暑假专项作业：二元一次方程组-2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组的概念辨析、解法体系与实际应用，通过消元法、整体思想等方法提炼，构建从概念到建模的完整知识逻辑链，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1|二元一次方程定义辨析|从方程概念到方程组构成| |解法应用|选择4、解答17|代入/加减消元法|解法原理到步骤优化| |实际建模|选择5-7/9、解答18|古代问题/商品问题建模|实际情境到数学符号转化| |方法拓展|解答19-21|消常数项法/整体思想/镜像方程|常规解法到创新思维迁移|

暑假专项作业：二元一次方程组-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024） 一、选择题 1．下列方程中，是二元一次方程的是(　　) A．xy=1 B． C． D．x+y=1 2．方程组 的解是 (　　) A． B． C． D． 3． 若 是二元一次方程y=kx-9的一个解，则k的值为(　　) A．4 B．- 4 C．5 D．- 5 4．已知二元一次方程组，把①代入②消元正确的是（　　） A． B． C． D． 5．《算法统宗》里有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.李三公家的店有多少间客房，来了多少位房客.下列解题方案：①设客房有x间，则 7x+7=9 (x-1)； ②设客人有y位，则 ③设客房有x间，客人有y位，则 正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．已知：词牌《浣溪沙》每阕含6句，每句7个字；词牌《采桑子》每阕含8句，每句6个字.在某古代词集中，《浣溪沙》的篇目数量相较于《采桑子》多6阕，然而《浣溪沙》全篇总字数却比《采桑子》少12字.请问词集中《浣溪沙》和《采桑子》各收录了多少阕?（注：此处采用特定变体格律，以题目给定句数、字数为准）（　　） A．44，38 B．50，44 C．60，54 D．66，60 7．我国明代数学著作《算法统宗》里有：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人.共同饮了一十九，三十三客醉颜生.几多醇酒几多薄?”其大意是：醇酒一瓶能醉倒三位客人，薄酒三瓶才能醉倒一人，33位客人共喝了19瓶酒，最后都醉倒了，请问醇酒和薄酒各有多少瓶?设醇酒有x瓶，薄酒有y瓶，根据题意可列方程组为(　　) A． B． C． D． 8． 现有A，B，C三种型号的正方形和长方形纸片若干张，大小如图所示. 从中取出部分纸片进行无空隙、无重叠拼接，拼成一个长和宽分别为16和7的新长方形. 在各种拼法中，B型纸片需要的张数最多为（　　） A．4张 B．5张 C．8张 D．9张 9．龙泉青瓷工艺是世界级非物质文化遗产，“浙BA”赛区冠军奖杯采用龙泉青瓷工艺制作，如图，杯身高占总高的，杯身高与底座高之和是42cm，杯顶高与杯身高之和是49cm，设杯身高为x（cm），底座高为y（cm），则根据题意可列方程组为（　　） A． B． C． D． 10．已知关于x，y的方程组的解是.则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知方程3x-5y=9，用含x的式子表示y，则.　 　. 12． 已知 是关于x和y的方程y=2x+a的一个解，则a的值为　 　. 13．若关于x、y的二元一次方程组 的解满足 ，则 的取值范围是　 　. 14．用8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1，也可以拼成如图2那样的正方形，中间还留了一个洞，恰好是边长为3cm的小正方形，则一个小长方形的面积是 　 　cm2． 15．若一个两位数十位上的数字是m，个位上的数字是n，则这个两位数可记作 即 已知 则两位数 的数值是　 　. 16．在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组由算筹布置而成，如图①，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数，图①的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表达就是则图②所示的算筹图所表示的方程组的解为　 　. 三、解答题 17．解方程组： （1）； （2） 18．为减少库存，某商店举行了促销优惠活动．打折前，购买6个A商品和5个B商品，总费用为114元；3个A商品和7个B商品，总费用为111元．打折后，小明购买了9个A商品和8个B商品，总费用为141.6元． （1）求打折前A商品和B商品的单价； （2）若A商品和B商品的折扣相同，则该商店打几折出售这两种商品？小明在此次购物中得到了多少优惠？ 19．阅读下面解方程组的过程，回答相应的问题． 解方程组： ，得，即．③ 把③代入①，得， 解得． 把代入③，得． 所以原方程组的解为， 以上解方程组的方法叫做消常数项法． 请用上面的方法解方程组：； 20．阅读下面文字，然后回答问题 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程 ax+by=c(其中a≠b≠c)，若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程 cx+by=a称为原方程 ax+by=c的“镜像方程”.例如方程5x+6y=8的“镜像方程”为8x+6y=5. （1）写出3x-2y=-1的“镜像方程”　 　，以及它们组成的方程组的解为　 　； （2）若关于x，y的二元一次方程7x+my=9与其“镜像方程”组成的方程组的解为 求 mn的平方根； （3）若关于x，y的二元一次方程 ax+by=c的系数满足a+b+c=0，且与它的“镜像方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程 mx-ny=p(m≠n)的一个解，请直接写出代数式m(n-m)+p(p-n)+52的值. 21． （1）【问题提出】已知实数x，y满足，求的值． 本题常规思路是先解方程组，再将解得的x，y的值代入整式求值． 此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系； 本题还可以通过适当变形，求得该整式的值，如由可得． 这种解题思想就是通常所说的“整体思想”．解答下面问题： 已知方程组，则的值为　 　； （2）【问题迁移】 已知的解满足，求m的非负整数解； （3）【问题探究】 请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变； （4）【问题解决】 甲、乙、丙三种商品，如果购买1件甲商品、2件乙商品、2件丙商品共需135元，购买3件甲商品、1件乙商品、1件丙商品共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各1件共需多少元？ 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】C 9．【答案】A 10．【答案】D 11．【答案】​​​​​​​ 12．【答案】0 13．【答案】 14．【答案】135 15．【答案】63 16．【答案】 17．【答案】（1）解： ①×2可得：10x+4y=4 ③ ③-②可得：7x=7，解得：x=1 将x=1代入①可得：5+2y=2，解得： ∴不等式组的解集为： （2）解： ①×2可得：4x+2y=6 ③ ②-③可得：x=9 将x=9代入①可得：18+y=3，解得：y=-15 ∴不等式组的解集为： 18．【答案】（1）解：设打折前商品的单价为元，商品的单价为元． 依题意，得，解得 故打折前商品的单价为9元，商品的单价为12元． （2）解：设该商店打折出售这两种商品． 依题意，得，解得． （元）． 故该商店打八折出售这两种商品，小明在此次购物中得到了35.4元的优惠． 19．【答案】解：， ，得，即③， 把③代入①，得， 即． 把代入③，得． 则方程组的解是． 20．【答案】（1）-x-2y=3； （2）解：由题意可知， 7x+ my=9的镜像方程为9x+ my=7， 联立方程组得 ∵方程组的解为 解得 故 mn的平方根为±4. （3）52 21．【答案】（1）2 （2）解：，得， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴m的非负整数解为1、0； （3）解：， 由，得， ， 无论a取何值，的值始终不变； （4）解：设购买1件甲商品需x元，1件乙商品需y元，1件丙产品需z元，则 ， ，得， ∴， 把代入①，得， ∴，即， ∴． 答：购买甲、乙、丙三种商品各1件共需75元． 学科网（北京）股份有限公司 $