考点培优练01三角恒等变换应用：配凑角、半角和万能公式、三倍角、和差化积、积化和差6大题型（高效培优专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 聚焦三角恒等变换6大核心题型，以公式体系为纲，通过配凑角变形、公式口诀等方法提炼，构建从基础到进阶的知识逻辑链，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |配凑角|1典例+9跟踪题|拆分角变形公式（5种）|从角的组合切入，建立已知角与未知角联系| |降幂、辅助角|1典例+9跟踪题|二倍角变式、降幂公式、辅助角构造|衔接同角关系，强化函数化简与最值求解| |半角、万能|1典例+9跟踪题|半角公式（3种）、万能公式转化|实现单角与半角的互化，提升代数式变形能力| |积化和差|1典例+8跟踪题|“余弦在后相加”等口诀，4组公式|沟通乘积与和差形式，服务复杂函数化简| |和差化积|1典例+9跟踪题|“正弦±正弦”等口诀，4组公式|与积化和差互逆，强化三角式结构转化| |三倍角|1典例+5跟踪题|正弦/余弦/正切三倍角公式推导|基于二倍角公式拓展，深化角的倍数关系认知|

考点培优练01 三角恒等变换应用：配凑角、半角和万能公式、三倍角、和差化积、积化和差6大题型 考点预览 目录 考点01 配凑角（给值求值、给值求角） 1 考点02 降幂、辅助角公式 2 考点03 半角、万能公式 4 考点04 积化和差公式 5 考点05 和差化积公式 6 考点06 三倍角公式 8 考点通关 考点01 配凑角（给值求值、给值求角） 拆分角的变形：①；；②； ③；④；⑤． 其他： 【典例1】（25-26高三上·湖南长沙·期末）设且则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河南周口·模拟预测）已知，均为锐角，且满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·云南·模拟预测）若，则＝（   ） A． B． C． D． 5．（2026·重庆·模拟预测）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·湖北荆州·阶段检测）已知且，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知，则的值是______． 8．（2026·陕西西安·模拟预测）若 ，，则 ____. 9．（2026·河北承德·模拟预测）已知，，且，，则的值为_______． 考点02 降幂、辅助角公式 1、二倍角公式 ①；②； ③； 变式： 2、降幂公式 3、辅助角公式 （其中）． 【典例2】（2026·河南开封·三模）若实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．2 D． 【跟踪训练】1．（2026·河南焦作·一模）（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北十堰·三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·重庆·阶段检测）函数 的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若函数在区间上恰有唯一极值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·广东珠海·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026高三·全国·专题练习）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 7．（2026高三·全国·专题练习）设函数，其中为参数，那么的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2026高三·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·河南开封·模拟预测）已知角的终边上有一点，则（   ） A． B． C．1 D．2 考点03 半角、万能公式 【典例3】（2026·重庆·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（25-26高三上·安徽宣城·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·河北·模拟预测）已知，则（    ） A．0 B． C． D． 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·广东汕头·一模）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·江苏南京·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 6．（24-25高一下·江苏盐城·期中）设，，，则有（   ） A． B． C． D． 7．（2025·江西新余·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C．3 D． 8．（24-25高三上·安徽·阶段检测）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．（23-24高三上·湖北·期中）已知，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 考点04 积化和差公式 口诀： 积化和差得和差，余弦在后要相加；异名函数取正弦，正弦相乘取负号。 积化和差公式： ；； ； . 【典例4】（24-25高一下·四川南充·期末）在三角恒等变化中，积化和差实际上就是把与，与相加或相减而变形得到的；和差化积实际上就是一种角的变化，如：. 如果角与满足，，则_____. 【跟踪训练】1．（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）(多选)下列各式中，值为的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁·模拟预测）(多选)下列等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·江苏南京·期末）已知，则______． 5．（25-26高三上·江西·开学考试）已知，且，则______．（用含的代数式表示） 6．（25-26高一下·上海·期末）已知，则______. 7．（2026高三下·新疆·竞赛）__________. 8．（2026高三·全国·专题练习）已知，则______． 考点05 和差化积公式 口诀： 正弦＋正弦,正弦在前；正弦－正弦,正弦在后；余弦＋余弦,余弦并肩；余弦－余弦，余弦靠边。 和差化积公式: ； ； 【典例5】（2026·安徽芜湖·二模）在锐角中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】1．（25-26高一下·江西抚州·期中）在中，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·广东湛江·阶段检测）(多选)已知函数在内的三个零点分别为，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江温州·一模）(多选)已知函数，则（） A． B．当时， C．当时， D．当时， 4．（2026·陕西西安·模拟预测）(多选)下列各式中，值为的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）(多选)在中，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．的值可能是 C． D． 6．（25-26高一下·江西新余·阶段检测）(多选)若函数，则（     ） A．的图象关于直线对称 B．的值域为 C． D．在上的解集为 7．（25-26高一下·江西南昌·阶段检测）(多选)下列命题正确的是（   ） A．函数图像的对称中心为 B．函数的图像与函数的图象关于对称 C． D． 8．（2026·江苏无锡·模拟预测）(多选)在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若是锐角三角形，则 C．存在钝角三角形，满足 D．若，则成等差数列 9．（2026高三·全国·专题练习）已知向量，记． (1)求的定义域、值域及最小正周期； (2)若，其中，求． 考点06 三倍角公式 1、正弦三倍角公式： 2、余弦三倍角公式： 正切三倍角公式： 【典例6】（2024·福建厦门·模拟预测）三角学于十七世纪传入中国，此后徐光启、薛风祚等数学家对此深入研究，对三角学的现代化发展作出了巨大贡献，三倍角公式就是三角学中的重要公式之一，类似二倍角的展开，三倍角可以通过拆写成二倍角和一倍角的和，再把二倍角拆写成两个一倍角的和来化简. (1)证明：； 【跟踪训练】1．（25-26高一上·上海杨浦·期末）请根据三倍角的余弦公式：，推导三倍角的正弦公式______.（只用表示） 2．函数在区间的零点个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．函数的最小正周期是（    ） A． B． C．π D．2π 4．若，，若≠0，则 结果用，表示. 5．（1）证明三倍角余弦公式： （2）利用求的值. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点培优练01 三角恒等变换应用：配凑角、半角和万能公式、三倍角、和差化积、积化和差6大题型 考点预览 目录 考点01 配凑角（给值求值、给值求角） 1 考点02 降幂、辅助角公式 6 考点03 半角、万能公式 10 考点04 积化和差公式 15 考点05 和差化积公式 20 考点06 三倍角公式 31 考点通关 考点01 配凑角（给值求值、给值求角） 拆分角的变形：①；；②； ③；④；⑤． 其他： 【典例1】（25-26高三上·湖南长沙·期末）设且则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题设切化弦、结合两角和正弦公式和诱导公式得到即可分析计算求解. 【详解】由题， 所以， 因为，， 所以，，， 所以或， 解得或（舍去）. 故选：A 【跟踪训练】1．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角的正余弦函数的平方关系求解，再由两角差的正弦公式求解即可. 【详解】因为，，所以，所以. 2．（2026·河南周口·模拟预测）已知，均为锐角，且满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，由辅助角公式得： ， 其中，， 已知等式左边等于，因此，得， 即，因此， 所以，又， 所以. 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式及两角和的正余弦公式可得 【详解】因为，所以，故．又， 所以，．所以． 所以． 4．（2026·云南·模拟预测）若，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知等式两侧平方相加，应用差角正弦公式化简得，从而有，代入整理得，并将化为求，即可得. 【详解】由题设，则， 所以，可得， 由，则，故， 代入，则， 所以，则， 所以， 所以. 5．（2026·重庆·模拟预测）已知锐角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原式展开化简得， 则， 又是锐角，则，所以，选D. 6．（24-25高三上·湖北荆州·阶段检测）已知且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角差的正弦公式结合求，注意确定角的范围，然后得出结论． 【详解】因为且，函数在上单调递减， ，， 又，，所以， ， ，， 所以， 又，，所以，结合，可得， 所以，所以， 故选：A． 7．（2026·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知，则的值是______． 【答案】 【分析】根据二倍角公式求解即可. 【详解】设 ，则，且. 则. 8．（2026·陕西西安·模拟预测）若 ，，则 ____. 【答案】/ 【详解】，. . 9．（2026·河北承德·模拟预测）已知，，且，，则的值为_______． 【答案】24或 【分析】先由范围确定、的区间并判断三角函数符号,求出与,再把通分化简为,利用积化和差公式算出,最后代入数值计算得出结果. 【详解】 由角范围得：,. 由,所以 得,. 由,,得. 若,则 . 代入目标式：. 若 . 代入目标式：. 综上所述, 或 考点02 降幂、辅助角公式 1、二倍角公式 ①；②； ③； 变式： 2、降幂公式 3、辅助角公式 （其中）． 【典例2】（2026·河南开封·三模）若实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．2 D． 【答案】C 【分析】换元，，将转化为关于的三角函数，利用辅助角公式求最值 【详解】因为，所以，令，，， 其中，所以的最大值为 【跟踪训练】1．（2026·河南焦作·一模）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 2．（2025·湖北十堰·三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换化简题干中的两个等式，可得出、的关系，可得出的值，即可得出的值. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 故，所以， 即，故. 故选：A. 3．（25-26高三下·重庆·阶段检测）函数 的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】换元法构造函数利用单调性求最值 【详解】令，则，且， 所以，， 因为， 令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以其最大值. 4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若函数在区间上恰有唯一极值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换化简得到，再令，再根据函数极值点的个数得到不等关系求解即可. 【详解】 . 由，令， 则在上恰有唯一极值点，即在有唯一极值点， 因为区间右端点是，故极值点只可能为， 则，即， 得，解得. 故选：C. 5．（25-26高一下·广东珠海·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由辅助角公式结合二倍角余弦公式可得答案. 【详解】， 则. 6．（2026高三·全国·专题练习）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过对数定义域以及三角形和两角和的正弦公式化简求解. 【详解】因为，所以. ，即， ，解得， 所以，. 7．（2026高三·全国·专题练习）设函数，其中为参数，那么的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，则， 故的最大值是 8．（2026高三·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设，转化为，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，则满足，解得， 设，可得， 因为，可得，则， 所以，即函数的值域为. 9．（2026·河南开封·模拟预测）已知角的终边上有一点，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】得到角和角的终边相同，从而得到与有关的关系式，即可求出答案. 【详解】，， 故角和角的终边相同，故，， 则. 考点03 半角、万能公式 【典例3】（2026·重庆·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定角的范围，求出 值，利用正弦和余弦的差角公式求出 和 ，最后用半角公式即可求解. 【详解】已知 ，因此 ， 所以， 所以， 化简得①； 而， 化简得②； 联立①②，相加得： 相减得： ， 由 ，得 ， 根据半角公式 ，代入 得. 【跟踪训练】1．（25-26高三上·安徽宣城·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用诱导公式以及半角公式分别验证充分性、必要性可得结论. 【详解】由，可得， 利用半角公式可得，充分性不成立， 当时，， 可得，则必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选： B 2．（2026·河北·模拟预测）已知，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据半角公式得，所求式子可化为，代入即可求出答案. 【详解】因为， 所以， ， 故选：A. 3．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式，两角和的正弦公式变形求得，再求得，然后由半角公式计算． 【详解】， 是锐角，则， ， 故选：B． 4．（2026·广东汕头·一模）已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换将原式化简为只含的形式，再代入已知条件计算. 【详解】， 5．（22-23高一下·江苏南京·期中）已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由万能公式可得，根据已知得方程求即可. 【详解】由， 所以，则， 由，则. 故选：A 6．（24-25高一下·江苏盐城·期中）设，，，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式，二倍角的正弦，余弦公式化简，利用正弦函数的单调性比较大小即可. 【详解】， ， ， 由于在上单调递增，所以， 即， 故选：D 7．（2025·江西新余·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据两角和差的余弦可得，再由同角三角函数的基本关系式得，故可求，从而求得. 【详解】因为 ， 又因为，且，, 所以，故， 又由于，所以， 由于， 故选：A． 8．（24-25高三上·安徽·阶段检测）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用诱导公式和二倍角正余弦公式得，再由二倍角正切公式可得，再应用齐次式法求. 【详解】由， 得， 则，而． 故选：B 9．（23-24高三上·湖北·期中）已知，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可得，然后化为，利用均值不等式可得出答案. 【详解】，即； 即，故 令，则（当且仅当时等号成立） 故选：B． 考点04 积化和差公式 口诀： 积化和差得和差，余弦在后要相加；异名函数取正弦，正弦相乘取负号。 积化和差公式： ；； ； . 【典例4】（24-25高一下·四川南充·期末）在三角恒等变化中，积化和差实际上就是把与，与相加或相减而变形得到的；和差化积实际上就是一种角的变化，如：. 如果角与满足，，则_____. 【答案】/ 【分析】根据已知及和差化积公式得、，进而有，再由，即可求值. 【详解】由， 所以， 由， 所以， 所以，而. 故答案为： 【跟踪训练】1．（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 所以单调递减区间为，解得，. 2．（2026·陕西西安·模拟预测）(多选)下列各式中，值为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A.，所以 ，A正确. B.，B错误. C.，C正确. D.. 因为， 所以原式，D错误. 3．（2026·辽宁·模拟预测）(多选)下列等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据三角函数的诱导公式、和差化积、积化和差公式依次判断即可. 【详解】对于A，由三角函数的诱导公式得，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，显然不恒成立，故D错误. 4．（25-26高一下·江苏南京·期末）已知，则______． 【答案】 【分析】利用三角恒等变换可化简求解. 【详解】解法一： 所以. 解法二：由积化和差公式得， 所以. 解法三：由和差化积公式得. 5．（25-26高三上·江西·开学考试）已知，且，则______．（用含的代数式表示） 【答案】或 【分析】根据已知条件，利用和差化积公式，以及降幂扩角公式求得或，再利用倍角公式和特殊角三角函数即可求得结果. 【详解】由 可得 也即 ， 也即， 又， 故，则或， 又， 故时，. 若，又，则，此时 故答案为：或. 6．（25-26高一下·上海·期末）已知，则______. 【答案】 【分析】先利用二倍角公式、和差化积公式求出，结合条件求出，再利用商数关系即可得答案. 【详解】因为，所以， 由和差化积公式，得， 因为，所以， 由， 可得， 所以. 故答案为：. 7．（2026高三下·新疆·竞赛）__________. 【答案】/0.75 【分析】根据正弦和余弦的关系，结合二倍角的余弦公式以及和差化积公式、积化和差公式依次化简即可求解. 【详解】根据二倍角的余弦公式，有，， 根据和差化积公式，有， 根据积化和差公式，有， 因此. 8．（2026高三·全国·专题练习）已知，则______． 【答案】 【分析】方法一利用积化和差公式求解即可，方法二利用和差化积公式求解即可，方法三利用两角和的正弦公式与二倍角公式求解即可. 【详解】方法一：由， 因为，所以， 解得． 方法二：由题意得． 方法三：由两角和差的正弦公式得 ，故． 考点05 和差化积公式 口诀： 正弦＋正弦,正弦在前；正弦－正弦,正弦在后；余弦＋余弦,余弦并肩；余弦－余弦，余弦靠边。 和差化积公式: ； ； 【典例5】（2026·安徽芜湖·二模）在锐角中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理结合三角形的性质可判断A；结合和差化积公式判断BCD. 【详解】在锐角中，，则， 即，. 对于A，由，根据正弦定理可得，故A错误； 对于B，，故B正确， 对于C， ， 其中，由于的大小关系不定，的符号不定，从而导致不等式不恒成立，故C错误； 对于D，， 其中，由于的大小关系不定，的符号不定，从而导致不等式不恒成立，故D错误. 【跟踪训练】1．（25-26高一下·江西抚州·期中）在中，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两角差的正弦公式化简等式得到，由二倍角公式及和差化积公式得到，结合三角形中角的范围得到，即，然后利用换元法结合辅助角公式和二次函数的性质以及正弦函数的性质求解即可. 【详解】由，得， 则，即. 又，， 所以， 则， 在中，，，则，所以， 所以，故. 所以，且. . 令，则，所以. 又，则，所以. 所以. 令，则该函数在上单调递增， 当时，； 当时，； 所以，即. 2．（25-26高三上·广东湛江·阶段检测）(多选)已知函数在内的三个零点分别为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用两角和差的正弦公式化简得，可计算出三个零点判断A，B，利用二倍角公式结合积化和差化简计算可判断C，利用诱导公式结合积化和差公式、二倍角公式计算可判断D. 【详解】对于A，B，， 令，因为，所以， 所以，所以， 又，所以，，， 解得，，，故A错误，B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，因为， ， 其中，，. 因为 ， ， 所以，即， 所以，故D正确. 故选：BCD. 3．（2024·浙江温州·一模）(多选)已知函数，则（） A． B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】对于A，用和差化积公式及二倍角公式化简可以判断；对于B，利用导数研究的单调性，进而可求的最值；对于C，利用B的单调性比较自变量的大小即可比较函数值的大小；对于D，运用分析法，多次使用和差化积、积化和差公式即可推导. 【详解】对于A，， 由和差化积公式:得： , 其中，故所以即A正确； 对于B，对求导,， 在上，令得令得 所以在和单调递减,在单调递增, 故在区间上的最大值为,且,故B错误； 对于C，当时单调递增,故在上单调递增, 而当时,，且,故正确； 对于D， ， 由和差化积公式:得 因为，所以，所以， 所以 而, , 由积化和差得 ,其中, 上述不等式显然成立，故D正确, 故选：ACD 【点睛】结论点睛：和差化积与积化和差公式 和差化积公式： . 积化和差公式： ， ， ， . 4．（2026·陕西西安·模拟预测）(多选)下列各式中，值为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】A.，所以 ，A正确. B.，B错误. C.，C正确. D.. 因为， 所以原式，D错误. 5．（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）(多选)在中，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．的值可能是 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用和差角的正弦公式化简已知等式，结合正弦函数性质、积化和差、二倍角的余弦公式及正弦定理逐一判断即得. 【详解】对于A，在中，因， 代入可得 即，因，于是，即，故A正确； 对于B，，则，代入，得， 于是，则，解得, 因，则，则得，故，， ，由，可得， 又，因此，故B错误； 对于C，因，则，因此，故C正确； 对于D，由正弦定理得，故D正确. 故选：ACD 6．（25-26高一下·江西新余·阶段检测）(多选)若函数，则（     ） A．的图象关于直线对称 B．的值域为 C． D．在上的解集为 【答案】AC 【分析】利用三角函数和差化积，积化和差公式可得，通过验证判断A，根据正弦函数的有界性判断B，根据，结合三角函数的有界性和单调性即可判断C，不等式，可转化为或且，由此可得结论. 【详解】由积化和差公式， 则， ， 即， 又因为和差化积公式 ， 则，. 若的图象关于直线对称，则， ， 等式成立，因此的图象关于直线对称，A正确； 设，即， 结合可得和互为相反数且绝对值为1， 若，则，则， 若，则，则， 均不满足和互为相反数，即取不到1，B错误； ， ， 则 已知在上单调递增，则， 即，即，C正确； ，即， 在区间上，， 则不等式等价于（当 时），及时的点， 时，，此时，符合， ，的区间是， 即， 故在上解集为，D错误. 7．（25-26高一下·江西南昌·阶段检测）(多选)下列命题正确的是（   ） A．函数图像的对称中心为 B．函数的图像与函数的图象关于对称 C． D． 【答案】BD 【分析】对A，直接求出的对称中心，即可求解；对B，根据条件可得，即可求解；对C，利用正弦的和角公式及余弦函数的性质，即可求解；对D，利用和化差积公式得到，再结合条件，利用余弦函数的性质得，即可求解. 【详解】对于A，因为图像的对称中心为，所以A错误； 对于B，因为，则，所以， 则函数的图像与函数的图象关于对称，所以B正确， 对于C，因为，又，则， 所以，故C错误， 对于D，因为， 又，则，且，所以， 则，故D正确. 8．（2026·江苏无锡·模拟预测）(多选)在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若是锐角三角形，则 C．存在钝角三角形，满足 D．若，则成等差数列 【答案】ABCD 【分析】根据正弦定理结合大边对大角可判断A；根据诱导公式，正弦函数的单调性结合锐角三角形的条件可判断B；利用三角恒等变换公式可得可判断C；利用和差化积公式结合正弦定理，等差数列的性质可判断D. 【详解】根据正弦定理：，得， 因此， 三角形中大边对大角，故，A正确； 若为锐角三角形，则，且， 因此，即，又， 在单调递增，故，B正确； ， 若是钝角三角形，仅一个角为钝角，其余两个为锐角，故， 因此，存在这样的钝角三角形，C正确； ， ： 因为，两边约去得： ， . 由正弦定理得，故成等差数列，D正确. 9．（2026高三·全国·专题练习）已知向量，记． (1)求的定义域、值域及最小正周期； (2)若，其中，求． 【答案】(1)定义域为，值域为，最小正周期为． (2)或. 【分析】(1)通过数量积定义和二倍角公式化简，最后利用余弦函数的性质求解. (2)化简题目条件后通过和差化积和的范围求解的值. 【详解】（1） . 因为，所以定义域为. ，所以值域为. 最小正周期. （2）因为，所以， 化简得，即，， 所以或，，解得或，. 因为，所以或. 考点06 三倍角公式 1、正弦三倍角公式： 2、余弦三倍角公式： 正切三倍角公式： 【典例6】（2024·福建厦门·模拟预测）三角学于十七世纪传入中国，此后徐光启、薛风祚等数学家对此深入研究，对三角学的现代化发展作出了巨大贡献，三倍角公式就是三角学中的重要公式之一，类似二倍角的展开，三倍角可以通过拆写成二倍角和一倍角的和，再把二倍角拆写成两个一倍角的和来化简. (1)证明：； 【答案】(1)证明：因为 ； 【跟踪训练】1．（25-26高一上·上海杨浦·期末）请根据三倍角的余弦公式：，推导三倍角的正弦公式______.（只用表示） 【答案】 【分析】利用三倍角的余弦公式和诱导公式求解化简即可. 【详解】因为 ， 所以. 故答案为： 2．函数在区间的零点个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】由，，令，求解的值，判断选项. 【详解】由，， 令，则，或， 故或，即或， 由，则或， 即或， 故或， 综上所述，存在个零点,即为. 故选：C. 3．函数的最小正周期是（    ） A． B． C．π D．2π 【答案】C 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，结合函数的定义域，由无意义，周期的定义可得答案. 【详解】， 由，得且 可得函数的最小正周期， 但是，当时，，无意义，所以， 又，且对定义域内的任意自变量，也在定义域内. 所以函数的最小正周期. 故选：C. 4．若，，若≠0，则 结果用，表示. 【答案】 【分析】由和差化积公式求出，，从而得到，得到答案. 【详解】由和差化积公式得：， ， ， ， 故， 故. 故答案为：. 5．（1）证明三倍角余弦公式： （2）利用求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）结合二倍角公式以及同角三角函数基本关系即可求证； （2）利用二倍角公式、（1）的结论、和同角三角函数基本关系转化为二次方程，即可求解. 【详解】（1） ； （2）由二倍角公式可得： 由（1）知：， 所以， 即，可得， 即， 令，则，， 解得：或（舍） 所以. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $