2.3　解直角三角形 教学设计 2026——2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦解直角三角形核心知识，通过祭奠烈士的山坡高度等实际情境导入，结合回顾直角三角形边角关系的旧知搭建学习支架，引导学生从已知锐角和一边求其他边的问题自然过渡到新课。 特色是用“涉斜选弦，无斜选切”策略突破边角关系选择难点，通过探究、例题及分类讨论拓展题，培养学生数学思维（推理与运算能力）和数学眼光（从现实抽象数学问题），助学生掌握解题方法，为教师提供清晰教学流程和实效策略。

2.3　解直角三角形 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 课题 2.3　解直角三角形 授课人 教 学 目 标 　　1.使学生理解直角三角形中除直角外5个元素的关系,会综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 2.通过实际问题的情境,让学生感受到在生活中解直角三角形知识的实际意义. 3.通过学习解直角三角形,归纳出解直角三角形的两种类型. 4.发展学生的数学应用意识,提高归纳能力,感受解直角三角形的策略. 教学 重点 　　解直角三角形的有关知识. 教学 难点 　　选择恰当的边角关系,解直角三角形. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 　　如图2-3-5,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别记作a,b,c. 图2-3-5 两锐角之间的关系:∠A+∠B=90°. 三边之间的关系:a2+b2=c2. 边角之间的关系:sinA=,cosA=,tanA=. 　　学生回忆并回答,为本课的学习提供迁移或类比方法. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 　　1.△ABC中,若∠C=90°,∠A=30°,c=10 cm,则a=　5　cm,b=　5　cm.  2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=40°,c=10 cm,那么由sinA=,得a=c·sinA=　10sin40°　cm,由cosA=,得b=c·cosA=　10cos40°　cm.  3.清明节时,某中学的近千名师生到龙山烈士陵园祭奠抗战烈士.如图2-3-6,山坡的坡面AB=200米,坡角∠BAC=30°,该山坡的高BC为多少米? 图2-3-6 [答案:100米] 　　鼓励学生独立解决问题,让学生初步感受已知一锐角和一边可以求出其他边. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 (多媒体出示) 涉“斜”选“弦”的策略:当已知和所求涉及直角三角形的斜边时,应选择与斜边相关的已知角的正弦、余弦.我们把它叫作涉斜(涉及斜边)选弦(选正弦、余弦)的策略. 如图2-3-7,在Rt△ACB中,∠C=90°,AB=10,sinA=,则BC的长为 (　A　) 图2-3-7 A.6　　　　　B.7.5　　　　　C.8　　　　　D.12.5 [解析]　因为∠C=90°, 所以sinA=, 所以BC=AB·sinA=10×=6. 【探究2】 (多媒体出示) 无“斜”选“切”的策略:若已知和所求均未涉及斜边,则要选择与斜边无关的边角关系式——正切,这种方法称之为无“斜”(斜边)选“切”(正切)的策略. 图2-3-8 如图2-3-8,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=20,则BC的长约为(结果精确到0.1) (　B　) A.34.4 B.34.6 C.28.3 D.17.3 [解析] 由tanA=可得BC=AC·tanA=20≈34.6. [活动总结] 涉“斜”选“弦”,无“斜”选“切”. 　　 本活动的设计意在引导学生通过自主探究,合作交流,恰当地选择边角关系式,使其对具体问题的认识从形象到抽象,训练学生能从实际问题中抽象出数学知识.旨在培养学生发现问题的意识,提高学生的抽象思维能力. 【应用举例】 例1　在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,BC=,解这个直角三角形. 解:AB===2. 因为tanA===, 所以∠A=30°,所以∠B=60°. 例2　在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,∠A=30°,解这个直角三角形. 解:因为∠C=90°,∠A=30°, 所以∠B=90°-30°=60°. 因为cosA=,所以AB===. 因为tanA=,所以BC=AC·tanA=10×tan30°=. 变式　在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=72°,AB=10,则边AC的长约为(精确到0.1) (　C　) A.9.1 B.9.5 C.3.1 D.3.5 [解析] 在Rt△ABC中,cosA=,所以AC=AB·cosA=10×cos72°≈3.1.故选C. 　　1.例1是已知两边解直角三角形,注意已知两边解直角三角形的方法技巧. 2.例2及其变式是已知一边及一锐角解直角三角形.注意已知一边及一锐角解直角三角形的方法技巧. 活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例3　在Rt△ABC中,∠BAC=90°,有一个锐角为60°,BC=6.若点P在直线AC上(不与点A,C重合),且∠ABP=30°,则CP的长为　2或4或6　.  [解析] (1)如图2-3-9①②,当∠ABC=60°时,因为∠ABP=30°,所以点P在线段AC上或在线段CA的延长线上. 当点P在线段AC上时,如图①. 在Rt△ABC中,因为sin∠ABC=,cos∠ABC=, 所以AC=BC·sin60°=6×=3,AB=BC·cos60°=3. 在Rt△BAP中,因为∠ABP=30°,tan∠ABP=, 所以AP=AB·tan30°=3×=,所以CP=3-=2. 当点P在线段CA的延长线上时,如图②.同理AC=3,AP=,所以CP=3+=4. (2)如图③,当∠ACB=60°时,因为∠BAC=90°, 所以∠ABC=90°-∠ACB=30°=∠ABP,所以点P在线段CA的延长线上. 易得BC=BP. 又因为∠ACB=60°,所以△CBP是等边三角形,所以CP=BC=6. 图2-3-9 　　例3是需要画图后解直角三角形的问题,画图时需要分类讨论,注意解答时不要漏解. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.教材P76练习中的T1,T2,T3. 2.教材P77习题2.3中的T1,T2,T3. 3.补充练习. (1)如图2-3-10,在Rt△ABC中,CA=CB,AB=9,点D在BC边上,连接AD.若tan∠CAD=,则BD的长为　6　.  图2-3-10 (2)如图2-3-11,在△ABC中,∠A=45°,∠B=30°,CD⊥AB,垂足为D,CD=1,则AB的长为 +1　.  图2-3-11 　　通过设置达标测评,及时反馈学习效果. 活动 三: 课堂 总结 反思 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 　　①[授课流程反思] 本节课采用来源于学生身边的问题作为新课导入,题型新颖,深受学生喜爱,有利于调动学生学习解直角三角形的积极性. ②[讲授效果反思] 解直角三角形是重点,而选择恰当的边角关系式则是难点,为了突破此难点,本节课选择了两个例题让学生探究、讨论,总结出选择边角关系式的策略:有“斜”选“弦”,无“斜”选“切”;避“除”就“乘”,能“正”不“余”.由于有这些例题的引导,学生对于两种类型的解直角三角形问题的掌握,应该没有问题,建议把补充练习安排给成绩中等及以上的学生. ③[师生互动反思]     ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　 　　　　　　　　  　　错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　  　　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $