考点02 一次函数的图像与性质（15种题型）（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

考点02 一次函数的图像与性质 考点一：一次函数的定义 定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数.当b=0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 【小技巧】判断一个函数是不是一次函数，就是判定它能不能化成的形式，其特征为：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数. 【注意】一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 考点二：一次函数的图像与性质 表达式 自变量的取值范围 全体实数 图像 形状 过(0，b)，的一条直线 k，b的 取值 k＞0 k＜0 b＞0 b＜0 b＞0 b＜0 示意图 经过的位置 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大， 即当， y随x增大而减小， 即当， 考点三： 一次函数中k，b的意义 （1）k的符号决定直线的倾斜方向和函数的增减性，当k＞0时，直线从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线从左向右下降，y随x的增大而减小 （2）直线与y轴交于点（0，b），所以b就是直线与y轴交点的纵坐标，b 叫做直线在y轴上的截距. 考点四： 用待定系数法求函数解析式 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法. 用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤： 1）设：设一次函数的解析式为； 2）列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组； 3）解：解二元一次方程组，求出k、b； 4）代：将k、b的值代回所设的函数解析式中. 考点五： 一次函数的平移变换 平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式 向上平移m个单位 向下平移m个单位 向左平移m个单位 向右平移m个单位 题型一：一次函数的识别 一次函数解析式需满足以下几个条件：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数. 1．（24-25八年级下·上海·期末）下列四个函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）函数①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）下列函数∶ ①， ②， ③，④，其中是一次函数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二：根据一次函数的定义求参数 忽略正比例函数是一次函数的特例而出错 4．（2025八年级上·全国·专题练习）若函数是关于x的一次函数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m为任意实数 5．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）若函数是一次函数，则的值为（） A．2 B． C．或 D．0 6．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）已知．当m，n满足条件____________时，是的一次函数；当m，n满足条件____________时，是的正比例函数． 题型三：求一次函数自变量或函数值 7．（25-26八年级上·四川成都·期末）若点在直线上，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·全国·期末）根据如图的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是；若输入的值是，则输出的值是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过两点，若，则___________． 10．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）已知一次函数的图象过点，，一次函数的图象过点，则与的数量关系是________． 题型四：待定系数法求一次函数解析式 1）当问题已明确所求解的函数是一次函数时，便可用待定系数法. 2）若函数的图像是线段(或直线)，所求的函数就是一次函数，而且用待定系数法解答时，只需在线段(或直线)上找出两个已知点. 11．（浙江杭州市钱塘区2025-2026学年八年级上学期期末数学试题）已知三个点，，都在一次函数图象上，则_____． 12．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知一次函数，则下列各点中可能在这个函数图象上的是（　　） A． B． C． D． 13．（22-23八年级下·河南驻马店·期末）对于一次函数（k，b为常数，）下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（    ） 0 1 2 3 2 5 8 12 14 A．2 B．5 C．8 D．12 14．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）已知一次函数的图象经过、两点． (1)求这个函数的解析式； (2)判断点是否在该函数图象上． 题型五：判断一次函数图像 15．（24-25八年级下·重庆·期中）若，则一次函数与正比例函数在同一坐标系的图像可能为（    ） A．B．C．D． 16．（25-26八年级上·全国·期末）如图，一次函数与在同一坐标系内图象可能是（ ） A． B． C． D． 17．（25-26七年级上·山东济南·期中）正比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A．B．C． D． 题型六：根据一次函数解析式判断其性质 18．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）关于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．图象经过 B．随的增大而增大 C．图象经过第一、三、四象限 D．当时， 19．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与轴的交点为 B．函数值随自变量的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 20．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，下列结论正确的是（   ） A．随的增大而增大 B．当时， C．的面积是4 D． 题型七：判断一次函数经过象限 21．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）一次函数的图象不经过第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 22．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）已知一次函数（k为常数，）中y随x的增大而减小，则一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 23．（25-26八年级上·山东青岛·周测）函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象不经过第______象限． 24．（25-26八年级上·山东青岛·月考）已知关于的二元一次方程组无解，则一次函数的图象不经过的象限是第______象限． 题型八：已知一次函数经过象限求参数 25．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）一次函数图象不经过第二象限，则_____0，_____0． 26．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知一次函数的图象不经过第二象限，化简：______． 27．（25-26八年级上·江苏南京·月考）一次函数过第四象限，且随的增大而增大，请写出一个符合条件的整数的值___________． 28．（25-26八年级上·安徽六安·月考）一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与两坐标轴围成的三角形的面积等于，则的值等于___________． 题型九：比较一次函数函数值的大小 29．（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知点，，都在直线上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 30．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，，是直线（b为常数）上的三个点，则下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 31．（25-26八年级上·浙江金华·期末）点在一次函数的图象上，且，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 32．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）若点，在一次函数（为常数）的图像上，则和的大小关系是___________．（填“”，“”或“”） 题型十：根据一次函数的增减性求参数 33．（24-25八年级下·上海·期末）已知一次函数，如果函数值y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．（25-26八年级上·江苏南京·月考）点是一次函数图象上的两点，，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D．不能确定 35．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）已知点在一次函数的图象上且时，，则的值可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 题型十一：一次函数平移问题 将函数的图像平移不改变k的大小，因此可以将平移后直线上的一点代入求出b的值.如果已知直线向左平移m个单位长度，向上平移了n个单位长度，那么平移后的直线的表达式是.向右或向下平移的情形，将对应的符号取为负号. 36．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）将直线向上平移2个单位，所得直线的函数表达式是__________. 37．（24-25八年级下·湖南湘潭·月考）若直线：与直线互相平行，则的值为：______． 38．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，直线沿y轴向上平移了2个单位长度后，该直线与坐标轴围成的三角形的面积增加了________． 39．（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，若将一次函数向上平移个单位长度后，恰好经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 40．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）一次函数向下平移5个单位后的函数解析式为______；向左平移2个单位后的函数解析式为______．向右平移2个单位后的函数解析式为______． 题型十二：与一次函数有关的最值问题 求一次函数的最值时，首先求出一次函数表达式及其自变量的取值范围，根据一次函数在自变量的取值范围内取最大值和最小值. 41．（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）已知一次函数，若，则的最小值为___________． 42．（2025·黑龙江大庆·三模）已知一次函数，当时，的最大值是，则的最小值是______． 43．（24-25八年级上·重庆·期中）一次函数，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为____________． 44．（24-25八年级下·河南周口·期中）已知一次函数，其中．当时，函数有最大值，且最大值为2，则m的值为______． 题型十三：与一次函数有关的开放性问题 45．（24-25八年级下·河南周口·期末）请写出一个一次函数解析式，使其满足如下条件： ①随的增大而增大； ②经过点； 这个一次函数的解析式是______．（写一个即可） 46．（2025·河南周口·模拟预测）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征．甲：“函数值 y随自变量x增大而减小．”乙：“函数图象经过点．”请你写出一个同时满足这两个特征的函数表达式_____________．（写出一个符合条件的表达式即可） 47．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）已知函数（是常数），随的增大而减小，请写出一个符合题意的的值是_____________（写出一个合理的值即可） 48．（2023·福建福州·二模）已知直线与相交于点．当时，，请写出一个满足条件的b的值____________（写出一个即可）． 题型十四：一次函数与规律探究问题 49．（23-24八年级下·四川资阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形，……按照这样的规律进行下去，那么的坐标为（    ） A． B． C． D． 50．（22-23八年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，…均在直线，设，，，…的面积分别为，，，根据图形所反映的规律，（    ） A． B． C． D． 51．（24-25九年级下·四川广安·期中）如图，点在直线上，点的横坐标为1，过点作轴，垂足为，以为边向右作正方形，延长交直线l于点；以为边向右作正方形，延长交直线l于点；……；按照这个规律进行下去，点的坐标为___________． 题型十五：类比法探究函数的图像与性质 52．（24-25八年级上·辽宁阜新·期末）探究活动；函数的图象与性质． (1)函数的自变量x取值范围是______； (2)在如图网格中，建立平面直角坐标系，参考画正比例函数图形的经验，画出的图象； (3)根据画出的函数图象，得出了如下几条结论： ①函数有最小值为______； ②当x______时，y随x的增大而增大； (4)已知为图象上一点，A点是图象与x轴的交点，B，那么求的面积． 53．（24-25八年级下·广西河池·期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学函数的图象．同时，我们也学习了绝对值的意义； 结合上面的学习过程，解决下列问题： 在函数中，当时，；当时，． (1)求该函数的表达式； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (3)已知函数的图象如图所示，结合（2）中所画函数图象，直接写出不等式的解集． 54．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）在第19章的学习中，我们体会了函数关系式与函数图象的对应关系，经历了“根据函数关系式画函数的图象一根据图象研究函数的性质一运用函数的性质解决问题”的学习过程．现在，让我们用由特殊到一般的数学方法，探究函数（为常数）图象及部分性质． 【特例研究】 当时，画函数的图象，经历分析表达式、列表、描点、连线的过程得到函数图象，如图： … … … … 我们发现：函数的图象是由两条射线组成的轴对称图形，具有如下性质：图象关于y轴（直线）对称；当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大；当时，函数y有最小值0． 【类比发现】 （1）当时，即函数， ①在上图的平面直角坐标系中，画出函数的图象； ②观察函数图象，此函数的对称轴为________； ③根据函数的图象与性质，当时，的取值范围是________； 【深入探究】 （2）观察图象可知，函数的图象可由函数的图象平移得到；若，函数图象可由函数的图象向________平移________个单位长度得到； （3）根据函数的图象与性质，当时，函数的最小值为3，求m的值． 1（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点直线与轴交于点，与轴交于点，且与一次函数的图象交于点． (1)直接写出的值______； (2)求一次函数的解析式； (3)已知点是线段上一点，且，求的坐标． 2．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数）的图象与轴相交于点，与轴相交于点，并与直线相交于点，其中点的横坐标为3． (1)求点的坐标和的值． (2)为直线上一动点，且点位于轴左侧，当的面积为时，求点的坐标． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数（为常数） (1)当函数是正比例函数时，的值为___________． (2)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是___________． (3)当时，一次函数的最大值为，求的值． 4．（24-25七年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，一次函数与的图象平行，且经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)求出函数的图象与轴、轴的交点和的坐标，并画出函数图象； (3)点在轴上，并且使得的值最小，请在图中标出点的位置，并写出最小值． 5．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图是一个函数值y的运算． (1)若输入x的值是，则输出y的值是 ． (2)若输出的y的值是4，求输入的x的值． (3)输出的y值只有一个x值与之对应，则x的取值范围是 ． 6．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图1，若一次函数图象经过，，则有．例如：一次函数的图象经过和，则有． (1)若点，在一次函数图象上，则______； (2)若一次函数在范围内，函数的最大值与最小值的差为3，求k的值； (3)如图2，点A，B在直线上，点C，D在直线上，已知轴，轴，且，求与满足的数量关系，并说明理由． 7．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数． ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②设函数，当时，函数有最大值8，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点02 一次函数的图像与性质 考点一：一次函数的定义 定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数.当b=0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 【小技巧】判断一个函数是不是一次函数，就是判定它能不能化成的形式，其特征为：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数. 【注意】一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 考点二：一次函数的图像与性质 表达式 自变量的取值范围 全体实数 图像 形状 过(0，b)，的一条直线 k，b的 取值 k＞0 k＜0 b＞0 b＜0 b＞0 b＜0 示意图 经过的位置 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大， 即当， y随x增大而减小， 即当， 考点三： 一次函数中k，b的意义 （1）k的符号决定直线的倾斜方向和函数的增减性，当k＞0时，直线从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线从左向右下降，y随x的增大而减小 （2）直线与y轴交于点（0，b），所以b就是直线与y轴交点的纵坐标，b 叫做直线在y轴上的截距. 考点四： 用待定系数法求函数解析式 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法. 用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤： 1）设：设一次函数的解析式为； 2）列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组； 3）解：解二元一次方程组，求出k、b； 4）代：将k、b的值代回所设的函数解析式中. 考点五： 一次函数的平移变换 平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式 向上平移m个单位 向下平移m个单位 向左平移m个单位 向右平移m个单位 题型一：一次函数的识别 一次函数解析式需满足以下几个条件：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数. 1．（24-25八年级下·上海·期末）下列四个函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据一次函数的定义进行解答即可，一次函数的定义：一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 【详解】解：A、，自变量x的最高次数为2，不是一次函数，故该选项不符合题意； B、，是一次函数，故该选项符合题意； C、，不是一次函数，故该选项不符合题意； D、，不是一次函数，故该选项不符合题意． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）函数①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义，形如（、为常数，）的函数是一次函数，逐一判断各函数即可，熟练掌握一次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：①中，未指定，故不一定是一次函数； ②，符合形式，，是一次函数； ③中分母含有，不是整式，故不是一次函数； ④，符合形式，，是一次函数； ⑤，是二次函数，不是一次函数； ∴是一次函数的有②和④，共2个， 故选：B． 3．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）下列函数∶ ①， ②， ③，④，其中是一次函数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义． 根据一次函数的定义（形如（）的函数）判断每个函数是否是一次函数即可． 【详解】解：①是形式，且，是一次函数； ②是常数函数，无项，不是一次函数； ③中的最高次数为2，不是一次函数； ④可化为，是形式，且，是一次函数； 一次函数有①和④，共2个． 故选：B． 题型二：根据一次函数的定义求参数 忽略正比例函数是一次函数的特例而出错 4．（2025八年级上·全国·专题练习）若函数是关于x的一次函数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m为任意实数 【答案】A 【分析】根据一次函数的定义，x 的系数不能为零，解答即可． 本题考查了一次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴ x 的系数， ∴， 故选：A． 5．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）若函数是一次函数，则的值为（） A．2 B． C．或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，x的指数必须为1且系数不为零． 【详解】解：函数是一次函数， 且， 解得， 或， 当时，，不符合条件， 当时，，符合条件， 的值为． 故选：B． 6．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）已知．当m，n满足条件____________时，是的一次函数；当m，n满足条件____________时，是的正比例函数． 【答案】 ，n为任意实数 【分析】本题主要考查了通过一次函数和正比例函数求参数，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数的定义． 根据一次函数和正比例函数的定义，分别要求指数为1、系数不为零，且正比例函数还需常数项为零，进行求解即可． 【详解】解：①当函数为一次函数时，且系数为任意实数， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：，n为任意实数； ②当函数为正比例函数时，、系数，且常数项， 解得或（舍去），， ∴，， 故答案为：． 题型三：求一次函数自变量或函数值 7．（25-26八年级上·四川成都·期末）若点在直线上，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，代数式求值，解题的关键是掌握一次函数图象上点的特征．先将点代入直线解析式得到与的关系式，再对所求代数式变形，代入关系式计算即可得出结果． 【详解】解：点在直线上， ， ， ． 故选：B． 8．（25-26七年级上·全国·期末）根据如图的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是；若输入的值是，则输出的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数值，弄清程序中的关系式和理解自变量取值范围是解本题的关键．把与代入程序中计算，根据值相等即可求出的值． 【详解】解：当时，， 解得． ∴当时，得． 故选：C． 9．（25-26八年级上·江苏连云港·月考）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象经过两点，若，则___________． 【答案】4 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据一次函数图象上点的坐标特征，将两点坐标代入函数解析式，作差后利用已知条件求解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过两点， ∴，， 则， 又∵， ∴． 故答案为：4． 10．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）已知一次函数的图象过点，，一次函数的图象过点，则与的数量关系是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，通过点坐标求出与的关系，再根据点和点的纵坐标相等建立方程，代入关系式化简得到与的关系． 【详解】解：点在函数上， 可得：， 解得：， 点在上， 可得：， 点在上， 可得：， ， ， ， 整理得：， ， 两边除以可得：， ． 故答案为：． 题型四：待定系数法求一次函数解析式 1）当问题已明确所求解的函数是一次函数时，便可用待定系数法. 2）若函数的图像是线段(或直线)，所求的函数就是一次函数，而且用待定系数法解答时，只需在线段(或直线)上找出两个已知点. 11．（浙江杭州市钱塘区2025-2026学年八年级上学期期末数学试题）已知三个点，，都在一次函数图象上，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数的函数值，设一次函数解析式为，利用待定系数法可得，再把代入计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：设一次函数解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴一次函数解析式为， ∵点在一次函数图象上， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·四川成都·期末）已知一次函数，则下列各点中可能在这个函数图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图像和性质，把各点代入一次函数，得出关于k的一次方程解方程并判断是否和相符即可得出答案． 【详解】解：．把代入，得，解得，与不符，故该选项不符合题意； ．把代入，得，解得，与不符，故该选项不符合题意； ．把代入，得，解得，符合，故该选项符合题意； ．把代入，得，解得，与不符，故该选项不符合题意； 故选：C． 13．（22-23八年级下·河南驻马店·期末）对于一次函数（k，b为常数，）下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（    ） 0 1 2 3 2 5 8 12 14 A．2 B．5 C．8 D．12 【答案】D 【分析】试算，将数表中两组值代入一般式中，确定函数解析式，再将其它值代入，若仅有一组不能满足解析式，即为所求． 【详解】解：将，代入，得， 解得，于是， 将其它数组代入，可知，满足解析式；不满足解析式． 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数解析式，待定系数法确定一次函数解析式；掌握待定系数法是解题的关键． 14．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）已知一次函数的图象经过、两点． (1)求这个函数的解析式； (2)判断点是否在该函数图象上． 【答案】(1) (2)点在直线上 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，列一次函数解析式并求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，把、代入进行计算，即可作答． （2）把代入，算出，即可作答． 【详解】（1）解：设所求的一次函数的解析式为． ∵一次函数的图象经过、两点 ∴， 解得， 所求的解析式为； （2）解： 依题意，当时，， 点在直线上． 题型五：判断一次函数图像 15．（24-25八年级下·重庆·期中）若，则一次函数与正比例函数在同一坐标系的图像可能为（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】由，则，从而一次函数的图像过第一、二、四象限，正比例函数的图像经过第一、三象限，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∴一次函数的图像过第一、二、四象限，正比例函数的图像经过第一、三象限， ∴选项B、C、D均不符合题意，选项A符合题意． 16．（25-26八年级上·全国·期末）如图，一次函数与在同一坐标系内图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解题关键是掌握一次函数的图象和性质：①当，y随x的增大而增大，若，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限；②当时，y随x的增大而减小，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限．根据一次函数与正比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、一次函数的图象经过第一、二、三象限，即，， 则，正比例函数的图象经过第一、三象限，与图象矛盾，不符合题意； B、一次函数的图象经过第一、三、四象限，即，， 则，正比例函数的图象经过第二、四象限，与图象矛盾，不符合题意； C、一次函数的图象经过第一、二、四象限，即，， 则，正比例函数的图象经过第二、四象限，与图象矛盾，不符合题意； D、一次函数的图象经过第一、三、四象限，即，， 则，正比例函数的图象经过第二、四象限，符合题意； 故选：D 17．（25-26七年级上·山东济南·期中）正比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一次函数、正比例函数的图象，解题关键是利用数形结合的思想进行解答． 根据k的符号来判定正比例函数、一次函数图象所经过的象限． 【详解】解：当时，正比例函数经过一、三象限，一次函数经过一、二、三象限； 当时，正比例函数经过二、四象限，一次函数经过二、三、四象限； 综上判断： 选项，正比例函数经过二、四象限，一次函数图象经过一、二、四象限，不符合题意，选项错误； 选项，正比例函数经过一、三象限，一次函数经过一、二、三象限，符合题意，选项正确； 选项，图中无正比例函数，不符合题意，选项错误； 选项，正比例函数经过二、四象限，一次函数图象经过一、二、三象限，不符合题意，选项错误． 故选：． 题型六：根据一次函数解析式判断其性质 18．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）关于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．图象经过 B．随的增大而增大 C．图象经过第一、三、四象限 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质． 根据一次函数的图象与性质逐一判断即可． 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴图象经过第一、二、四象限，随的增大而减小，故选项B、C错误； ∵当时，， ∴图象不经过，选项A错误； ∵当时，，随的增大而减小， ∴当时，，选项D正确； 故选：D． 19．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与轴的交点为 B．函数值随自变量的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的图象与性质对各选项逐一判断即可． 【详解】解：对于一次函数，时，随的增大而增大， 当时，，即图象与轴交点为， 且时，图象经过第一、三、四象限， A选项：当时，，图象与轴交点为，故A错误，不符合题意； B选项：，随的增大而增大，故B错误，不符合题意； C选项：，，，即，故C正确，符合题意； D选项：，，图象经过第一、三、四象限，故D错误，不符合题意． 故选：C． 20．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，下列结论正确的是（   ） A．随的增大而增大 B．当时， C．的面积是4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据一次函数图象上点的坐标特征逐项分析判断即可． 【详解】解：A、一次函数中，即y随x的增大而减小，故原说法错误，不符合题意； B、当时，，即一次函数与x轴交点坐标为， 当时，，故原说法错误，不符合题意； C、当时，，即一次函数与y轴交点坐标为，即， 当时，，即一次函数与x轴交点坐标为，即， ，故原说法正确，符合题意； D、一次函数与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， ，， 若，则， 不成立，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 题型七：判断一次函数经过象限 21．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）一次函数的图象不经过第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】对于一次函数（k、b为常数，），当时，的图象经过第二、三、四象限，据此可得答案． 【详解】解：，， 一次函数图象经过第二、三、四象限， 图象不经过第一象限． 22．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）已知一次函数（k为常数，）中y随x的增大而减小，则一次函数的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据一次函数的增减性判断k的符号，再结合常数项判断直线与y轴的交点位置，根据一次函数图象性质判断图象经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数（）中随的增大而减小， ∴， ∵一次函数解析式为，， ∴该函数图象与y轴交于负半轴． ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 23．（25-26八年级上·山东青岛·周测）函数的图象在第二、四象限，则一次函数的图象不经过第______象限． 【答案】三 【分析】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系以及正比例函数的性质，由正比例函数图象在第二、四象限可得，再分析一次函数图象所经象限，即可求解． 【详解】解：∵函数的图象在第二、四象限 ，， 一次函数中，，， 图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故答案为：三． 24．（25-26八年级上·山东青岛·月考）已知关于的二元一次方程组无解，则一次函数的图象不经过的象限是第______象限． 【答案】二 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的关系，一次函数的图象，由方程组无解可得直线和直线平行，即得，进而求出的值，再根据一次函数解析式即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵关于的二元一次方程组无解， ∴直线和直线平行， ∴， 解得， ∴一次函数， ∵，， ∴一次函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 题型八：已知一次函数经过象限求参数 25．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）一次函数图象不经过第二象限，则_____0，_____0． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象性质，结合图象不经过第二象限的条件，分别判断系数和的符号即可． 【详解】解：一次函数， 当时，直线呈下降趋势，无论取何值，图象一定经过第二象限，不符合题意， ∴； 当时，直线呈上升趋势， 若，一次函数图象与轴交于正半轴，图象经过第一、二、三象限，不符合题意； 若，一次函数图象过原点，只经过第一、三象限，不经过第二象限，符合题意； 若，一次函数图象与轴交于负半轴，图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，符合题意， ∴； 综上所述，，． 26．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知一次函数的图象不经过第二象限，化简：______． 【答案】/ 【分析】首先根据一次函数的图象不经过第二象限，可得，，求出，再根据二次根式的性质和绝对值意义，进行化简． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴， 解得：， ∴ ． 27．（25-26八年级上·江苏南京·月考）一次函数过第四象限，且随的增大而增大，请写出一个符合条件的整数的值___________． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】根据一次函数的性质，y随x的增大而增大时斜率大于0，过第四象限时一次函数与y轴的交点在负半轴上，列出不等式组求解k的取值范围，再取整数解． 本题考查了一次函数图象的分布，熟练掌握分布规律与k，b的关系是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数过第四象限，且随的增大而增大 ∴ 解得 ∴符合条件的整数的值为3或4， 故答案为：3（答案不唯一）． 28．（25-26八年级上·安徽六安·月考）一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与两坐标轴围成的三角形的面积等于，则的值等于___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，根据函数图象经过的象限可知一次函数与x轴的交点在x轴的负半轴，再根据直线与坐标轴围成的三角形面积建立方程求解即可． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点， ∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴一次函数的图象与x轴的交点在x轴的负半轴上， ∴， ∵一次函数与两坐标轴围成的三角形的面积等于， ∴， ∴（已检验是原方程的解）， 故答案为：． 题型九：比较一次函数函数值的大小 29．（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知点，，都在直线上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的比例系数k的符号判断函数增减性，再比较横坐标大小即可得到的大小关系． 【详解】解：∵ 一次函数中，， ∴ y随x的增大而减小， ∵ 点，，都在直线上，三个点的横坐标满足， ∴ ． 30．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，，是直线（b为常数）上的三个点，则下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征．根据所给一次函数解析式，结合一次函数的性质得出y随x的增大而减小，据此多所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：因为一次函数解析式为，， 所以y随x的增大而减小． 因为，，在直线上，且， 所以． 当时， 则，， 所以， 则． 故A选项符合题意，B选项不符合题意； 当时， 则，或，． 当，时无法得出的正负， 所以无法得出的正负， 所以CD选项不符合题意． 故选：A． 31．（25-26八年级上·浙江金华·期末）点在一次函数的图象上，且，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，关键是应用知识点解题；根据函数的增减性逐一判断即可． 【详解】解：∵，∴随的增大而减小， ∵， ∴， 当时，，当时，， 若，则， ∴，即：的正负不确定， 不一定大于零，A错误； 若，则或， ∴或，即：的正负不确定， 不一定小于零，B错误； 若，则， ∴，即：的正负不确定， 不一定小于零，C错误； 若，则， ∴，即，D正确． 故选：D． 32．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）若点，在一次函数（为常数）的图像上，则和的大小关系是___________．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图像和性质．熟悉根据一次函数的斜率判断函数图像的变化情况，是解题的关键． 根据一次函数的性质，由于斜率 ，函数值 随自变量 的增大而减小．点 的纵坐标 大于点 的纵坐标 ，因此 小于 ． 【详解】解：∵ 一次函数 的系数 ， ∴ 随 的增大而减小， ∵ 点 和点 在函数图象上，且 ， ∴ ． 故答案为：． 题型十：根据一次函数的增减性求参数 33．（24-25八年级下·上海·期末）已知一次函数，如果函数值y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质与系数的关系，先将函数整理为标准一次函数形式，再根据随增大而减小的性质列不等式求解即可． 【详解】首先整理一次函数得 一次函数随的增大而减小， 一次项系数， 解不等式得． 故选C． 34．（25-26八年级上·江苏南京·月考）点是一次函数图象上的两点，，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】利用乘积小于0的条件，判断一次函数的增减性，再利用一次函数的性质求解． 【详解】解： 与异号 根据一次函数性质，y随x增大而减小，一次项系数小于0， ． 35．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）已知点在一次函数的图象上且时，，则的值可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键． 先根据时，判断出一次函数的增减性，即可求出m的取值范围，即可求解． 【详解】解：时，， 随x的增大而减小， ，解得， 故m的值可能为5，不可能为，，． 故选：D． 题型十一：一次函数平移问题 将函数的图像平移不改变k的大小，因此可以将平移后直线上的一点代入求出b的值.如果已知直线向左平移m个单位长度，向上平移了n个单位长度，那么平移后的直线的表达式是.向右或向下平移的情形，将对应的符号取为负号. 36．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）将直线向上平移2个单位，所得直线的函数表达式是__________. 【答案】 【分析】根据“左加右减，上加下减”解答即可，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：直线向上平移个单位，所得直线的函数表达式为． 37．（24-25八年级下·湖南湘潭·月考）若直线：与直线互相平行，则的值为：______． 【答案】 【分析】根据两直线平行时，一次函数系数相等，可知，解方程即可求出的值． 【详解】直线：与直线互相平行， ， 解得：． 38．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，直线沿y轴向上平移了2个单位长度后，该直线与坐标轴围成的三角形的面积增加了________． 【答案】4 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积的计算，理解平移规律，正确计算是解题的关键．计算原直线与坐标轴围成的三角形面积和平移后直线与坐标轴围成的三角形面积，再求面积之差． 【详解】解：原直线与轴交于点，与轴交于点， 该直线与坐标轴围成的三角形的面积为； 平移后直线与轴交于点，与轴交于点， 该直线与坐标轴围成的三角形的面积为． 故面积增加． 故答案为：4． 39．（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，若将一次函数向上平移个单位长度后，恰好经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图像的平移，一次函数图像上点的坐标特征，根据一次函数图像的平移规律求出平移后的函数解析式，再把点代入计算即可求解，掌握一次函数图像的平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵将一次函数向上平移个单位，得新函数为， ∵新函数经过点， ∴， 解得， 故选：． 40．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）一次函数向下平移5个单位后的函数解析式为______；向左平移2个单位后的函数解析式为______．向右平移2个单位后的函数解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移规则，上加下减，左加右减，进行求解即可． 【详解】解：一次函数向下平移5个单位后的函数解析式为； 向左平移2个单位后的函数解析式为； 向右平移2个单位后的函数解析式为； 故答案为：；； 题型十二：与一次函数有关的最值问题 求一次函数的最值时，首先求出一次函数表达式及其自变量的取值范围，根据一次函数在自变量的取值范围内取最大值和最小值. 41．（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）已知一次函数，若，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由，可得出y随x的增大而减小，结合，即可求出y的最小值． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最小值，此时． 故答案为：． 42．（2025·黑龙江大庆·三模）已知一次函数，当时，的最大值是，则的最小值是______． 【答案】1或 【分析】本题考查了一次函数的增减性及解一元一次方程，解题的关键是理解函数的增减性． 分及两种情况，根据的最大值是，求出此时的的值，从而得出的值，再求出的值即可． 【详解】解：当时，一次函数中，y随x的增大而增大， 当时，的最大值是， ， 此时，即 当时，一次函数有最小值，最小值为； 当时，一次函数中，y随x的增大而减小， 当时，的最大值是， ， 此时，即 当时，一次函数有最小值，最小值为； 综上所述，的最小值是1或； 故答案为：1或． 43．（24-25八年级上·重庆·期中）一次函数，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为____________． 【答案】 或 【分析】本题考查一次函数的增减性和最值问题．根据一次函数的性质，当时，函数值随增大而增大；当时，函数值随增大而减小；当时，分两种情况讨论最大值与最小值的差，列方程求解即可． 【详解】当时，函数值随增大而增大， 当时， 最大值为， 最小值为， 差值为， 由题意，解得， 当时，函数值随增大而减小， 当时， 最大值为， 最小值为， 差值为， 由题意，解得， 综上可得的值为或． 故答案为：或． 44．（24-25八年级下·河南周口·期中）已知一次函数，其中．当时，函数有最大值，且最大值为2，则m的值为______． 【答案】9或 【分析】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 分两种情况：当，即时，当，即时，分别 根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】解：当，即时，y随x的增大而增大， ∵当时，函数有最大值，且最大值为2， ∴时，函数， ∴； 当，即时，y随x的增大而减小， ∵当时，函数有最大值，且最大值为2， ∴时，函数， ∴； 综上，m的值为9或． 故答案为：9或． 题型十三：与一次函数有关的开放性问题 45．（24-25八年级下·河南周口·期末）请写出一个一次函数解析式，使其满足如下条件： ①随的增大而增大； ②经过点； 这个一次函数的解析式是______．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 设一次函数的解析式为，由随的增大而增大，可得出，结合一次函数的图象经过点，可得出，取，即可得出结论． 【详解】解：设一次函数的解析式为， ∵随x的增大而增大， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 当时，一次函数的解析式为， 故答案为：（答案不唯一）． 46．（2025·河南周口·模拟预测）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征．甲：“函数值 y随自变量x增大而减小．”乙：“函数图象经过点．”请你写出一个同时满足这两个特征的函数表达式_____________．（写出一个符合条件的表达式即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，待定系数法； 根据函数值 y随自变量x增大而减小可设函数为，再把点代入求出b即可． 【详解】解：根据题意，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”； 可设函数为：， 又满足乙：“函数图像经过点”， 把代入得：， ∴， 则函数关系式为， 故答案为：（答案不唯一） 47．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）已知函数（是常数），随的增大而减小，请写出一个符合题意的的值是_____________（写出一个合理的值即可） 【答案】（答案不唯一，即可） 【分析】本题考查了一次函数性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质，当时，y随x的增大而减小解答即可． 【详解】解：∵函数（是常数），随的增大而减小， ∴ ∴ ∴的值可以是 故答案为：（答案不唯一，即可） ． 48．（2023·福建福州·二模）已知直线与相交于点．当时，，请写出一个满足条件的b的值____________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据一次函数图像的性质，求出两点，代入求出b的值． 【详解】解：如下图所示，的函数图像为，与轴交点坐标为， 当的图形过点时，满足当时，， 与轴交点坐标为， 观察图象可得：， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查一次函数的图像性质，解题的关键是熟练掌握相关知识． 题型十四：一次函数与规律探究问题 49．（23-24八年级下·四川资阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形，……按照这样的规律进行下去，那么的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的解析式以及等腰直角三角形的性质即可得出，，，根据坐标的变化即可找出变化规律，．即可得出点的坐标．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，解题的关键是找出坐标的变化规律，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质找出线段的变化规律是关键． 【详解】解：依题意 结合等腰三角形的性质，结合图象得出点、、、、在轴上，且，，， ， 把代入 得出 ∴ 直线， 当时，则 ， ∵， ∴， 把，则 即， ∵ ∴把，则 即， ， ，． ∴的坐标为 故选：D 50．（22-23八年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，，，，…都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，…均在直线，设，，，…的面积分别为，，，根据图形所反映的规律，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作轴于点，利用等腰直角三角形的性质可得出，结合点的坐标可求出的值，设点的坐标为，，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出，，，的值，再利用三角形的面积公式即可得出，，，的值，代入即可求出结论． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示． △，△，△，都是等腰直角三角形， ，，，，． 点的坐标为， ； 设点的坐标为，，则点的坐标为，． 点在直线上， ， ， ， 点的坐标为，，即，． 点在直线上， ， ， ． ，，，， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型：点的坐标，利用点的变化，找出点纵坐标的变化规律“”是解题的关键． 51．（24-25九年级下·四川广安·期中）如图，点在直线上，点的横坐标为1，过点作轴，垂足为，以为边向右作正方形，延长交直线l于点；以为边向右作正方形，延长交直线l于点；……；按照这个规律进行下去，点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，点的坐标规律；理解题意，结合一次函数的图象和正方形的性质，探索点的坐标规律是解题的关键．由题意分别求出，⋯⋯即可求解． 【详解】解：∵点在直线l：上，点的横坐标为1，过点作x轴，垂足为， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ⋯⋯ ∴点的坐标为， 故答案为：． 题型十五：类比法探究函数的图像与性质 52．（24-25八年级上·辽宁阜新·期末）探究活动；函数的图象与性质． (1)函数的自变量x取值范围是______； (2)在如图网格中，建立平面直角坐标系，参考画正比例函数图形的经验，画出的图象； (3)根据画出的函数图象，得出了如下几条结论： ①函数有最小值为______； ②当x______时，y随x的增大而增大； (4)已知为图象上一点，A点是图象与x轴的交点，B，那么求的面积． 【答案】(1)全体实数 (2)见解析 (3)①0；② (4)的面积为2或4 【分析】本题考查了画函数图象、求函数的自变量的取值范围、写出函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据解析式即可得解； （2）先列表，再画出函数图象即可； （3）根据画出的函数图象写出性质即可； （4）先求出点的坐标，再利用割补法计算即可得解． 【详解】（1）解：函数的自变量x取值范围是全体实数， 故答案为：全体实数； （2）解：列表：      … 0 1 2 3 4 …      … 5 4 3 2 1 0 1 2 3 … 描点、连线： （3）解：根据画出的函数图象，得出了如下几条结论： ①函数有最小值为0， 故答案为：0； ②当时，y随x的增大而增大， 故答案为：； （4）解：∵为图象上一点， ∴， ∴或， ∴或， 在中，当时，， ∵A点是图象与x轴的交点， ∴， 当点P的坐标为时，如图， ； 当点P的坐标为时，如图， ； 即的面积为2或4． 53．（24-25八年级下·广西河池·期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学函数的图象．同时，我们也学习了绝对值的意义； 结合上面的学习过程，解决下列问题： 在函数中，当时，；当时，． (1)求该函数的表达式； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (3)已知函数的图象如图所示，结合（2）中所画函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式与一次函数的关系． （1）根据在函数中，当时，；当时，，可以求得该函数的表达式； （2）根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象； （3）根据图象可以直接写出所求不等式的解集． 【详解】（1）解：∵在函数中，当时，；当时，， ∴， 解得， ∴这个函数的表达式是； （2）解：∵， ∴， 当，函数有最小值， 函数过点和点； 函数过点和点； 画出该函数的图象如下： （3）解：由函数图象可得， 不等式的解集是． 54．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）在第19章的学习中，我们体会了函数关系式与函数图象的对应关系，经历了“根据函数关系式画函数的图象一根据图象研究函数的性质一运用函数的性质解决问题”的学习过程．现在，让我们用由特殊到一般的数学方法，探究函数（为常数）图象及部分性质． 【特例研究】 当时，画函数的图象，经历分析表达式、列表、描点、连线的过程得到函数图象，如图： … … … … 我们发现：函数的图象是由两条射线组成的轴对称图形，具有如下性质：图象关于y轴（直线）对称；当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大；当时，函数y有最小值0． 【类比发现】 （1）当时，即函数， ①在上图的平面直角坐标系中，画出函数的图象； ②观察函数图象，此函数的对称轴为________； ③根据函数的图象与性质，当时，的取值范围是________； 【深入探究】 （2）观察图象可知，函数的图象可由函数的图象平移得到；若，函数图象可由函数的图象向________平移________个单位长度得到； （3）根据函数的图象与性质，当时，函数的最小值为3，求m的值． 【答案】（1）①见解析；②直线；③；（2）右，；（3）或 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，绝对值函数． （1）①根据题意列表画图即可； ②根据图象判断即可； ③根据图象判断即可； （2）根据一次函数的平移规律判断即可； （3）分当时，当时，当时，分别判断即可． 【详解】（1）列表得 x … -1 0 1 2 3 4 5 … … 3 2 1 0 1 2 3 … 描点连线得 如图即为的图象． ②由图可知：此函数的对称轴为直线； 故答案为：直线； ③由图可知：当时，的取值范围是， 故答案为： ； （2）若，函数图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到， 故答案为：右，m； （3）当时， 在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值， ∴， ∴， 当时， 在对称轴左侧，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最小值， ∴， ∴， 当时， 在对称轴最小值为0，与题意不符，舍去． 综上所述，m的值为或6． 1（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点直线与轴交于点，与轴交于点，且与一次函数的图象交于点． (1)直接写出的值______； (2)求一次函数的解析式； (3)已知点是线段上一点，且，求的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点P的横坐标代入，即可求出n． （2）利用待定系数法求一次函数解析式即可． （3）先求出点A和点C的坐标，，求出，设，最后根据代入求解出x，进而可求出点H的坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 故答案为：； （2）解：由（1）可知， 把点和点的坐标代入得， 解得， 一次函数的解析式为； （3）解：令，则，解得， ，解得， ，， ， ， 设， 则， ， ， 2．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数）的图象与轴相交于点，与轴相交于点，并与直线相交于点，其中点的横坐标为3． (1)求点的坐标和的值． (2)为直线上一动点，且点位于轴左侧，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数的交点问题，通过三角形的面积求点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． （1）利用解析式求点的坐标，利用待定系数法求一次函数参数； （2）先求出点的坐标，再设点的坐标为，利用三角形的面积列出方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 所以点的坐标为． 因为点在一次函数的图象上， 所以， 解得． （2）解：把代入，得， 所以点的坐标为，即， 设点的坐标为， 则：， 解得：， ， 所以点的坐标为． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数（为常数） (1)当函数是正比例函数时，的值为___________． (2)当函数图象不经过第一象限时，的取值范围是___________． (3)当时，一次函数的最大值为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）一次函数中，，时，函数是正比例函数，据此列方程求解； （2）一次函数中，，时，函数的图象不经过第一象限，据此列不等式组求解； （3）①一次函数中，时，随的增大而增大，则当时，最大值是，②函数中，时，随的增大而减小，则当时，最大值是，据此列方程求解． 【详解】（1）解：为正比例函数， ， ． （2）解：不经过第一象限， 可得， 解得． （3）解：分两种情况讨论， 当，即，随的增大而增大， 则当，， 可得， 解得； 当，即，随的增大而减小， 则当，， 可得， 解得； 综上或． 4．（24-25七年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，一次函数与的图象平行，且经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)求出函数的图象与轴、轴的交点和的坐标，并画出函数图象； (3)点在轴上，并且使得的值最小，请在图中标出点的位置，并写出最小值． 【答案】(1) (2)；；图见解析 (3)图见解析； 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）分别令和令，即可得到点和的坐标，画图可用两点法进行画图即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的值最小，点即为所求，利用勾股定理求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：一次函数与的图象平行， ， 函数图象经过点， ， ． 一次函数的表达式为； （2）解：对于， 令，则，解得， 令，则， ，， 画出函数的图象如图； （3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的值最小，点即为所求， 的最小值为，， 由勾股定理得， 的最小值为． 5．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图是一个函数值y的运算． (1)若输入x的值是，则输出y的值是 ． (2)若输出的y的值是4，求输入的x的值． (3)输出的y值只有一个x值与之对应，则x的取值范围是 ． 【答案】(1)6 (2)或 (3) 【分析】（1）将代入相应的流程计算即可； （2）根据题意，分别把代入不同的式子中计算x的值，并验证结果即可解答； （3）先根据题意作出函数图像，得到输出的y值只有一个x值与之对应时，，再结合图像确定x的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，． （2）解：①当时，在中， 令，得，解得：，符合题意； ②当时，在中， 令，得，解得：， 综上，或． （3）解：如图，分别作出和的函数图像， ∵当时，，， ∴输出的y值只有一个x值与之对应时，， ∴把代入，得， 把代入，得， ∴当时，输出的y值只有一个x值与之对应． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图1，若一次函数图象经过，，则有．例如：一次函数的图象经过和，则有． (1)若点，在一次函数图象上，则______； (2)若一次函数在范围内，函数的最大值与最小值的差为3，求k的值； (3)如图2，点A，B在直线上，点C，D在直线上，已知轴，轴，且，求与满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)；理由见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，坐标和图形，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的性质． （1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）分两种情况：当时，当时，根据一次函数的增减性，进行求解即可； （3）根据轴，轴，得出，，，根据题意得出，，求出，最后根据即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点，在一次函数图象上， ∴； （2）解：当时，y随x的增大而增大， ∴当时，函数有最小值，当时，函数有最大值， ∵函数的最大值与最小值的差为3， ∴； 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，函数有最大值，当时，函数有最小值， ∵函数的最大值与最小值的差为3， ∴； 综上，； （3）解：；理由如下 ∵轴，轴， ∴，，， 根据题意可得：， ， ∴， ∵， ∴，即． 7．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）一次函数恒过定点． (1)若一次函数还经过点，求的表达式； (2)若有另一个一次函数． ①点和点分别在一次函数和的图象上，求证：； ②设函数，当时，函数有最大值8，求的值． 【答案】(1)； (2)①证明见详解；②或 【分析】本题考查一次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式及一次函数的最值问题，关键是利用恒过定点得到这一核心关系式． （1）利用待定系数法，将已知的两个点代入一次函数解析式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出参数值，进而得到函数表达式； （2）①根据点在函数图象上的性质，将两点坐标分别代入对应函数解析式，得到关于的两个等式，结合的关系对等式变形，从而证明； ②先化简的表达式，再代入得到只含参数的一次函数，根据一次函数的单调性，分和两种情况讨论函数在给定区间内的最大值，进而求解的值． 【详解】（1）解：∵一次函数恒过定点，且经过点， ∴，解得， ∴； （2）解：①证明：∵点在的图象上， ∴； ∵点在的图象上， ∴； ∴， 又∵恒过， ∴，即， ∴，移项化简得， ∵， ∴； ②∵，， ∴， 分两种情况讨论： 当时，， ∴在上随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， 最大值为，即，解得； 当时，， ∴在上随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， 最大值为，即，解得； 综上，的值为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $