考点培优练01 导数及其函数性质的应用7大考点（高效培优专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 聚焦导数应用7大核心考点，构建“方法提炼-典例解析-跟踪训练”三阶体系，逻辑递进覆盖公切线、单调性、极值等高频题型，培养数学思维与理性精神。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点01-07|每考点1典例+3-7训练题|公切线问题通法、单调性参数判定、极值点变号零点分析、零点问题数形转化、构造函数策略、能成立与双变量最值转化|从基础应用（公切线、单调性）到综合问题（极值、零点）再到高阶技巧（构造函数、双变量），形成概念-原理-应用递进链条|

考点培优练01 导数及其性质的应用7大考点 考点预览 考点01 函数的公切线问题 1 考点02 函数的单调性求参数的取值范围 3 考点03 由函数极值、极值点求参数范围 4 考点04 利用导数解决函数的零点、交点或方程的根的问题 5 考点05 构造函数并利用函数单调性比较大小 7 考点06 利用导数研究能成立问题 8 考点07 双变量恒成立、能成立问题 9 考点通关 考点01 函数的公切线问题 一、非公共切点的公切线问题 若函数与函数存在非公共切点的公切线，可按以下策略解题： 设函数的切点为，切线为，则的方程为，整理得.设函数的切点为，切线为，同理的方程为.由于与是相同直线，故有（*），即可解得公切线方程.且函数与函数的公切线条数就等于（*）式解的个数. 事实上，（*）式也是解决函数公切线问题的一个通法. 二、公共切点的公切线问题 若函数与函数存在公共切点的公切线，可按以下策略解题： 设函数与函数的切点为，则有. 【典例1】（2026·湖南邵阳·三模）已知函数和． (1)设函数，讨论的单调性； (2)若函数与的图象有三条公切线，求实数的取值范围； 【跟踪训练】1．（2026·福建福州·三模）(多选)已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若是奇函数，则 B．若是增函数，则 C．所有零点的平方和等于 D．当时，存在两条互相垂直的直线都与曲线相切 2．（2026·江苏连云港·模拟预测）曲线与曲线在它们的某个公共点处有公切线，则正数的值为________． 3．（2026·福建泉州·模拟预测）已知曲线和有两条公切线，其中一条为直线，则另外一条公切线的方程为________． 4．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若曲线与曲线有两条公切线，则的取值范围为______． 5．（2026·四川眉山·模拟预测）已知函数与函数的图象在公共点处有相同的切线. (1)当时，求函数与在公共点处的切线方程； (2)求的最大值； (3)证明：当时，. 考点02 函数的单调性求参数的取值范围 条件 结论 可导函数f (x)在(a，b)上 单调递增 在(a，b)上恒成立 单调递减 在(a，b)上恒成立 常数函数 在(a，b)上恒成立 存在单调递增区间 在(a，b)上有解 存在单调递减区间 在(a，b)上有解 （1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立； （2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立； （3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点 （4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点 【典例2】（2026·湖南·模拟预测）已知函数，． (1)证明：． (2)讨论的单调性． (3)若，求的取值集合． 【跟踪训练】1．（2026·山东威海·二模）已知函数在上有两个零点，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知函数，若当时，，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·四川成都·三模）若函数在区间上有最大值，则正整数的值有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（2026·山西晋城·一模）已知函数，若当且仅当时成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·福建莆田·二模）(多选)已知函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，是的极大值点 B．存在实数，使得成立 C．若在区间上单调递减，则的取值范围是 D．若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 考点03 由函数极值、极值点求参数范围 1. 极值问题 核心原理：极值点是的变号零点（导数值左正右负为极大值点，左负右正为极小值点）。 步骤：求导→找的根→判断根两侧导函数符号→确定极值。 易错点：不能直接推出是极值点，必须验证符号变化。 2. 已知极值个数求参数的范围 这类问题的形式就是已知存在几个极值点，求参数的取值范围. 这类问题实质是考察导函数的变号零点个数，注意：是“变号”零点.通常情况下，这类问题可通过求导后讨论导函数的零点个数来完成，首选分离参数的方法解决，若不行，再将导函数作为一个新的函数来讨论其零点个数. 【典例3】（2026·安徽·三模）已知函数的极小值点为3，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（2026·河南濮阳·模拟预测）若函数恰有2个极值点，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·上海奉贤·二模）已知函数的表达式为，，则下列命题正确的是（   ） A．函数的零点的个数一定是3个 B．若集合的解集是，则实数对有2对 C．函数必存在极值 D．函数在处的切线方程为，则 3．（25-26高三上·贵州遵义·期末）若函数存在极大值和极小值，则极小值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏镇江·模拟预测）若函数在上有极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山西晋城·模拟预测）已知函数的极大值点为，且，则（   ） A． B． C． D． 考点04 利用导数解决函数的零点、交点或方程的根的问题 1. 利用导数研究函数零点个数（或方程根的个数）问题的一般思路： (1) 可转化为利用导数研究其函数的图象与轴（或直线）在该区间上的交点问题； (2) 证明有几个零点时，利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值（最值）、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象，再利用函数零点存在定理，在每个单调区间内取值证明. 【典例4】（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数，，若恰有4个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏苏州·三模）已知，若有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·北京房山·二模）已知函数 若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河北邢台·二模）已知函数，.若与的图象恰好有4个不同的交点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·广东·模拟预测）若函数有极值点，，且，若，，则关于的方程的不同实根个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知函数，与的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 考点05 构造函数并利用函数单调性比较大小 构造函数比较数值大小，核心是根据数值结构 来构造函数，利用函数的性质来进行数值比较，主要 借助函数的单调性、最值特性，常结合导数知识来 分析.构造函数时注意找出含有的共同的数值， 用变量x 替换其中的数值；再借助导数来研究函数 的单调性，进而确定大小.由已知条件变形同构，构造函数，利用函数单调性脱“f”判断自变量的大小. 【典例5】（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东佛山·一模）若，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·重庆·阶段检测）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三·全国·三轮复习）已知为R上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·山东济南·二模）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 考点06 利用导数研究能成立问题 能成立（有解）问题常见类型： 自变量，范围为，为函数；为参数， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 【典例6】（2025·江苏镇江·模拟预测）函数，若不等式在上有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·广东广州·阶段检测），不等式恒成立，则正实数的最大值是（　 　）． A． B． C． D． 3．（2026·江西·一模）若使得不等式对任意恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B． C．4 D． 4．（25-26高三上·安徽黄山·阶段检测）已知函数，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·四川成都·一模）若存在使得不等式成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·山东·开学考试）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点07 双变量恒成立、能成立问题 核心：转化为函数最值，区分量词逻辑（∀ 任意、∃ 存在）。根据任意，存在问题，求解函数的最值即可 恒成立问题：①，即求；②即求. 能成立问题：①，即求；②即求. 技巧：双变量问题先分别求两个函数的最值，再根据量词关系建立不等式。 混淆 “独立变量” 与 “关联变量”，误将双变量最值直接等价于单变量最值叠加，忽略变量取值范围的相互约束。 恒成立问题中，错把 “使” 转化为，正确应为；而 “” 则需，二者极易颠倒。 【典例7】（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）设函数，若有两个极值点，，且，则的最小值是________. 【跟踪训练】1．（25-26高三下·福建·开学考试）(多选)若，则（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．， 2．（25-26高三上·河南安阳·阶段检测）(多选)已知正数满足，则（    ） A．是的函数 B．是的函数 C． D．的最大值为 3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）(多选)已知，则下列说法正确的是（   ） A．函数在上单调递增 B．函数有1个零点 C．对任意，，都有 D．若函数在区间上有且只有一个零点，则 4．（2026·山东日照·二模）已知正实数a，b满足，则______________． 5．（2026·四川成都·模拟预测）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围为__________． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点培优练01 导数及其性质的应用7大考点 考点预览 考点01 函数的公切线问题 1 考点02 函数的单调性求参数的取值范围 8 考点03 由函数极值、极值点求参数范围 14 考点04 利用导数解决函数的零点、交点或方程的根的问题 20 考点05 构造函数并利用函数单调性比较大小 27 考点06 利用导数研究能成立问题 32 考点07 双变量恒成立、能成立问题 39 考点通关 考点01 函数的公切线问题 一、非公共切点的公切线问题 若函数与函数存在非公共切点的公切线，可按以下策略解题： 设函数的切点为，切线为，则的方程为，整理得.设函数的切点为，切线为，同理的方程为.由于与是相同直线，故有（*），即可解得公切线方程.且函数与函数的公切线条数就等于（*）式解的个数. 事实上，（*）式也是解决函数公切线问题的一个通法. 二、公共切点的公切线问题 若函数与函数存在公共切点的公切线，可按以下策略解题： 设函数与函数的切点为，则有. 【典例1】（2026·湖南邵阳·三模）已知函数和． (1)设函数，讨论的单调性； (2)若函数与的图象有三条公切线，求实数的取值范围； 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)0 【分析】（1）根据题意，得到，求得，分和，两种情况分类讨论，即可求得函数的单调区间； （2）设公切线与和相切于点和，利用导数的几何意义，分别求得公切线的方程，得到，令，求得的单调性，进而求得的取值范围； （3）由，求得，令，利用导数求得在上单调递增，得到存在唯一零点，得到的单调性和最小值，再令，求得单调递增，得到，即可求解. 【详解】（1）解：由题意得，函数，其定义域为， 且， 当时，恒成立，所以在上为减函数； 当时，令，可得，令，可得， 因为定义域为，所以在上单调递增，在上单调递减． （2）解：设公切线与相切于点，与相切于点， 由得公切线的方程为，整理得① 由得公切线的方程为， 整理得② 由①②得，整理得 设，则， 所以，得或， 所以在和上单调递增，在上单调递减． 又当时，，当时，且， 故要使得有三个不同的根，需， 综上可得，实数的取值范围为． 【跟踪训练】1．（2026·福建福州·三模）(多选题)已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若是奇函数，则 B．若是增函数，则 C．所有零点的平方和等于 D．当时，存在两条互相垂直的直线都与曲线相切 【答案】AD 【分析】根据奇函数的定义可判断A；根据导数与单调性的关系及一元二次不等式恒成立即可判断B；根据零点问题及韦达定理可判断C；求出的最值，根据已知条件及二次函数性质可得，结合导数的几何意义及直线垂直的条件可判断D. 【详解】对于A：函数的定义域为. 若是奇函数，则，即， 所以，故A正确. 对于B：. 若是增函数，则恒成立， 所以，即，故B错误. 对于C：令，则或. 设方程的根为，（2个不等实根或2个相等实根或2个复数根）， 对于C：令，则或. 当时，方程无解，此时只有1个零点，故； 当时，方程有两个相等实根或两个不等实根，记为，，则，， 此时有3个零点，故， 综上，C错误. 对于D：设曲线的两条切线斜率分别为，，不妨令，， ，则 又，所以， 所以一定存在切点，，使得，即， 故当时，存在两条互相垂直的直线都与曲线相切，D正确. 2．（2026·江苏连云港·模拟预测）曲线与曲线在它们的某个公共点处有公切线，则正数的值为________． 【答案】 【详解】，. 设曲线与曲线在点处有公切线， 所以，即，解得，. 所以，正数的值为5. 3．（2026·福建泉州·模拟预测）已知曲线和有两条公切线，其中一条为直线，则另外一条公切线的方程为________． 【答案】 【分析】根据两条曲线的其中一条公切线为，结合导数的几何意义求出，设出另一条切线的两条曲线的切点坐标，得到切线方程，联立方程组求解即可. 【详解】对，求导得， 设切点为，切线斜率，解得，则切点为，切线方程为，满足条件. 对，求导得. 设切点为，则切线斜率为，所以，故切点坐标为， 代入切线中得，，则. 设另一条公切线与相切于，则切线方程为， 即. 设该公切线与相切于，则切线方程为， 即. 所以，解得或. 当时，对应切线方程为，即已知切线方程； 当时，对应切线方程为. 故另外一条公切线的方程为. 4．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若曲线与曲线有两条公切线，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义分别求出切线方程，从而得出，利用换元法把问题转化为有两个不同解，求导并分析函数的单调性和最大值，结合极限分析求出的取值范围． 【详解】设曲线上的切点为，求导得， 则切线方程为，即， 设该切线与曲线切于点，求导得， 则切线方程为，即， ，即①，②， 把①代入②消去得，由得，解得， 令，则，代入①得， 令，问题转化为有2个不同解， 求导，时，，单调递增； 时，，单调递减； 最大值，和时，， ，， ，即． 5．（2026·四川眉山·模拟预测）已知函数与函数的图象在公共点处有相同的切线. (1)当时，求函数与在公共点处的切线方程； (2)求的最大值； (3)证明：当时，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设公共点坐标，通过导数几何意义列出等式，进而可求解； （2）设公共点坐标，通过导数几何意义列出等式得到，进而构造函数，求导，确定单调性即可求解； （3）由（2）将问题转换成恒成立，再构造函数，求导确定最值即可. 【详解】（1）当时，，设为与的一个公共点，， 所以， 则，即切点， 所以与在公共点处的切线方程为. （2）设为与的一个公共点， ， 由②得 ，所以 ，即， 将代入①，， 所以，所以. 令，所以， 当时，在区间单调递减； 当时，在单调递增， 当时，， 所以，所以 且， 所以当且仅当时取“”，所以 . （3）由（2）知，. 要证时，，即证， 即证对恒成立. 令，得， 当时，在上单调递减； 当时，在单调递增， 当时，， 故函数在时取最小值， ， 所以， 所以对恒成立. 故当时，成立. 考点02 函数的单调性求参数的取值范围 条件 结论 可导函数f (x)在(a，b)上 单调递增 在(a，b)上恒成立 单调递减 在(a，b)上恒成立 常数函数 在(a，b)上恒成立 存在单调递增区间 在(a，b)上有解 存在单调递减区间 在(a，b)上有解 （1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立； （2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立； （3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点 （4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点 【典例2】（2026·湖南·模拟预测）已知函数，． (1)证明：． (2)讨论的单调性． (3)若，求的取值集合． 【答案】(1)的定义域为，．令，得， 则在上单调递增，令，得，则在上单调递减， 所以．故． (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． (3) 【分析】（1）对求导，由导数符号得的单调性，从而得最大值，故； （2）对分情况讨论，再根据导数符号得到的单调性； （3）已知恒成立，对分情况讨论的最小值，再结合（1）中的结论求出的取值集合. 【详解】（1）略. （2）由，得 ． 当时，，在上单调递减． 当时，令，得，则在上单调递减， 令，得，则在上单调递增． （3）当时，在上单调递减，当时，，不符合题意． 当时， ． 由（1）可知 ，当且仅当时，等号成立． 因为， ，所以 ， 所以，得．故的取值集合为． 【跟踪训练】1．（2026·山东威海·二模）已知函数在上有两个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数研究的单调性，结合其区间零点个数列不等式求参数范围. 【详解】由，则， 令，则或，令，则， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 且，，则， 又时有两个零点，且， 若，即时，，此时，不满足题设， 若，即时，， 只需，则，可得，此时， 综上，. 2．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知函数，若当时，，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出，可知其符号由分子决定并设，通过讨论和两种情况的单调性即可得到a的最大值． 【详解】由题意，x需满足且，解得， ，因为， 所以的符号由分子决定，记分子为， 令，则，所以， 这是关于的二次函数，开口向上， 若，则，又，由零点存在定理，存在使得， 对应，此时，且在时，即， 故在单调递减，，与题设矛盾； 当时，，故，在单调递增， ，满足条件； 综上所述，的最大值为2． 故选：B． 3．（2026·四川成都·三模）若函数在区间上有最大值，则正整数的值有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】先对求导，根据导数的性质分析函数的单调性，再结合在区间上有最大值这一条件列不等式求解出的取值范围，最后根据为正整数确定的个数. 【详解】，. 令，得或. 由题意，，. 当或时，，单调递增，当时，，单调递减. 在区间上有最大值，则必须要保证极大值点在区间内且， 即， 整理得 ， 即，解得. 又，可取共5个. 4．（2026·山西晋城·一模）已知函数，若当且仅当时成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对函数求导并对参数进行分类讨论，求出函数的单调性，计算出不同情况下的最值，依题意得出不等式可解得的取值范围. 【详解】 显然，可得，于是． 令，可得或； 当时，，，单调递增，当且仅当，此时符合要求； 当时，若或，则，若，则； 此时在上单调递增，在上单调递减， 根据题意知，得，此时，满足条件，可得； 当时，若或，则， 若，则； 在上单调递增，在上单调递减， 则需，即，得． 可得； 综上，的取值范围是． 5．（2025·福建莆田·二模）(多选)已知函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，是的极大值点 B．存在实数，使得成立 C．若在区间上单调递减，则的取值范围是 D．若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 【答案】ABD 【分析】通过求导判断函数的单调性进而确定极值点即可判断A；代入函数进行化简验证等式即可判断B；根据函数在区间上的单调性得出关于的不等式，解之即可判断C；利用导数讨论函数的单调性，结合零点情况确定的取值范围即可判断D. 【详解】A：，令，得或. 当时，，令或， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极大值点，故A正确； B：， 所以， 整理得， 所以，解得，即存在使得，故B正确； C：若在上单调递减，则在上恒成立， 即不等式在上恒成立， 又在上单调递减，其值域为，所以，故C错误； D：由选项A知，当时，， 令，解得，所以函数又两个零点，不符合题意； 当时，，令或， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，极小值， 且当时，，当时，， 要使存在唯一的零点，则， 解得或（舍去），所以，此时，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为，极小值， 且当时，，当时，， 要使存在唯一的零点，且，则， 解得或（舍去），所以. 综上，的取值范围为，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：解决本题选项D的关键是分类讨论取值范围，求出对应的极值，利用存在唯一的零点且建立不等式，解不等式即可. 考点03 由函数极值、极值点求参数范围 1. 极值问题 核心原理：极值点是的变号零点（导数值左正右负为极大值点，左负右正为极小值点）。 步骤：求导→找的根→判断根两侧导函数符号→确定极值。 易错点：不能直接推出是极值点，必须验证符号变化。 2. 已知极值个数求参数的范围 这类问题的形式就是已知存在几个极值点，求参数的取值范围. 这类问题实质是考察导函数的变号零点个数，注意：是“变号”零点.通常情况下，这类问题可通过求导后讨论导函数的零点个数来完成，首选分离参数的方法解决，若不行，再将导函数作为一个新的函数来讨论其零点个数. 【典例3】（2026·安徽·三模）已知函数的极小值点为3，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的极小值点为3，求得，利用导数确定函数的单调性及极值，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】因为， 所以， 令，解得或， 当时，， 此时当时，；当时，； 当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取极小值，不满足题意； 当时，， 函数在R上单调递增，不存在极小值，不满足题意； 当时，， 当时，；当时，； 当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且函数的极小值点为3，所以， 所以， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，，    所以的解集为. 【跟踪训练】1．（2026·河南濮阳·模拟预测）若函数恰有2个极值点，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对求导，得到的表达式,依题意有两个不同的实根，通过换元法，令，将方程转化为关于的方程，分析该方程有两个正根的条件，得到参数的取值范围,利用韦达定理得到与的关系式，将转化为关于的函数,求导，分析其单调性，进而确定取值范围. 【详解】函数，求导得：, 函数恰有2个极值点，即有两个不同实根， 整理得：, 令，转化为二次方程：有两个不同正根， 由二次方程根的分布：,其中， 故, 代入表达式得： , 令，求导得：, 令，，当时，，函数单调递增， 即函数单调递增，，因此在上单调递增， 因此：, 即的取值范围是. 2．（2026·上海奉贤·二模）已知函数的表达式为，，则下列命题正确的是（   ） A．函数的零点的个数一定是3个 B．若集合的解集是，则实数对有2对 C．函数必存在极值 D．函数在处的切线方程为，则 【答案】B 【详解】A：当时，，若当或时，零点个数不为3，所以A错. B：若满足条件，则在处为零，且在时， 由，得，即或， 当时，，为满足条件，， 当时，同理可得， 当时不满足题意， 所以实数对有对：和，B对. C：求导，，接着判断， 把判别式看作关于的函数，则，， 当时，，，所以有两个零点，有极值， 当时，， 此时当，，有两个零点，有极值， 当，，恒成立，函数在定义域上单调递增， 所以当取值时，，无极值，所以C错. D：在处的切线方程为， 求导 ， 得， 得或，D错. 3．（25-26高三上·贵州遵义·期末）若函数存在极大值和极小值，则极小值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数极小值点的范围，再利用导数求极小值的值域即可得解, 【详解】由题意，，其中，因为有极大值和极小值， 所以方程有两个不等正根，令，则由，得， 由为增函数可知，当时，，在单调递减, 当时，，在上单调递增，故，即， 设极小值点为，设取值范围的集合为, 又，即， 记，易知与单调性相反，在单调递增，在 时单调递减，且，满足， 所以，即，所求函数极小值为， ，即， 令，则，当时，，故在时单调递减，所以，即， 所以值域为，即极小值的取值范围是. 故选：B 4．（2025·江苏镇江·模拟预测）若函数在上有极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数在某区间有极值等同于其导数在该区间有变号零点，之后分离参数结合二次函数的性质可得. 【详解】， 因为函数在上有极值，说明其导数在内有变号零点， 即方程在内有解，且解两侧导数符号不同， 令，则在有解，且不能是重根. 分离参数可得， 令，则， 所以，所以， 当时，，仅在处， 故在上单调递减，无极值. 所以的取值范围是. 故选：C. 5．（2026·山西晋城·模拟预测）已知函数的极大值点为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析该函数的单调性，可得出，然后由化简得出，将代入化简可得答案. 【详解】因为，该函数的定义域为，， 因为，即， 即，即， 所以， 又因为，所以（*）， ①当时，， 当时，；当时，. 所以函数的减区间为，增区间为，此时函数无极大值点，不合题意； ②若，由可得，由可得或， 此时函数的增区间为、，减区间为， 则函数的极大值点为，即得， 则由（*）得， ， 因为，所以； ③当时，由可得，由可得或， 所以函数的减区间为、，增区间为， 所以函数的极大值点为，同②可得. 综上所述，. 考点04 利用导数解决函数的零点、交点或方程的根的问题 1. 利用导数研究函数零点个数（或方程根的个数）问题的一般思路： (1) 可转化为利用导数研究其函数的图象与轴（或直线）在该区间上的交点问题； (2) 证明有几个零点时，利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值（最值）、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象，再利用函数零点存在定理，在每个单调区间内取值证明. 【典例4】（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数零点的定义，通过构造新函数，利用转化法把交点问题转化为直线与曲线的交点问题，结合导数的正负性与函数单调性的关系进行求解即可. 【详解】显然该函数的定义域为全体正实数， 由，设， ， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 则有， 问题函数有两个零点，转化为直线与曲线有两个不同的交点，如下图所示： 由数形结合思想可知：当时，直线与曲线有两个不同的交点， 即函数有两个零点， 所以实数a的取值范围为. 【跟踪训练】1．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数，，若恰有4个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得到为奇函数，的零点关于原点对称，因此只需研究时的零点个数为2，即可对应得到时的零点个数；当时，得到的具体解析式，令分离出参数；构造关于的新函数，利用导数研究函数的单调性、极值、值域，结合方程解的个数要求，得到时方程有2个解对应的的范围，结合奇函数的性质得到总零点为4个时的范围. 【详解】，的定义域为. ，为奇函数，图象关于原点对称. ，恰有4个零点， 可得时，恰有2个零点；时，恰有2个零点，且这4个零点关于原点对称. ， 当时，，得. 时，， 当且时，令，得，即. 时，恰有2个零点，等价于且时，有2个解； 即与在且时有两个交点. 令（且），则； ； ，； 当且时，，即在和上单调递减； 当时，；时，；，；时，；如图所示： 由图可知，当时，与有两个交点； 恰有4个零点时，实数k的取值范围是． 2．（2026·江苏苏州·三模）已知，若有两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由令，，转化为与的图象有两个交点，利用导数求出的图象可得答案. 【详解】令， 得， 令，， 即与的图象有两个交点， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递减， 所以当时，有极小值，为， 当时，有极小值，为， 当时，， 再由 可得的大致图象如下图: 所以当时，函数有两个零点. 3．（2026·北京房山·二模）已知函数 若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将题目条件翻译成函数与函数的交点问题，再求参数的取值范围. 【详解】若存在非零实数，使得， 则函数与有公共点， 即有根， 即与有公共点 ， 设， ，所以在上单调递减， 因为，所以， 即，所以在上单调递减， 因为， 时， 所以，即，所以. 4．（2026·河北邢台·二模）已知函数，.若与的图象恰好有4个不同的交点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性将问题转化为与函数图象有2个不同的交点，利用导函数研究其单调性即可. 【详解】由可知，为偶函数， 又也为偶函数， 故与的图象恰好有4个不同的交点 等价于方程恰好有2个不同的正根，显然， 所以与函数图象有2个不同的交点， ， 当时，单调递增；当时，单调递减； 所以， 当时；当时， 所以，所以，故实数a的取值范围为 5．（2026·广东·模拟预测）若函数有极值点，，且，若，，则关于的方程的不同实根个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】求导后转化为方程根的问题，再结合题意求出方程的不同实根个数. 【详解】，且，是极值点， 则，故 令，则方程即为 ，解得或， 因此原方程等价于，．示意图如下，可得实根个数为4． 6．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知函数，与的零点分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理判断三个零点所在区间，，即可求解. 【详解】因为，所以在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理，的零点， 因为，所以 在上单调递增， 因为，， 由零点存在定理，的零点， 因为，令，得， 当时，，函数在内单调递增， 当时，，函数在内单调递减， 当时，，函数在 内单调递增， 因为，， 因此，时，函数没有零点， 又因为， 由零点存在定理，的零点， 因为， 所以. 考点05 构造函数并利用函数单调性比较大小 构造函数比较数值大小，核心是根据数值结构 来构造函数，利用函数的性质来进行数值比较，主要 借助函数的单调性、最值特性，常结合导数知识来 分析.构造函数时注意找出含有的共同的数值， 用变量x 替换其中的数值；再借助导数来研究函数 的单调性，进而确定大小.由已知条件变形同构，构造函数，利用函数单调性脱“f”判断自变量的大小. 【典例5】（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式变形为，构造函数，分析可知该函数为增函数，可得出，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为，由可得，即函数的定义域为， 可得， 即， 构造函数，其中，则，故函数在上单调递增， 所以，可得，则， 即，其中，令，其中， 则，当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，解得. 综上， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将不等式变形为，结合不等式的结果构造函数，转化为函数的单调性以及参变量分离法求解. 【跟踪训练】1．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可构造函数，将转化为的函数值间的大小比较，根据导数研究的单调性，进而可得关于的不等式，解不等式即可. 【详解】设，则. 因为，所以，即，所以在上单调递减. 不等式等价于不等式，即. 因为，所以，所以. 因为在上单调递减，所以，解得. 2．（2025·广东佛山·一模）若，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析化简不等式，构造新函数，求导判断单调性，根据单调性逐项判断不等式是否正确即可. 【详解】依题意得，则， 令，则. 因为，求导得， 易得在上递减，在上递增， 当，时，，即，B错误，D正确. 当，时，，即，A和C错误. 故选：D. 3．（25-26高三上·重庆·阶段检测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先变形得到，构造函数，求导得到其在上的单调性，从而得到，. 【详解】因为，所以. 设函数，则，当时，单调递减， 所以，所以，故. 故选：B 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令并求导，结合题意可得在上单调递减，从而等价于，即，进而得出答案. 【详解】 令，，则， 因为，所以，所以在上单调递减， 所以等价于，即， 所以，即不等式的解集为． 故选：A． 5．（24-25高三·全国·三轮复习）已知为R上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】构造函数 ，利用导数判断函数的单调性，根据且可得答案. 【详解】构造函数 ， 则 ， 所以函数 在 上单调递增， 故 ， 即 ， 即 . 同理， ， 即 . 故选 ： A. 6．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数导数，判断函数单调性，再根据函数单调性，比较函数值的大小，判断结果. 【详解】由题意得， 令，即，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 可知， 所以为偶函数，可知 令，则， 令，即，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，， ，即， 所以，即， 所以，即. 故选：A. 7．（2026·山东济南·二模）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用同构比较大小. 【详解】由于，所以， 设，则，所以在上单调递增， 那么，所以，， ，设，， 所以，在上单调递减，， 即, 由于，那么, ， 综上，. 【点睛】本题考查利用导数比较大小，解题关键在于利用同构式发现，进而得出，是难题. 考点06 利用导数研究能成立问题 能成立（有解）问题常见类型： 自变量，范围为，为函数；为参数， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 【典例6】（2025·江苏镇江·模拟预测）函数，若不等式在上有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知函数为奇函数，且在内单调递减，根据题意可得原题意等价于不等式在上有解，构建，利用导数求其最大值即可得结果. 【详解】因为，可知的定义域为， 且， 可知函数为奇函数， 又因为在内单调递增，可知在内单调递增， 则在内单调递减， 且在定义域内单调递增，可知在内单调递减， 可得在内单调递减，可知在内单调递减， 若， 即，可得，且，即， 原题意等价于不等式在上有解， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 可得，所以实数的取值范围为. 故选：B. 【跟踪训练】1．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分类讨论，通过同构可将问题转化为,构造，利用导数求解最值即可. 【详解】当时，，合题意. 当时，即 ， 为的增函数，，即， 由题意，只需, 记， 当在单调递减，在单调递增， 故，所以， 综上，的取值范围为， 故选：D 【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 2．（24-25高三下·广东广州·阶段检测），不等式恒成立，则正实数的最大值是（　 　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将所求不等式变形为，构造函数，分析函数的单调性，则所求不等式即为，可得出，由参变量分离法可得出对恒成立，利用导数求出函数在上的最小值，由此可得出正实数的最大值. 【详解】将不等式变形可得， 即， 构造函数，可得， 令，则， 所以当时，，即在上单调递减， 当当时，，即在上单调递增， 所以，即，所以函数在上单调递增， 利用单调性并根据可得，则有， 又，即可得，即对恒成立，因此即可， 令，，则， 显然当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即，因此正实数的最大值是. 故选：A. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 3．（2026·江西·一模）若使得不等式对任意恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】令，将问题转化为使得不等式对任意恒成立，结合导数研究的单调性以及图像，数形结合求解. 【详解】令，其中， 则，当时，， 当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递减． 所以使得不等式对任意恒成立等价于使得不等式对任意恒成立． 令得，由图可知， 因此实数的最大值为4． 4．（25-26高三上·安徽黄山·阶段检测）已知函数，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，即有解，对式子进行等价变形，运用同构函数转化为，构造，利用导数求解最值即可. 【详解】存在实数，使得，即不等式在上有解. 由 设函数（），则不等式可化为（*）. 易得函数在上单调递增， 故（*）式等价于. 又，所以有解，只需即可. 设（），则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 所以，又，所以. 故选：B 5．（2025·四川成都·一模）若存在使得不等式成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把问题转化为：存在，使得成立，再设，，分析函数单调性，求函数的最大值即可. 【详解】由， 设，，则， 因为，，所以，所以在上单调递增， 由， 问题转化为存在，使得成立， 设，， 则， 由；由， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以. 故选：C 6．（25-26高三上·山东·开学考试）若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得只有1个整数解，利用导数分析函数的单调性，令，则的图象是一条过定点的直线，画出函数图象，结合图象分析即可求解. 【详解】因为，，所以， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，当时，，且， 令，则的图象是一条过定点的直线， 当时，不符合题意； 则，如图，当的图象经过时， 直线的斜率分别为， 不等式只有1个整数解，    由图可知. 故选：. 考点07 双变量恒成立、能成立问题 核心：转化为函数最值，区分量词逻辑（∀ 任意、∃ 存在）。根据任意，存在问题，求解函数的最值即可 恒成立问题：①，即求；②即求. 能成立问题：①，即求；②即求. 技巧：双变量问题先分别求两个函数的最值，再根据量词关系建立不等式。 混淆 “独立变量” 与 “关联变量”，误将双变量最值直接等价于单变量最值叠加，忽略变量取值范围的相互约束。 恒成立问题中，错把 “使” 转化为，正确应为；而 “” 则需，二者极易颠倒。 【典例7】（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）设函数，若有两个极值点，，且，则的最小值是________. 【答案】 【分析】根据函数有两个极值点可得方程在上有两个不等实根，，由此可得韦达定理的结论，将表示为关于的函数的形式，构造函数，利用导数求得即可． 【详解】定义域为，， 有两个极值点，等价于在上有两个不等实根，， ，，，， ， 设， 则， 在上单调递减，， 即， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】思路点睛：本题考查了函数和导数综合解决双变量最值问题，根据已知极值点确定双变量等式关系，再进行代换转化为单变量问题，构造新函数求导确定最值得结论即可. 【跟踪训练】1．（25-26高三下·福建·开学考试）(多选)若，则（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．， 【答案】CD 【分析】举反例判断AB；对于C，先检验时满足题意，当时，由题设可得，设，利用导数分析其单调性，可得，，进而求解判断即可；对于D，由可得或，再结合函数图象求解即可判断. 【详解】对于A，当，时满足，而，故A错误； 对于B，当，时满足，故B错误； 对于C，当时，若，满足，且； 若，由，得， 设，则， 而，设，则， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，又， 则或时，， 所以在和上单调递增， 设函数，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，则，当且仅当时，等号成立． 当时，，当时，， 所以当且时，由，得， 则，即，又在上单调递增，则， 令，则， 所以在上单调递增，则， 所以，即； 综上所述，当时，，故C正确； 对于D，若存在，使得，由C知，若，可得， 当时，等式不成立； 当时，得或，即或， 画出函数与函数的图象，易得两图象有交点，故D正确． 2．（25-26高三上·河南安阳·阶段检测）(多选)已知正数满足，则（    ） A．是的函数 B．是的函数 C． D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】由已知易得，，构造，结合的单调性知，，进而判断AB；对于C，可得，设，，利用导数分析其单调性，进而判断即可；对于D，可得，设，利用导数分析其单调性，进而判断即可. 【详解】由，则，即(*)， 因为为正数，则，即， 设，，则(*)即， 而，则在上单调递增， 故， 即，，故B正确； 由求导得，，令，得，令，得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 则时，，若取，则对应的值有两个，故不是的函数，即A错误； 对于C，由，可得， 设，，则， 所以函数在上单调递减， 则，即，故C正确； 对于D，由，可得， 设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，即的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）(多选)已知，则下列说法正确的是（   ） A．函数在上单调递增 B．函数有1个零点 C．对任意，，都有 D．若函数在区间上有且只有一个零点，则 【答案】BC 【分析】求导，根据导数符号可判断A；根据单调性结合极值可判断B；利用二阶导数可判断C；转化为的图象与直线只有一个交点可判断D. 【详解】函数的定义域为R，则， 对于A，当时，，则在单调递减； 当或时，，则在，单调递增，故A错误； 对于B，由A可知，在处取极大值，在处取极小值， 极大值为且； 又当，，故在R上只有一个零点，故B正确； 对于C，代表该函数为凹函数， 记，则， 又，当时，恒成立，函数为凹函数，故C正确； 对于D，由上知在单调递减，在单调递增， 又，， 所以在区间上有且仅有一个根等价于函数在上的图象与直线只有一个交点， 所以或，故D错误． 故选：BC． 4．（2026·山东日照·二模）已知正实数a，b满足，则______________． 【答案】 【分析】利用导数分别求出等式两边的最值即可求解. 【详解】 设 ，求导得 ， 因此：在单调递减，在 单调递增，最小值为 ， 原等式右边整理为 ，求导得 ， 因此：在 单调递增，在 单调递减，最大值为 ， 原等式即为，而 ，，等号成立当且仅当： ， 故 . 5．（2026·四川成都·模拟预测）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】利用导数分别求函数和的值域，再根据不等式，转化为子集问题，即可列不等式求解. 【详解】，得或， 因为，所以，得， 当，，单调递减，当，，单调递增， ，，，所以函数在区间的值域是， ，在区间恒成立，所以在区间单调递增， 所以在区间的值域为， 由条件可知函数在区间的值域是在区间的值域的子集， 即是的子集， 即，解得：， 所以实数的取值范围是. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $