重点强化练(七) 三角恒等变换专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角恒等变换，通过分层题型系统整合公式应用、角的拆分与综合方法，以题载法构建从基础到复杂问题的解题逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础公式应用|单选1-4题|特殊值法、公式逆用、弦切互化|从同角关系到二倍角公式，形成公式记忆与直接应用逻辑| |角的变换与给值求值|单选5-7题、填空13-14题|角的拆分（α+β=2α+(β-α)）、和差公式联用|建立已知角与未知角的转化关系，强化推理能力| |综合应用（方程/不等式）|单选8题、多选10题、填空12题|方程思想（韦达定理）、不等式求最值|融合函数与方程模型，体现运算能力与模型意识|

重点强化练(七) 三角恒等变换 一、选择题:本题共8小题.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的. 1.[2025·安徽部分学校联考] sin2-sin2= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C.- D.- 2.[2024·山东枣庄三调] 已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P,则cos= (　 ) A.0 B. C. D. 3.[2025·福建泉州质检] 若sin θ+cos θ=2,则tan θ= (　 ) A.- B. - C. D. 4.[2024·重庆八中模拟] 的值为 (　 ) A. B. C. D. 5.[2024·太原三模] 若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,则cos(α+β)= (　 ) A. B. C. D. 6.[2025·四川绵阳联考] 已知sin4-cos4=,θ∈(0,π),则+cos θ= (　 ) A.- B. - C. - D. - 7.[2024·江西南昌二模] 已知2coscos-cos 3x=,则sin= (　 ) A. B.- C. D.- 8.[2024·吉林三模] 已知α,β为锐角,且cos(α+β)=,则tan β的最大值为 (　 ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 9.下列等式成立的是 (　 ) A.sin 63°cos 18°-cos 63°sin 18°= B.sin 15°cos 15°= C.sin2-cos2= D.= 10.已知0<α<β<,且tan α,tan β是方程21x2-10x+1=0的两根,则下列选项中正确的是 (　 ) A.tan(α+β)= B.= C.tan(α-β)=- D.α+2β= 11.下列式子中正确的是 (　 ) A.cos αsin β=[sin(α-β)-sin(α+β)] B.sin θ-sin φ=2cossin C.tan α+tan β=tan(α+β)+tan αtan βtan(α+β) D.-2cos(α+β)= 三、填空题:本题共3小题. 12.[2024·河南部分学校联考] 若α∈,且cos α+sin α=4sin αcos α,则sin α=　　　　.  13.[2024·广西南宁模拟] 已知0<α<<β<π,cos β=-,sin(α+β)=,则tan α=　　　　.  14.[2024·江苏南京一模] 已知α,β∈,且sin α-sin β=-,cos α-cos β=, 则tan α+tan β=　　　　.  参考答案 重点强化练(七) 1.D　[解析] 由题意可得sin2-sin2=sin2-sin2=sin2-cos2=-cos=-.故选D. 2.D　[解析] 因为P,即P,即角α的终边经过点P, 所以sin α=,cos α=,所以cos=cos αcos+sin αsin=×+×=.故选D. 3.C　[解析] 方法一(特殊法):由题知sin θ=,cos θ=满足条件,所以tan θ=. 方法二:由题得sin θ+cos θ=1,所以sin=1,所以θ+=2kπ+,k∈Z,所以θ=2kπ+,k∈Z,所以tan θ=tan=tan=,k∈Z. 方法三:由题得sin θ=2-cos θ,所以(2-cos θ)2+cos2θ=1,所以4cos2θ-4cos θ+3=0,即(2cos θ-)2=0,所以cos θ=,sin θ=2-cos θ=,所以tan θ=. 4.A　[解析] ===1+=,故选A. 5.D　[解析] 因为α∈,所以2α∈,又sin 2α=>0,所以2α∈,可得α∈,所以cos 2α=-=-.又因为β∈,所以β-α∈,又sin(β-α)=>0,所以可得β-α∈,所以cos(β-α)=-=-,所以cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]= cos 2αcos(β-α)-sin 2αsin(β-α)=×-×=.故选D. 6.A　[解析] 因为sin4-cos4=,θ∈(0,π),所以=,θ∈(0,π),所以 sin2-cos2=-cos θ=,θ∈(0,π),即cos θ=-,θ∈(0,π),所以sin θ==,所以+cos θ=+cos θ= +=-.故选A. 7.D　[解析] 由题知2coscos-cos=,化简得coscos+sinsin=cos=cos=,令t=x+,则x=t-,cos t=,所以sin=sin=sin=cos 2t= 2cos2t-1=2×-1=-.故选D. 8.A　[解析] ∵α,β为锐角,且cos(α+β)==cos αcos β-sin αsin β,∴两边同时除以cos β,得cos α-sin αtan β=,∴cos αsin α=(sin2α+2)tan β.∵α为锐角,∴tan α>0,∴tan β====≤=,当且仅当3tan α=,即tan α=时取等号,∴tan β的最大值为.故选A. 9.AD　[解析] 对于A选项,sin 63°cos 18°-cos 63°sin 18°=sin(63°-18°)=sin 45°=,所以A正确;对于B选项,sin 15°cos 15°=×2sin 15°cos 15°=sin 30°=,所以B不正确;对于C选项,sin2-cos2=-=-cos=-,所以C不正确;对于D选项,==tan(45°+15°)=tan 60°=,所以D正确.故选AD. 10.AD　[解析] tan α,tan β是方程21x2-10x+1=0的两根,且0<α<β<,所以tan α=,tan β =.tan(α+β)===,故A选项正确;===,故B选项错误;tan(α-β)===-,故C选项错误;因为0<α<β<,tan(α+β)=,所以0<α+β<,则0<α+2β<π,又tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]===1,所以α+2β=,故D选项正确.故选AD. 11.BD　[解析] 对于A,[sin(α-β)-sin(α+β)]=(sin αcos β-sin βcos α-sin αcos β-sin βcos α)=-cos αsin β,故A错误;对于B,2cos·sin=2cossin= 2 = 2coscossincos- 2sinsin·sincos- 2coscoscossin+ 2sinsincossin= cos2sin θ-sin2·sin φ- cos2sin φ+sin θsin2=sin θ-sin φ,故B正确;对于C,若α=β=,则tan α+tan β=tan+tan=2,tan(α+β)+tan αtan βtan(α+β)=tan+tantantan=-4,2≠-4,故C错误;对于D,-2cos(α+β)= -2cos αcos β+2sin αsin β=2cos αcos β+-2cos αcos β+ 2sin αsin β=+2sin αsin β== =,故D正确.故选BD. 12.　[解析] 由cos α+sin α=4sin αcos α,得2sin=2sin 2α,即sin=sin 2α,由α∈,得α+∈,2α∈,因此α+=2α,解得α=,所以sin α=. 13.　[解析] 由题意,sin β==,且<α+β<,故cos(α+β)=-=-,故sin α=sin(α+β-β)=sin(α+β)cos β- cos(α+β)sin β=×-×=,故cos α==,所以tan α==. 14.　[解析] 由题可知sin α-sin β=-cos α+cos β,所以sin α+cos α=sin β+cos β,所以sin=sin,因为α,β∈,所以α+∈,β+∈,又α≠β,所以α++β+=π,故α+β=,所以sin α-sin β=sin α-cos α=-,两边平方后得sin2α- 2sin αcos α+cos2α=,故sin αcos α=,所以tan α+tan β=tan α+=+==. 1 学科网（北京）股份有限公司 $