第三章一元二次方程单元测试卷 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

**基本信息** 湘教版九年级上册一元二次方程单元卷，覆盖定义、解法、根的判别式、应用等核心知识，通过摄影作品、文创销售等真实情境设计，梯度化呈现基础题与综合题，培养抽象能力、模型意识与创新思维，适配单元复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题|一元二次方程定义、解法、根的判别式|第9题摄影衬纸问题，发展几何直观| |填空题|4题|根与系数关系、方程应用|第16题结合根的性质，考查推理能力| |解答题|7题|解方程、几何应用（菱形、三角形）、实际应用（利润、面积）、新定义|19题文创销售利润问题体现模型意识，23题“师梅方程”培养创新意识|

2026-2027湘教版数学九年级上册第三章一元二次方程单元测试卷答案 一．选择题。 1．下列方程属于一元二次方程的是（　　） A．x2﹣y+2＝0 B．x2+y2＝1 C．x2﹣2x+2＝0 D． 【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数最高次数为2次，这样的整式方程为一元二次方程，即可做出判断． 【详解】解：A、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、方程中含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；． 故选：C． 2．方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式： ，其中，，分别为二次项系数，一次项系数和常数项，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是； 故选：A． 3．把一元二次方程，化为(x+p)2＝q的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程就是把方程左边整理成完全平方式的形式，再用完全平方公式进行分解因式． 【详解】解： ， 移项得：， 等式两边同时加， 可得： 整理得：． 故选： C． 4．关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列结论正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0， ∴方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根． 故选：A． 5．方程x2﹣4x＝0的解是（　　） A．x＝4 B．x1＝1，x2＝4 C．x1＝0，x2＝4 D．x＝0 【分析】由题已知的方程进行因式分解，将原式化为两式相乘的形式，再根据两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0，求出方程的解． 【解答】解：∵x2﹣4x＝0， ∴x（x﹣4）＝0， ∴方程的解：x1＝0，x2＝4． 故选：C． 【点睛】因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用． 6．若，是一元二次方程的两个根，则，的值分别是（        ） A．1和6 B．5和 C．和6 D．5和6 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴x1+x2=5，x1x2=6， 故选：D． 7．若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（    ） A． B．4 C． D．5 【分析】先求出方程的解，即可得出AC＝4，BD＝2，根据菱形的性质求出AO和OD，根据勾股定理求出AD即可． 【详解】解：解方程x2−6x＋8＝0得：x＝4或2， 即AC＝4，BD＝2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝2，BO＝DO＝1， 由勾股定理得：AD＝＝， 故选：A． 8．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k-2≠0且Δ=（-2）2-4（k-2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得k-2≠0且Δ=（-2）2-4（k-2）＞0， 解得：k<3且k≠2． 故选：D． 9.一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则矩形衬纸的长为英寸，宽为英寸， 由题意得， 故选D． 10．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得： x（x-1）=55， 化简得：x2-x-110=0， 解得：x1=11，x2=-10（舍去）， 故答案为C. 11. 已知x、y都是实数，且(x2+y2)(x2+y2+2)﹣3＝0，那么x2+y2的值是(　　) A. ﹣3 B. 1 C. ﹣3或1 D. ﹣1或3 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵（x2＋y2）(x2＋y2＋2)－3=0， ∴（x2＋y2）2+2(x2＋y2)－3=0， 解得：x2＋y2=-3或x2＋y2=1 ∵x2＋y2>0 ∴x2＋y2=1 故选B． 12.已知，是一元二次方程x2+x-2027=0的两个实数根，则代数式的值等于（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【解析】【解答】解：∵ a，b是一元二次方程x2+x-2027=0的两个实数根 ∴a2+a=2027，a+b=-1 ∴ =2027+(-1) =2026 故答案为：C 二.填空题。 13.方程的根是　 　． 【答案】， 14．已知方程的两根分别为，则的值为　 　． 【答案】 15.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，掌握这两个知识点是关键；根据一元二次方程的定义和根的判别式，方程有两个实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于或等于零． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得：且， ∴且． 16.方程x2﹣2024x﹣2025＝0的两个根分别是m、n，则（m2﹣2023m﹣2026）（n2﹣2023n﹣2026）＝ 　﹣4048　 ． 【分析】如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，则，.根据 根与系数的关系和方程的解得到m2﹣2024m﹣2025＝0，n2﹣2024n﹣2025＝0，m+n＝2024，mn＝﹣2025，代入，并再将原式化简为 mn﹣（m+n）+1，即可求解． 解：∵方程x2﹣2024x﹣2025＝0的两个根分别是m、n， ∴m2﹣2024m﹣2025＝0，n2﹣2024n﹣2025＝0，m+n＝2024，mn＝﹣2025， ∴m2＝2024m+2025，n2＝2024n+2025， ∴（m2﹣2023m﹣2026）（n2﹣2023n﹣2026） ＝（2024m+2025﹣2023m﹣2026）（2024n+2025﹣2023n﹣2026） ＝（m﹣1）（n﹣1） ＝mn﹣（m+n）+1 ＝﹣2025﹣2024+1 ＝﹣4048， 故答案为：﹣4048． 三．解答题。 17．解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可． （2）先将方程变形，再利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， ； （2）， ， ， 或， ∴，． 18．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【详解】（1）△ABC是等腰三角形； 理由：∵x=﹣1是方程的根， ∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0， ∴a+c﹣2b+a﹣c=0， ∴a﹣b=0， ∴a=b， ∴△ABC是等腰三角形； （2）∵方程有两个相等的实数根， ∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0， ∴4b2﹣4a2+4c2=0， ∴a2=b2+c2， ∴△ABC是直角三角形； （3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为： 2ax2+2ax=0， ∴x2+x=0， 解得：x1=0，x2=﹣1． 19.随着《哪吒之魔童闹海》电影的大爆，与之相关的哪吒文创周边销售也异常火爆．某文创店 将进价为20元/个的哪吒钥匙扣以30元/个出售，平均每天能售出50个，该文创店通过两查发 现这 种钥匙扣每个的售价每上涨1元，其每天的销售量就减少2个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为608元，且售价不能超过38元/个，这种钥匙扣的售价应定为多少元/个？ 【分析】设这种钥匙扣的售价应定为x元/个，则每个的销售利润为（x﹣20）元，每天的销售量 为[50﹣2（x﹣30）]个，根据每天销售这种钥匙扣的利润为608元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 解：设这种钥匙扣的售价应定为x元/个，则每个的销售利润为（x﹣20）元，每天的销售量为[50﹣2（x﹣30）]个， 根据题意得：（x﹣20）[50﹣2（x﹣30）]＝608， 整理得：x2﹣75x+1404＝0， 解得：x1＝36，x2＝39（不符合题意，舍去）， 答：这种商品的售价应定为36元． 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． (1)证明：由题意得：， 则：， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． （2）解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 21.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园（如图所示），其中一边靠墙（墙长为18m），另外三边用32m的篱笆围成． （1）若苗圃园的面积为96m2，求垂直于墙的一边长为多少米？ （2）苗圃园的面积能否达到150m2？请说明理由． 【分析】(1)利用矩形面积公式，结合墙长限制，通过设垂直于墙的一边长为x米，然后根据苗圃的面积为96m2列方程求解，验根求解 (2)假设面积能达到150m2，列方程x(32−2x)=150后用判别式判断方程是否有解. （1）解：设垂直于墙的一边长为x米， 则有x（32−2x）＝96， 解得：x1＝2，x2＝12， 当x＝4时，30−2x＝22＞18，不符合题意舍去， ∴取x＝12 答：垂直于墙的一边长为12m． （2）解：苗圃园的面积不能达到150m2． 理由如下： 由题意得：x（32−2x）＝150，化简得：x2-16x+75=0． ∵△=（-16）2-4×1×75＜0， ∴方程无实数根． 故这个苗圃园的面积不能达到150m2． 22．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 【详解】（1）∵原一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且m≠0， 整理，得：， 解得：，且m≠0， 即m的取值范围为，且m≠0； （2）∵，， ∴， ∵， 即，即， 设，则有：， 利用因式分解法，解得：，， 根据，得， 可得m为4或者-1， 又∵，且m≠0， ∴m的值为4． 23．新定义：关于x的一元二次方程与互为“师梅方程”． (1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“师梅方程”（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①与（     ） ②与（     ） ③与（     ） (2)若关于x的一元二次方程的两实数根． ①求a的值； ②记方程的“师梅方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于x的一元二次方程与它的“师梅方程”有且只有一个公共实数根，求k的值． 【分析】（1）由“师梅方程”的定义，逐一判断即可； （2）①根据题意可知该一元二次方程有两个相等实数根，结合根的判别式可知，从而求出a的值，注意一元二次方程二次项系数，要舍去的情况；②将方程的“师梅方程”，即方程 变形为：，由此可知当方程的时，方程的，且方程与的根互为相反数，从而求得； （3）先将方程化简为，写出其“师梅方程”为：，设两个方程的公共根为，将公共根代入两个方程并相减，可得，随后分析和两种情况，最后求出k的值． （1）解：①两组方程二次项系数均为1，一次项系数为2和，常数项均为0，符合定义，标记为√； ②两组方程常数项分别为4和，不相等，不符合定义，标记为×； ③两组方程二次项系数均为1，一次项系数为3和，常数项均为，符合定义，标记为√． （2）解：①∵关于x的一元二次方程有两个相等实数根， ∴ ， 解得或， ∵一元二次方程二次项系数， ∴， ∴； ②∵，方程的“师梅方程”为方程， ∴，即， ∴当方程的时， 师梅方程的， 且方程与的根互为相反数， ∴． （3）解：∵， ∴该方程化为：， 该方程的“师梅方程”为：， 设两个方程的公共根为， 则有及， 两式相减得：， ∴或． 若， 则两个方程均为， 此时两个方程有两个公共根，不符题意， 故； 若，将其代入方程中， 解得：， 经验证，符合题意， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027湘教版数学九年级上册第三章一元二次方程单元测试卷答案 一．选择题。 1．下列方程属于一元二次方程的是（　　） A．x2﹣y+2＝0 B．x2+y2＝1 C．x2﹣2x+2＝0 D． 2．方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A． B． C． D． 3．把一元二次方程，化为(x+p)2＝q的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．关于一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况，下列结论正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 5．方程x2﹣4x＝0的解是（　　） A．x＝4 B．x1＝1，x2＝4 C．x1＝0，x2＝4 D．x＝0 6．若，是一元二次方程的两个根，则，的值分别是（        ） A．1和6 B．5和 C．和6 D．5和6 7．若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（    ） A． B．4 C． D．5 8．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 9.一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的2倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 10．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ） A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 11. 已知x、y都是实数，且(x2+y2)(x2+y2+2)﹣3＝0，那么x2+y2的值是(　　) A. ﹣3 B. 1 C. ﹣3或1 D. ﹣1或3 12.已知，是一元二次方程x2+x-2027=0的两个实数根，则代数式的值等于（　　） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 二.填空题。 13.方程的根是　 　． 14．已知方程的两根分别为，则的值为　 　． 15.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 16.方程x2﹣2024x﹣2025＝0的两个根分别是m、n，则（m2﹣2023m﹣2026）（n2﹣2023n﹣2026）＝ 　 　 ． 三．解答题。 17．解下列一元二次方程： (1)； (2)． 18．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长． （1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 19.随着《哪吒之魔童闹海》电影的大爆，与之相关的哪吒文创周边销售也异常火爆．某文创店 将进价为20元/个的哪吒钥匙扣以30元/个出售，平均每天能售出50个，该文创店通过两查发 现这 种钥匙扣每个的售价每上涨1元，其每天的销售量就减少2个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为608元，且售价不能超过38元/个，这种钥匙扣的售价应定为多少元/个？ 20．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 21.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园（如图所示），其中一边靠墙（墙长为18m），另外三边用32m的篱笆围成． （1）若苗圃园的面积为96m2，求垂直于墙的一边长为多少米？ （2）苗圃园的面积能否达到150m2？请说明理由． 22．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 23．新定义：关于x的一元二次方程与互为“师梅方程”． (1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“师梅方程”（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①与（     ） ②与（     ） ③与（     ） (2)若关于x的一元二次方程的两实数根． ①求a的值； ②记方程的“师梅方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． (3)若关于x的一元二次方程与它的“师梅方程”有且只有一个公共实数根，求k的值． 学科网（北京）股份有限公司 $