第3章 一元二次方程（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册数学第3章一元二次方程能力提升单元卷，通过健康指标、微信活动等生活情境及《几何原本》数学史素材，覆盖方程概念、解法、应用等核心知识，适配单元复习，提升数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一般形式、根的判断、配方法|第8题结合《几何原本》图解法，体现数学文化| |填空题|6/18|方程应用、规律探究|第13题以“微信点名”活动建模，培养模型意识| |解答题|8/72|解法综合、利润问题、动态几何|第24题动点面积问题，融合几何直观与运算能力|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 建议用时：120分钟，满分：120分 第3章 一元二次方程·答案及评分参考 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A B A A B D B D C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．或 12．2 13． 【应用体验】已知，则________． 14．7 15． 16． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分） （1）解：，（3分） 整理得， 配方得，即， 开方得， 解得，； （2）解：，（6分） ，，， ， ， 解得，． 18．（6分） （1）略（3分） （2）解：当时代入得，，（6分） 即， ． 19．（8分） （1）证明：∵，（4分） ∴， ∴， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）解：∵方程的两实根为，，（8分） ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴或． 20．（8分） （1）解：设甲种头盔的购进单价为x元/个，则乙种头盔的购进单价为1.5x元/个，（4分） 根据题意得： 解得，， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 则 答：甲种头盔的购进单价为40元/个，乙种头盔的购进单价为60元/个； （2）解：设甲种头盔的售价应上涨a元/个，（8分） 根据题意可得，， 解得， 要尽快减少库存，应取， 答：甲种头盔的售价应上涨20元/个． 21．（10分） 解：（1）第1个图案中白色棋子的个数为2，黑色棋子的个数为5；（5分） 第2个图案中白色棋子的个数为3，黑色棋子的个数为7； 第3个图案中白色棋子的个数为4，黑色棋子的个数为9； …… 第n个图案中白色棋子的个数为，黑色棋子的个数为． 故答案为：，． （2）由题意得：第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为，（10分） 则，解得：或（不合题意舍弃）． 所以正整数n的值为10． 22．（10分） （1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，（4分） 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设该品牌头盔每个应涨价元，（7分） 根据题意，得， 整理得：， 解得，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔每个应涨价5元； （3）解：由题意得，，（10分） 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：道路宽x应为． 23．（12分） （1）解：当步频（步/秒）时，步长（米/步），步行速度（米/秒）；（4分） （2）解：由，，可得 （8分） 令，得方程 整理得 解得 ，符合条件 步行速度能达到（米/秒），此时； （3）解：设第一次测试中机器人的步频为（步/秒），则第二次步频为（步/秒） （12分） 第一次步行速度为，行走时间为 第二次步行速度为，行走时间为 由两次行走时间相等，得 整理得 解得， ∵， ∴舍去 ∴第一次测试中机器人的步频为2步/秒． 24．（12分） （1）解：设经过x秒，的面积等于，依题意有：（4分） ， 解得：， ∴经过2秒或4秒，的面积等于； （2）略（8分） （3）解：①设经过m秒，点P在线段上，点Q在线段上， 依题意得：（12分） ， 即， 解得， ， 经检验， 不符合题意，舍去， ∴此时； ②设经过n秒，点P在线段上，点Q在射线上；依题意得： ， 即， 解得， 经检验，符合题意． ③设经过k秒，点P在射线上，点Q在射线上，依题意得： ， 即， 解得， ， 经检验， 不符合题意，舍去， ∴； 综上所述，经过秒或5秒或秒后，的面积为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 建议用时：120分钟，满分：120分 第3章 一元二次方程·能力提升 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为2，则常数项是（    ） A．7 B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式． 将方程化为一般形式，其中，再确定常数项． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∴常数项为5． 故选：D． 2．（25-26八年级下·山东泰安·期中）已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程为 ， 把代入方程左边，得， 又∵已知， ∴当时，方程左右两边相等， ∴是该一元二次方程的一个根． 3．（25-26九年级上·湖南怀化·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法的步骤是解题的关键．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可． 【详解】解：∵， ∴（移项）， ∴（两边加一次项系数一半的平方）， ∴， 因此，配方结果为． 故选：B． 4．（24-25九年级上·福建福州·期中）下列一元二次方程中，根是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式， 根据一元二次方程的求根公式计算判断即可．一元二次方程，当时，． 【详解】因为一元二次方程的根是，所以A符合题意； 因为一元二次方程的根是，所以B不符合题意； 因为一元二次方程的根是，所以C不符合题意； 因为一元二次方程的根是，所以D不符合题意． 故选：A． 5．若关于x的方程无实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，其根的判别式为．若，则该方程有两个不相等的实数根；若，则该方程有两个相等的实数根；若，则该方程没有实数根． 【详解】解：若关于x的方程无实数根，则判别式， 即，解得． 6．（25-26九年级上·湖南永州·期末）设、是方程的两个根，则的值为（   ） A． B．5 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵ ， 是方程的两个实数根， ∴ ，， ∴ ． 故选：B． 7．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如果一元二次方程的两个根恰好是一个直角三角形的两条边长，那么这个直角三角形的周长为（   ） A．12 B．13 C．14 D．12或 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，解一元二次方程．先解一元二次方程，然后分两种情况，利用勾股定理解答即可． 【详解】∵方程， ∴， 解得，． ∵两根是直角三角形的两条边长， ∴可能情况如下： ① 当5为斜边时，另一直角边为， ∴ 周长为； ②当4和5均为直角边时，斜边为， ∴周长为． 综上，周长为12或． 故选：D． 8．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）在欧几里得的《几何原本》中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画，使，，，再在斜边上截取，连接，能表示一元二次方程的其中一个正根的线段是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，在中，由勾股定理得，整理得：，即可得到结论． 【详解】解：设，则， 在中，由勾股定理得：， 整理得：， 线段的长是一元二次方程的一个正根． 9．（24-25九年级上·河北保定·期中）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（一）为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考． 女性理想体重 男性理想体重 算法① 身高身高 身高身高 算法② （身高） （身高） 算法③ （身高） （身高） 以下为甲、乙两个关于成年女性理想体重的叙述： （甲）有的女性使用算法①与算法②算出的理想体重会相同 （乙）有的女性使用算法②与算法③算出的理想体重会相同 对于甲、乙两个叙述，下列判断何者正确？（   ） A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用以及根的判别式，假设甲叙述正确，设女性的身高为公尺，根据题意得，根据根的判别式即可判断，假设乙叙述正确，设女性的身高为公尺，根据题意得，解出的值，从而求解，找准等量关系，正确列出一元二次方程或一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：假设甲叙述正确，设女性的身高为公尺， 根据题意得： 整理得： ， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲叙述错误； 假设乙叙述正确，设女性的身高为公尺， 根据题意得：， 解得：， ∴当女性的身高为公尺时，使用算法与算法算出的理想体重会相同， ∴假设成立，即乙叙述正确； 故选：． 10．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，，，，于点D，动点P从点A出发以每秒的速度在线段上向终点D运动．设动点运动的时间为t秒，动点M从点C出发以每秒的速度在射线上运动．若点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动，若存在t，使得，则t的值为（   ） A．2或 B．2或 C．2或 D．2或12.5 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，分两种情况：当点M在点D左侧时，当点M在点D右侧时，分别列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点M在点D左侧时，， 解得：或（舍去）； 当点M在点D右侧时，， 解得：； 综上，t的值为2或． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25九年级上·福建莆田·开学考试）若与互为相反数，则x的值为______________________． 【答案】或 【分析】此题考查了解一元二次方程一公式法，熟练掌握公式法是解本题的关键． 利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值 【详解】解：根据题意得：， 整理得：． ， ， 解得：， 故答案为：或 12．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则____________． 【答案】2 【分析】本题考查解一元二次方程，估算无理数的大小，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用配方法解出的方程后利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则， 故答案为：2． 13．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解题的关键．根据“转发两轮后共有91人被邀请参与该活动”列出方程即可． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：． 14．【探究活动】如图，计算末位为5的两位数的平方时，只需将十位上数字与相乘，再乘以100，然后加上25即可． 【应用体验】已知，则________． 【答案】7 【分析】根据探究活动中总结的末位为 5 的两位数平方的计算规律，建立关于的方程求解即可． 【详解】解：根据探究活动可知，． 因为， 所以， 移项，得， 两边同时除以100，得， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 15．（25-26八年级下·山东淄博·期末）若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，设，可得关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 16．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 【答案】 【分析】先根据题中的新定义，求出a，b的值，再将a，b的值代入代数式中，运用配方法求得其最小值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴应为， ∴， ∴， ∴， ∴， 代数式 ， ∴代数式的最小值是． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）（25-26九年级上·湖南怀化·期中）解方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了配方法和公式法求解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解答本题的关键． （1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解． 【详解】（1）解：， 整理得， 配方得，即， 开方得， 解得，； （2）解：， ，，， ， ， 解得，． 18．（6分）（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）已知关于的方程．（6分） (1)试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为1，求的值． 【答案】(1) 解： ； 因为， 所以， 所以无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根． (2)2025 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解． （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此可证出：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）代入可得出，将其代入中即可求出结论． 【详解】（1）略 （2）解：当时代入得，， 即， ． 19．（8分）（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）已知关于x的一元二次方程满足．（8分） (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若一元二次方程的两实根为、，且，请求出的值． 【答案】(1)见解析 (2)1或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程等知识． （1）证明即可得出方程总有两个不相等的实数根； （2）根据根与系数的关系可得，，根据，可得，结合可得，解出的值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）解：∵方程的两实根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴或． 20．（8分）（25-26九年级上·湖南怀化·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某商场准备购进甲、乙两种头盔进行销售，用2400元购进甲种头盔，用1800元购进乙种头盔，乙种头盔的购进单价是甲种头盔购进单价的1.5倍，乙种头盔的购进数量比甲种头盔的购进数量少30个．（8分） (1)求购进甲、乙两种头盔的单价分别是多少元？ (2)调查甲种头盔的销售情况后发现，当售价为50元/个时，月销售量为600个．商场决定对甲种头盔适当提价，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．为使甲种头盔的月销售利润达到12000元，而且能尽快减少库存，则甲种头盔的售价应上涨多少元/个？ 【答案】(1)甲种头盔的购进单价为40元/个，乙种头盔的购进单价为60元/个； (2)甲种头盔的售价应上涨20元/个． 【分析】此题考查了分式方程和一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设甲种头盔的购进单价为x元/个，则乙种头盔的购进单价为1.5x元/个，乙种头盔的购进数量比甲种头盔的购进数量少30个．据此列方程，解方程并检验即可； （2）设甲种头盔的售价应上涨a元/个，甲种头盔的月销售利润达到12000元，据此列方程并解方程即可． 【详解】（1）解：设甲种头盔的购进单价为x元/个，则乙种头盔的购进单价为1.5x元/个， 根据题意得： 解得，， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 则 答：甲种头盔的购进单价为40元/个，乙种头盔的购进单价为60元/个； （2）解：设甲种头盔的售价应上涨a元/个， 根据题意可得，， 解得， 要尽快减少库存，应取， 答：甲种头盔的售价应上涨20元/个． 21．（10分）（25-26九年级上·陕西汉中·阶段检测）【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．如图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案． 【规律发现】 （1）按此规律继续摆下去，第（为正整数）个图案中，白棋有____________个，黑棋有____________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （2）若在第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求的值． 【答案】（1），；（2）10． 【分析】本题考查了图形的变化类问题、一元二次方程的应用等知识点，根据各个图形中棋子的颗数发现规律是解题的关键． （1）观察图形发现图形的规律，然后用规律写出第n个图案中黑色棋子的个数与白色棋子的个数即可； （2）由题意可得，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）第1个图案中白色棋子的个数为2，黑色棋子的个数为5； 第2个图案中白色棋子的个数为3，黑色棋子的个数为7； 第3个图案中白色棋子的个数为4，黑色棋子的个数为9； …… 第n个图案中白色棋子的个数为，黑色棋子的个数为． 故答案为：，． （2）由题意得：第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为， 则，解得：或（不合题意舍弃）． 所以正整数n的值为10． 22．（10分）（25-26九年级上·广东深圳·期中）深圳市交警部门提醒市民：“骑行电动车，出门戴头盔，放心平安归”．（10分）某惠民商店统计了某品牌头盔的销售量，八月份售出100个，十月份售出144个，且从八月份到十月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到了6000元，又尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ (3)布吉街道计划将布吉站附近一个长为，宽为的空地规划为一个电动车停车场，如图所示，阴影部分都是宽为x的长方形的道路，若使除道路外，剩余部分的面积是，则道路宽x应为多少？ 【答案】(1) (2)5元 (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）设该品牌头盔每个应涨价元，根据题意列出方程，再结合“尽可能让顾客得到实惠”确定的值，即可解答； （3）根据题意列出方程，求出的值即可解答； 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设该品牌头盔每个应涨价元， 根据题意，得， 整理得：， 解得，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔每个应涨价5元； （3）解：由题意得，， 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：道路宽x应为． 23．（12分）（25-26八年级下·浙江宁波·期末）某机器人研究小组对机器人行走时的步长（米/步）、步频（步/秒）与步行速度（米/秒）进行研究，步长是指机器人单步前进的距离，步频是指单位时间内机器人完成的步数，则机器人的步行速度步长步频，即．（12分）在测试模式下，已知步长与步频满足一次函数（）．（12分） (1)当步频（步/秒）时，步长为_______（米/步），步行速度为_______（米/秒）． (2)机器人的步行速度能否达到1.8（米/秒）？若能，请求出此时步频的值；若不能，请说明理由． (3)研究小组记录了某两次测试情况：在第一次测试中，机器人以某步频行走了8米；在第二次测试中，机器人的步频比第一次多了1步/秒，并在与第一次相同的时间内行走了9米，求第一次测试中机器人的步频． 【答案】(1) ， (2) 能，此时步频的值为 (3) 第一次测试中机器人的步频为（步/秒） 【分析】（1）利用题干给出的关系，结合已知的与的一次函数关系求解，第一问直接代入计算即可； （2）令列一元二次方程，判断解是否在范围内； （3）设第一次测试中机器人的步频为（步/秒），则第二次步频为（步/秒） ，分别表示行走时间，再由两次行走时间相等建立方程求解． 【详解】（1）解：当步频（步/秒）时，步长（米/步），步行速度（米/秒）； （2）解：由，，可得 令，得方程 整理得 解得 ，符合条件 步行速度能达到（米/秒），此时； （3）解：设第一次测试中机器人的步频为（步/秒），则第二次步频为（步/秒） 第一次步行速度为，行走时间为 第二次步行速度为，行走时间为 由两次行走时间相等，得 整理得 解得， ∵， ∴舍去 ∴第一次测试中机器人的步频为2步/秒． 24．（12分）如图所示，中，．（12分） (1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ (2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？ 【答案】(1)2秒或4秒 (2)不能， 理由如下： 设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，依题意有 的面积， ， 即， ∵， ∴此方程无实数根， ∴线段不能将分成面积相等的两部分； (3)经过秒或5秒或秒后，的面积为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用． （1）设经过x秒，的面积等于，根据三角形面积公式列出方程求解即可； （2）设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解； （3）分三种情况：①点P在线段上，点Q在线段上；②点P在线段上，点Q在射线上；③点P在射线上，点Q在射线上；进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设经过x秒，的面积等于，依题意有： ， 解得：， ∴经过2秒或4秒，的面积等于； （2）略 （3）解：①设经过m秒，点P在线段上，点Q在线段上， 依题意得： ， 即， 解得， ， 经检验， 不符合题意，舍去， ∴此时； ②设经过n秒，点P在线段上，点Q在射线上；依题意得： ， 即， 解得， 经检验，符合题意． ③设经过k秒，点P在射线上，点Q在射线上，依题意得： ， 即， 解得， ， 经检验， 不符合题意，舍去， ∴； 综上所述，经过秒或5秒或秒后，的面积为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 建议用时：120分钟，满分：120分 第3章 一元二次方程·能力提升 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为2，则常数项是（    ） A．7 B． C． D．5 2．（25-26八年级下·山东泰安·期中）已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖南怀化·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·福建福州·期中）下列一元二次方程中，根是的方程是（    ） A． B． C． D． 5．若关于x的方程无实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·湖南永州·期末）设、是方程的两个根，则的值为（   ） A． B．5 C．1 D． 7．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如果一元二次方程的两个根恰好是一个直角三角形的两条边长，那么这个直角三角形的周长为（   ） A．12 B．13 C．14 D．12或 8．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）在欧几里得的《几何原本》中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画，使，，，再在斜边上截取，连接，能表示一元二次方程的其中一个正根的线段是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·河北保定·期中）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（一）为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考． 女性理想体重 男性理想体重 算法① 身高身高 身高身高 算法② （身高） （身高） 算法③ （身高） （身高） 以下为甲、乙两个关于成年女性理想体重的叙述： （甲）有的女性使用算法①与算法②算出的理想体重会相同 （乙）有的女性使用算法②与算法③算出的理想体重会相同 对于甲、乙两个叙述，下列判断何者正确？（   ） A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 10．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，，，，于点D，动点P从点A出发以每秒的速度在线段上向终点D运动．设动点运动的时间为t秒，动点M从点C出发以每秒的速度在射线上运动．若点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动，若存在t，使得，则t的值为（   ） A．2或 B．2或 C．2或 D．2或12.5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25九年级上·福建莆田·开学考试）若与互为相反数，则x的值为______________________． 12．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则____________． 13．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为_________． 14．【探究活动】如图，计算末位为5的两位数的平方时，只需将十位上数字与相乘，再乘以100，然后加上25即可． 【应用体验】已知，则________． 15．（25-26八年级下·山东淄博·期末）若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 16．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）（25-26九年级上·湖南怀化·期中）解方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 18．（6分）（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）已知关于的方程． (1)试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为1，求的值． 19．（8分）（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）已知关于x的一元二次方程满足．（8分） (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若一元二次方程的两实根为、，且，请求出的值． 20．（8分）（25-26九年级上·湖南怀化·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某商场准备购进甲、乙两种头盔进行销售，用2400元购进甲种头盔，用1800元购进乙种头盔，乙种头盔的购进单价是甲种头盔购进单价的1.5倍，乙种头盔的购进数量比甲种头盔的购进数量少30个． (1)求购进甲、乙两种头盔的单价分别是多少元？ (2)调查甲种头盔的销售情况后发现，当售价为50元/个时，月销售量为600个．商场决定对甲种头盔适当提价，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．为使甲种头盔的月销售利润达到12000元，而且能尽快减少库存，则甲种头盔的售价应上涨多少元/个？ 21．（10分）（25-26九年级上·陕西汉中·阶段检测）【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．如图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案． 【规律发现】 （1）按此规律继续摆下去，第（为正整数）个图案中，白棋有____________个，黑棋有____________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （2）若在第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求的值． 22．（10分）（25-26九年级上·广东深圳·期中）深圳市交警部门提醒市民：“骑行电动车，出门戴头盔，放心平安归”．某惠民商店统计了某品牌头盔的销售量，八月份售出100个，十月份售出144个，且从八月份到十月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到了6000元，又尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ (3)布吉街道计划将布吉站附近一个长为，宽为的空地规划为一个电动车停车场，如图所示，阴影部分都是宽为x的长方形的道路，若使除道路外，剩余部分的面积是，则道路宽x应为多少？ 23．（12分）（25-26八年级下·浙江宁波·期末）某机器人研究小组对机器人行走时的步长（米/步）、步频（步/秒）与步行速度（米/秒）进行研究，步长是指机器人单步前进的距离，步频是指单位时间内机器人完成的步数，则机器人的步行速度步长步频，即．（12分）在测试模式下，已知步长与步频满足一次函数（）． (1)当步频（步/秒）时，步长为_______（米/步），步行速度为_______（米/秒）． (2)机器人的步行速度能否达到1.8（米/秒）？若能，请求出此时步频的值；若不能，请说明理由． (3)研究小组记录了某两次测试情况：在第一次测试中，机器人以某步频行走了8米；在第二次测试中，机器人的步频比第一次多了1步/秒，并在与第一次相同的时间内行走了9米，求第一次测试中机器人的步频． 24．（12分）如图所示，中，． (1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ (2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？ 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 建议用时：120分钟，满分：120分 第3章 一元二次方程·能力提升 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为2，则常数项是（    ） A．7 B． C． D．5 2．（25-26八年级下·山东泰安·期中）已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖南怀化·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·福建福州·期中）下列一元二次方程中，根是的方程是（    ） A． B． C． D． 5．若关于x的方程无实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·湖南永州·期末）设、是方程的两个根，则的值为（   ） A． B．5 C．1 D． 7．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如果一元二次方程的两个根恰好是一个直角三角形的两条边长，那么这个直角三角形的周长为（   ） A．12 B．13 C．14 D．12或 8．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）在欧几里得的《几何原本》中，形如的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画，使，，，再在斜边上截取，连接，能表示一元二次方程的其中一个正根的线段是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·河北保定·期中）体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（一）为成年人利用身高（公尺）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，因此结果仅供参考． 女性理想体重 男性理想体重 算法① 身高身高 身高身高 算法② （身高） （身高） 算法③ （身高） （身高） 以下为甲、乙两个关于成年女性理想体重的叙述： （甲）有的女性使用算法①与算法②算出的理想体重会相同 （乙）有的女性使用算法②与算法③算出的理想体重会相同 对于甲、乙两个叙述，下列判断何者正确？（   ） A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 10．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，，，，于点D，动点P从点A出发以每秒的速度在线段上向终点D运动．设动点运动的时间为t秒，动点M从点C出发以每秒的速度在射线上运动．若点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动，若存在t，使得，则t的值为（   ） A．2或 B．2或 C．2或 D．2或12.5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（24-25九年级上·福建莆田·开学考试）若与互为相反数，则x的值为______________________． 12．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则____________． 13．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为_________． 14．【探究活动】如图，计算末位为5的两位数的平方时，只需将十位上数字与相乘，再乘以100，然后加上25即可． 【应用体验】已知，则________． 15．（25-26八年级下·山东淄博·期末）若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 16．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）（25-26九年级上·湖南怀化·期中）解方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 18．（6分）（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）已知关于的方程． (1)试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为1，求的值． 19．（8分）（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）已知关于x的一元二次方程满足．（8分） (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若一元二次方程的两实根为、，且，请求出的值． 20．（8分）（25-26九年级上·湖南怀化·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某商场准备购进甲、乙两种头盔进行销售，用2400元购进甲种头盔，用1800元购进乙种头盔，乙种头盔的购进单价是甲种头盔购进单价的1.5倍，乙种头盔的购进数量比甲种头盔的购进数量少30个． (1)求购进甲、乙两种头盔的单价分别是多少元？ (2)调查甲种头盔的销售情况后发现，当售价为50元/个时，月销售量为600个．商场决定对甲种头盔适当提价，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．为使甲种头盔的月销售利润达到12000元，而且能尽快减少库存，则甲种头盔的售价应上涨多少元/个？ 21．（10分）（25-26九年级上·陕西汉中·阶段检测）【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．如图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案． 【规律发现】 （1）按此规律继续摆下去，第（为正整数）个图案中，白棋有____________个，黑棋有____________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （2）若在第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求的值． 22．（10分）（25-26九年级上·广东深圳·期中）深圳市交警部门提醒市民：“骑行电动车，出门戴头盔，放心平安归”．某惠民商店统计了某品牌头盔的销售量，八月份售出100个，十月份售出144个，且从八月份到十月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到了6000元，又尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ (3)布吉街道计划将布吉站附近一个长为，宽为的空地规划为一个电动车停车场，如图所示，阴影部分都是宽为x的长方形的道路，若使除道路外，剩余部分的面积是，则道路宽x应为多少？ 23．（12分）（25-26八年级下·浙江宁波·期末）某机器人研究小组对机器人行走时的步长（米/步）、步频（步/秒）与步行速度（米/秒）进行研究，步长是指机器人单步前进的距离，步频是指单位时间内机器人完成的步数，则机器人的步行速度步长步频，即．在测试模式下，已知步长与步频满足一次函数（）． (1)当步频（步/秒）时，步长为_______（米/步），步行速度为_______（米/秒）． (2)机器人的步行速度能否达到1.8（米/秒）？若能，请求出此时步频的值；若不能，请说明理由． (3)研究小组记录了某两次测试情况：在第一次测试中，机器人以某步频行走了8米；在第二次测试中，机器人的步频比第一次多了1步/秒，并在与第一次相同的时间内行走了9米，求第一次测试中机器人的步频． 24．（12分）如图所示，中，． (1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ (2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？ 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $