专题08 函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性（压轴题专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“定义域优先”为核心，构建函数四大性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性）的方法体系，通过题型模版实现从单一性质到多性质综合的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1套核心解法|定义域优先原则，奇偶/单调判定方法，对称与周期转化，抽象不等式固定思路|性质判定→关系推导→综合应用| |题型归纳|12题型（含典例+变式）|定义法证单调、参数求解、构造函数等12类题型模版|单一性质应用→性质间转化→综合问题拆解| |压轴挑战|20题（选择/填空/解答）|多性质综合求值、不等式求解等高阶技巧|高考高频考点突破，思维能力迁移|

专题08 函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、定义法证明函数的单调性 题型七、由函数的奇偶性求解析式 题型二、由函数的单调性求参数 题型八、由奇偶性单调性综合解抽象不等式 题型三、由函数的单调性解不等式 题型九、局部奇函数求值 题型四、构造新的函数通过单调性解不等式 题型十、由函数的奇偶性，对称性，周期性求值 题型五、由奇偶性单调性判断函数的图像 题型十一、由函数的对称性求参数/值 题型六、由函数的奇偶性求参数 题型十二、函数的奇偶性，对称性，单调性，周期综合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 函数四大性质类题型全部依托定义域优先判定这条底线原则 一是求解任何函数问题第一步必须写出并锁定有效定义域 二是单调性奇偶性对称性周期性推导与变换均不能超出定义域范围 奇偶判定看与的等量关系单调判定依托差值/导数符号 对称公式可推导周期两重对称可直接换算周期长度 抽象不等式解题固定思路为奇偶化简→单调脱符号→结合定义域列不等式组求解 多性质综合题优先梳理函数周期再利用周期性把自变量归化到已知解析式区间求值. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、定义法证明函数的单调性 典例1 （2026高一·全国·专题练习）已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 题型模版 1.特征：题干给出具体函数解析式以及指定的连续区间.要求使用课本标准定义法书写完整证明步骤.禁止使用导数等高阶方法判定函数增减趋势 2.方法：第一步在给定区间内任意选取两个自变量..规定大小关系.第二步计算差值.对式子开展通分.因式分解.配方等恒等变形处理.第三步结合自变量取值范围判断化简后整体式子的正负.常用结论.在区间单调递增.在区间单调递减 变式1-1设函数，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论. 变式1-2已知函数，. (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)解不等式：. 变式1-3（24-25高一上·安徽铜陵·阶段检测）已知函数. (1)判断在区间上的单调性并用定义法证明； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 类型二、由函数的单调性求参数 典例2 （2026·河北沧州·模拟预测）（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：已知函数在固定开区间或者闭区间单调递增或是单调递减.函数解析式中带有未知字母参数.求解参数的具体数值或是取值范围 2.方法：一次函数依靠一次项系数正负划定参数范围.二次函数结合对称轴位置搭配给定区间列出约束不等式.复合函数按照同增异减规律拆分内外两层函数分析.单调性恒成立问题转化为代数式最值满足对应不等关系.联立不等式组计算出参数解集.常用结论.复合函数单调性.内外函数单调性相同则整体递增.内外函数单调性相反则整体递减.二次函数对称轴 变式2-1（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式2-2（24-25高一上·河北石家庄·阶段检测）设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 变式2-3（25-26高一下·湖南·阶段检测）设函数，若，且，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三、由函数的单调性解不等式 典例3 （25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最大值为4，求实数a的值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围. 题型模版 1.特征：已知函数定义域与对应单调区间.给出.这类函数型不等式.求解自变量对应的取值解集 2.方法：依托单调性的单调保号性脱去外层符号.转化为自变量之间的大小不等式.同步匹配原函数自带的定义域限制条件.联立两组不等式求取交集.交集区间即为不等式最终解集.常用结论.单调递增函数.单调递减函数.自变量必须全程落在函数定义域内 变式3-1（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 变式3-2（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． 变式3-3（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数，. (1)证明：是增函数； (2)若，求实数的取值范围. 题型四、构造新的函数通过单调性解不等式 典例4 （2026高一上·广东中山·专题练习）定义在上的函数满足，对任意的，且， 恒成立，则不等式的解集为__________ 题型模版 1.特征：不等式内部同时存在关系式与整式.分式.指数对数等常规代数式.无法直接消去进行求解.常规式子变形不能梳理出清晰的不等关系 2.方法：对原式进行移项整理.将全部式子统一移至不等号单侧.拼凑整合出新式函数的整体结构.分析构造函数的定义域与单调性.再次脱去函数符号转化为普通自变量不等式.叠加定义域约束条件计算自变量取值区间.常用结论.常见构造形式....结合导数正负快速判定构造函数单调性 变式4-1（25-26高一上·贵州黔东南·期末）已知函数定义域为对任意两个不相等的实数都有成立．则不等式的解集为___________． 变式4-2（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，，且，都有则不等式的解集为________． 变式4-3（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）已知函数定义在上,且对任意的、,,都有，,则不等式的解集为__________. 题型五、由奇偶性单调性判断函数的图像 典例5 （25-26高一下·山东潍坊·期中）函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    题型模版 1.特征：仅给出函数奇偶属性.各区间单调走势.若干特殊点的函数正负取值.不提供完整函数解析式.从多个图像选项中选出完全匹配条件的图像 2.方法：依靠奇偶性区分图像对称特征.偶函数图像关于y轴对称.奇函数图像关于坐标原点中心对称.依靠单调性判断图像在对应区间的上升或是下降走向.搭配特殊点函数值正负逐一剔除不符合条件的错误图像选项.常用结论.奇函数图像过原点(定义域含0).偶函数在对称区间增减性相反.奇函数在对称区间增减性一致 变式5-1（24-25高一上·湖北武汉·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 变式5-2（25-26高一下·湖北咸宁·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 变式5-3（25-26高一上·贵州遵义·期末）函数的部分图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型六、由函数的奇偶性求参数 典例6 设 是定义在上的奇函数，则______ 题型模版 1.特征：题干标明函数属于奇函数或是偶函数.函数解析式内嵌未知参数.借助奇偶恒等性质求解参数数值或是取值范围 2.方法：偶函数全域恒成立关系式为.奇函数全域恒成立关系式为.多项式函数对等两侧同次项系数建立方程求解参数.定义域包含0的奇函数可优先使用快速计算参数.计算完成后代入原式核验定义域是否满足条件.常用结论.奇函数（定义域）.偶函数奇次项系数全部为0.奇函数偶次项常数项系数全部为0 变式6-1若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 变式6-2（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 变式6-3（2026·青海海东·二模）若函数是偶函数，则______． 题型七、由函数的奇偶性求解析式 典例7 （25-26高一下·四川泸州·期末）已知为奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：仅给出函数在单侧定义域（或）的表达式.结合函数整体奇偶性质.求解剩余区间对应的函数解析式 2.方法：设目标求解区间内自变量为.取代入可使用已知解析式的区间.带入对应表达式计算.套用奇函数或偶函数的等量关系式替换符号.整理化简式子得到目标区间的函数表达式.补充标注分段函数完整定义域.常用结论.解析式已知时..奇函数.偶函数 变式7-1设函数是定义在上的偶函数，且当时，，求的解析式. 变式7-2已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 变式7-3（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 题型八、由奇偶性单调性综合解抽象不等式 典例8 （25-26高一上·宁夏吴忠·期中）已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：只给出抽象函数的奇偶性质.单调区间与函数不等式.不存在具体的函数解析式 2.方法：利用奇偶性补齐正负区间的函数对应关系.借助单调性去掉符号转化自变量大小关系.叠加函数本身定义域的硬性限制条件.联立多重不等式组分步求解自变量解集.常用结论.奇函数可把负自变量转化为正自变量运算.偶函数.优先使用绝对值简化不等式计算 变式8-1（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 变式8-2（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 变式8-3（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，且定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性定义证明：在上单调递减； (3)解关于m的不等式． 题型九、局部奇函数求值 典例9 （25-26高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为M，最小值为m，则________________. 题型模版 1.特征：函数整体不满足奇函数定义.拆分函数式子后其中一部分子函数具备奇函数特性.题目要求计算指定自变量对应的函数数值 2.方法：将原函数拆分为常数项加奇函数的组合形式.奇函数在互为相反数的两处自变量函数值相加结果为0.奇函数部分数值相互抵消.直接计算剩余常数项的数值即可得到最终结果.常用结论.常数.为奇函数.常数 变式9-1（25-26高一上·河北石家庄·期中）若函数在区间上的最小值为常数，则其最大值为___________． 变式9-2若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为_____． 变式9-3（24-25高一下·云南昆明·阶段检测）已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为_______． 题型十、由函数的奇偶性，对称性，周期性求值 典例10 （25-26高二下·湖南·期末）已知是定义在上且周期为3的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：给出函数对称轴.对称中心搭配奇偶关系.题干自变量数值偏大.依托三大性质求解该点函数值 2.方法：联立对称关系式与奇偶关系式推导函数固定周期.利用周期把大数值自变量化简至已知函数值的小区间范围.带入对应区间表达式完成数值计算.常用结论.一条对称轴+一个对称中心.周期.两条对称轴.周期.两个对称中心.周期 变式10-1（25-26高一下·贵州·期中）已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（   ） A． B．1 C． D． 变式10-2（25-26高一下·云南昭通·期中）已知函数的定义域为．当时，；当时，；当时，．则（   ） A． B． C．0 D．2 变式10-3（25-26高一下·浙江舟山·期中）已知是定义在上的函数，，当时，，则（   ） A． B． C．1 D．3 题型十一、由函数的对称性求参数/值 典例11 （25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数，定义域为的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，则所有交点的横坐标与纵坐标之和为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 题型模版 1.特征：已知函数图像存在对称轴或是对称中心.函数解析式含有未知参数.计算参数的取值或是具体数值 2.方法：轴对称满足恒等式.中心对称满足恒等式.对比等式两侧各项系数建立方程.解方程得出对应参数结果.常用结论..对称轴..对称中心 变式11-1（25-26高一上·陕西西安·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若，则（     ） A．400 B．200 C．198 D．396 变式11-2（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．10 C．2 D． 变式11-3（24-25高一下·湖南·期中）已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为，，…，，则（    ） A． B．m C．2m D．4m 题型十二、函数的奇偶性，对称性，单调性，周期综合 典例12 （23-24高一下·福建福州·阶段检测）已知定义在上的函数 满足 ，且 为奇函数，若，则（    ） A． B．0 C． D． 题型模版 1.特征：单道题目融合四类函数核心性质.设问包含函数求值.求解不等式.计算参数.图像辨别多种题型 2.方法：优先依靠奇偶性与对称性推导函数周期.化简超大自变量数值.利用单调性处理函数不等式脱去符号.结合定义域与特殊点函数值分层拆解题干问题.依照顺序分步列式逐一解答全部设问.常用结论.奇偶性负责区间转化.对称性负责推导周期.单调性负责不等式求解.三者结合完成抽象函数全部问题运算 变式12-1（2026·河南郑州·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 变式12-2（23-24高一上·湖北荆州·期中）已知是定义在实数集上的函数，在内单调递增，，且函数关于点对称，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 变式12-3（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，又，则的解集是（    ） A． B． C． D． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．已知函数，若，则（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 2．（25-26高二下·辽宁·期末）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26高一下·云南文山·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 5．（25-26高三下·山东·阶段检测）已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称，不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知奇函数的定义域为，满足对任意、 ，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·浙江·阶段检测）若函数的定义域为，且满足为偶函数，为奇函数，，则（   ） A．0 B．2 C． D． 10．（2026·山西大同·一模）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意 ，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有 ，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（25-26高二下·山东泰安·期末）已知函数是定义域为R的偶函数，且为奇函数，则（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C．函数的周期为2 D． 13．（25-26高一下·广东揭阳·期末）已知函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（     ） A．为偶函数 B．2是的一个周期 C．图象关于对称 D． 三、填空题 14．（25-26高一下·天津河北·开学考试）已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 15．（2026·上海·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 16．（25-26高一下·广西贵港·开学考试）设函数，若是奇函数，则的表达式是___________． 17．（25-26高一下·上海·期中）已知定义在上的偶函数在上是严格增函数，若，则的取值范围为_________. 四、解答题 18．（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数满足，． (1)求a，b的值，判断的奇偶性并证明； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求不等式的解集． 19．（24-25高二下·天津·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断当时函数的单调性，并证明； (3)解不等式． 20．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的解析式，并用函数单调性的定义证明在区间上为增函数； (2)解不等式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 函数的单调性，奇偶性，对称性，周期性 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、定义法证明函数的单调性 题型七、由函数的奇偶性求解析式 题型二、由函数的单调性求参数 题型八、由奇偶性单调性综合解抽象不等式 题型三、由函数的单调性解不等式 题型九、局部奇函数求值 题型四、构造新的函数通过单调性解不等式 题型十、由函数的奇偶性，对称性，周期性求值 题型五、由奇偶性单调性判断函数的图像 题型十一、由函数的对称性求参数/值 题型六、由函数的奇偶性求参数 题型十二、函数的奇偶性，对称性，单调性，周期综合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 函数四大性质类题型全部依托定义域优先判定这条底线原则 一是求解任何函数问题第一步必须写出并锁定有效定义域 二是单调性奇偶性对称性周期性推导与变换均不能超出定义域范围 奇偶判定看与的等量关系单调判定依托差值/导数符号 对称公式可推导周期两重对称可直接换算周期长度 抽象不等式解题固定思路为奇偶化简→单调脱符号→结合定义域列不等式组求解 多性质综合题优先梳理函数周期再利用周期性把自变量归化到已知解析式区间求值. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、定义法证明函数的单调性 典例1 （2026高一·全国·专题练习）已知函数，判断并证明函数在上的单调性. 【答案】在上单调递减，证明见解析 【详解】在上单调递减，证明如下： 由，任取， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减. 题型模版 1.特征：题干给出具体函数解析式以及指定的连续区间.要求使用课本标准定义法书写完整证明步骤.禁止使用导数等高阶方法判定函数增减趋势 2.方法：第一步在给定区间内任意选取两个自变量..规定大小关系.第二步计算差值.对式子开展通分.因式分解.配方等恒等变形处理.第三步结合自变量取值范围判断化简后整体式子的正负.常用结论.在区间单调递增.在区间单调递减 变式1-1设函数，判断函数在区间上的单调性，并用定义证明结论. 【答案】函数在上单调递增；证明见解析 【分析】通过单调性的定义判断即可. 【详解】函数在上单调递增. 证明：任取，且， 则 ， 因为，且， 所以，且. 所以，且. 所以，即， 所以函数在上单调递增. 变式1-2已知函数，. (1)判断函数的单调性，并用定义证明； (2)解不等式：. 【答案】(1)增函数，证明见解析； (2) 【分析】（1）任取且，通过作差、因式分解、判断差值符号，可证得函数在上的单调性； （2）由已知条件可得出，结合（1）中的结论可解原不等式 【详解】（1）函数在区间上是增函数； 任取且，即， ， 因为，则，， ，即， 所以函数在区间上是严格增函数； （2）由（1）可知函数在区间上是严格增函数，且， 因此由可得. 因此，不等式的解集为. 变式1-3（24-25高一上·安徽铜陵·阶段检测）已知函数. (1)判断在区间上的单调性并用定义法证明； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2)最大值为，最小值为1. 【分析】（1）在上任取两个数，且，计算与0的大小，利用单调性定义得解； （2）由（1）的结论可知为最小值，为最大值，利用求出和，即得函数在区间上的最大值和最小值. 【详解】（1）在上任取两个数，且， ，，， ， ，，， ，，在区间上单调递增. （2）在区间上单调递增， 在区间上为增函数， 在时，取最小值，且最小值为， 在时，取最大值，且最大值为. 类型二、由函数的单调性求参数 典例2 （2026·河北沧州·模拟预测）（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】函数的单调递增区间为， 依题意，，则，解得， 因此的可能取值是，ABD是，C不是. 题型模版 1.特征：已知函数在固定开区间或者闭区间单调递增或是单调递减.函数解析式中带有未知字母参数.求解参数的具体数值或是取值范围 2.方法：一次函数依靠一次项系数正负划定参数范围.二次函数结合对称轴位置搭配给定区间列出约束不等式.复合函数按照同增异减规律拆分内外两层函数分析.单调性恒成立问题转化为代数式最值满足对应不等关系.联立不等式组计算出参数解集.常用结论.复合函数单调性.内外函数单调性相同则整体递增.内外函数单调性相反则整体递减.二次函数对称轴 变式2-1（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】条件可转化为函数在R上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的范围. 【详解】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 变式2-2（24-25高一上·河北石家庄·阶段检测）设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 【答案】 【详解】，定义域为， 因为函数在区间上是增函数， 所以，解得， 故的取值范围是. 变式2-3（25-26高一下·湖南·阶段检测）设函数，若，且，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考虑的对称轴与2比较，分与两种情况，结合函数的单调性，列出不等式，求出实数的取值范围. 【详解】当时，函数，对称轴为， 当，即时，此时，使得，满足题意； 当，即时，在上单调递增，在上也单调递增， 要想，且，使得，则，得， 而，矛盾. 综上. 题型三、由函数的单调性解不等式 典例3 （25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最大值为4，求实数a的值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别求和时的取值范围，结合反比例函数和一次函数，比较两段的最值，结合最大值为4建立关于的方程求解； （2）根据分段函数在上单调递增，可得各段函数分别单调递增，且左段函数在处的函数值不大于右段函数在处的函数值，再根据单调性条件建立关于的不等式求解； （3）判断和与0的大小关系，分情况讨论，分别利用单调性、函数值大小建立不等式求解. 【详解】（1）当时，，取不到4， 所以时，的最大值为4，                 因为在上单调递增， 所以，则. （2）当时，单调递增；                 当时，单调递增，                 因为在上单调递增，只需，则，                 所以实数a的取值范围为. （3）易知， 当，即， 因为在上单调递增，所以成立；                 当，即， 因为在上单调递增，所以成立；                 当时，，， 所以，， 所以，不符合题意. 综上所述，实数a的取值范围为. 题型模版 1.特征：已知函数定义域与对应单调区间.给出.这类函数型不等式.求解自变量对应的取值解集 2.方法：依托单调性的单调保号性脱去外层符号.转化为自变量之间的大小不等式.同步匹配原函数自带的定义域限制条件.联立两组不等式求取交集.交集区间即为不等式最终解集.常用结论.单调递增函数.单调递减函数.自变量必须全程落在函数定义域内 变式3-1（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 【答案】(1) 设任意； 因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； (2) 【分析】（1）根据增函数的定义，作差证明即可； （2）根据第一问结论，列出不等式组证明即可. 【详解】（1）略 （2）是上的增函数且. 解得 所以不等式的解集为 变式3-2（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据单调性的定义，结合作差法即可求解； （2）利用单调性来判断大小即可； （3）根据函数的单调性，结合函数定义域，即可列不等式求解.. 【详解】（1）任取 ，且 ， 则 因为 ，所以 ，，，因此 ， 即分子分母都为正，故 ，即， 所以函数在区间上是增函数； （2）因为，且函数在区间上是增函数， 所以； （3）因为 定义域为，且在 上是增函数， 所以由不等式可得： ，解得， 即 或 ， 故实数 的范围为：. 变式3-3（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数，. (1)证明：是增函数； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) 证明：任取，且，， 则 ， 又，且，，则， ，，， 得到，即， 函数在区间上是增函数. (2)或. 【分析】（1）利用函数的单调性的定义的证明步骤进行处理即可； （2）利用（1）得出的单调性，结合函数的定义域解不等式. 【详解】（1）略 （2）函数是定义在区间上的增函数， 由，得到， 解得或， 所以实数的取值范围为或. 题型四、构造新的函数通过单调性解不等式 典例4 （2026高一上·广东中山·专题练习）定义在上的函数满足，对任意的，且， 恒成立，则不等式的解集为__________ 【答案】 【分析】不等式 可化为，结合单调性定义证明在上单调递减，结合函数的定义域及单调性解不等式可得结论. 【详解】由题意知： 可得， 故 且，所以 令，不妨设，可得，则 即，所以在上单调递减， 则不等式 ， 因为，所以， 则，解得， 所以不等式的解集为. 题型模版 1.特征：不等式内部同时存在关系式与整式.分式.指数对数等常规代数式.无法直接消去进行求解.常规式子变形不能梳理出清晰的不等关系 2.方法：对原式进行移项整理.将全部式子统一移至不等号单侧.拼凑整合出新式函数的整体结构.分析构造函数的定义域与单调性.再次脱去函数符号转化为普通自变量不等式.叠加定义域约束条件计算自变量取值区间.常用结论.常见构造形式....结合导数正负快速判定构造函数单调性 变式4-1（25-26高一上·贵州黔东南·期末）已知函数定义域为对任意两个不相等的实数都有成立．则不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】先根据单调性定义得出函数在上单调递增，再结合已知得出不等关系，最后解一元二次不等式即可. 【详解】由已知对任意两个不相等的实数都有成立， 不妨设，则， 即函数在上单调递增， 又，则， 即， 则，即， 解得， 故答案为：． 变式4-2（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，，且，都有则不等式的解集为________． 【答案】 【分析】构造函数，，结合函数单调性定义可得该函数单调性，再将原不等式变形后利用函数单调性计算即可得解. 【详解】令，， 则对任意的，且， 有， 由， 则当时，，， 则，故， 故函数在上单调递减， 对，有，则， 则， 故有，即，即， 解得或（舍去），故， 即该不等式的解集为． 故答案为： 变式4-3（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）已知函数定义在上,且对任意的、,,都有，,则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】令，结合函数单调性的定义可知在上为减函数，且，将所求不等式变形为，利用函数的单调性、定义域可得出关于的不等式，即可得出所求不等式的解集. 【详解】不妨设，则， 由可得， 所以， 不等式两边同时除以得， 令，其中，则， 即函数在上为减函数，且， 由可得， 由题意可知，所以，即， 所以，解得或. 因此原不等式的解集为. 故答案为：. 题型五、由奇偶性单调性判断函数的图像 典例5 （25-26高一下·山东潍坊·期中）函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】D 【分析】首先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后利用函数的单调性确定正确选项. 【详解】令，其定义域为，关于原点对称. 因为， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，C； 又因为，当时，函数单调递增，函数单调递增， 所以函数在上单调递增，故排除选项A，选项D正确. 题型模版 1.特征：仅给出函数奇偶属性.各区间单调走势.若干特殊点的函数正负取值.不提供完整函数解析式.从多个图像选项中选出完全匹配条件的图像 2.方法：依靠奇偶性区分图像对称特征.偶函数图像关于y轴对称.奇函数图像关于坐标原点中心对称.依靠单调性判断图像在对应区间的上升或是下降走向.搭配特殊点函数值正负逐一剔除不符合条件的错误图像选项.常用结论.奇函数图像过原点(定义域含0).偶函数在对称区间增减性相反.奇函数在对称区间增减性一致 变式5-1（24-25高一上·湖北武汉·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过分析函数的奇偶性以及特定区间上函数值的正负来排除错误选项. 【详解】由函数解析式可知，分母，解得，即函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称， 观察选项，C选项图象关于原点对称，故C错误； 当时，，则，所以，又 ，所以，即当时，函数图象位于轴上方， 观察选项，A选项在 上图象位于 轴下方，故A错误； 当时，，则，所以，又，所以，即当时，函数图象位于轴下方， 观察选项，D选项在 上图象位于 轴上方，故D错误； 综上所述，只有B选项符合题意，故B正确. 变式5-2（25-26高一下·湖北咸宁·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数中，，解得，函数的定义域为， 由，得函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除BC； 当时，，排除选项D，选项A符合要求，故选A. 变式5-3（25-26高一上·贵州遵义·期末）函数的部分图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数定义，排除C，D，再根据时函数值的符号判断A、B即可. 【详解】因为，所以， 所以的图象关于原点中心对称，排除C，D， 当时，，排除B． 故选：A． 题型六、由函数的奇偶性求参数 典例6 设 是定义在上的奇函数，则______ 【答案】2 【分析】由题设得，进而求出a，再检验即可. 【详解】因为 是定义在上的奇函数， 所以，即， 故， 此时 ，所以， 满足 是定义在上的奇函数， 所以. 题型模版 1.特征：题干标明函数属于奇函数或是偶函数.函数解析式内嵌未知参数.借助奇偶恒等性质求解参数数值或是取值范围 2.方法：偶函数全域恒成立关系式为.奇函数全域恒成立关系式为.多项式函数对等两侧同次项系数建立方程求解参数.定义域包含0的奇函数可优先使用快速计算参数.计算完成后代入原式核验定义域是否满足条件.常用结论.奇函数（定义域）.偶函数奇次项系数全部为0.奇函数偶次项常数项系数全部为0 变式6-1若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即， ， ， ， ， ． 变式6-2（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数为奇函数，则（   ） A．-2 B．0 C．-3 D．-1 【答案】C 【分析】由奇函数的定义求解 【详解】若，则， 所以， 所以，，. 变式6-3（2026·青海海东·二模）若函数是偶函数，则______． 【答案】5 【分析】通过一元二次函数的对称性求解. 【详解】 由题意知，函数的对称轴是轴，所以，得，， 所以. 题型七、由函数的奇偶性求解析式 典例7 （25-26高一下·四川泸州·期末）已知为奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 当时，，∴ . ∵ 是奇函数，满足，∴ . 题型模版 1.特征：仅给出函数在单侧定义域（或）的表达式.结合函数整体奇偶性质.求解剩余区间对应的函数解析式 2.方法：设目标求解区间内自变量为.取代入可使用已知解析式的区间.带入对应表达式计算.套用奇函数或偶函数的等量关系式替换符号.整理化简式子得到目标区间的函数表达式.补充标注分段函数完整定义域.常用结论.解析式已知时..奇函数.偶函数 变式7-1设函数是定义在上的偶函数，且当时，，求的解析式. 【答案】 【分析】利用偶函数的性质求时的函数解析式，即可得. 【详解】设，则，所以， 因为函数是定义在上的偶函数， 所以，则时，， 综上，. 变式7-2已知定义域为的函数是偶函数，定义域为的函数是奇函数，且，求和的解析式. 【答案】 【分析】利用奇偶性及方程组法求函数解析式. 【详解】因为函数是上的偶函数，函数是上的奇函数， 所以，， 由①，则，即②， ①＋②得：，则， ①－②得：，则， 所以. 变式7-3（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质即可求出时，的解析式. 【详解】由题可知，时，， 取，则，， 由奇函数性质可得：. 题型八、由奇偶性单调性综合解抽象不等式 典例8 （25-26高一上·宁夏吴忠·期中）已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上单调递增，结合定义域和奇偶性，得到不等式组，求出答案. 【详解】对任意的，都有，故在上单调递增， ，故， 解得，故实数的取值范围为. 题型模版 1.特征：只给出抽象函数的奇偶性质.单调区间与函数不等式.不存在具体的函数解析式 2.方法：利用奇偶性补齐正负区间的函数对应关系.借助单调性去掉符号转化自变量大小关系.叠加函数本身定义域的硬性限制条件.联立多重不等式组分步求解自变量解集.常用结论.奇函数可把负自变量转化为正自变量运算.偶函数.优先使用绝对值简化不等式计算 变式8-1（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 【答案】C 【分析】由偶函数定义可得，再通过偶函数的性质，对称区间上单调性相反，可得到函数在定义域上的单调性情况，通过单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以． 又函数在上单调递减，所以函数在上单调递增． 所以等价于,即，解得． 变式8-2（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【答案】(1) (2)在上单调递增.              证明如下：任取且， ， ，且，，， 所以，即，   所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质即可求出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）结合函数的单调性以及奇函数的性质将问题转化为，解不等式即可求解. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，则，                           又，则.                         . （2）略 （3） 在上是奇函数且单调递增， 由得  ，          ，解得：  ，         不等式的解集为. 变式8-3（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，且定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性定义证明：在上单调递减； (3)解关于m的不等式． 【答案】(1) 函数为奇函数，理由如下： 因为函数定义域为，定义域关于原点对称， 且， 所以函数为奇函数. (2) 证明：取，规定， 则 因为，所以， 所以，即， 由，所以函数在上单调递减. (3) 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断即可； （2）利用函数单调性定义证明即可； （3）利用函数奇偶性与单调性建立不等式组求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为函数在上单调递减，且函数为奇函数， 所以函数在上单调递减，由， 所以函数在上单调递减， 所以不等式即， 因为函数是奇函数，所以， 又函数在上单调递减， 所以不等式的解集等价于或， 解得或， 所以关于m的不等式的解集为：. 题型九、局部奇函数求值 典例9 （25-26高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为M，最小值为m，则________________. 【答案】4050 【分析】变形得到，，得到为奇函数，则，故，故. 【详解】， 令，， 则，即为奇函数， 则， 由题意得，故 故答案为：4050. 题型模版 1.特征：函数整体不满足奇函数定义.拆分函数式子后其中一部分子函数具备奇函数特性.题目要求计算指定自变量对应的函数数值 2.方法：将原函数拆分为常数项加奇函数的组合形式.奇函数在互为相反数的两处自变量函数值相加结果为0.奇函数部分数值相互抵消.直接计算剩余常数项的数值即可得到最终结果.常用结论.常数.为奇函数.常数 变式9-1（25-26高一上·河北石家庄·期中）若函数在区间上的最小值为常数，则其最大值为___________． 【答案】 【分析】令，即可证函数为奇函数，进而得，即，进而求解. 【详解】因为， 令， 则，因为， 所以函数为奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称， 所以在上的最大值和最小值之和为0， 即，则， 因，故． 故答案为：． 变式9-2若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为_____． 【答案】0 【分析】先展开整理函数解析式成，构造奇函数，利用奇函数图象关于原点对称的特征得到，可求得，即得答案. 【详解】因为， 令，则， 因为，所以函数为奇函数． 因为奇函数的图象关于原点对称，所以在上的最大值和最小值之和为0， 即，则， 因，故. 故答案为： 变式9-3（24-25高一下·云南昆明·阶段检测）已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为_______． 【答案】 【分析】将函数解析式变形为，设，知其为奇函数，从而易推得，代入计算即得. 【详解】因， 设，则，可得函数为奇函数， 则在区间上的最大值与最小值的和为0，故， 于是，. 故答案为：. 题型十、由函数的奇偶性，对称性，周期性求值 典例10 （25-26高二下·湖南·期末）已知是定义在上且周期为3的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由是定义在上且周期为3的偶函数，当时，， 得. 题型模版 1.特征：给出函数对称轴.对称中心搭配奇偶关系.题干自变量数值偏大.依托三大性质求解该点函数值 2.方法：联立对称关系式与奇偶关系式推导函数固定周期.利用周期把大数值自变量化简至已知函数值的小区间范围.带入对应区间表达式完成数值计算.常用结论.一条对称轴+一个对称中心.周期.两条对称轴.周期.两个对称中心.周期 变式10-1（25-26高一下·贵州·期中）已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用周期性和奇偶性得，再求值. 【详解】根据题意， . 变式10-2（25-26高一下·云南昭通·期中）已知函数的定义域为．当时，；当时，；当时，．则（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】根据周期性和奇函数的性质求解. 【详解】当时，，所以当时，函数是周期为1的周期函数， 所以．又当时，为奇函数，所以， 所以. 变式10-3（25-26高一下·浙江舟山·期中）已知是定义在上的函数，，当时，，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】由题可知，进而得到，，再利用周期性求值即可． 【详解】， ． 两式相加，得， ， ， ， 是周期函数，且， ． 题型十一、由函数的对称性求参数/值 典例11 （25-26高一上·浙江杭州·期末）已知函数，定义域为的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，则所有交点的横坐标与纵坐标之和为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】根据题意得到与图象的交点关于对称，则有，，即可得到答案. 【详解】函数，定义域为， 函数为奇函数，图象关于原点对称，所以的图象关于点对称； 定义域为的函数满足，则的图象关于点对称. 所以函数与图象的交点也关于点对称. 函数与的图象有四个交点，分别为，，，， 不妨设，则，， 则，， 则所有交点的横､纵坐标之和为. 故选：D 题型模版 1.特征：已知函数图像存在对称轴或是对称中心.函数解析式含有未知参数.计算参数的取值或是具体数值 2.方法：轴对称满足恒等式.中心对称满足恒等式.对比等式两侧各项系数建立方程.解方程得出对应参数结果.常用结论..对称轴..对称中心 变式11-1（25-26高一上·陕西西安·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若，则（     ） A．400 B．200 C．198 D．396 【答案】B 【分析】利用给定性质求出对称中心，再利用中心对称函数的性质求解即可 【详解】设，所以 ， 因为为奇函数，所以，则，所以函数的图象关于点成中心对称图形，所以， 所以 ， 每对和为，共对，所以总和为. 故选：B. 变式11-2（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．10 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用中心对称的性质列式求出，进而求出目标值. 【详解】函数， 则， 由函数的图象关于点对称，得恒成立， 即恒成立， 因此，解得，所以. 故选：C 变式11-3（24-25高一下·湖南·期中）已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为，，…，，则（    ） A． B．m C．2m D．4m 【答案】B 【分析】根据题意，推得函数和的图象都关于点中心对称，得到函数和的图象的交点也关于点对称，得到两个对称点的纵坐标之和为，即可求解. 【详解】由函数满足，可得函数的图象关于点中心对称， 又由函数，可得， 则，所以的图象也关于点中心对称， 所以两个函数和的图象的交点也关于点对称， 则两个对称点的纵坐标之和为，可得. 故选：B. 题型十二、函数的奇偶性，对称性，单调性，周期综合 典例12 （23-24高一下·福建福州·阶段检测）已知定义在上的函数 满足 ，且 为奇函数，若，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件可得到的一个周期为4，赋值法可求得的值，由周期性可求解；也可以通过取符合题意的三角函数直接求解. 【详解】解法一：∵为奇函数，∴， ∴，用替换得. 又∵，∴， ∴，∴，∴的一个周期为4. ∵，在中令可得， ∴， ∴. 解法二：由题设条件，不妨设， ∴ ，∴. 题型模版 1.特征：单道题目融合四类函数核心性质.设问包含函数求值.求解不等式.计算参数.图像辨别多种题型 2.方法：优先依靠奇偶性与对称性推导函数周期.化简超大自变量数值.利用单调性处理函数不等式脱去符号.结合定义域与特殊点函数值分层拆解题干问题.依照顺序分步列式逐一解答全部设问.常用结论.奇偶性负责区间转化.对称性负责推导周期.单调性负责不等式求解.三者结合完成抽象函数全部问题运算 变式12-1（2026·河南郑州·模拟预测）已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数为奇函数可得，又，即可求解. 【详解】∵函数为奇函数，∴， 又∵， ∴，故选项C正确. 其他三个选项条件不足无法计算，故选C. 故选：C. 变式12-2（23-24高一上·湖北荆州·期中）已知是定义在实数集上的函数，在内单调递增，，且函数关于点对称，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平移知识得出是奇函数，进而由单调性画出函数，的简图，结合图像解不等式即可. 【详解】因为函数关于点对称，所以函数关于点对称，是奇函数， 则等价于. 函数简图如下图所示：    由平移变换可知，函数的简图如下图所示：   等价于或. 由图可知，的解集为. 故选：D 变式12-3（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，又，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性和单调性，可知和的解，再将转化为，或，求解即可. 【详解】由题意可得当时，有，当或时，有， 所以当时，有或，即或， 当时，有，即， 由，可得，或，所以或， 所以的解集是. 故选：D 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．已知函数，若，则（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先证得为奇函数，所以，再由奇函数的性质可求出. 【详解】令，函数定义域为R， ，所以为奇函数， 所以，所以， 所以，所以． 2．（25-26高二下·辽宁·期末）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式转化为，再结合单调性即可得解. 【详解】因为是定义在R上的偶函数，故可转化为， 又因为在上单调递增，故，解得或，即解集为. 3．（2026·全国二卷·高考真题）已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据推出周期性，分析可得，得到，再由可得. 【详解】，则， ，即的周期为， 结合奇偶性，周期性，故， 在上满足，说明的对称轴为， 则，解得， 又根据知，而， 则，于是， 即，解得 4．（25-26高一下·云南文山·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】先根据对称性和奇偶性得出周期，再计算一个周期内的函数值之和即可. 【详解】因为，，所以， 则，则，则， 则是的一个周期， 因为当时，，所以，， 则，， 则，则 则 5．（25-26高三下·山东·阶段检测）已知函数在定义域上单调递减，且函数的图象关于点对称，不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性，将不等式变成，利用函数单调性求解即可. 【详解】函数的图象关于点对称， 则函数的图象关于原点对称，即， 从而等价于，即 由函数在定义域上单调递减， 则，解得. 6．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合函数单调性与奇偶性计算即可得. 【详解】由已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 则函数在上单调递增， 又，所以， 即当时，，当或时，， 所以不等式的解集为. 7．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题确定函数的单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由题知函数在上单调递增， 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为 ，即，此时无解. 综上，不等式 的解集为. 8．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知奇函数的定义域为，满足对任意、 ，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造辅助函数，判断其奇偶性与单调性，分和两种情况转化不等式求解. 【详解】设，定义域为， 因为是定义域为的奇函数，故， 则， 因此是定义域为的偶函数。 对任意，，由， 可得当时，，即， 因此在上单调递增；由偶函数对称性可知，在上单调递减， 由，得，且， 当时，两边同乘（不等号方向不变），得，即， 结合在上单调递增，得； 当时，两边同乘（不等号方向改变），得，即， 又在上单调递减，得； 综上，不等式的解集为. 9．（25-26高一下·浙江·阶段检测）若函数的定义域为，且满足为偶函数，为奇函数，，则（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由偶函数与奇函数性质可推导出为周期函数并可得到周期，再利用代入计算即可得. 【详解】由为偶函数可得，即 由为奇函数可得， 即， 即有，则， 则，故， 即有，故为周期函数且， 由，则， 即，则. 10．（2026·山西大同·一模）已知函数的定义域为，若对于定义域内给定的任意 ，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题目条件化简可知函数在上单调递增，再利用单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数满足对任意的，，，都有， 设，则，所以，即， 所以，令， 因为当时，都有， 所以函数在上单调递增. 又不等式两边同乘以， 得，即， 即，所以， 故，解得，即. 11．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有 ，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设可推导出，当 时，，令并判断其单调性、奇偶性，进而利用不等式性质求不等式的解集. 【详解】由 ，得， 因为，，所以，即， 设，则在上单调递减， 而，则，解得； 因为为上的奇函数，所以， 则为上的偶函数，故在上单调递增， 而，则，解得； 当时，，故该点不在解集内. 综上，原不等式的解集为. 二、多选题 12．（25-26高二下·山东泰安·期末）已知函数是定义域为R的偶函数，且为奇函数，则（    ） A． B．的图象关于点中心对称 C．函数的周期为2 D． 【答案】BD 【分析】由已知可得，，联立即可求得函数的周期，对称性，逐项判断即可. 【详解】函数是定义域为的偶函数，所以， 对于A，因为为奇函数，所以，故A错误； 对于B，由，所以， 可知的图象关于点中心对称，故B正确； 对于C，由，所以， 又，所以，即， 故函数的周期为4，故C错误； 对于D，由，令，则，所以， 所以，故D正确. 13．（25-26高一下·广东揭阳·期末）已知函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（     ） A．为偶函数 B．2是的一个周期 C．图象关于对称 D． 【答案】ACD 【分析】选项A，由与，得，是偶函数，A正确.选项B，由，推出，周期为，不是，B错误.选项C，有对称中心，周期为，半个周期平移后得到对称中心，C 正确.选项D，每项函数值之和为，前项和为，剩余两项得；除以余，故，D正确. 【详解】令， 因为为奇函数，所以， 即， 令，解得，即， 得到，即， 所以关于点中心对称. 因为为偶函数，所以， 即，关于直线轴对称. 由轴对称得， 由中心对称得， 联立得， 把换成得到， 则，所以的周期，故B错误. 因为的对称中心为，所以， 又周期， ，， 由， 令得到，即， 即， 所以图象关于对称，C正确. 由，则， 又，则， 则，对比， 得到 ，即， 所以是偶函数，A正确. 周期，先看一个周期内， 由， 令得到， 由为奇函数，令得到， 又都是对称中心，故， 一个周期：， 中，有项，包含个完整周期加上， 个周期的和为， 又，，故， 所以每项之和为，前项和为， 余下两项， 因为，所以，解得， 则，D正确. 三、填空题 14．（25-26高一下·天津河北·开学考试）已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】先判断在上为增函数，再根据奇偶性和单调性可得关于的不等式组，从而可得实数的取值范围. 【详解】因为为奇函数且在上为增函数，故在上为增函数， 因为为上的奇函数，故即为， 故，故. 15．（2026·上海·高考真题）已知函数是偶函数，当时，，若，则__________． 【答案】 【分析】根据偶函数的性质求解. 【详解】因为函数是偶函数，当时，， 所以，解得. 16．（25-26高一下·广西贵港·开学考试）设函数，若是奇函数，则的表达式是___________． 【答案】， 【分析】根据函数的奇偶性求解析式即可. 【详解】因为是奇函数，所以. 因为时，， 所以当时，，所以. 所以，. 又当时，，所以，. 17．（25-26高一下·上海·期中）已知定义在上的偶函数在上是严格增函数，若，则的取值范围为_________. 【答案】 【分析】根据偶函数在上是严格增函数，将不等式转化为求解. 【详解】因为为偶函数，故即为， ∵偶函数在上是严格增函数，故， 平方得，即， 解得， 故答案为： 四、解答题 18．（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数满足，． (1)求a，b的值，判断的奇偶性并证明； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) 由题意可得，解得，故， 为偶函数，证明如下： 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 故为偶函数； (2) 在上单调递减，理由如下： 令，则 ， 由，则，，故， 故在上单调递减； (3). 【分析】（1）将点与代入计算即可得a，b的值，再利用奇偶性定义即可证明的奇偶性； （2）令，再利用函数单调性定义证明即可得； （3）利用函数单调性及其奇偶性，可得，解出即可得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由为偶函数且在上单调递减， 则由可得， 即有，化简得， 解得或. 所以不等式的解集为. 19．（24-25高二下·天津·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断当时函数的单调性，并证明； (3)解不等式． 【答案】(1) (2)递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质和建立等量关系即可得解； （2）利用定义法判定单调性； （3）根据奇偶性和单调性求解不等式. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又所以，所以， 显然，是奇函数， 综上 （2）在上单调递增； 证明：任取，且， 所以， 则 ， 所以，所以在上单调递增； （3）由题可知在上单调递增且为奇函数， 由得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为 20．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的解析式，并用函数单调性的定义证明在区间上为增函数； (2)解不等式． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义可求得，根据可求得，进而根据函数单调性的定义判断的符号即可； （2）根据函数的奇偶性将已知不等式等价转化，再利用单调性列不等式求解即可. 【详解】（1）∵函数在上是奇函数， ∴，即，∴，. 又∵，即，解得， ∴的解析式为. 函数在区间上为增函数，证明如下： 证明：任取，且， 则， ∵，∴，，， ，，故， ∴，即， ∴函数在区间上为增函数. （2）∵函数在上是奇函数， ∴不等式等价于. 又∵在上是增函数， ，解得． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $