第10章 二元一次方程组 暑假自主提升综合练习 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 以二元一次方程组解法为核心，通过基础巩固、变式拓展、实际建模三级递进，系统整合概念理解、运算技巧与模型应用，渗透换元法、整体思想等数学方法，培养抽象能力与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与解法|单选1-2/填空8/解答15|方程解定义、加减消元法|概念生成→解法推导| |变式与参数问题|单选3-5/填空9-11|参数处理、新运算转化|解法→参数拓展| |实际应用与建模|单选6-7/解答19-20|几何建模、古代问题转化|解法→实际应用建模| |拓展与思想方法|解答17-18/填空14|换元法、整体思想|方法→思想迁移|

2025-2026学年人教版七年级数学下册《第10章二元一次方程组》 暑假自主提升综合练习题（附答案） 一、单选题 1．已知是方程的解，则a的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．数学课堂上，王老师让大家用加减消元法解方程组，下面是四位同学的求解过程，其中正确的是（   ） A．要消去x，可以将 B．要消去x，可以将 C．要消去y，可以将 D．要消去y，可以将 3．若，则的值为（ ） A． B．1 C． D．2 4．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为（  ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．定义一种新运算：，若，且关于，的二元一次方程，当，取不同值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，那么公共解为（  　  ） A． B． C． D． 6．如图，大长方形是由7个形状大小完全相同的小长方形组成的，大长方形的周长为，则小长方形的两边长分别为（   ） A．3、4 B．2、5 C．3、6 D．4、5 7．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了钱，乙带了钱，根据题意，下列方程组正确的是（    ） A．B．C．D． 二、填空题 8．把方程改为用含的式子表示，则______． 9．以二元一次方程组的解为坐标的点在第______象限． 10．定义一种新运算“”，规定，其中a、b为常数，且，则______． 11．已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为，则的值为_______ 12．已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为________． 13．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②可能存在某个a值，使得x，y的值互为相反数；③x，y都为自然数的解有3对；④若，则．正确的序号为_____． 14．小华到学校超市买11支铅笔、5本作业本、2支笔芯，共用12.5元；小刚在这家超市买10支铅笔、4本作业本、1支笔芯，共用10元．购买1支铅笔、1本作业本、1支笔芯共需_______元． 三、解答题 15．求下列方程组的解： (1) (2) 16．已知关于x，y的方程组与的解相同，求的值． 17．关于的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：“”变更方程为“”． (1)求方程与它的“变更方程”组成的方程组的解； (2)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式 的值． 18．阅读下面资料，解决问题． 解方程组，若设，，则原方程组化为，解得，所以，解得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)知识迁移：请用这种方法解方程组； (2)拓展应用：已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解为__________． 19．用如图1所示的长方形和正方形两种类型的纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成竖式与横式两种无盖的长方体纸箱，如图2所示（上方无盖）．（加工时接缝材料不计） (1)若现有长方形纸板张，正方形纸板张．则竖式纸箱、横式纸箱各加工多少个，恰好将所有纸板全部用完； (2)有一种大型母板，每张大型母板可裁出如图1所示的张长方形纸板或张正方形纸板（一张大型母板只能裁剪一种类型纸板），现有该种大型母板张，所有大型母板经裁剪后，再加工成竖式与横式两种无盖的长方体纸箱，所裁剪的长方形或正方形纸板正好全部用完，若此时所加工的竖式纸箱的个数是横式纸箱的个数的倍，求分别用于裁成长方形纸板和裁成正方形纸板的大型母板的张数． 20．项目化学习 汽车生产线分配方案 素材一 某汽车制造厂计划采购装配两种新能源汽车零配件生产线：A型生产线、B型生产线，装配每条生产线所需技工人数、单条生产线采购成本如下表： 生产线型号 每条所需装配技工 每条采购成本（万元） A型 4 1200 B型 5 1600 素材二 工厂现有装配技工60名，全部分配到两条生产线的装配工作中，每名技工只参与其中一种型号生产线的装配工作，采购两类生产线总花费18800万元． (1)求A型、B型生产线各采购多少条？ (2)工厂扩充人员后，共有装配技工65名，全部上岗参与装配，每名技工只负责一种生产线装配，要求采购的B型生产线数量多于4条．要使生产线的采购总成本最低，A型、B型生产线应各采购多少条？ 参考答案 1．B 【分析】根据方程解的定义，将已知的方程解代入原方程，即可求出参数的值． 【详解】解：∵是方程 的解， ∴ 将，代入方程得：， 解得． 2．D 【分析】根据选项中的方法，逐一进行计算，判断即可. 【详解】解：原方程组为 对选项A： ∵ ①②中，的系数为，无法消去， ∴A错误； 对选项B： ∵ ①②中，的系数为，无法消去， ∴B错误； 对选项C： ∵ ①②中，的系数为，无法消去， ∴C错误； 对选项D： ∵ ①②中，的系数为，可以消去， ∴D正确. 3．A 【分析】根据非负数的性质得关于、的二元一次方程，解方程，然后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 4．A 【分析】本题先通过代入消元法得到原方程组中,关于的表达式，再将,代入公共解满足的方程，即可求出的值． 【详解】解：， ①代入②得 ， 化简得， 即， 代入①得， ， ∵原方程组的解也是的解， 把，， 代入得， 解得． 5．D 【分析】先根据新运算定义得到b与a的关系，代入方程后整理，根据方程对任意a都成立的性质，得到关于x，y的二元一次方程组，求解即可得到公共解． 【详解】解：∵，且， ∴，即， 将代入方程，得，， 整理得：， ∵取不同值时，方程都有公共解，即等式对任意恒成立， ∴， 解得， ∴公共解为． 6．B 【分析】设小长方形的长为，宽为，再结合长方形的性质可得方程组，再解方程组即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，， 解得：， ∴小长方形的两边长分别为，． 7．B 【分析】根据题意找到两个等量关系，分别列出方程即可得到正确结果． 【详解】解：设甲带了钱，乙带了钱， ∵甲得到乙所有钱的一半后，甲共有钱50， ∴甲原有钱加上乙钱的一半等于50，得方程 ， ∵乙得到甲所有钱的后，乙共有钱50， ∴乙原有钱加上甲钱的等于50，得方程 ， 因此可得方程组 ． 8． 【分析】把x看作已知数，求出y即可． 【详解】解： ∴， ∴． 9．四 【分析】本题考查了加减消元法，判断点所在的象限，解题关键是掌握上述知识点．先求出方程组的解，从而可得出点的坐标，再判断点所在的象限． 【详解】解：方程组， 解得：， 所以以二元一次方程组的解为坐标的点为， 这个点在第四象限． 10． 【分析】根据新运算的定义，结合已知条件列出关于、的二元一次方程组，求解得到、的值后，再根据新运算规则计算即可． 【详解】解：∵， ， ，， 整理得， 第二个方程减第一个方程得， 解得， 将代入，得， ∴， ∴． 11．0 【分析】分别把x，y的值代入正确的方程求出a，b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：把代入 得：， 解得； 把代入， 得， 解得， ∴． 12． 【分析】本题考查二元一次方程组的解的概念，利用等式的基本性质将待求方程组变形，使其结构与已知解的原方程组一致，再对应得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：两边同时除以， 得， 方程组的解为， ， 解得：， 关于，的二元一次方程组的解为． 13． 【分析】利用消元法解二元一次方程组，得到，再逐个判断每个结论的正误即可． 【详解】解： 得，解得， 把代入②得，解得， ∴原方程组的解为， ∴， 当时，， ∴当时，，故①正确； ∵， ∴， ∴不存在某个a值，使得x，y的值互为相反数，故②错误； ∵， ∴， 若x、y都为自然数，则当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴x，y都为自然数的解有4对，故③错误； ∵， ∴， ∴当时，， ∴，故④正确． 14．2.5 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用相关知识点，掌握通过设未知数，根据题意列出三元一次方程组，再利用整体思想来解决问题是解题的关键． 通过设铅笔、作业本、笔芯的单价分别为未知数，，，不需要分别求出未知数的值，通过对两个方程进行适当的运算，即可求出购买1支铅笔、1本作业本、1支笔芯的总费用． 【详解】解：设铅笔每支元，作业本每本元，笔芯每支元， 根据题意可得方程组： 得：， 即：购买支铅笔、本作业本、支笔芯共需元． 故答案为：2.5． 15．(1) (2) 【详解】（1）解：， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， 因此方程组的解为； （2）解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 因此方程组的解为． 16．1 【详解】解：依题意可得， 解得． 把代入和中，可得方程组， 解方程组可得， ． 17．(1) (2)2026 【分析】（1）根据“变更方程”的定义可得方程，然后联立方程组求解即可； （2）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：由定义可知，的变更方程为． 联立得方程组： ，得， 解得． 把代入①， 得， 解得． 方程组的解为． （2）解：方程与它的“变更方程”组成的方程组为， ，得， ， ． 把代入①，得， ． ， ， ． 又 方程是二元一次方程， ， ． ∴把代入可得，即， ∴ ． 18．(1)． (2)． 【分析】（1）由换元法，设，，解得，进而求出． （2）由换元法，设，，则该方程组为，由题意可得，即可求解． 【详解】（1）解：方程组， 设，， 则原方程组化为， 得，， ， 解得， ，解得． （2）解：方程组， 可化为， 设，， 则该方程组化为， 关于，的二元一次方程组的解为， ， ，解得． 19．(1)加工竖式纸箱个，加工横式纸箱个 (2)用于裁成长方形纸板和裁成正方形纸板的大型母板的张数分别为张，张 【分析】（1）设加工竖式纸箱个，加工横式纸箱个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用长方形纸板张，正方形纸板张，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得解； （2）设加工横式纸箱个，用于裁成长方形纸板和裁成正方形纸板的大型母板的张数分别为张，张，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得解． 【详解】（1）解：设加工竖式纸箱个，加工横式纸箱个， 根据题意得：， 解得； 答：加工竖式纸箱个，加工横式纸箱个． （2）解：设加工横式纸箱个，用于裁成长方形纸板和裁成正方形纸板的大型母板的张数分别为张，张． 根据题意得：， 解得， ； 答：用于裁成长方形纸板和裁成正方形纸板的大型母板的张数分别为张，张． 20．(1)安装5条A型生产线，8条B型生产线 (2)当安装10条A型生产线，5条B型生产线时，安装总成本最少 【分析】（1）设A型采购条，B型采购条，根据题意列方程组求解即可； （2）设采购条A型生产线，条B型生产线，根据“共有装配技工65名”得到二元一次方程，进而根据要求取合适的解得到所有采购方案，比较采购总成本即可． 【详解】（1）解：设A型采购条，B型采购条， 根据题意得：， 解得：． 答：安装5条A型生产线，8条B型生产线； （2）解：设采购条A型生产线，条B型生产线， 根据题意得：， ∴， 又∵，均为非负整数，且， ∴或或， ∴共有3种采购方案， 方案1：采购总成本为（万元）； 方案2：采购总成本为（万元）； 方案3：采购总成本为（万元）， ∵， ∴当安装10条A型生产线，5条B型生产线时，安装总成本最少． 学科网（北京）股份有限公司 $