（12）三角函数图像与性质专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角函数图像与性质，以对称性、单调性、周期性为核心，通过17道题构建“性质应用-图像变换-综合拓展”的方法体系，融合数形结合与逻辑推理 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|8（单选1-5、填空12等）|对称性公式、奇偶性定义法、整体代换求单调区间|从三角函数定义出发，推导对称性、单调性等基本性质，形成“概念-判定-应用”链条| |图像变换|3（单选4、6、填空13）|平移法则、图像识别技巧（周期/最值法）|结合图像特征深化性质理解，建立“解析式-图像-性质”对应关系| |综合应用|6（多选9-11、解答15-17）|恒成立问题转化、复合函数单调性（同增异减）、参数分类讨论|整合性质与变换，解决含参数、跨模块综合题，体现数学抽象与逻辑推理素养|

（12）三角函数图像与性质 一、单选题 1．已知函数的图象关于直线对称，则的取值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．若函数的图象关于对称，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则不可能的取值为（    ）． A． B． C．0 D． 5．已知函数，则“”是“为偶函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．函数的部分图象如图所示，则在区间上的解集是（    ）    A． B．C．D． 7．已知定义域为的函数满足，且当时，，若对任意，都有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设，定义运算已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．是的一个周期 C．是偶函数 D．的最小值为 10．已知函数的图象关于点中心对称，则（    ） A．函数在上的单调递减区间为 B．在区间上有且仅有两个零点 C．是奇函数 D．当时， 11．已知函数，则（   ） A．的图象关于轴对称 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．的值域为 三、填空题 12．已知函数的图象与的图象关于直线对称，则的单调递增区间为 ． 13．如图，已知函数，点是直线与函数的图象的两个交点，若，则 ．    14．已知函数，如果恒成立，则的最小值为 ． 四、解答题 15．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最大值和最小值． 16．已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)已知，求的值. 17．已知函数，其中． (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若时，的最小值为4，求的值． 参考答案 1．B 【分析】由正弦型函数的对称性知，即可求解. 【详解】由题意，，得， 当时，， 故选：B. 2．C 【分析】根据三角函数的对称性求得的可能取值，再根据单调性确定正确答案. 【详解】由于的图象关于对称， 所以， 因为，所以或. 若，则， 所以在上单调递减，不合题意； 若，则， 所以在上单调递增，符合题意. 故选：C 3．A 【分析】根据已知可推得.又，结合正弦函数的图象可知，解出不等式即可得出答案. 【详解】因为函数的值域为，所以. 又，所以， 根据正弦函数的图象可知，解得， 又，所以，所以的取值范围是. 故选：A 4．C 【分析】根据平移得到，再根据奇偶性求参数即可. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 得到的图象，因为它是偶函数， 所以，，即． 当时，；当时，；当时，． 故选：C． 5．A 【分析】结合三角函数的奇偶性判定，从充分性、必要性两个方面分析即得结论. 【详解】若，则，函数的定义域为，关于原点对称， 因，则是偶函数，即充分性成立； 若函数为偶函数，， 则，，即必要性不成立. 所以“”是“函数为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A． 6．D 【分析】根据图象判断函数的最小正周期，运用余弦型最小正周期公式，结合函数的图象进行求解即可； 速解：得到函数解析式后，运用特例法进行排除即可. 【详解】由图象可知，（为最小正周期），所以，即， 所以，则．又，所以， 所以，又，即， 所以， 所以，又， 所以或． 故选：D 速解： 求出后，取，得，排除BC；取，得，排除A． 故选：D 7．B 【分析】根据题意画出的大致图象，数形结合求解不等式即可. 【详解】由得， 故当时，，从而， 同理，当时，， 当时，. 作出函数图象如图所示，令， 解得或，结合图象可知.    故选：B 8．D 【分析】首先判断的单调性，令，可得为奇函数，原式等价于，结合单调性与奇偶性得到在上恒成立，求出，即可得解. 【详解】因为与在定义域上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 对于函数，由， 解得， 所以函数在上单调递增， 当时，在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 令，， 则，所以为奇函数， 原式等价于，进而得在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，，则在上单调递减，在上单调递增， 又，所以， 所以，故实数的取值范围是. 故选：D 9．ABD 【分析】根据新定义求出，作出函数的图象，画出的图象，根据余弦函数的单调性可判断A；由图可判断BD；举反例即可判断C. 【详解】由题意函数， 当时，， 当时，， 故作出函数的图象（图中实线）如下图所示：    对于A：当时，，则， 而在上单调递减，A正确； 对于B：由图可知的一个周期为，B正确； 对于C：，即，所以不是偶函数，C错误； 对于D：由图可知，的最小值为，D正确. 故选：ABD . 10．AC 【分析】结合题意得到函数关于点对称，可得，整体代入求出单调递减区间判断A即可；利用单调性判断在区间上零点个数判断B即可；求出并结合奇偶性的定义确定奇偶性判断C即可；求出时，的值域判断D即可. 【详解】对于A，由题意得函数的图象关于点中心对称， 则，即， 因为，所以取，则，则. 令，则， 又，所以取，则，故A正确， 对于B，因为在单调递减， 所以在区间上至多一个零点，故B错误， 对于C，因为， 所以由正弦函数性质得为奇函数．故C正确， 对于D，当时，， 因为在上单调递减， 所以在区间上单调递减，得到，故D错误. 故选：AC. 11．ABD 【分析】利用偶函数的定义判断A，利用正弦函数的最小正周期判断B，利用“同增异减”判断C，利用换元法结合二次函数的性质判断D. 【详解】对于选项A，对于任意的，， 所以是偶函数，图象关于轴对称，故A正确； 对于选项B， 因为，的最小正周期均为， 故的最小正周期是，故B正确； 对于选项C， 当时，，令，，， 因为在上单调递减， 而在上单调递减， 由复合函数的单调性可知，时，单调递增，故C错误； 对于选项D， 时， ， ，即； 时， ， ，即， 故D正确. 故选：ABD. 12． 【分析】由对称性可得解析式，再由复合函数单调性求单调递增区间. 【详解】因为函数与关于直线对称， 所以， 所以. 令，由得， 因为在单调递减，在单调递减， 所以在单调递增. 即的单调递增区间为. 故答案为：. 13．/ 【分析】通过两点间的距离以及三角函数的周期性来求解函数中的参数，进而求出指定点的函数值. 【详解】设，由可得， 令，得或， 即， ，， 由题图可知， 根据图像呈现的函数特征 ，解得， ，， 故． 故答案为：. 14．/0.5 【分析】根据恒成立，推出，故，由函数单调性求出最小值. 【详解】当时，，即； 当时，，即． 所以当时，；当时，． 又函数连续且单调，需满足单调递增，且当时，，即． 故， 令，开口向上，对称轴为， 故. 故答案为： 15．(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】(1)利用两角差的正弦公式、降幂公式以及辅助角公式化简可得：，利用最小正周期公式求解即可. (2)由正弦函数的单调性求出在区间上的单调性，结合单调性即可求出在区间上的最大值和最小值． 【详解】（1）由题可得   所以 ， 则的最小正周期        （2）由于 ， 令，解得：, 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 则， 又，， 所以, 所以在区间上的最大值为，最小值为． 16．(1)； (2) 【分析】（1）利用倍角公式以及辅助角公式，化简可得的表达式，结合正弦函数性质，即可求得答案； （2）由题意可得，继而求出的值，化简的表达式，结合倍角公式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得， 故的最小正周期为； 令，解得， 故的单调递增区间为. （2）由于，则，即， 而，故， . 17．(1)；单调递增区间为 (2) 【分析】（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，进而根据周期公式求得函数的最小正周期；利用整体法根据正弦函数的单调性求得函数的单调递增区间． （2）由已知找到取最小值为4时的值，得到关于的方程． 【详解】（1）， ． 由，，求得，， 函数的单调递增区间为． （2）由时，，， ， 解得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $