1.1直线的倾斜角与斜率（题型专练）数学沪教版2020选择性必修第一册

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.1直线的倾斜角与斜率 题型一直线的倾斜角 题型二直线的斜率 题型三斜率与倾斜角的变化 基础达标题 题型四已知斜率求参数 直线的倾斜角与斜率 题型五直线与线段总有公共点问题 题型六三点共线问题 题型一类比斜率求取值范围 能力提升题 题型二夹角问题 拓展培优题 基础达标题 题型一直线的倾斜角 1.(24-25高一下·上海师范大学附属中学.期末)直线2x+y+3=0的倾斜角等于() A.arctan2 B.arctan(-2) c.π+arctan(-2)D.π-arctan(-2) 2.已知点A(2,0),B(3,V3),则直线AB的倾斜角为 3.(24-25高二上·上海复且中学.月考)过点A(2t+3,t),B(t-2,1)的直线的倾斜角为π-arctan3,则实 数t的值为 4.(24-25高二上上海复日中学月考)直线：x-1=0和直线12：y=-V3x+1的夹角为 题型二直线的斜率 1.(25-26高三上·上海控江中学.开学考)已知直线1的倾斜角为直线y=V3x+1的倾斜角的一半，则直线1的 斜率为 2.给出下列命题： ①任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②平行于x轴的直线的倾斜角是0或π：③若两条直线的倾斜角 相等，则它们的斜率也相等；④若k是直线的斜率，则k∈R:⑤任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜 1/5 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 角.其中是真命题的有 (填序号) cose 3.己知角的终边在直线y=2x上，则mc的值为 4.(2324高二上上海外国语大学附属外国语学校月考)直线1的倾斜角cx满足sina=最，则直线1斜率 为」 题型三斜率与倾斜角的变化 1.已知直线1的倾斜角x满足60·<《≤135·，则1的斜率k的取值范围是() A.[-1,3 B.[5, c.（∞，-1U(5,+∞D.(-o,5]u(1,+∞) 2.直线(1-a2)x+y+1=0的倾斜角的取值范围是() A.[,罗) B.[0] c.[0,)U[要，) D.[0,零]U(罗，] 3.(25-26高二上.上海曹杨第二中学.月考)如图，直线1、12、13的斜率k1、k2、k3由小到大排序为 4.若过点A(3,4),Q(6,3a)的直线的倾斜角为锐角，则实数α的取值范围为 题型四己知斜率求参数 1.若过点M(-2,m),Nm,4)的直线的斜率等于1，则m的值为 2.过A(a,0),B(1,2)的直线的斜率大于2，则满足条件的一个a值可以为一 3.已知过点A(1,a),B(-2,V3)的直线的倾斜角为60°，则实数a=一 4.(22-23高二上·上海华东师范大学第二附属中学.开学考)设直线1的方程是2x+my-1=0,其倾斜角为 0 (1)若君<《<罗，求实数m的取值范围； (2)若将倾斜角c用m表示，求c关于m的函数关系. 题型五直线与线段总有公共点问题 2/5 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1.(24-25高二下.上海第八中学.)直线bx+ay=ab(a<b<0的倾斜角是() A.元-arctan号 B.arctan(号) c.arctan(-号) D.-arctan 2.(24-25高二下.上海高行中学.)已知点A(2,2),B(-13),若过点P(0,-1)的直线1与线段AB相交， 则直线1斜率k的取值范围是() A.（-4) B.[-4] c.(-∞，-4)U(3,+o) D.(-∞，-4]U[3,+∞ 3.(25-26高二上·上海新中高级中学)已知A(2,0),B(23),直线1过定点P(1,2),且与线段AB相交， 则直线的斜率k的取值范围是 4.(25-26高二上.上海曹杨第二中学月考)己知点A(0,1),B(-2,6),P(1,3),过点P的直线1斜率为k, 若直线1与线段AB相交，则实数k的取值范围是一 5.(24-25高二下.上海同济大学第二附属中学.期末)已知过点(0，-2)的直线1与以点A(3,1)和 B(-2V3,4)为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围一 题型六三点共线问题 1.(24-25高一上·上海嘉定区中光高级中学.期中)设m∈R,若三个不同的点A2,0),B(m,2), C(2m-2,2-m)都在直线1上，则m的值为 2.(22-23高二下.上海松江二中.期中)已知点A(0,-8),B(2,-2),C(4,m),若线段AB,AC,BC不 能构成三角形，则m的值是 3.(23-24高二上·上海师范大学附属中学.月考)已知三点A(a,2,B(5,1),C(-4,2a)在同一直线上，则a值 为」 4.己知A(a+2,a)、B(1,-a)、C(a-4,a-1)三点构成一个三角形，求实数a的取值范围. 5.己知三点A(-1,2)、B(3,4)、C(x,y)共线，求点C的坐标x与y所要满足的关系式. B 能力提升题 题型一类比斜率求取值范围 y+1 1.点M(8y)在函数y=的图象上，当x1∈[0,1)时，可能等于() A.-1或-2 B.-1或-3 C.-2或-3 D.0 3/5 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(24-25高二上·上海南洋中学)P(8,y)在线段AB(包括端点)上运动，已知A(2,4),B(5,-2)，则 器的取值范围是」 3.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加 以解决例如，与√x-a)+(y-b)相关的代数问题，可以转化为点Axy)与点B(a,b)之间的距离的几何 问题.结合上述观点，函数f)=器，xE(0,晋]的值域为一 4.己知坐标平面内两点M(m+3,3m+5),N(2m-1,1). (1)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出m的取值范围； (2)若直线MN的方向向量为a=(1,-2023),求m的值， 题型二夹角问题 1.如果直线l1与12的斜率分别是一元二次方程x2-4x+1=0的两个根，那么两直线的夹角为 2.(23-24高二下.上海长征中学.期中)两条直线1：2x+4y-101=0,12:3x-3y+7=0夹角的大小 是·（结果用反余弦函数值表示） 3.直线2x-y-3=0与直线x-3y-5=0的夹角大小为 拓展培优题 1.(22-23高二下.上海敬业中学期中)直线(a2+1)x-2y+1=0的倾斜角的取值范围是() A.[0,零] B.[,] c.[,孪] D.[0,]U[,π) 2.(22-23高二上·上海青浦高级中学·月考)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1,1)和Q(2,2,若直线1恒 过(0，-1)，且与线段PQ有交点，则1的斜率k的取值范围是 3.24-25高二下.上海高境第一中学月考)已知实数xy满足x-3y+5=0(1≤x≤4)，则登的取值范 围为 4.(23-24高二上·上海复旦大学附属中学.期中)一质点在矩形ABCD内运动，从AB的中点0沿一确定方向发 射该质点，依次由线段BC、CD、DA反射反射点分别为P1、P2、P3(入射角等于反射角)，最后落在线 段0A上的P4(不包括端点).若A(-1,0)、B(1,0)、C(1,1)和D(-1,1),则0P1的斜率的取值范围是 4/5 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8 P P4 B 5.(25-26高二上.上海吴淞中学.月考)已知直线1过点A(2m3,B(2,-1) (1)若直线/的倾斜角为45°，求实数m的值： (2)求直线AB的斜率， 6.(23-24高二下.上海建平世纪中学)已知直线1过点A(2m,3),B(2,-1). (1)若直线1的倾斜角为45°，求实数m的值； (2)若直线的倾斜角为钝角，求实数m的取值范围. 7.(22-23高二上·上海曹杨第二中学·月考)若直线1经过A(1,4x),B(2,x2+3)两点，斜率为k,倾斜角为 a. (1)用x分别表示直线1的斜率k和倾斜角； (2)求α的取值范围. 5/5 1.1直线的倾斜角与斜率 题型一 直线的倾斜角 1．(24-25高一下·上海师范大学附属中学·期末)直线的倾斜角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线的倾斜角与斜率关系可得，再根据倾斜角的范围，即可得出结果. 【详解】设直线的倾斜角为，由可得，， ，则. 故选：C. 2．已知点，则直线的倾斜角为 【答案】 【分析】求出直线的斜率，根据直线的斜率与倾斜角的关系，即可求得答案. 【详解】由题意得直线的斜率， 设直线的倾斜角为α，则； 因为，所以； 故答案为： 3．(24-25高二上·上海复旦中学·月考)过点，的直线的倾斜角为，则实数t的值为 ． 【答案】 【分析】根据直线的倾斜角的概念与计算式，结合三角函数的诱导公式与反三角函数化简列方程求解即可. 【详解】因为直线的倾斜角为， 则直线的斜率， 解得. 故答案为：. 4．(24-25高二上·上海复旦中学·月考)直线和直线的夹角为 ． 【答案】/ 【分析】根据直线方程确定对应的倾斜角，即可得. 【详解】由的倾斜角为，的斜率为，即倾斜角为， 所以两直线的夹角为. 故答案为： 题型二 直线的斜率 1．(25-26高三上·上海控江中学·开学考)已知直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】设直线的倾斜角为，求得，得到直线的倾斜角，进而得到直线的斜率. 【详解】设直线的倾斜角为，可得， 因为，所以， 又因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半， 所以直线的倾斜角，所以直线的斜率为. 故答案为：. 2．给出下列命题： ①任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；③若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；④若k是直线的斜率，则；⑤任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中是真命题的有 ．（填序号） 【答案】④ 【分析】根据直线倾斜角、斜率的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于①、⑤，任一条直线都有倾斜角，但倾斜角为直角的直线没有斜率， 即任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，①、⑤均错误； 对于②，平行于轴的直线的倾斜角是，②错； 对于③，若两条直线的倾斜角均为时，它们的斜率都不存在，③错误； 对于④，若k是直线的斜率，则，④对. 故答案为：④. 3．已知角的终边在直线上，则的值为 . 【答案】 【分析】利用直线方程确定角的正切值，再根据同角三角函数关系式转化求解即可. 【详解】因为角的终边在直线上， 所以， 则. 故答案为：. 4．(23-24高二上·上海外国语大学附属外国语学校·月考)直线l的倾斜角满足，则直线l斜率为 . 【答案】 【分析】根据斜率的定义结合同角三角关系运算求解. 【详解】因为，且，则， 所以直线l斜率为. 故答案为：. 题型三 斜率与倾斜角的变化 1．已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，为倾斜角，分别求出倾斜角在和时斜率的值，再根据正切函数在给定区间的单调性确定斜率的取值范围. 【详解】当时，. 当时，. 因为在上单调递增，在上也单调递增. 当时，； 当时，. 所以的取值范围是. 故选：C. 2．直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线方程可得斜率，结合斜率与倾斜角之间的关系分析求解. 【详解】设的倾斜角为， 由题意可知：直线的斜率， 即，且，所以. 故选：C. 3．(25-26高二上·上海曹杨第二中学·月考)如图，直线、、的斜率、、由小到大排序为 ．    【答案】 【分析】由图可得直线、、倾斜角大小关系，据此可得斜率关系． 【详解】设直线、、的倾斜角分别为、、，由图可得，则，也即． 故答案为：． 4．若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据两点斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为直线的斜率， 又因为直线的倾斜角为锐角， 所以，解得. 故答案为： 题型四 已知斜率求参数 1．若过点，的直线的斜率等于1，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】利用直线的斜率公式求解. 【详解】由已知可得， 过点，的直线的斜率， 解得， 故答案为： . 2．过，的直线的斜率大于，则满足条件的一个a值可以为 . 【答案】（满足的一个值即可） 【分析】根据两点的斜率公式计算可得. 【详解】因为过，的直线的斜率大于，所以， 则，解得． 故答案为：（满足的一个值即可） 3．已知过点，的直线的倾斜角为60°，则实数 ． 【答案】 【分析】 根据直线斜率的定义和两点求斜率公式建立方程，解之即可. 【详解】由题意知， 该直线的斜率为， 解得. 故答案为：. 4．(22-23高二上·上海华东师范大学第二附属中学·开学考)设直线l的方程是，其倾斜角为． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若将倾斜角用m表示，求关于m的函数关系． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由斜率与倾斜角的关系即可建立不等式求解； （2）分别讨论、，由斜率与倾斜角的关系即可求得 【详解】（1）当，斜率，解得； （2）i.时，，； ii.时，，斜率，， 综上， 题型五 直线与线段总有公共点问题 1．(24-25高二下·上海第八中学·)直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线的斜率，然后由斜率得倾斜角． 【详解】因为直线， 所以直线的斜率为，设直线倾斜角为，则为钝角， 所以． 故选：A． 2．(24-25高二下·上海高行中学·)已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数形结合，求出临界条件结合斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】由题设，，如下图示，所以． 故选：D 3．(25-26高二上·上海新中高级中学·)已知，，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线与线段相交，即可求解． 【详解】由题意，，， 则，， 因为直线与线段相交， 则直线的斜率的取值范围是． 故答案为： 4．(25-26高二上·上海曹杨第二中学·月考)已知点，，，过点P的直线l斜率为k，若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出直线过线段端点时的斜率，数形结合即可得出直线斜率范围. 【详解】如图， ，, 因为直线l与线段AB相交， 所以， 故答案为： 5．(24-25高二下·上海同济大学第二附属中学·期末)已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围 . 【答案】 【分析】首先利用两点式斜率公式求出，，再结合图象即可求出直线的斜率的取值范围. 【详解】设点，依题意，． 因为直线与线段有交点，所以或， 由图可知直线的斜率的取值范围是． 故答案为：． 题型六 三点共线问题 1．(24-25高一上·上海嘉定区中光高级中学·期中)设，若三个不同的点，都在直线l上，则m的值为 ． 【答案】 【分析】讨论、，结合已知及斜率两点式求参数值即可. 【详解】当时，为同一点，不合题意， 当，则，可得，此时满足题意， 所以. 故答案为： 2．(22-23高二下·上海松江二中·期中)已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是 . 【答案】 【分析】由线段，，不能构成三角形知三点共线，由求得的值. 【详解】因为线段，，不能构成三角形，所以三点共线， 显然直线的斜率存在，故，即，解得， 故答案为：4 3．(23-24高二上·上海师范大学附属中学·月考)已知三点，，在同一直线上，则值为 . 【答案】或 【分析】因为点，，在同一直线上，所以，表示出的斜率，即可求出答案. 【详解】∵，∴三点所在直线的斜率存在， ∴，， ∵点，，在同一直线上，∴， ∴，解得或. 故答案为：或. 4．已知、、三点构成一个三角形，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】首先求出的斜率，再分、两种情况讨论，由得到不等式，解得即可. 【详解】因为、、， 所以， 当，即，此时，，，则的斜率不存在， 此时、、三点能构成一个三角形， 当，即时，， 要使、、三点能构成一个三角形，则，即，解得， 综上可得实数的取值范围. 5．已知三点、、共线，求点的坐标与所要满足的关系式． 【答案】 【分析】由题意易知直线的斜率，再分别讨论点与点是否重合，并计算斜率即可. 【详解】因为两点横坐标不同，所以直线的斜率是． 又由题设知，点在直线上，即与是同一条直线， 当点与点不重合时，两点的斜率与直线的斜率相等， 用两点坐标表示斜率得， 此时与要满足的关系式是，变形得． 当点与点重合时，点的坐标也满足上式． 所以，与满足的关系式是． 题型一 类比斜率求取值范围 1．点在函数的图象上，当时，可能等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．0 【答案】C 【分析】先画出指数函数图象再结合斜率公式数形结合得出范围. 【详解】表示点与点所成直线的斜率k， 又是在部分图象上的动点， 如图，当接近时， 当为时，，则，只有C满足. 故选：C. 2．(24-25高二上·上海南洋中学·)在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】表示线段上的点与连线的斜率，画出图形，结合图形求解即可 【详解】表示线段上的点与连线的斜率， 因为， 所以由图可知的取值范围是． 故答案为：. 3．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，函数，的值域为 . 【答案】 【分析】将函数的值域转化为求直线斜率取值范围，数形结合即可求解. 【详解】如图所示：设单位圆O上的一点为， 点，，， 则表示直线PA的斜率，因为， 故当P与B重合时，PA的斜率为， 当P与C重合时，PA的斜率最大值为， 所以的值域为.    故答案为：. 4．已知坐标平面内两点. (1)当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围； (2)若直线的方向向量为，求的值. 【答案】(1)答案见解析． (2) 【分析】（1）由斜率为正或为负求解； （2）由坐标得方向向量，然后利用向量共线得结论． 【详解】（1）直线的倾斜角为锐角时，，解得， 直线的倾斜角为钝角时，，解得或， 所以直线的倾斜角为锐角时，，为钝角时，或； （2）由已知，又直线的方向向量为， 所以，解得． 题型二 夹角问题 1．如果直线与的斜率分别是一元二次方程的两个根，那么两直线的夹角为 . 【答案】/60° 【分析】设出两直线的斜率，由一元二次方程根与系数关系得到两直线斜率的和与积，代入夹角公式求得与的夹角． 【详解】设直线与的斜率分别为， ，与夹角为. ∵直线的斜率分别为二次方程的两个根 且 ∴， ∴ ∵ ∴， 故答案为：. 2．(23-24高二下·上海长征中学·期中)两条直线，夹角的大小是 ．（结果用反余弦函数值表示） 【答案】 【分析】设直线与直线的夹角为，根据题意结合向量夹角公式可得，进而可得结果. 【详解】设直线与直线的夹角为， 由题意可知：直线的斜率，其方向向量可以为， 直线的斜率，其方向向量可以为， 则， 所以直线与直线的夹角为. 故答案为：. 3．直线与直线的夹角大小为 ． 【答案】/ 【分析】先由斜率的定义求出两直线的倾斜角，然后再利用两角差的正切展开式计算出夹角的正切值，最后求出结果. 【详解】设直线与直线的倾斜角分别为， 则，且， 所以， 因为， 所以，即两条直线的夹角为， 故答案为：. 1．(22-23高二下·上海敬业中学·期中)直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意知,若 a = 0  ,则倾斜角为, 若,则, ①当时，(当且仅当时，取“”)， ②当时，(当且仅当时，取“”)， ，故， 综上，， 故选：C. 2．(22-23高二上·上海青浦高级中学·月考)已知线段两端点的坐标分别为和，若直线恒过，且与线段有交点，则的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件及直线的斜率公式即可求解. 【详解】因为直线恒过,和， 所以，. 由题意可知，直线的斜率存在且的斜率，若直线与线段有交点，如图所示 由图象可知，或,即或， 所以的斜率的取值范围是为. 故答案为：. 3．(24-25高二下·上海高境第一中学·月考)已知实数满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】将转化为上的点和 构成的直线的斜率，然后求斜率即可. 【详解】   可以看成上的点和 构成的直线的斜率， 在中令得，令则， 设，， 则，， 所以的范围为. 故答案为：. 4．(23-24高二上·上海复旦大学附属中学·期中)一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是 .    【答案】 【分析】根据题意线段，，分别找出点落在线段上的临界位置，即可求解. 【详解】由题意知：，，设，则线段的斜率：， 为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点时为相应的两种临界位置， 当落到点时： 由题意知：点为的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时位于线段的中点位置， 所以得此时的斜率：； 当落到点时： 点与点重合，如下图所示，设，可得：，且， 所以得：，，， 所以得：，解之得：, 所以此时斜率：， 综上所述：可得的斜率范围为：，即. 故答案为：.    5．(25-26高二上·上海吴淞中学·月考)已知直线过点 (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)求直线的斜率. 【答案】(1)； (2)且. 【分析】（1）根据斜率的两点式及斜率与倾斜角的关系列方程求参数值； （2）应用斜率两点式求斜率，注意参数取值. 【详解】（1）由题设，可得，即； （2）由题设，当时，直线不存在斜率， 所以，则. 6．(23-24高二下·上海建平世纪中学·)已知直线过点，. (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)若直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据斜率公式和斜率为倾斜角的正切值可得. （2）倾斜角为钝角时，斜率小于，再利用斜率公式可得. 【详解】（1）由题意得，得. （2）由题意得，得， 故实数的取值范围为 7．(22-23高二上·上海曹杨第二中学·月考)若直线经过两点，斜率为，倾斜角为. (1)用分别表示直线的斜率和倾斜角； (2)求的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）计算，根据和两种情况得到倾斜角. （2），得到倾斜角范围. 【详解】（1）， 当或时，，； 当时，，； （2），所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $