础巩固）5题，B层（能力提升）3题，C层（拓展挑战）2题，共10题。 A层 · 基础巩固 A1. 一个角 60°，它的余角是（　） A. 30°　　B. 120°　　C. 60°　　D. 40° A2. 两角互补，则它们的和是（　） A. 90°　　B. 180°　　C. 360°　　D. 45° A3. 下列没有余角的是（　） A. 30°　　B. 45°　　C. 80°　　D. 100° A4. ∠α=25°，它的补角=______°。 A5. 同角的补角相等，可以作为______（填“计算”或“推理”）的依据。 B层 · 能力提升 B6. 下列说法正确的是（　） A. 钝角有余角　　B. 互余两角和180° C. 同角的余角相等　　D. 补角一定比余角大 B7. 若 ∠1 与 ∠2 互补，∠3 与 ∠2 互补，则（　） A. ∠1=∠3　　B. ∠1>∠3　　C. ∠1<∠3　　D. 无法比 B8. 为什么钝角没有余角？说明理由。 C层 · 拓展挑战 C9. 一个角的补角比它的余角大多少度？请推导（用代数式）。 C10. 若 ∠A 与 ∠B 互余，∠B 与 ∠C 互补，且 ∠A=30°，求 ∠C。 七、参考答案与解析 A层 A1. A（90−60=30） A2. B（互补和180°） A3. D（100°钝角无余角） A4. 155（180−25=155） A5. 推理 B层 B6. C（同角的余角相等；A钝角无余角，B互余和90，D不一定） B7. A（同角的补角相等，∠1=∠3） B8. 余角要求两角和90°，钝角>90°，其“余角”将为负，不存在正的余角，故钝角没有余角。 C层 C9. 设角为x，补角=180−x，余角=90−x，差=(180−x)−(90−x)=90°。即补角比余角恒大90°。 C10. ∠B=90−∠A=60°；∠C=180−∠B=120°。 💡 解题方法与技巧 技巧1：求余角用 90°−α，求补角用 180°−α。 技巧2：记“余九补百八”，别把 90 和 180 搞反。 技巧3：见“同角/等角”就联想相等性质，可直接用于证明两角相等。 📌 易混辨析：余角 vs 补角 两者都是“两角和”的关系，区别在于总和：余角和为 90°（直角），补角和为 180°（平角）。只有锐角有余角；任何锐角、直角、钝角（<180°）都有补角。同一角的补角比余角大 90°。 ✏️ 补充例题（中档题·★★） 【例题4】若 ∠1 与 ∠2 互余，∠2 与 ∠3 互补，且 ∠1=20°，求 ∠3。 【解】∠2=90−20=70°；∠3=180−70=110°。 【答】∠3=110°。 📝 补充随堂练习（3题） 1. 一个角 72°，它的余角是（　） A. 18°　　B. 108°　　C. 28°　　D. 162° 2. 若两角互补，其中一个是直角，另一个也是______。 3. 同角的补角相等，可以作为______依据（填“推理”或“计算”）。 📝 补充练习参考答案 1. A（90−72=18） 2. 直角（两个直角互补） 3. 推理 📊 本节学习小结 余角=两角和90°（仅锐角有），补角=两角和180°；同角(等角)余角相等、补角相等，可作推理依据；互余/互补描述两角关系；同一角补角比余角大90°。 📝 综合应用（2题） 【应用1】一副三角板中，哪些角互余？哪些互补？列举一对。 【解】互余：30°与60°、45°与45°；互补：30°与150°、60°与120°、45°与135°等（用板中角组合）。 【答】略。 【应用2】已知 ∠A 的余角等于 ∠A 的补角的一半，求 ∠A。 【解】设∠A=x，则 90−x = ½(180−x) → 180−2x=180−x → x=0？再算：90−x=(180−x)/2 → 180−2x=180−x → −2x=−x → x=0，不符（应为正角）。检查：若 余角=补角一半，则 90−x=(180−x)/2，化简 180−2x=180−x → x=0，说明只有0°满足；若题意“余角等于补角的一半”在0°平凡成立。改举例：若余角比补角的一半小，则可解得非零。此处说明方程需合理设。 【答】按方程仅有 x=0°（平凡解），说明该等式对正角不成立；若题目为“补角比余角大90°”则恒成立。 🔍 概念判断自测（5题，对的打√，错的打×） 1. 两角互余，和是 90°。（　） 2. 钝角有余角。（　） 3. 同角的余角相等。（　） 4. 一个角的补角等于 180° 减去这个角。（　） 5. 互补的两个角一定都是锐角。（　） 🔍 判断自测参考答案 1. √ 2. ×（钝角无余角） 3. √ 4. √ 5. ×（可一锐一钝或两直角） 📚 拓展阅读 · 余补角的妙用 余角和补角的“相等性质”是几何推理里最常引用的理由之一。古埃及人在测量土地（几何学一词原意即“测地”）时，就利用“同角的补角相等”把被尼罗河冲掉的边界角复原。现代计算机图形学在做旋转、镜像时，也大量用到角的互补关系。一个看似简单的“加起来是 90° 或 180°”，支撑起了从古到今无数精确的图形与结构。 🧠 学法指导（记忆口诀） 口诀：两角和九十，互余记心间；两角和一百八，互补不能乱；余九补百八，莫要记反边；同角余补都相等，推理依据好使唤；钝角无余角，锐角才有伴。 易错提醒：互余/互补是“两角关系”，不能说单独一个角是余角；余和90、补和180 别反；只有锐角有余角。 💡 易错速记卡 易错1 说“某角是余角”——错！讲两角关系。 易错2 余和记180°——错！余90补180。 易错3 钝角找余角——错！只有锐角有。 📊 本节知识树（要点归纳） 余角=两角和 90°（仅锐角有），补角=两角和 180°；同角（等角）的余角相等、补角相等，可作推理依据；互余/互补描述两角关系；同一角的补角比余角大 90°；钝角没有余角。 🧭 本节思想方法 余角和补角的“相等性质”是几何推理里最常引用的理由之一：不用量角器，仅凭“同角”就能断定两角相等。记住“余九补百八”，再抓住“相等性质”这条主线，许多角度证明题就有了第一块基石。 ✏️ 能力提升闯关（3题） 1. 一个角 75°，它的余角和补角各是多少度？ 2. 同角的补角相等，可以作为什么依据？ 3. 为什么钝角没有余角？ ✏️ 闯关参考答案 1. 余角=90−75=15°，补角=180−75=105°。 2. 几何推理的依据（可用来证明两个角相等）。 3. 钝角>90°，与任何正角之和都>90°，不存在和为90°的正角，故无余角。 学科网（北京）股份有限公司 $