2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 （分层作业） 数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练以“两条直线平行和垂直的判定”为核心，通过三级分层设计，实现从概念辨析到综合应用的知识巩固路径，适配新授课基础夯实与思维进阶需求，培养数学推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|斜率与平行垂直关系的概念辨析|以选择判断题为主，如“由斜率判断平行”题型，强化数学语言表达与推理意识| |进阶层|已知平行垂直求参数及条件判断|结合充分必要条件题型，提升运算能力与逻辑思维，如参数求解题| |综合层|几何应用与直线过定点问题|融入三角形、正方形等几何情境，如“几何中的判定应用”题型，发展数学眼光与模型意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 目录 A组 巩固过关 题型01由斜率判断两条直线平行. ….1 题型02由斜率判断两条直线垂直… .3 题型03已知直线平行求参数 .4 题型04已知直线平行求参数.… 0.6 题型05直线平行、垂直的判定在几何中的应用 .7 题型06直线过定点问题… 10 题型07已知两点求斜率 .11 B组 能力进阶 .13 C组 思维拔高 .15 拓展 链接高考 …17 1/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A组 巩固过关 题型01 题型01由斜率判断两条直线平行 112 1.(24-25高二上云南期中)已知，为两条不重合的直线，则下列说法中错误的为() A.若，的斜率相等，则，平行 B.若m剧15小 2,则，的倾斜角相等 C,若，的斜率乘积等于八，则，垂直 1，测人，的率积等于1 D.若 2.(25-26高二上：内蒙古包头阶段检测)四边形ABCD的四个顶点是 (3,0)B(0,4)C(4,7)D(11,6) 则四边形ABCD为() A.矩形 B.菱形 C.等腰梯形 D.直角梯形 3.(24-25高二上广西玉林·阶段检测)下列命题：①若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；②若 两直线平行，则它们的斜率相等；③若两直线的斜率之积为-1，则它们垂直；④若两直线垂直，则它们的 斜率之积为-1.其中正确的为（) A.①②③④ B.①③ C.②③ D.①④ 题型02 题型02由斜率判断两条直线垂直 4.(25-26高二上江苏常州期中)与直线2x-y-3=0相交的直线方程是() 219 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4x-2y-6=0 B.y=2x C.y-1=2(x+2) x+y=1 D.63 5.(25-26高二上·天津阶段检测)直线经过 4〔2到1斜车为1，直线5经过点B和C0,则 和 与的位置关系为() A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直 A(2,3) 6.(25-26高二上·天津阶段检测)直线1经过点 且斜率为1，直线经过点BL和C0,-）,则 与的位置关系为() A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直 题型03 题型03已知直线平行求参数 7.(25-26高一下重庆期中)若直线x+3y-1=0与直线r-y=0平行，则a=() 1 1 A.3 B.3 C.3 D.-3 4x+(a+1)y-1-a=0 w13(a+1)x-(2a-1)y+a-1=0 8.(2026河南南阳模拟预测)己知直线'： ,直线： 41w的(） 则a=4是 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 9(25-26高三下北京阶段检测）。0=5”是“直线：r+ay+6=0和直线。(a-2)r+3ay+2a=0 3/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 平行”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 题型04 题型04已知直线平行求参数 10.(25-26高二上重庆期中)“a=1”是“直线x+(a-2y-1=0利 0和直线-+2=0平行”的《) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.(25-26高二上重庆期中)“a=1”是“直线 x+(a-2)y-1=0 和直线-@+2=0平行”的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.(24-25高二下湖南株洲开学考试)已知直线4：r+2y=0与直线 n13:x+(a+1)y+4=0 0,则“a=l”是 1”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 颗型05 题型05直线平行、垂直的判定在几何中的应用 13.(25-26高二上河北邯郸阶段检测)设a,b,c分别是△ABC中角A,B,C的对边，则直线 sin A.x+ay+c=0 bx-sin B.y+sin C=0 与 的位置关系是() A.平行 B.重合 C.垂直 D.无法确定 14.(2024高一上浙江杭州专题练习)如图，正方形OABC的一个顶点O是平面直角坐标系的原点，顶点 A,C分别在y轴和x轴上，P为边OC上的一个动点，且BP1PO,BP=P№，当点P从点C运动到点 4/9 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是() A.线段 B.圆弧 C.抛物线的一部分D.不同于以上的不规则曲线 15.(2024高一上·浙江杭州专题练习)如图，正方形OABC的一个顶点O是平面直角坐标系的原点，顶点 A,C分别在y轴和x轴上，P为边OC上的一个动点，且BP⊥P№，BP=P2,当点P从点C运动到点 O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是() A A.线段 B.圆弧 C.抛物线的一部分D.不同于以上的不规则曲线 题型06 题型06直线过定点问题 16.(25-26高二上·安徽宿州期末)（多选题)己知直线 :x+ay-a=0nh2:ax-(2a-3)y-1=0 和直线 ,下列 说法正确的是() 21Y A.2始终过定点33 B.若1，则a=-3 C者15 ,则a=2 D.当a>0时，始终不过第三象限 519 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1k+y-2=0 17.(25-26高二上江西景德镇期中)（多选题)己知动直线： ，动直线： (k+2)x+y+2=0(k∈R) 则下列结论中正确的是() A.存在，使得1的倾斜角为90° B.动直线恒过定点(，) C.若与垂直，则=-3或0 D.若与3平行，则k=-1或2 4:x+ay-a=0 18.(25-26高二上·安徽宿州期末)（多选题)已知直线 0和直线：r-2a-3y-1=0, ,下列 说法正确的是（) 21 A.h始终过定点33 B.若11八，则a=-3 C.若，则a=2 D.当a>0 时，始终不过第三象限 颗型07 题型07已知两点求斜率 19.(25-26商二上广东佛山阶段检测已知直线经过1(-3,4)，8(-8-两点，直线的领斜角为45， 且经过不在的点C,那么与（) A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直 20.(25-26高二上·广东佛山阶段检测)已知直线1经过 A(-3,4)B(-8,-1) 两点，直线的倾斜角为45 且经过不在的点C,那么与（) A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直 21.(25-26高二上福建三明期中)已知直线的倾斜角为30，直线7经过点 -A(-V3,-1)B(0, 0,则直 6/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线与的位置关系是() A.垂直 B.平行 C.平行或重合 D.重合 B组 能力进阶 1(25-26高上贵州黔南阶段检测同一平面内的直线：2x-y+3=0与直线，下列选项中满足的 直线是() A.h:y=2x-5 B.经过点5)和2，) c.的斜率为2，且过点0,3引 D.4与没有公共点 2.(25-26高二上江苏苏州期中)己知点 (-1,9）B(5,1) ,点C在x轴上，△ABC是直角三角形，这样的 三角形的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 3.(24-25高二上河南开封期中)直线：x-3y+1=0和直线m:3x+y-1=0的位置关系为() A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交但不垂直 4.(24-25高一上四川成都开学考试)在平面直角坐标系中，两条直线（)时候垂直？ A.斜率之积为1时 B.两条直线有1个公共点的时候 C.两条直线分别与坐标轴垂直的时候 D.以上答案均不正确 :mx+3y-1=0,12:2x+(m-5)y+1=0 5.(24-25高二上湖南株洲期末)若直线 与直线 垂直，则m= 7/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ( ) A.-3 B.-1 C.3 D.6 6(25.26有二上云南文山阶段检测已知直线，-y+2025=0,6.（4-3a)K+aw-1=0,若16 则实数a的值为() A.0 B.1 C.0或1 D.1或2 C组 思维拔高 1(25-26高二上江苏南通阶段检测)已知直线：ar+y=0与：(a+)r+ay-3=0 与 则a=-2”是“ 11h”的(） A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.(25-26高二上湖北期末)直线，的倾斜角 为20，的个方向向至为，0，若1业，测则=() ，若 5 、v3 A.5 B.3 C.-5 D.3 3(2526高=上广东江门期米)已知直线，Bx-y+2=0,14,则直线的顿斜角为() A.30° B.60° C.120° D.150° 4.(24-25高二上北京昌平·期中)己知直线：x+y+1=0,则下列结论正确的个数是() ①直线的截距为1 v=(1,1) ②向量 是直线的一个法向量 819 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③过点1,3)与直线1平行的直线方程为x+y-4=0 ④若直线m:x-y+1=0,则1上m A.4 B.3 C.2 D.1 拓展 链接高考 1.(2026天津河西三模)设 y=+6,y=+6,则=6。是%。的() ,则“ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要 条件 2(2026宁夏吴忠二模)直线：r++3=0和直线，(a-2)r+3y+a=0 互相平行，则“的值为 () A.-1 B.3 C.-1或3 D.-3或1 919 分层作业 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 目 录 1 题型01 由斜率判断两条直线平行 1 题型02由斜率判断两条直线垂直 3 题型03已知直线平行求参数 4 题型04已知直线平行求参数 6 题型05直线平行、垂直的判定在几何中的应用 7 题型06直线过定点问题 10 题型07已知两点求斜率 11 13 15 17 题型01 由斜率判断两条直线平行题型01 1.（24-25高二上·云南·期中）已知，为两条不重合的直线，则下列说法中错误的为（   ） A．若，的斜率相等，则，平行 B．若，则，的倾斜角相等 C．若，的斜率乘积等于，则，垂直 D．若，则，的斜率乘积等于 【答案】D 【解析】根据两直线的位置关系可知若，斜率相等且不重合，则，平行，A正确. 由，可得，的倾斜角相等，B正确. 由，的斜率乘积等于，可得，垂直，C正确. 当与轴平行，与轴平行时，，但直线的斜率不存在，D错误. 故选：D. 2.（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）四边形的四个顶点是，，，，则四边形为（　　） A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．直角梯形 【答案】D 【解析】由， ，，， ，， ，与不平行， 则四边形为梯形， 又 ， 四边形为直角梯形， 故选：D. 3.（24-25高二上·广西玉林·阶段检测）下列命题：①若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；②若两直线平行，则它们的斜率相等；③若两直线的斜率之积为，则它们垂直；④若两直线垂直，则它们的斜率之积为.其中正确的为（    ） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】B 【解析】当两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行，可知①正确； 当两条直线均与轴垂直时，两直线平行，但斜率不存在，可知②错误； 根据直线垂直的判定定理可知两直线的斜率之积为，则它们垂直，可知③正确； 当两条直线一条与轴垂直，一条与轴垂直时，则两直线垂直， 但与轴垂直的直线斜率不存在，可知④错误. 故选：B 题型02由斜率判断两条直线垂直题型02 4.（25-26高二上·江苏常州·期中）与直线相交的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线斜率为； 对A：可化为，故两直线重合，故A错误； 对B：斜率为，故两直线平行，故B错误； 对C：斜率为，故两直线平行，故C错误； 对D：可化为，斜率为， 则两直线相交，故D正确. 故选：D. 5.（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】D 【解析】因为直线经过点和，所以直线的斜率， 又直线的斜率，且， 所以与相交但不垂直. 故选：D 6.（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】D 【解析】因为直线经过点和，所以直线的斜率， 又直线的斜率，且， 所以与相交但不垂直. 故选：D 题型03已知直线平行求参数题型03 7.（25-26高一下·重庆·期中）若直线与直线平行，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】由直线与直线平行，得， 所以. 8.（2026·河南南阳·模拟预测）已知直线：，直线：，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】直线：，直线：， 当时，代入可得：，直线：，两条直线不平行， 当时，代入可得：，直线：，两条直线不平行， 设直线方程为，直线方程为， 若，则，即， 化简可得，即，解得，， 当时，代入可得：，：， 两直线重合，所以舍去， 当时，代入可得：，：， 和的斜率都为，所以， 因此是的充要条件. 9.（25-26高三下·北京·阶段检测）“”是“直线：和直线：平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】必要性：若直线和平行，则有，解得或， 当时，，不成立，无意义，舍去， 故两直线平行必有，必要性成立； 充分性：时，直线为，直线为， 因为，且，所以两直线平行，充分性成立； 综上所述，“”是“直线和平行”的充分必要条件． 题型04已知直线平行求参数题型04 10.（25-26高二上·重庆·期中）“”是“直线和直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，两直线方程为和， 可见两直线斜率相等，且两直线不重合，所以两直线平行， 所以“”是“直线和直线平行”的充分条件； 若直线和直线平行， 若，则，解得. 当时，两直线方程为和，斜率相等，平行； 当时，两直线方程为和，斜率相等，平行； 若，两直线方程为和，两直线垂直，不平行； 所以若直线和直线平行，则或. 综上，“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 11.（25-26高二上·重庆·期中）“”是“直线和直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，两直线方程为和， 可见两直线斜率相等，且两直线不重合，所以两直线平行， 所以“”是“直线和直线平行”的充分条件； 若直线和直线平行， 若，则，解得. 当时，两直线方程为和，斜率相等，平行； 当时，两直线方程为和，斜率相等，平行； 若，两直线方程为和，两直线垂直，不平行； 所以若直线和直线平行，则或. 综上，“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 12.（24-25高二下·湖南株洲·开学考试）已知直线与直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】当时，直线，直线，此时，即可以推出， 当时，由，得到或， 又时，，，显然有，所以推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 题型05直线平行、垂直的判定在几何中的应用题型05 13.（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）设a，b，c分别是中角A，B，C的对边，则直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．无法确定 【答案】C 【解析】由正弦定理，得， 又两条直线的方程分别为，， 因为两直线的系数满足，所以两直线垂直． 故选：C. 14.（2024高一上·浙江杭州·专题练习）如图，正方形OABC的一个顶点O是平面直角坐标系的原点，顶点A，C分别在y轴和x轴上，P为边OC上的一个动点，且 ， ，当点P从点C运动到点O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（     ）    A．线段 B．圆弧 C．抛物线的一部分 D．不同于以上的不规则曲线 【答案】A 【解析】设正方形的边长是，则点的坐标是， 设点的坐标是，点的坐标是， ， ， ①， ， ， ②， 把①代入②，可得， 整理,可得， ，， ， ， ， ∴点Q在某函数图象上运动，则其函数图象是线段. 故选:A. 15.（2024高一上·浙江杭州·专题练习）如图，正方形OABC的一个顶点O是平面直角坐标系的原点，顶点A，C分别在y轴和x轴上，P为边OC上的一个动点，且 ， ，当点P从点C运动到点O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（     ）    A．线段 B．圆弧 C．抛物线的一部分 D．不同于以上的不规则曲线 【答案】A 【解析】设正方形的边长是，则点的坐标是， 设点的坐标是，点的坐标是， ， ， ①， ， ， ②， 把①代入②，可得， 整理,可得， ，， ， ， ， ∴点Q在某函数图象上运动，则其函数图象是线段. 故选:A. 题型06直线过定点问题题型06 16.（25-26高二上·安徽宿州·期末）（多选题）已知直线和直线，下列说法正确的是（   ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 【答案】ABD 【解析】对于A，直线：， 由，得，，始终过定点，故A正确； 对于B，若，则有，解得，故B正确； 对于C，，则，解得或，故C错误； 对于D，当时，始终过， 因为，所以直线斜率，不会过第三象限，故D正确． 故选：ABD． 17.（25-26高二上·江西景德镇·期中）（多选题）已知动直线：，动直线：，则下列结论中正确的是（    ） A．存在，使得的倾斜角为 B．动直线恒过定点 C．若与垂直，则或 D．若与平行，则或 【答案】BC 【解析】因为直线的斜率恒存在，直线才会垂直于轴，故选项A错误； 已知，化简得：， 由解得直线经过点，故选项B正确； 由题可得，，若则，解得， 当时，，，此时直线，故选项C正确； 若，则，化简得，或， 当，与的方程均为，两直线重合非平行，故D选项错误. 故选：BC 18.（25-26高二上·安徽宿州·期末）（多选题）已知直线和直线，下列说法正确的是（   ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则 D．当时，始终不过第三象限 【答案】ABD 【解析】对于A，直线：， 由，得，，始终过定点，故A正确； 对于B，若，则有，解得，故B正确； 对于C，，则，解得或，故C错误； 对于D，当时，始终过， 因为，所以直线斜率，不会过第三象限，故D正确． 故选：ABD． 题型07已知两点求斜率题型07 19.（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（ ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【解析】由题意， 所以，且经过不在的点， 所以. 20.（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（ ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【解析】由题意， 所以，且经过不在的点， 所以. 21.（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 【答案】C 【解析】由直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为：， 又直线经过， 所以直线的斜率为：， 所以， 所以直线与直线平行或重合. 故选：C. 1.（25-26高二上·贵州黔南·阶段检测）同一平面内的直线与直线，下列选项中满足的直线是（   ） A． B．经过点和 C．的斜率为2，且过点 D．与没有公共点 【答案】AD 【解析】对于A：与斜率相等，且不重合，所以符合题意； 对于B : 经过点和，所以斜率为， 所以直线的方程为,化简可得，重合，不符合题意； 对于C：的斜率为2，且过点，所以，两条直线重合，不符合题意； 对于D：与没有公共点，则满足，D选项符合题意； 故选：AD. 2.（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知点，，点在轴上，是直角三角形，这样的三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】由斜率判断两条直线垂直、垂直关系的向量表示、已知两点求斜率 【分析】设点C的坐标，讨论当分别为直角时的情况，求得点C的坐标，得满足题意的三角形共有3个. 【解析】设.显然直线斜率都存在. 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 方法二：若为直角，则，解得； 若为直角，则，解得； 若为直角，则，解得. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 方法三：当为直角顶点时，显然有两个这样的直角三角形； 若为直角顶点，中点，，则，而点到距离为5，此时有唯一点，符合要求. 故有三个满足要求的直角三角形. 故选：C 3.（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【知识点】由斜率判断两条直线垂直 【分析】由两直线的斜率关系即可判断. 【解析】直线和直线的斜率分别为， 因为，所以． 故选：A． 4.（24-25高一上·四川成都·开学考试）在平面直角坐标系中，两条直线（    ）时候垂直？ A．斜率之积为-1时 B．两条直线有1个公共点的时候 C．两条直线分别与坐标轴垂直的时候 D．以上答案均不正确 【答案】A 【知识点】由斜率判断两条直线垂直 【分析】由两直线垂直的定义逐个判断即可. 【解析】对于A：斜率之积为-1时，两直线垂直，正确 对于B：两条直线有1个公共点的时候，可能相交但不垂直，错误 对于C：两条直线分别与坐标轴垂直的时候，如果是同一坐标轴，那么平行，错误 对于D：错误 故选：A 5.（24-25高二上·湖南株洲·期末）若直线与直线垂直，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知直线垂直求参数 【解析】由于直线与垂直，故，解得． 6.（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知直线：，：，若，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 【答案】C 【知识点】已知直线垂直求参数 【解析】已知直线：，：，若， 则有， 化简方程得：， 解得或，C正确. 1.（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知直线垂直求参数 【解析】由两条直线垂直的充要条件得，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 2.（25-26高二上·湖北·期末）直线的倾斜角为，的一个方向向量为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知直线垂直求参数、直线方向向量的概念及辨析（平面中）） 【分析】由直线的倾斜角和的方向向量分别求出两直线的斜率，再利用两直线垂直的条件计算即可. 【解析】直线的斜率，直线的斜率， 由，得， 故. 故选：B. 3.（25-26高二上·广东江门·期末）已知直线：，，则直线的倾斜角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】D 【知识点】直线的倾斜角、已知直线垂直求参数 【分析】根据两直线垂直求出直线的斜率，再由直线的倾斜角与斜率的关系即可求得答案. 【解析】由：可得直线的斜率为， 因，则直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 又，则. 故选：D. 4.（24-25高二上·北京昌平·期中）已知直线，则下列结论正确的个数是（    ） ①直线的截距为             ②向量是直线的一个法向量 ③过点与直线平行的直线方程为 ④若直线，则 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由斜率判断两条直线垂直、求直线的方向向量（空间中）、直线平行、垂直的判定在几何中的应用 【分析】求出直线的截距可判断①，由直线的方向向量可判断②，由直线平行设所求直线方程为，代入点即可判断③，由直线垂直可判断④. 【解析】对于①,令,则;令,则,故①错误; 对于②,因为直线的方向向量为或,则,所以向量是直线的一个法向量,故②正确; 对于③,设与直线平行的直线方程为,因为直线过点,所以,所以过点与直线平行的直线方程为,故③正确; 对于④, 直线,直线,则,所以两直线垂直，故④正确, 所以结论正确的个数为3， 故选: B. 1.（2026·天津河西·三模）设，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、已知直线平行求参数、由斜率判断两条直线平行 【解析】由，若，则、重合，充分性不成立， 由，则必有，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 2.（2026·宁夏吴忠·二模）直线：和直线：互相平行，则的值为（   ） A． B．3 C．或3 D．或1 【答案】A 【知识点】已知直线平行求参数 【解析】因为直线：和直线：互相平行， 所以，解得. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $