3.6.3 余角和补角（课件）-2026-2027学年华东师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“余角和补角”核心知识点，通过情境导入结合量角器度量20°与70°、40°与50°等角，引导学生发现两角和为90°或180°，从具体操作到抽象定义，再通过问题探究性质，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察（量角操作培养几何直观）、数学思维推理（性质探究发展推理意识）、数学语言表达（表格总结与符号运算强化模型意识）。如典例精析结合角度计算与几何图形分析，随堂练习融入教材习题与中考真题，帮助学生提升抽象能力和运算能力，教师可直接用于课堂教学，提高效率。

华东师大版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月21日 3.6.3 余角和补角 第三章 图形的初步认识 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若两个角的和是90°，则这两个角互为余角 B. 若两个角的和是180°，则这两个角是邻补角 C. 一个角的余角一定比这个角小 D. 一个角的补角一定比这个角大 2. 已知∠α = 35°，则∠α的余角的度数是（ ） A. 35° B. 55° C. 145° D. 155° 3. 若∠β = 105°，则∠β的补角的度数是（ ） A. 75° B. 85° C. 105° D. 115° 4. 下列关于余角和补角的性质，说法正确的是（ ） A. 若两个角互为余角，则这两个角一定相等 B. 若两个角互为补角，则这两个角一定一个是锐角，一个是钝角 C. 同角的余角相等 D. 同角的补角互补 5. 已知∠1与∠2互为余角，∠1与∠3互为补角，且∠2 = 30°，则∠3的度数是（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 若两个角的和是________，则这两个角互为余角；若两个角的和是________，则这两个角互为补角。 2. 一个角的余角与它本身的和是________°；一个角的补角与它本身的和是________°。 3. 已知∠α = 60°，则∠α的余角是________°，补角是________°。 4. 若∠1与∠2互为余角，∠2与∠3互为余角，则∠1________∠3（填“>”“<”或“=”），理由是________。 5. 若一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角的度数是________°。 三、解答题（共70分） 1. （10分）计算下列各角的余角和补角（若不存在，说明理由）： （1）∠A = 28°，求∠A的余角和补角； （2）∠B = 90°，求∠B的余角和补角； （3）∠C = 105°，求∠C的余角和补角； （4）∠D = 65°30′，求∠D的余角和补角； （5）∠E = 180°，求∠E的余角和补角。 2. （15分）判断下列说法是否正确，若不正确，请改正并说明理由： （1）互为余角的两个角一定都是锐角； （2）互为补角的两个角一定一个是锐角，一个是钝角； （3）若∠1 + ∠2 + ∠3 = 90°，则∠1、∠2、∠3互为余角； （4）若∠α与∠β互为补角，则∠α = 180° - ∠β； （5）一个角的补角一定比它的余角大90°。 3. （15分）回答下列关于余角和补角的问题： （1）简述余角和补角的定义，并说明两者的区别； （2）简述余角和补角的性质，并分别用符号形式表示； （3）已知∠α的余角比∠α小20°，求∠α的度数； （4）已知∠β的补角比∠β大60°，求∠β的度数； （5）若∠1与∠2互为余角，∠3与∠4互为补角，且∠1 = ∠3，说明∠2与∠4的关系。 4. （15分）结合所学知识，完成下列与余角、补角相关的运算： （1）已知∠A = 35°40′，求∠A的余角与补角的度数差； （2）已知∠1 = 25°，∠2与∠1互为余角，∠3与∠2互为补角，求∠3的度数； （3）计算：一个角的余角的补角，与这个角的补角的余角，它们的差是多少度？ （4）已知∠α与∠β互为补角，且∠α = 2∠β，求∠α和∠β的度数； （5）观察生活中的角，列举1个互为余角和1个互为补角的实例。 5. （15分）根据余角和补角的特征，解决下列问题： （1）已知∠AOB = 70°，∠BOC与∠AOB互为余角，求∠BOC的度数，并说明∠AOC的可能度数； （2）已知∠1与∠2互为余角，∠2与∠3互为补角，∠3 = 120°，求∠1的度数； （3）判断：若两个角互为补角，则它们的余角也互为补角吗？为什么？ （4）已知一个角的补角是它的余角的3倍，求这个角的度数； （5）用文字描述一个场景，包含互为余角或互为补角的两个角，说明它们的关系，并计算其中一个角的度数。 参考答案： 一、1.A 2.B 3.A 4.C 5.C 二、1. 90°；180° 2. 90；180 3. 30；120 4. =；同角的余角相等 5. 60 三、1. （1）余角：90° - 28° = 62°；补角：180° - 28° = 152°； （2）余角：90° - 90° = 0°（不存在余角，严格来说余角是两个锐角的和为90°）；补角：180° - 90° = 90°； （3）余角：不存在（因为105° > 90°，无法找到一个角与它的和为90°）；补角：180° - 105° = 75°； （4）余角：90° - 65°30′ = 24°30′；补角：180° - 65°30′ = 114°30′； （5）余角：不存在（180° > 90°）；补角：不存在（180° + 0° = 180°，但0°不是有效角，严格来说补角是两个角的和为180°，且两角均为0°~180°）。 2. （1）正确；理由：互为余角的两个角和为90°，每个角都必须小于90°，因此都是锐角； （2）不正确；改正：互为补角的两个角可能一个是锐角、一个是钝角，也可能两个都是直角；理由：90° + 90° = 180°，两个直角也互为补角； （3）不正确；改正：若两个角的和是90°，则这两个角互为余角，三个角的和为90°，不能说它们互为余角；理由：余角的定义是两个角的和为90°，与三个角无关； （4）正确；理由：互为补角的两个角和为180°，因此一个角等于180°减去另一个角； （5）正确；理由：设这个角为x°，它的补角为（180 - x）°，余角为（90 - x）°，补角 - 余角 = （180 - x） - （90 - x） = 90°，因此补角一定比余角大90°。 3. （1）余角定义：若两个角的和是90°，则这两个角互为余角；补角定义：若两个角的和是180°，则这两个角互为补角；区别：两角和的度数不同（90° vs 180°），余角仅存在于两个锐角之间，补角可存在于锐角与钝角、两个直角之间； （2）余角性质：同角（或等角）的余角相等；符号形式：∵ ∠1 + ∠2 = 90°，∠1 + ∠3 = 90°，∴ ∠2 = ∠3；补角性质：同角（或等角）的补角相等；符号形式：∵ ∠1 + ∠2 = 180°，∠1 + ∠3 = 180°，∴ ∠2 = ∠3； （3）设∠α为x°，则它的余角为（90 - x）°；由题意得：x - （90 - x） = 20，解得x = 55；答：∠α的度数为55°； （4）设∠β为x°，则它的补角为（180 - x）°；由题意得：（180 - x） - x = 60，解得x = 60；答：∠β的度数为60°； （5）∠4 - ∠2 = 90°；理由：∵ ∠1 + ∠2 = 90°，∴ ∠2 = 90° - ∠1；∵ ∠3 + ∠4 = 180°，且∠1 = ∠3，∴ ∠4 = 180° - ∠1；∴ ∠4 - ∠2 = （180° - ∠1） - （90° - ∠1） = 90°。 4. （1）∠A的余角：90° - 35°40′ = 54°20′；补角：180° - 35°40′ = 144°20′；度数差：144°20′ - 54°20′ = 90°；答：度数差为90°； （2）∵ ∠2与∠1互为余角，∴ ∠2 = 90° - 25° = 65°；∵ ∠3与∠2互为补角，∴ ∠3 = 180° - 65° = 115°；答：∠3的度数为115°； 设这个角为x°，它的余角为（90 - x）°，余角的补角为180° - （90 - x）° = 90° + x°；它的补角为（180 - x）°，补角的余角为90° - （180 - x）° = x° - 90°；差值：（90 + x） - （x - 90） = 180°；答：它们的差是180°； （4）∵ ∠α与∠β互为补角，∴ ∠α + ∠β = 180°；又∵ ∠α = 2∠β，∴ 2∠β + ∠β = 180°，解得∠β = 60°，∠α = 120°；答：∠α = 120°，∠β = 60°； （5）示例：互为余角：三角尺中30°的角和60°的角，和为90°；互为补角：平角中60°的角和120°的角，和为180°（答案不唯一，合理即可）。 5. （1）∵ ∠BOC与∠AOB互为余角，∴ ∠BOC = 90° - 70° = 20°；分两种情况：① OC在∠AOB内部，∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 50°；② OC在∠AOB外部，∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 90°；答：∠BOC = 20°，∠AOC可能是50°或90°； （2）∵ ∠2与∠3互为补角，∠3 = 120°，∴ ∠2 = 180° - 120° = 60°；∵ ∠1与∠2互为余角，∴ ∠1 = 90° - 60° = 30°；答：∠1的度数为30°； （3）不一定；理由：设两个互为补角的角为x°和（180 - x）°，它们的余角分别为（90 - x）°和（x - 90）°；当x = 60°时，余角为30°和-30°（无效）；当x = 45°时，余角为45°和45°，和为90°，互为余角；因此不一定互为补角； （4）设这个角为x°，则补角为（180 - x）°，余角为（90 - x）°；由题意得：180 - x = 3（90 - x），解得x = 45；答：这个角的度数为45°； 示例：场景：一个平角被分成两个角，∠1和∠2，它们互为补角，其中∠1 = 70°，求∠2的度数；关系：∠1 + ∠2 = 180°，互为补角；计算：∠2 = 180° - 70° = 110°；结果：∠2 = 110°（答案不唯一，描述准确即可）。 知道两角互余、两角互补的意义，能熟练地求出一个角的余角或补角. 通过探究，知道“同角(或等角)的余角相等”，“同角(或等角)的补角相等”，并会应用. 余角、补角的概念及性质. 情境导入 45° 45° 30° 60° 90° 90° 和都是90° 探索新知 1 2 α β 用量角器量一量两组图中各角的大小，看看你发现了什么？ 20° 70° 40° 50° ∠1＋∠2＝90° ∠α＋∠β＝90° 1 2 α β 两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角. 简称互余. 1 2 α β 如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1是∠2的余角，∠2也是∠1的余角. 两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角. 1 2 反过来，如果两个角互余， 1 那么把这两个角像这样拼一起，就构成一个直角. α β 3 4 同样，如果两个角的和等于180°（平角）， 就说这两个角互为补角，简称互补. ∠3＋∠4＝180°，所以∠3、∠4的互为补角. 1 2 3 4 想想看，如果∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，∠2 =∠4，那么∠1和∠3有什么关系？相等角的补角又有什么关系？ ∠1＝∠3 归纳总结 同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等. 典例精析 例1 已知∠α = 50°17'，求∠α 的余角和补角. 解：∠α 的余角 = 90° - 50°17' = 39°43'； ∠α 的补角 = 180° - 50°17' = 129°43'. ∠α 5° 62°23′ x° (0<x<90) (20 - x)° (0<x<20) 余角 60° 补角 110° 1. ∠α 是锐角，则它的余角可以表示为 ， 补角可以表示为 . 90° -∠α 180° -∠α 85° 175° 27°37′ 117°37′ (90 - x)° (180 - x)° (70 + x)° (110 + x)° 30° 150° 70° 20° 练一练 例2 如图，点 A，O，B 在同一条直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？ 解：因为点 A，O，B 在同一条直线上， 所以∠AOC 和∠BOC 互为补角． A O B C D E 补角的定义 典例精析 A O B C D E 又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC， 所以∠COD +∠COE = ∠AOC + ∠BOC = (∠AOC +∠BOC ) = 90° 所以∠COD 和∠COE 互为余角， 同理，∠AOD 和∠BOE，∠AOD 和∠COE，∠COD 和∠BOE 互为余角． 等式的性质 余角的定义 练一练 2. 已知∠1 与∠2 互余，∠2 与∠3 互补，∠1 = 65°，则∠3 = . 3. 一个角是它的余角的1.5倍，则这个角的补角是 . 155° 分析：1. ∠2 = 90° - ∠1 2. 设这个角的余角为 α，则这个角为 1.5α. 126° = 90° - 65° = 25° ∠3 = 180° - ∠2 = 180° - 25° = 155° α + 1.5α = 90° 解得 α = 36°，1.5α = 54°. 方程思想 1．填空: （1）77°42′＋34°45′＝__________； （2）108°18′－56°23′＝___________； （3）180°－（34°54′＋21°33′）＝__________； 112°27′ 51°55′ 123°33′ 【选自教材P163 习题3.6 第1题】 A 组 随堂练习 2．时钟的分针1小时转了_______度的角，1分钟转了________度的角. 360 6 【选自教材P163 习题3.6 第2题】 随堂练习 3．如图，如果∠1 = 65°15′，∠2 = 78°30′，那么∠3是多少度？ 解：∠3 ＝ 180°－∠1－∠2 ＝180°－65°15′－78°30′ ＝36°15′ 【选自教材P163 习题3.6 第3题】 随堂练习 4．任意画一个∠AOB，在∠AOB的内部引射线OC、OD，这时图中共有几个角？分别把它们表示出来. 解：6个；分别是∠AOB、∠AOC、∠COD、∠DOB、∠AOD、∠COB. A O B C D 【选自教材P163 习题3.6 第4题】 随堂练习 5．两个相等的钝角有同一个顶点和一条公共边，并且两个角的另两条边所成的角为90°，画出图形，并求出这两个钝角的大小. α β 解：如图所示，∠α与∠β是两个相等的钝角，则∠α＝∠β＝ 【选自教材P163 习题3.6 第5题】 随堂练习 6. 如图，OA是表示什么方向的一条射线？仿照这条射线画出表示下列方向的射线： （1）南偏东60°； （2）北偏西70°； （3）西南方向（即南偏西45°）. OA表示北偏东40°方向的的一条射线. 【选自教材P163 习题3.6 第6题】 60° B 45° D 70° C 随堂练习 7. 72°20 ′的角的余角等于__________；25°31'的角的补角等于__________. 17°40′ 154°29′ 【选自教材P163 习题3.6 第7题】 随堂练习 8. 如图，EF、EG分别是∠AEB和∠BEC的平分线，求∠FEG的度数，并写出∠FEB的余角. 【选自教材P163 习题3.6 第8题】 解：因为∠BEF＝∠AEF，∠BEG＝∠GEC， 所以 2(∠BEF＋∠BEG)＝180° 所以 ∠BEF＋∠BEG＝90° ∠FEB的余角为∠BEG和∠CEG 所以 ∠FEG＝90° B 组 随堂练习 9.如图，已知∠A和∠ B，利用尺规作图作∠ C， 使∠ C= ∠ A+ ∠ B. A B C 【选自教材P163 习题3.6 第9题】 随堂练习 知识点1　余角和补角的定义 1. [新趋势·跨学科 2024 扬州期末]冬至是地球赤道以北地区 白昼最短、黑夜最长的一天，在民间有“冬至大如年”的 说法.某地冬至日正午太阳高度角是32°24'，则32°24'的 余角为 ⁠. 57°36'　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 中考考法 2. 如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的 度数是(　C　) A. 50° B. 70° C. 130° D. 160° 【点拨】 设这个角的度数是 x °. 根据题意，得 x ＝2(180－ x )＋30， 解得 x ＝130，即这个角的度数是130°. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 中考考法 3. [2024·广州越秀区月考]将一副三角尺按下列位置摆放，使 ∠α和∠β互余的摆放方式是(　A　) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 中考考法 对于A. ∠α＋∠β＝180°－90°＝90°，∠α与∠β互 余；对于B. 同角的余角相等，则∠α＝∠β，但∠α与∠β 不一定互余；对于C. ∠α＝∠β＝180°－45°＝135°， ∠α与∠β不互余；对于D. ∠α＋∠β＝180°，∠α与∠β 不互余，故选A. 【点拨】 【答案】A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 中考考法 知识点2　余角和补角的性质 4. 如图，直线 AB ， CD 交于点 O ，因为∠1＋∠3＝180°， ∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2.此判断的依据是 (　C　) A. 同角的余角相等 B. 等角的余角相等 C. 同角的补角相等 D. 等角的补角相等 (第4题) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 中考考法 互余 互补 两角间的数量关系 对应图形 性质 4 3 1 2 ∠1 +∠2 = 90° 或∠1 = 90° -∠2 ∠1 +∠2 = 180° 或∠1 = 180° -∠2 同角或等角的 补角相等 同角或等角的 余角相等 课堂小结 $