专题06 函数的值域八类综合题型（压轴题专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“解题通法-题型归纳-压轴挑战”为框架，系统整合五大核心解法与两条原则，构建从基础到复杂的函数值域求解体系，培养逻辑推理与数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心方法总结|五大核心解法（基础函数值域/单调性变换/分式变形/根式换元/分段拆分）+等价转化原则|定义域优先→基础函数性质→复合结构变换的逻辑递进| |题型归纳|8题型（各含典例+3变式）|分题型方法（整体换元/分离常数/判别式法等）|题型特征与解法一一对应，变式拓展考查应用灵活性| |压轴挑战|选择填空解答题（16题）|综合方法联用（换元+单调性/数形结合等）|高难综合问题突破，提升数学表达与问题解决能力|

专题06 函数的值域 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、常见函数的值域 题型五、单调性法求函数的值域 题型二、根式型函数的值域问题 题型六、判别式法求函数的值域 题型三、一次分式型函数的值域问题 题型七、分段函数的值域问题 题型四、二次分式型函数的值域问题 题型八、复杂型的函数值域问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 函数值域求解是高中函数板块核心重难点，全部题型围绕基本初等函数固有值域、函数单调性变换、分式结构变形、根式换元处理、分段区间拆分五大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是求解值域必须优先锁定函数定义域，二是变形换元过程全程保证等价转化无增域丢域，所有值域求解结果最终均需要结合定义域核验取值边界. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、常见函数的值域 典例1 （25-26高三·全国·一轮复习）填空： （1）已知，，求值域_____； （2）已知，，求值域_____； （3）已知求值域_____. 【答案】 【详解】（1）函数，在上单调递增， 由，得， 所以函数，的值域. （2）函数，，由二次函数的性质可知， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值为， 所以函数，的值域为. （3）， 当时，，由反比例函数的性质可知， 当时，，则，有，即，. 的值域为 题型模版 1.特征：题干为一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等课本标准基础函数，给定固定定义域求取对应输出范围 2.方法：熟记各类基础函数图像与固有值域，结合定义域截取图像对应区间，直接读出最值完成值域求解 变式1-1（25-26高一上·安徽合肥·期末）（多选）下列函数定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】逐一求出各选项函数的定义域及值域即可判断. 【详解】对于A，函数的定义域为R，值域为，A不是； 对于B，函数的定义域为R，当时，， 当时，，因此的值域为R，B是； 对于C，函数的定义域为，值域为，C不是； 对于D，函数的定义域、值域均为R，D是. 故选：BD 变式1-2（25-26高一上·天津·期中）函数的值域为___________； 【答案】 【分析】根据题意结合二次函数最值分析求解即可. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 所以函数的值域为. 故答案为：. 变式1-3（25-26高一上·广东清远·期中）（多选）下列函数中值域为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】求出各选项中函数的值域判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为，值域为，A符合； 对于B，函数的定义域为，值域为，B符合； 对于C，函数的定义域为，值域为，C不符合； 对于D，函数的定义域为，值域为，D符合. 故选：ABD 类型二、根式型函数的值域问题 典例2 （25-26高一下·河北保定·阶段检测）函数的值域为______. 【答案】 【分析】令，则可得，化简函数解析式，利用二次函数的值域求解即可. 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值，即. 所以其值域为. 题型模版 1.特征：解析式内含f(x)的根式结构，包含单根式、一次式嵌套根式、二次式嵌套根式两类形式 2.方法：采用整体换元法，令，将原式转化为普通一次、二次函数，结合的取值范围求解值域 变式2-1（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）函数的最大值为______. 【答案】/ 【分析】利用换元法，结合二次函数的性质求得正确答案. 【详解】令，则，， 当时，. 故答案为： 变式2-2（25-26高一上·四川达州·期中）函数的值域为________. 【答案】 【分析】令，转换成二次函数即可求解. 【详解】令，则， 的图像开口向下，对称轴， ∴在上是减函数， ， 所以的值域为. 故答案为： 变式2-3（25-26高一上·天津·期中）函数的值域为_____. 【答案】 【分析】利用换元法，转化为二次函数在给定区间上求值域即可. 【详解】令，则， 所以，， 所以，即函数的值域为. 故答案为：. 题型三、一次分式型函数的值域问题 典例3 （25-26高一上·河南·期中）函数在区间上的值域为______. 【答案】 【分析】采用分离常数的方法，结合反比例函数的值域可求得结果. 【详解】，因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以的值域为. 故答案为：. 题型模版 1.特征：函数形式为，分子分母均为一次整式 2.方法：分离常数法拆分解析式，结合反比例函数图像特征，排除函数取不到的数值，书写值域区间 变式3-1（2025高一上·吉林长春·专题练习）函数的值域为_____. 【答案】 【分析】采用分离常数法对函数解析式进行变形，根据其结构特点即可求出值域. 【详解】要使函数有意义，则，所以定义域为. . 因为，所以. 所以函数的值域为. 故答案为：. 变式3-2（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为____________ 【答案】 【分析】利用分离常数法求解即可. 【详解】因为， 则，所以函数的值域为． 故答案为： 变式3-3（25-26高一上·福建莆田·期中）函数的值域为_________. 【答案】 【分析】将函数变形为，由可求得答案. 【详解】因为， 又因为，所以， 所以函数的值域为. 故答案为：. 题型四、二次分式型函数的值域问题 典例4 函数的值域是______. 【答案】 【分析】将函数分母配方后，利用换元，整理成关于的方程，由求函数的值域转化为根据方程有实根求参问题，借助于判别式，求解不等式即得函数的值域. 【详解】因的定义域为， 令，所以，整理得 所以关于的方程有实数解， 当时，原式为，解得，满足； 当时，所以，整理得， 解得， 此时，且， ∴综上，函数的值域为， 题型模版 1.特征：分子、分母至少有一侧为二次多项式，整体构成有理分式函数 2.方法：分子分母齐次优先分式上下同除结合基本不等式；非齐次结构整理为一元二次方程，使用判别式法求解范围 变式4-1（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是______． 【答案】 【分析】根据已知函数的性质，运用换元法化简不等式，结合的值域构造不等式，解不等式求函数的值域． 【详解】令，则，原函数化为：， 整理得即，当时显然不合题意； 当时，， ，即，等价于，解得， 原函数的值域为. 变式4-2（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是__. 【答案】 【分析】利用配凑法化简，结合基本不等式求解. 【详解】当时，函数 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即函数的值域为. 变式4-3（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的值域为______． 【答案】 【分析】函数的定义域为，令，将问题转化为，再分，，三种情况，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以函数的定义域为 ， 令，则，代入解析式得：， 当时，， 当时， 当时，，当且仅当，即时等号成立，故，； 当时,,则，当且仅当，即时等号成立，故，； 综上，的值域为，即函数的值域为 故答案为： 题型五、单调性法求函数的值域 典例5 （25-26高一上·陕西汉中·期中）函数的值域是__________. 【答案】 【分析】根据题意可得，可求出结果. 【详解】令， 由有意义可得， 所以， 则， 所以. 故答案为：. 题型模版 1.特征：复合函数、单调叠加型函数（增+增、减+减），可通过定义或者导数判定整体单调区间 2.方法：先求定义域，判定函数在定义域内单调增减性，代入区间左右端点计算最值，直接写出值域 变式5-1（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数，则函数的值域是___________. 【答案】 【分析】由题设易得，，进而求解即可. 【详解】由，得， 而， 则， 由，得，则，即， 所以，所以， 则函数的值域是. 故答案为：. 变式5-2（25-26高三上·山西太原·阶段检测）已知函数，则的值域为_________. 【答案】 【分析】令，求得，结合基本不等式，求得，进而求得函数的值域，得到答案. 【详解】由函数，可得且，解得， 又由，则，可得， 因为，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以，可得， 所以函数的值域是. 故答案为：. 变式5-3（24-25高二下·江西南昌·期末）已知函数 ，则函数的值域为_________． 【答案】 【分析】根据二次函数以及根式可得，进而可得结果. 【详解】令，可得， 所以函数的定义域为 ， 因为，当且仅当时，等号成立， ，则， 所以函数的值域为. 故答案为：. 题型六、判别式法求函数的值域 典例6 若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】直接用判别式法求函数的最大值和最小值． 【详解】设，，， 时，， 时，因为，所以，解得，即且， 综上，最大值是，最小值是，和为6． 故选：B． 题型模版 1.特征：分式函数分子分母最高次数为二次，定义域为全体实数，可整理成关于的一元二次方程 2.方法：将函数整理为形式，依据存在实数解满足，解不等式得到的取值范围 变式6-1求函数的最大值、最小值. 【答案】最大值为，最小值为 【分析】将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出的取值范围，即得函数的最大值和最小值． 【详解】设恒成立，所以定义域为R， 则， 当时，； 当时，视其为关于x的一元二次方程，且方程有根， 则判别式，解得且， 所以函数的最大值为，最小值为. 变式6-2已知，且，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】首先根据题意得到，根据得到，再解不等式即可. 【详解】因为，所以. 又因为， 所以，解得. 故答案为：. 变式6-3设非零实数a，b满足，若函数存在最大值M和最小值m，则_________. 【答案】2 【解析】化简得到，根据和得到，解得答案. 【详解】，则，则， 即，，故， ，即，即， . 故答案为：2. 【点睛】本题考查了函数的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用判别式法是解题关键. 题型七、分段函数的值域问题 典例7 （25-26高三上·安徽合肥·阶段检测）定义，函数，若在区间上的值域为，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】根据已知得，画出函数图象，根据值域端点值求出对应的自变量，讨论确定的最大值. 【详解】当时，解得或， 由题意可得当或时，，当时，， 即，作出的图象如图所示： 当时，，令，解得，令，无解， 当时，，令，解得，令，解得， 当时，，令，解得，令，解得， 由图知：当，时，的值域为， 此时的最大值为； 当，时，的值域为，此时， 因为，所以的最大值为. 故答案为：. 题型模版 1.特征：自变量不同区间对应不同解析式，整体由多段基础函数拼接构成 2.方法：分段求解每一段解析式在对应区间内的值域，将各段值域取并集得到整个函数的值域 变式7-1（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数 ①若，则的值域为________； ②若的值域为，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】①分别根据反比例函数和二次函数的性质求出两段函数的值域即可；②作出函数的函数图象，根据函数图象再结合函数的值域列出不等式组，即可得解. 【详解】若，则， 当时，，则， 当时，， 综上，若，则的值域为； 如图，作出函数的函数图象， 令，解得或， 由图可知，要使函数的值域为， 则，解得， 所以若的值域为，则实数m的取值范围是. 故答案为：；. 变式7-2（25-26高一上·北京·期中）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数形结合，作出两个函数图象，再对其定义域讨论分析即可. 【详解】作出函数的图象，如下图：    可求得两图象交点坐标分别为， 当时，解得， 所以当时，由在定义域的值域是， 但是当时，由在定义域的值域就是的真子集， 而此时在定义域的值域为， 此时不满足题意，故AC错误； 又当，解得或 再当时，在定义域的值域为， 而在定义域的值域就是， 此时满足题意，故B错误，D正确； 故选：D. 变式7-3（25-26高一上·重庆万州·阶段检测）（多选）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间的长度可以是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】首先根据题意得到，再画出图象，结合图象求解即可. 【详解】因为，若函数， 所以， 如图所示：实线部分为函数的图象，，. 在区间上的值域为， 令，解得，即， ，解得或（舍去），即， 令，即， 令，解得，即， 令，解得，即， 因为， 所以的长度的最小值为，的长度最大值为. 故选：ABC 题型八、复杂型的函数值域问题 典例8 已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性可列关于、、的方程组，然后转化为关于或的函数可解决此题． 【详解】由题意得在，上单调递减， 因为函数的值域为，， 所以， ， ， ， ， ， ， ， ，结合可得：，， ，． 故选：． 题型模版 1.特征：同时包含根式、分式、绝对值、复合结构的复合型函数，单一方法无法直接求解 2.方法：拆分复合结构分步化简，综合使用换元、单调性、数形结合、判别式多种方法联合求解值域 变式8-1设函数，函数，，其中为常数，且，令函数为函数和的积函数. （1）求函数的表达式，并求其定义域； （2）当时，求函数的值域 （3）是否存在自然数，使得函数的值域恰好为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由. 【答案】（1）定义域为；（2）；（3）存在， 【分析】（1）根据题意得的，再计算定义域得到答案. （2）设，化简得到，根据函数单调性得到值域. （3）计算当时，且时，根据单调性得到不等式，计算得到答案. 【详解】（1），定义域为 （2），设 根据双勾函数性质知函数在单调递增，故，故值域为 （3）存在；根据（2）知，， 根据双勾函数性质知函数在单调递增，上单调递减. 当时，且时，函数的值域恰好为 故，构成的集合为 【点睛】本题考查了函数的解析式，值域，意在考查学生对于函数知识的综合应用. 变式8-2已知函数 (1)求函数的值域； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，函数的值域为，求实数t的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）分离常数法求解值域；（2）参变分离法求解恒成立问题中的参数范围；（3）分析单调性，根据值域与定义域的对应关系求解的范围. 【详解】（1），又，则，故值域为：； （2）因为在上恒成立，所以在上恒成立，又因为，所以，则； （3）在上单调递增，因为时，值域为，所以，，所以是方程的两个不相等的正根，所以有两个不相等的正根，所以且，解得：，所以. 【点睛】本题考查函数的综合问题，难度较难.恒成立问题求解参数范围需要注意：若恒成立，则有；若恒成立，则有. 变式8-3已知,当时,的值域为,且. (1)若,求的最小值; (2)若,求的值; (3)若,且,求的取值范围. 【答案】(1)；(2)15；(3). 【分析】(1)由题意结合函数的单调性可得的最小值; (2)由题意结合函数的单调性分类讨论求解实数a的值即可； (3)由题意结合函数的单调性和函数的最值得到关于a的不等式组，求解不等式组即可确定实数a的取值范围. 【详解】(1)∵，∴在区间上单调递增，∴， ∴当时，即的最小值是； (2)∵当时，在上单调递减，在上单调递增， ∴ . ①当，即时，在单调递增， ∴，（舍去）； ②当，即时，的最小值是， ∴，（舍去）； ③当，即时，在单调递减， ∴，． 综上可得：． (3)①若，即时，在单调递增， ∴ ，无解； ②当即时在递减，在递增， ∴ ③当，即时，函数在区间上单调递减， ∴ ，无解； 综上可得：. 【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数值域的求解，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．下列值域是的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分别求出各函数的值域，从而确定正确答案. 【分析】A选项：值域为，故A错误； B选项：值域为，故B错误； C选项：的定义域为， 在定义域上为增函数，故值域为，故C正确. D选项：对于，由， 解得或，所以的定义域为， 由得，故值域为，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一下·吉林四平·开学考试）取整函数不超过x的最大整数，如，已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论和三种情况，利用基本不等式求得的取值范围，进而利用取整函数的定义即可得解. 【详解】因为， 当时，； 当时，， 又，当且仅当，即时取等号， 所以或2； 当时，， 又，当且仅当，即时取等号， 所以或1， 综上，得的值域为 故选：C. 3．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，则，可得，可得出，利用二次函数的单调性可求出的值域. 【详解】令，则，可得， 所以， 因为二次函数在上为增函数， 当时，，故函数的值域为. 故选：D. 4．（23-24高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法结合二次函数的基本性质可求得原函数的值域. 【详解】令，可得，即， 所以， 因为函数在上为增函数，故， 即函数的值域为. 故选：C. 5．（25-26高一上·江苏·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，且，设，由得到，将函数两边平方，得到，设，利用二次函数的图像求出的范围，将代入得到，根据的范围求出的范围，根据的范围和求出的范围即可得解. 【详解】，，，， 设，则， 可得， 设，则 ，，，，， ，，，， 的值域为. 故选：C. 二、多选题 6．（25-26高一上·安徽合肥·期中）下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分别求出各选项中函数的定义域与值域，可得符合题意的选项. 【详解】对于A：的定义域与值域均为R，故A符合； 对于B：的定义域为，值域为，故B不符合； 对于C：的定义域与值域均为，故C符合； 对于D：的定义域为， 值域：令，则，原式为， 根据二次函数的性质可知，，故D符合. 故选：ACD. 7．（24-25高一上·全国·课后作业）与函数值域相同的函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据基本不等式确定函数的最值，从而得其值域，再结合二次函数、绝对值函数、对勾函数、一次函数的性质确定函数值域即可得答案. 【详解】当时，函数，当且仅当时，等号成立，则的值域为， 对于A，函数，当时有最小值，故其值域为，故A正确； 对于B，因为，则，则的值域为，故B错误； 对于C，因为，所以， 当且仅当时，等号成立，故的值域为，故C正确； 对于D，当时，函数，其值域为，故D错误． 故选：AC. 三、填空题 8．函数的值域是______． 【答案】 【分析】分离常数后，即可求解. 【详解】因为，所以， 故所求值域为． 故答案为：. 9．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是_____. 【答案】 【分析】由换元法和判别式法即可求解. 【详解】解法一：（换元法）令，则， ，由图可知： ，即值域为. 解法二：（判别式法） 将函数化为 ①时，方程不成立； ②时，由得， 解得： 综上： 所以函数的值域为. 10．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为：______． 【答案】 【分析】求出函数定义域，再利用判别式法求出函数值域即可. 【详解】由于恒成立，所以原函数定义域为， 由，得， 当时，，符合题意； 当时，由，得恒有实数根， 因此，解得且， 所以函数的值域为 故答案为： 11．（25-26高一下·福建漳州·期中）函数的最大值为________． 【答案】 【详解】由，解得， 的定义域为，且. 由柯西不等式得，，当且仅当即时等号成立； ，即的最大值为. 四、解答题 12．求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】选用分离常数法和反表示法即可求解； 【详解】（1）解法1：，因为，所以． 解法2：由于，则，故． （2）解法1：，因为，所以，故． 解法2：由于，则，因为，所以，解得，即． 13．（25-26高一上·全国·期中）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用观察法求值域； （2）利用配方法求值域； （3）利用换元法求值域； （4）利用分离常数法求值域； （5）利用基本不等式法求值域； 【详解】（1）因为，所以．故值域为． （2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为． （3）令，则，且， 所以（）．故函数的值域． （4），其中，， 当时，． 又因为，所以． 故函数的值域为． （5）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8． 故函数的值域为． 14．（23-24高一上·江苏苏州·阶段检测）求下列函数的值域： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由结合基本不等式得出值域； （2）由换元法结合二次函数的性质得出值域. 【详解】（1）解：，故. 当且仅当时“”成立，值域为. （2）设, 则. ， 对称轴为，由二次函数的性质可知，故值域为. 15．求函数的值域． 【答案】 【分析】利用换元法求值域即可. 【详解】函数的定义域为， 令，则， 原函数变为， 当时，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以当或时，， 即当时，； 当时，， 因为在上单调递增，所以， 即当时，， 综上所述，函数的值域为. 16．（25-26高三·全国·一轮复习）求下列函数的值域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将函数化为，利用基本不等式即可求解； （2）将函数化为，先求出的范围即可求出函数的值域. 【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以函数的值域为. （2）由，得， 由，得， 所以， 所以函数的值域为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 函数的值域 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、常见函数的值域 题型五、单调性法求函数的值域 题型二、根式型函数的值域问题 题型六、判别式法求函数的值域 题型三、一次分式型函数的值域问题 题型七、分段函数的值域问题 题型四、二次分式型函数的值域问题 题型八、复杂型的函数值域问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 函数值域求解是高中函数板块核心重难点，全部题型围绕基本初等函数固有值域、函数单调性变换、分式结构变形、根式换元处理、分段区间拆分五大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是求解值域必须优先锁定函数定义域，二是变形换元过程全程保证等价转化无增域丢域，所有值域求解结果最终均需要结合定义域核验取值边界. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、常见函数的值域 典例1 （25-26高三·全国·一轮复习）填空： （1）已知，，求值域_____； （2）已知，，求值域_____； （3）已知求值域_____. 题型模版 1.特征：题干为一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等课本标准基础函数，给定固定定义域求取对应输出范围 2.方法：熟记各类基础函数图像与固有值域，结合定义域截取图像对应区间，直接读出最值完成值域求解 变式1-1（25-26高一上·安徽合肥·期末）（多选）下列函数定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 变式1-2（25-26高一上·天津·期中）函数的值域为___________； 变式1-3（25-26高一上·广东清远·期中）（多选）下列函数中值域为的有（    ） A． B． C． D． 类型二、根式型函数的值域问题 典例2 （25-26高一下·河北保定·阶段检测）函数的值域为______. 题型模版 1.特征：解析式内含f(x)的根式结构，包含单根式、一次式嵌套根式、二次式嵌套根式两类形式 2.方法：采用整体换元法，令，将原式转化为普通一次、二次函数，结合的取值范围求解值域 变式2-1（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）函数的最大值为______. 变式2-2（25-26高一上·四川达州·期中）函数的值域为________. 变式2-3（25-26高一上·天津·期中）函数的值域为_____. 题型三、一次分式型函数的值域问题 典例3 （25-26高一上·河南·期中）函数在区间上的值域为______. 题型模版 1.特征：函数形式为，分子分母均为一次整式 2.方法：分离常数法拆分解析式，结合反比例函数图像特征，排除函数取不到的数值，书写值域区间 变式3-1（2025高一上·吉林长春·专题练习）函数的值域为_____. 变式3-2（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为____________ 变式3-3（25-26高一上·福建莆田·期中）函数的值域为_________. 题型四、二次分式型函数的值域问题 典例4 函数的值域是______. 题型模版 1.特征：分子、分母至少有一侧为二次多项式，整体构成有理分式函数 2.方法：分子分母齐次优先分式上下同除结合基本不等式；非齐次结构整理为一元二次方程，使用判别式法求解范围 变式4-1（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是______． 变式4-2（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是__. 变式4-3（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的值域为______． 题型五、单调性法求函数的值域 典例5 （25-26高一上·陕西汉中·期中）函数的值域是__________. 题型模版 1.特征：复合函数、单调叠加型函数（增+增、减+减），可通过定义或者导数判定整体单调区间 2.方法：先求定义域，判定函数在定义域内单调增减性，代入区间左右端点计算最值，直接写出值域 变式5-1（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数，则函数的值域是___________. 变式5-2（25-26高三上·山西太原·阶段检测）已知函数，则的值域为_________. 变式5-3（24-25高二下·江西南昌·期末）已知函数 ，则函数的值域为_________． 题型六、判别式法求函数的值域 典例6 若函数的最大值为，最小值为，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 题型模版 1.特征：分式函数分子分母最高次数为二次，定义域为全体实数，可整理成关于的一元二次方程 2.方法：将函数整理为形式，依据存在实数解满足，解不等式得到的取值范围 变式6-1求函数的最大值、最小值. 变式6-2已知，且，则的取值范围是___________. 变式6-3设非零实数a，b满足，若函数存在最大值M和最小值m，则_________. 题型七、分段函数的值域问题 典例7 （25-26高三上·安徽合肥·阶段检测）定义，函数，若在区间上的值域为，则的最大值为__________． 题型模版 1.特征：自变量不同区间对应不同解析式，整体由多段基础函数拼接构成 2.方法：分段求解每一段解析式在对应区间内的值域，将各段值域取并集得到整个函数的值域 变式7-1（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数 ①若，则的值域为________； ②若的值域为，则实数m的取值范围是________． 变式7-2（25-26高一上·北京·期中）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式7-3（25-26高一上·重庆万州·阶段检测）（多选）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间的长度可以是（   ） A．1 B． C． D． 题型八、复杂型的函数值域问题 典例8 已知函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：同时包含根式、分式、绝对值、复合结构的复合型函数，单一方法无法直接求解 2.方法：拆分复合结构分步化简，综合使用换元、单调性、数形结合、判别式多种方法联合求解值域 变式8-1设函数，函数，，其中为常数，且，令函数为函数和的积函数. （1）求函数的表达式，并求其定义域； （2）当时，求函数的值域 （3）是否存在自然数，使得函数的值域恰好为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由. 变式8-2已知函数 (1)求函数的值域； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，函数的值域为，求实数t的取值范围. 变式8-3已知,当时,的值域为,且. (1)若,求的最小值; (2)若,求的值; (3)若,且,求的取值范围. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．下列值域是的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·吉林四平·开学考试）取整函数不超过x的最大整数，如，已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏苏州·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（25-26高一上·安徽合肥·期中）下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·全国·课后作业）与函数值域相同的函数有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．函数的值域是______． 9．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是_____. 10．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为：______． 11．（25-26高一下·福建漳州·期中）函数的最大值为________． 四、解答题 12．求下列函数的值域： (1)； (2)． 13．（25-26高一上·全国·期中）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 14．（23-24高一上·江苏苏州·阶段检测）求下列函数的值域： (1) (2) 15．求函数的值域． 16．（25-26高三·全国·一轮复习）求下列函数的值域： (1)； (2). 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $