2.3 解直角三角形 课件 2026-2027学年湘教版 数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“解直角三角形”核心知识点，通过回顾锐角三角函数及特殊角值，结合直角三角形三边关系、锐角关系、边角关系的探究，搭建从旧知到新知的学习支架，明确解直角三角形的定义及已知元素（至少1边）求未知元素的条件。 其亮点在于通过例题、随堂诊断及分类总结（已知两边、一边一角），培养数学思维中的运算能力和推理意识，如例2用方程思想结合勾股定理求解，练习3引导用计算器求角度。课堂小结结构化梳理基本类型，帮助学生形成模型意识，既提升学生解决问题的能力，也为教师提供系统的教学资源和方法。

湘教·九年级上册 2.3 解直角三角形 新课导入 在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因而人们经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题. 对于这类问题，我们一般利用锐角三角函数的有关知识来解决. 任意给定一个锐角 α ，它的正弦sin α(或余弦cos α，或正切tanα)都有唯一确定的值与它对应，并且当锐角 α 变化时，相应的sinα(cosα，tanα)的值也随之变化，习惯上把锐角的正弦、余弦和正切统称为锐角三角函数. 什么是锐角三角函数？ 下列特殊角的三角函数值分别是什么？ α 30° 45° 60° sinα cosα tanα 1 说一说 探究新知 如图2.3-1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c . 1.直角三角形的三边之间有什么关系？ a2+b2=c2(勾股定理) 2.直角三角形的锐角之间有什么关系？ ∠A+∠B=90° A B C a b c 图2.3-1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c . 3.直角三角形的边和锐角之间有什么关系？ A B C a b c 图2.3-1 总结 (1) 三边之间的关系a2+b2=c2(勾股定理) (2) 两锐角之间的关系∠A+∠B=90° (3) 边角之间的关系 B A C a b c 例1：如图2.3-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=5. 求∠B、b、c. 解：∠B=90°－∠A=90° －30°=60°. 因为 所以 因为 所以 还可以用勾股定理求c. A B C a b c 30° 图2.3-2 随堂诊断 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=12. 求∠B、b、c. A B C a b c 解：∠B=90°－∠A=90° －30°=60°. 因为 所以 因为 所以 在直角三角形中，除直角外有5个元素(即3条边、2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有1个是边) ，就可以求出其余的 3 个未知元素. 像这样，由直角三角形中已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形. 总结 A B C a b c 例2：如图2.3-3，在Rt△ABC中，∠C=90°， cos A= ，BC=5，试求 AB 的长. A B C 解：因为∠C=90°，cos A= ， 所以 设AB=x，则AC= x. 又AB2=AC2+BC2， 所以 因此 所以AB的长为 . 于是 图2.3-3 随堂诊断 A B C a b c 2.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，b= ，c= 求∠B、 ∠C、 a. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得 因为 所以 ∠C = 30°. 所以∠B=90°－∠C=90°－30°=60°. 3.如图，在△ABC中，∠B=45°， ∠C =30°，AB= ，求AC、 BC的长. A B C 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D. D 在Rt△ABD中， ∠B=45°， 所以 AD=BD=AB·sin B= ·sin45°=4. 在Rt△ACD中， ∠C=30°， AC = 2AD = 8， 所以BC=BD+CD = 解直角三角形的基本类型和方法 已知条件 图示 解法步骤 两边 两直角边 斜边和一直角边 已知条件 图示 解法步骤 一边一角 一锐角和一直角边 两直角边 斜边和一直角边 已知条件 图示 解法步骤 一边一角 一锐角和一斜边 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，b=3 cm，求a，c. 解：∠A=90°－∠B=90°－45°= 45°. 所以 a = b = 3 cm. 因为 所以 练习 C A B a c b 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， c=16cm，求a，b. 解：根据题意作Rt△ABC ， 因为 所以 a=c·sin A=16·sin30°=8 cm. 又因为 所以 C A B a b c=16 3. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，a=6cm ， c=10cm，求b，∠A，∠B (可利用计算器求角度，精确到1°). 解：在Rt△ABC中，由勾股定理可知 因为 所以 ∠A≈37°. 所以∠B=90°－∠A=90°－37°=53°. C A B a c b 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B的 平分线BD的长为8，求这个三角形的三条边的长． 所以 解：如图所示，由题意可知： ∠CBD= ∠ABC= ×(90°－30°)=30° 所以 所以 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30° A 30° C B D 5. 如图，在三角形纸片ABC中，∠C = 90°， AC=6，折叠该纸片，使点 C 落在AB边上的 D 点处，折痕 BE 与 AC 交于点 E，若 AD = BD，则折痕 BE的长为多少？ 解：因为△BDE是由△BCE翻折而成， 所以BC=BD，∠BDE=∠C=90°， 因为AD=BD， 所以AB=2BC，AE=BE， 所以∠A=30°， 在Rt△ABC中，AC=6， 所以BC=AC·tan30°= 设BE=x，则CE=6-x， 在Rt△BCE中， 因为 所以 解得x=4，即BE=4． 课堂小结 解直角三角形 由直角三角形中已知元素求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形. 两边：两直角边或斜边和一直角边 一边一角：一锐角个位斜边、一锐角个一直角边(邻边或对边) $