第04讲 基本不等式（复习讲义）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦基本不等式核心考点，涵盖不等式理解、直接求最值、配凑法、二次商式最值、证明、实际应用及恒成立求参等题型，按“知识解构-题型破译-真题溯源”逻辑构建体系。通过考情分析、知识框架搭建、题型技巧归纳、分层训练等环节，帮助学生系统突破“一正二定三相等”难点。 讲义创新采用“题型-方法-素养”三维教学策略，如通过“1”的代换和配凑法训练培养数学思维，结合实际应用题型发展模型意识与应用意识。设置基础演练与重难创新分层练习，配合真题溯源与课本典例迁移，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第04讲 基本不等式 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 基本不等式 知识点2 利用基本不等式求最值 知识点3 几个重要不等式 题型破译 题型1 基本不等式的理解及常见变形 【方法技巧】直接用基本不等式求和或积的最值 题型2 直接用基本不等式求和或积的最值 【方法技巧】直接用基本不等式求和或积的最值 题型3 巧用“1”或常数关系及拼凑法求最值 【方法技巧】巧用“1”或常数关系及拼凑法求最值 题型4 二次与二次（一次）的商式求最值 题型5 利用基本不等式证明 题型6 基本不等式的实际应用 题型7 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 直接法求最值 —— 配凑法求最值 北京卷T6（4分） 北京卷T9（4分） 基本不等式恒成立求参 考情分析 北京卷中基本不等式常在选择题考查，分值4分，难度中等。核心考查基本不等式的直接应用、配凑使用，以及与函数最值、恒成立等问题的结合。重点突出 “一正（各项为正 ）、二定（和或积为定值 ）、三相等（等号能取到 ）” 的条件验证，因忽视等号成立条件、配凑不当致错是常见易错点 复习目标 1.理解掌握基本不等式的推导逻辑，牢记 “一正二定三相等” 适用条件，能准确判断使用场景。 2.熟练运用基本不等式，对简单函数（如分式函数、和式函数 ）求最值，掌握配凑系数、拆分项、换元等技巧，构造符合基本不等式条件的形式，突破复杂最值、恒成立问题，提升转化与化归能力。 3.结合对勾函数、指对函数等函数单调性，灵活运用基本不等式。 4.在三角函数、函数、数列、解析几何综合问题中，灵活运用基本不等式分析不等关系、求解最值，强化综合解题能力。 5.掌握基本不等式链及其应用 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 基本不等式 基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 自主检测（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立.的最大值为 知识点2 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 自主检测（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，且， 所以， 当且仅当且时等号成立，由得（舍去）， 代入，解得，所以当时，的最小值为. 知识点3 几个重要不等式 1.（a，）（当且仅当时取等号）. 变形式： （a，）（当且仅当时取等号）. 2.基本不等式： （，）（当且仅当时取等号）. 变形式：（，），（a，）（当且仅当时等号成立）. 3.（a，b，）（当且仅当时取等号）. 4.若，则，（当且仅当时取等号）. 自主检测设，下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，，即； ，得，即，故A正确； 对于B，，由均值不等式得，即，，故B正确； 对于C、D ，，由均值不等式得，； ，即，故C错误，D正确. 题●型●破●译 题型1 基本不等式的理解及常见变形 【例1】下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选C． 方法技巧 直接用基本不等式求和或积的最值 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 【变式1】下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即，无解，等号不成立． 故选. 【变式2】下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A：若，则恒成立，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B：若，则，则，故B错误； 对于C：因为， 又因为，故成立，故C正确； 对于D：若，则，此时，故D错误. 故选：C． 题型2 直接用基本不等式求和或积的最值 【例2】（25-26高二下·河北保定·阶段检测）已知点满足，则的最小值为（ ） A． B． C．16 D．不存在 【答案】A 【解析】，当且仅当等号成立. 方法技巧 直接用基本不等式求和或积的最值 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 【变式1】已知正数，满足，则的最大值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【解析】因为，解得，当且仅当，即时等号成立. 【变式2】若正数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为正数a，b满足，所以， 即，当且仅当时取“＝”，所以的最大值为.故选 【变式3】设为正实数，若，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】因为为正实数，故由基本不等式可得， 故，当且仅当时等号成立，故的最小值为.故选B. 题型3 巧用“1”或常数关系及拼凑法求最值 【例3】已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【解析】因为实数，，满足， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是.故选：A. 方法技巧 巧用“1”或常数关系及拼凑法求最值 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 【变式1】的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【解析】因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 【变式2】已知，均为正数且，则的最小值为（   ） A．5 B． C．4 D．9 【答案】B 【解析】由题意得， 当且仅当，即时等号成立.故选：B. 【变式3】已知是两个正数，且，则的最小值为（   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【解析】由于是两个正数，故， 当且仅当，即时取到等号，故选A 题型4 二次与二次（一次）的商式求最值 【例4】若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【解析】因，则， 于是得， 当且仅当，即时取“=”， 所以当时，有最大值，故选A 【变式1】已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 又因为，所以，所以， 当且仅当时，即时等号成立， 所以， 即y的最大值是.故选：D. 【变式2】若函数在处取最小值，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】C 【解析】由题意，，而 ，当且仅当，即时，等号成立，所以.故选：C. 题型5 利用基本不等式证明 【例5】已知，． (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 【证明】（1）因为，， 所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立. （2）因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【变式1】已知实数满足，若，求证：. 【证明】因为，所以， 因为，所以， 又，即，当且仅当时等号成立， 整理得，所以. 【变式2】已知证明： (1) (2) 【证明】（1）因为，所以，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立． 故，当且仅当时，等号成立． （2）因为，所以． ， 当且仅当时，等号成立． 题型6 基本不等式的实际应用 【例6】如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解析】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，， 则总造价， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低，故选C. 【变式1】据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【解析】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ， 当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元．故选：B． 【变式2】某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，，则， 因为，即 所以，所以，当且仅当时取等号.故选：B. 【变式3】设计用的材料制造某种长方体车厢（无盖），按交通法规定厢宽为2m，则车厢的最大容积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设长方体车厢（无盖）的长为，高为，， 则由题得，即， 所以， 即，当且仅当时等号成立， 由，解，得，即， 因为车厢的容积为且，仅当时等号成立，所以车厢的最大容积是. 故选：D. 题型7 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 【例7】已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且， 则， 当且仅当，即时等号成立， 因为恒成立，可得，解得， 所以实数m的取值范围是，故选D． 【变式1】若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】∵，则， 原题意等价于对任意恒成立， 由，，则， 可得， 当且仅当，即时取得等号， ∴，解得． 故正实数的取值集合为，故选A． 【变式2】若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故，即，解得， 即实数的取值范围是. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1.（2025·北京T6）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确，故选C 2．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. .课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ， 所以，， 当且仅当，即时，等号成立； 所以的最大值是，故选：B 2．已知x，y都是正数，且，求证 (1) (2) 【解】（1）证明：因为x，y都是正数，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立，由于，所以 （2）因为x，y都是正数，且，所以， 又，所以，即. 3．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是小于，等于，还是大于？为什么？ 【解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则， 再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，，， ， 当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即. 因此，顾客购得的黄金大于. 4．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.设，求的最大面积及相应的值. 【解】由题意可知，矩形的周长为，，即， 设，则，，而为直角三角形， ∴，∴，∴， ∴ . 当且仅当，即，此时满足， 即时的最大面积为. 5．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元．受地域影响，AD的长度最多能达到，其余边长没有限制． (1)设总价为（单位：元），AD长为（单位：），试建立关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？并求出这个最小值． 【解】（1）设，又，， 则，∴， ∴ （2）由（1）得， 利用均值不等式得， 当时，即时等号成立， 所以当时，S最小，最小值为118000元. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1.当（   ）时，函数取得最小值． A．1 B．1 C．1 D．2 【答案】C 【解析】依题意，，，当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数取得最小值. 2．（2026·湖南株洲·模拟）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【解析】 ， 当且仅当，即，结合解得当且仅当，时取等号， 因此的最小值为9. 3．（2026·四川绵阳·三模）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由题可知，若，则，当且仅当“”时取“”， 则；若取，满足，但， 故“”是“”必要不充分条件. 4．若，则有（    ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 【答案】D 【解析】由题意得， 因为，所以，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时取等，此时解得， 则有最小值4，故D正确. 5．若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（   ） A． B．8 C．16 D． 【答案】C 【解析】设直角三角的两条直角边分别为， 因为直角三角形的面积为32，所以，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以两条直角边的和的最小值是，故选C 6．哈尔滨地铁某环线12月份地铁票销售总量与时间的关系大致满足，则该环线前天平均售出的张数最少为（    ） A．2019 B．2040 C．2021 D．2022 【答案】B 【解析】依题意该环线线前天平均售出的张数为， 因，，当且仅当时等号成立， 即该环线前天平均售出的张数最少为2040张，故选B. 7．若，则的最小值为（    ） A． B． C．20 D．40 【答案】C 【解析】由，得同号，且， 则，即，当且仅当时取等号， 所以的最小值为20，故选C 8．已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为135°，则的最大值为（   ） A．9 B．4 C．3 D． 【答案】A 【解析】因为直线过点和，且倾斜角为135°， 所以，得， 因为点在第一象限，所以， 所以，得，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为，故选A 9．设均为正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】4 【解析】 ， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故最小值为4. 10．已知，则的最小值为________. 【答案】 【解析】，. 由于，，则，当且仅当时取等号. 11．已知，，向量，，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】∵∴ ∴， 当且仅当，即时取等号，又因为，所以，时， 有最小值，为. 12．函数的最小值为__________. 【答案】 【解析】因为, 当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为. 重难·创新演练 1．已知正实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由a，b为正实数且. 根据基本不等式，当且仅当时等号成立，故A正确； ，当且仅当时等号成立，故B错误； ，当且仅当时等号成立，故C错误； 根据算术平均值小于等于平方平均值不等式，得， 当且仅当时等号成立，即，故D错误. 2．不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可得对任意恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则，所以，则的最小值为． 3．现有一支队伍，设其全长为，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令需赶赴排头，到达后立即返回，往返速度均为，如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则的最小值为（     ） A． B． C． D．4 【答案】C 【解析】已知传令兵的行进速度为， 则传令兵从排尾到排头所需时间为，从排头到排尾所需时间为， 则往返共用时间，即①， 由传令兵回到排尾时，全队正好前进了，得②， 由①②得，解得，（舍去）， 所以，当且仅当时等号成立． 4．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，且， 所以，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 5．已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，当且仅当时，等号成立. 6．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系，其中（m）为安全距离，v（m/s）为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（   ） A．116 B．118 C．119 D．122 【答案】A 【解析】由题知 ， 当且仅当，即时取“＝”， 所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为116． 7．圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【解析】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立，的最小值为4. 8．已知向量，，且，若均为正数，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．24 【答案】C 【解析】由，得，即，又均为正数， 则， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值是8. 9．当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且满足，， 即， 则，即，当且仅当时，等号成立， 又因为恒成立，所以，即， 即，解得. 10．已知为正数，，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】由题设，则， 求的最小值，即求的最小值，其中， 由， 当且仅当，即时取等号， 综上，的最小值为. 11．已知函数，且在上恒成立，则实数的最小值为___________． 【答案】 【解析】当时，，当且仅当时等号成立 ．又，即实数的最小值为-3． 12．已知的最小值为______． 【答案】 【解析】因为，所以． 所以 当且仅当，且，即时等号成立． 故的最小值为． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 基本不等式 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 基本不等式 知识点2 利用基本不等式求最值 知识点3 几个重要不等式 题型破译 题型1 基本不等式的理解及常见变形 【方法技巧】直接用基本不等式求和或积的最值 题型2 直接用基本不等式求和或积的最值 【方法技巧】直接用基本不等式求和或积的最值 题型3 巧用“1”或常数关系及拼凑法求最值 【方法技巧】巧用“1”或常数关系及拼凑法求最值 题型4 二次与二次（一次）的商式求最值 题型5 利用基本不等式证明 题型6 基本不等式的实际应用 题型7 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 直接法求最值 —— 配凑法求最值 北京卷T6（4分） 北京卷T9（4分） 基本不等式恒成立求参 考情分析 北京卷中基本不等式常在选择题考查，分值4分，难度中等。核心考查基本不等式的直接应用、配凑使用，以及与函数最值、恒成立等问题的结合。重点突出 “一正（各项为正 ）、二定（和或积为定值 ）、三相等（等号能取到 ）” 的条件验证，因忽视等号成立条件、配凑不当致错是常见易错点 复习目标 1.理解掌握基本不等式的推导逻辑，牢记 “一正二定三相等” 适用条件，能准确判断使用场景。 2.熟练运用基本不等式，对简单函数（如分式函数、和式函数 ）求最值，掌握配凑系数、拆分项、换元等技巧，构造符合基本不等式条件的形式，突破复杂最值、恒成立问题，提升转化与化归能力。 3.结合对勾函数、指对函数等函数单调性，灵活运用基本不等式。 4.在三角函数、函数、数列、解析几何综合问题中，灵活运用基本不等式分析不等关系、求解最值，强化综合解题能力。 5.掌握基本不等式链及其应用 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 基本不等式 基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 自主检测（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 知识点2 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 自主检测（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 知识点3 几个重要不等式 1.（a，）（当且仅当时取等号）. 变形式： （a，）（当且仅当时取等号）. 2.基本不等式： （，）（当且仅当时取等号）. 变形式：（，），（a，）（当且仅当时等号成立）. 3.（a，b，）（当且仅当时取等号）. 4.若，则，（当且仅当时取等号）. 自主检测设，下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 题●型●破●译 题型1 基本不等式的理解及常见变形 【例1】下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 方法技巧 直接用基本不等式求和或积的最值 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 【变式1】下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列结论表述正确的是（    ） A．若，则恒成立 B．若，则恒成立 C．若，，则成立 D．若，则 题型2 直接用基本不等式求和或积的最值 【例2】（25-26高二下·河北保定·阶段检测）已知点满足，则的最小值为（ ） A． B． C．16 D．不存在 方法技巧 直接用基本不等式求和或积的最值 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 【变式1】已知正数，满足，则的最大值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 【变式2】若正数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】设为正实数，若，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型3 巧用“1”或常数关系及拼凑法求最值 【例3】已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D．3 方法技巧 巧用“1”或常数关系及拼凑法求最值 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 【变式1】的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【变式2】已知，均为正数且，则的最小值为（   ） A．5 B． C．4 D．9 【变式3】已知是两个正数，且，则的最小值为（   ） A．8 B． C．4 D． 题型4 二次与二次（一次）的商式求最值 【例4】若 ，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【变式1】已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若函数在处取最小值，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 题型5 利用基本不等式证明 【例5】已知，． (1)若，证明：； (2)若，求的最小值. 【变式1】已知实数满足，若，求证：. 【变式2】已知证明： (1) (2) 题型6 基本不等式的实际应用 【例6】如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【变式1】据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式2】某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】设计用的材料制造某种长方体车厢（无盖），按交通法规定厢宽为2m，则车厢的最大容积是（    ） A． B． C． D． 题型7 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 【例7】已知，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1.（2025·北京T6）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． .课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．已知，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．已知x，y都是正数，且，求证 (1) (2) 3．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是小于，等于，还是大于？为什么？ 4．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点.设，求的最大面积及相应的值. 5．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元．受地域影响，AD的长度最多能达到，其余边长没有限制． (1)设总价为（单位：元），AD长为（单位：），试建立关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？并求出这个最小值． 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1.当（   ）时，函数取得最小值． A．1 B．1 C．1 D．2 2．（2026·湖南株洲·模拟）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 3．（2026·四川绵阳·三模）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若，则有（    ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 5．若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（   ） A． B．8 C．16 D． 6．哈尔滨地铁某环线12月份地铁票销售总量与时间的关系大致满足，则该环线前天平均售出的张数最少为（    ） A．2019 B．2040 C．2021 D．2022 7．若，则的最小值为（    ） A． B． C．20 D．40 8．已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为135°，则的最大值为（   ） A．9 B．4 C．3 D． 9．设均为正实数，满足，则的最小值为______. 10．已知，则的最小值为________. 11．已知，，向量，，且，则的最小值为__________. 12．函数的最小值为__________. 重难·创新演练 1．已知正实数a，b满足，则（    ） A． B． C． D． 2．不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．现有一支队伍，设其全长为，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令需赶赴排头，到达后立即返回，往返速度均为，如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则的最小值为（     ） A． B． C． D．4 4．已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 5．已知，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系，其中（m）为安全距离，v（m/s）为车速.当安全距离取40m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（   ） A．116 B．118 C．119 D．122 7．圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 8．已知向量，，且，若均为正数，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．24 9．当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．已知为正数，，则的最小值为_________. 11．已知函数，且在上恒成立，则实数的最小值为___________． 12．已知的最小值为______． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $