第03讲 空间向量基本定理（知识详解+3典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（人教A版选修第一册）

第03讲 空间向量基本定理（知识详解+3典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：空间向量基本定理 知识点02：用基底表示空间向量 知识点03：空间向量基本定理的应用 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：空间向量基底概念及辨析 题型02：用空间基底表示向量 题型03：空间向量基本定理及其应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】空间向量基本定理 1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 2．基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 3．单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 4．正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 注意点： (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． (2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量． (3)若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量． 【例1】已知是空间不共面的三个向量，判断向量，，能否作为空间的一组基底。 解：假设存在实数，使得，代入得： 整理得： 因不共面，对应系数相等得方程组： 该方程组无解，故不共面，能作为空间的一组基底。 【知识点02】用基底表示空间向量 选定一组不共面的向量作为基底，利用向量线性运算（加减、数乘），将目标向量拆解为基向量的线性组合，可结合空间几何图形性质简化运算。 用基底表示向量时 (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘运算的运算律； (2)若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求 【例2】在空间四边形中，设，，，为的中点，为的中点，试用基底表示。 解：由向量线性运算性质， 因为中点，；为中点， 代入得： 【知识点03】空间向量基本定理的应用 证明空间向量共面/异面、求向量线性关系、为空间几何角度（异面直线所成角）、距离求解及平行、垂直关系证明提供向量基础。 (1)证明平行、共面问题的思路 ①利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行． ②利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行． (2)求夹角、证明线线垂直的方法 利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况 【例3】已知空间基底，，，，求证：与共面。 证明：假设存在实数，使得，代入得： 整理得： 对应系数相等得方程组： 解得，，满足所有方程，即，故与共面。 【题型01】空间向量基底概念及辨析 【典例1-1】（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知是空间的一组基底，则下列向量可以与向量，构成空间的另一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用共面向量的性质逐个选项去排除，即可得到正确判断. 【详解】由于基底必是非零向量，故A错误； 由于是空间的一组基底，则与不共面， 若，与共面，则， 化简得，可得， 解得，则，与共面， 同理可证，与共面，则，与不共面， 所以,,可以构成空间的一组基底，故B正确； 由已知得，一定与共面，所以C，D错误； 故选：B 【典例1-2】（多选）（25-26高二上·陕西汉中·期末）设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（   ） A．基底中的向量可以为任意向量 B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使 C．向量可以共面 D．也可以构成空间的一组基底 【答案】BD 【分析】根据条件可得向量不共面，即可判断A和C的正误；对B，结合条件，根据空间向量基本定理，即可判断正误；对D，根据条件可得不共面，即可求解. 【详解】对于A，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故A错误， 对于B，因为向量不共面，由空间向量基本定理可知，空间中任一向量， 存在唯一有序实数组，使，所以B正确， 对于C，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故C错误， 对于D，假设向量共面，则存在唯一实数，使， 即，所以，无解，所以不共面，故D正确， 故选：BD. 【典例1-3】（2025高二·全国·专题练习）下列命题中，为真命题的是_____．（填序号） ①若向量，，共面，则存在实数，，使得； ②若存在实数，，使得向量，则，，共面； ③若，，则； ④若向量，，两两共面，则，，可能不共面； ⑤若是空间的一个基底，则向量，，一定能构成空间的一个基底． 【答案】②④⑤ 【分析】利用共线向量基本定理即可得到①，②；举反例即可得到③；举例子即可得到④；证明即可得到⑤正确； 【详解】①中，若向量和共线，向量与它们不共线，则不存在实数，，使得． ②中，利用共线向量基本定理即可得到； ③中，，，则向量，平行，也可以夹角为任意角度． ④中，正方体的同一个顶点的三条棱，就满足三个向量两两垂直，但是三个向量不共面； ⑤中，假设向量，，共面，设， 整理得：，即：，与是空间的一个基底矛盾；故原命题正确； 故选：②④⑤ 【变式1-1】（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知向量，，则下列向量中可以与，构成空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依次判断各选项的向量，与，不共面即可. 【详解】对于A，假设，即，显然与矛盾，故，，不共面，可以构成基底，满足. 对于B，由于，，，共面，不满足； 对于C，由于，，，共面，不满足； 对于D，零向量与任意向量共面，故基底向量不能是零向量，不满足； 故能与，构成空间的一个基底的只有． 故选：A 【变式1-2】（多选）（25-26高二上·河南新乡·月考）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用向量共面的判定定理逐项判定即可. 【详解】因为构成空间的一个基底，所以不共面. 选项A：若共面，则，即，又不共面，所以（矛盾），故不共面.A符合. 选项B：若共面，则，即，又不共面，所以，解得，故共面.B不符合. 选项C：若共面，则，即，又不共面，所以，解得，故共面.C不符合. 选项D：若共面，则，即，又不共面，所以（矛盾），故不共面. D符合. 故选：AD. 【变式1-3】（25-26高二上·全国·单元测试）已知，，，若三个向量不能作为空间向量的一组基底，则实数等于________． 【答案】4 【分析】因为三个向量不能作为空间向量的一组基底，所以共面，由向量共面的条件求解即可. 【详解】因为三个向量不能作为空间向量的一组基底， 所以共面（只有不共面的三个向量才能作为空间向量的一组基底）， 则存在，使得，即， 所以,解得. 故答案为：4 【题型02】用空间基底表示向量 【典例2-1】（25-26高二上·广东·期末）如图，在四面体中，．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量基本定理直接求解即可. 【详解】由题知， . 故选：D 【典例2-2】（多选）（25-26高二上·广西百色·期末）在长方体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列式子正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据空间向量线性运算性质逐一判断即可. 【详解】A：，所以本选项正确； B：，所以本选项不正确； C：，所以本选项不正确； D： ，所以本选项正确. 故选：AD 【典例2-3】（25-26高二下·江苏泰州·期中）在平行六面体中，已知，，，，则的长度为________. 【答案】 【分析】利用空间向量模长公式，将体对角线向量分解为三条棱向量的和，平方展开后代入模长与夹角计算数量积，最后开方得到结果. 【详解】在平行六面体中，， . 因为，， ， 所以，即. 【变式2-1】（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，空间四边形中，点和点分别在和上，且满足，则下列向量与是共线向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，由，得， 所以， 对于A，假设共线，则，无解，A错误； 对于B，， 所以与共线，B正确； 对于C，假设共线，则，无解，C错误； 对于D，假设共线，则，无解，D错误； 【变式2-2】（多选）（25-26高二上·河南·阶段检测）在长方体中，，，M为BC的中点．动点P满足，，，则下列说法正确的是（    ） A．点P一定在平面内 B．当时，点P的轨迹长度为 C．当，P，M三点共线时， D．当时，的最大值为 【答案】BC 【分析】A利用及平面向量基本定理即可；B取的中点N，即可得出，计算长度即可；C由共线性质即可；D利用基底化简得出，再化简得出，当，时，取最大值，但此时不满足. 【详解】对于A选项，易得，故，则共面，又有公共点，故点P在平面内，故A错误； 对于B选项，取的中点N，连接， 则，，则，， 则四边形为平行四边形， 则当时，，， 可知此时点P的轨迹为线段AN，其长度为， 故B正确； 对于C选项，由，与三点共线，可知，故C正确； 对于D选项，显然为一组正交基底， 而， 故 ， 而， 故， 因，，故当，时，最大为， 此时不满足，故的最大值不为，故D错误． 故选：BC．    【变式2-3】（25-26高二下·甘肃金昌·月考）在平行六面体中，，，设，，． (1)若点，满足，，试用，，表示； (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合已知条件，运用向量加减法运算规则计算求解； （2）运用向量夹角余弦公式计算求解． 【详解】（1），， ，， 又，， ． （2） ， ， ， ， ． 【题型03】空间向量基本定理及其应用 【典例3-1】（25-26高二上·山东临沂·期末）在四面体中，为线段靠近的三等分点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的基本定理可求出、、的值，即可得出的值. 【详解】如下图所示： 因为为的中点，所以，由题意可知， 所以， 在三棱锥中，、、不共面，且， 所以，，故. 故选：A. 【典例3-2】（多选）（24-25高二下·江苏扬州·月考）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若，则是钝角 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 【答案】BCD 【分析】举反例可得A错误；由共面定理可得B正确；由基底的性质可得C正确；由向量共面的性质可得D正确； 【详解】对A，当时，夹角为平角，故A错误； 对B，由空间向量的基本定理知，因，所以四点共面，故B正确； 对C，因向量组是空间的一个基底，所以三向量不共面，且不为， 假设共面，则，即，矛盾， 所以不共面，即也是空间的一个基底，故C正确； 对D，由向量共面的性质可得空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故D正确； 故选：BCD. 【典例3-3】（25-26高二下·辽宁朝阳·月考）如图所示，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则时，则___________ 【答案】/ 【详解】由，为中点，可得， 所以 ， 所以，因此. 【变式3-1】（25-26高二上·山东济宁·期末）在平行六面体中，与的交点为．设，则下列向量中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算可得结果. 【详解】如图所示： . 故选：C. 【变式3-2】（多选）（24-25高二上·广东茂名·期中）若是空间的一个基底，则下列说法正确的是（    ） A．，，不可能共面 B．若，，则 C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D．，，一定能构成空间的一个基底 【答案】ACD 【分析】根据空间的基底定义和空间向量基本定理，易判断A,C正确；通过举反例可排除B项；运用反证法思路，假设，，共面，经推理引出矛盾，说明假设的反面成立，即D正确. 【详解】对于A，由空间的基底定义，可知，，不可能共面，故A正确；    对于B，如图是底面为等边三角形的直三棱柱，若 则显然有，，但，不满足，故B错误； 对于C，由空间向量基本定理，可知C正确； 对于D，假设，，共面， 则存在，使，则有， 显然方程组无解，即，，不共面， 故，，一定能构成空间的一个基底，D正确. 故选：ACD. 【变式3-3】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）如图，在平行六面体中，，，，点P为线段BC中点. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)三个不共面的向量作为基底，再用基底表示,再用模长公式.         (2)用基底表示,用数量积计算得出结果就行. 【详解】（1）设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底， 则，，， 因为， 所以 （2）由（1）可知， 同理可得， . 所以 . 一、课堂小结 本讲核心围绕空间向量基本定理展开，重点掌握“基底判定—向量表示—定理应用”三大模块，核心逻辑为：以不共面向量为基底，将空间任意向量转化为基向量的线性组合，进而解决空间几何中的共面、平行、垂直、角度计算问题，所有核心内容均通过微软公式规范呈现，适配暑期预习巩固。 二、知识梳理 知识点1：空间向量基本定理 1. 核心定理：若三个向量不共面，则对空间任意向量，存在唯一有序实数组，使得： 2. 关键概念： （1）基底：不共面的三个向量，记为（基向量为）； （2）核心性质：基底不唯一、零向量不能作为基向量、唯一确定； （3）重要推论：若不共面，对任意点，，则共面。 知识点2：用基底表示空间向量 1. 核心目标：将任意空间向量表示为（为基底）； 2. 三步法： ① 选基底：优先选已知向量或单位正交基底（满足，）； ② 拆向量：利用向量运算（、、）拆解目标向量； ③ 化最简：整理得到，确定的值。 3. 常用技巧：中点公式、分点公式。 知识点3：空间向量基本定理的应用 1. 向量共面判断：存在使得，则共面； 2. 平行关系证明： （1）线线平行：方向向量（为实数）； （2）线面平行：方向向量法向量； 3. 垂直关系证明： （1）线线垂直：方向向量； （2）线面垂直：方向向量（为实数）； 4. 角度计算： （1）异面直线所成角：； （2）线面角：。 知识点4：易错点梳理 1. 易错点1：混淆“共面”与“不共面”，基底必须满足不共面，否则无法表示所有空间向量； 2. 易错点2：零向量不能作为基向量，因，与任意向量共面； 3. 易错点3：角度计算时，异面直线所成角范围为，需取点积的绝对值。 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁·期末）已知、，下列可使非零向量，，组成的集合成为空间的一组基底的条件是（    ） A． B．，，两两垂直 C． D． 【答案】B 【分析】由基底定义和共面定理即可逐一判断选项A、B、C、D得解. 【详解】由基底定义可知只有非零向量，，不共面时才能构成空间中的一组基底. 对于A，，则共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以与共面，故A错误； 对于B，因为非零向量，，两两垂直，所以非零向量，，不共面，可构成空间的一组基底，故B正确； 对于C，由共面定理可知非零向量，，共面，故C错误； 对于D，，即，故由共面定理可知非零向量，，共面，故D错误. 故选：B. 2．（25-26高二上·广西玉林·月考）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量共面定理一一验证选项结合基底的概念判定选项即可. 【详解】对于A，若共面，则有， 即，则该方程无解，故不共面； 对于B，若共面，则有， 即，显然无解，故不共面； 对于C，若共面，则有，显然该等式不成立， 故不共面； 对于D，易知，即共面. 故选：D 3．（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意； 对于B，设存在实数，使得，可得， 所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； 对于C，向量，不存在实数使得， 所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意. 故选：B. 4．（25-26高二下·浙江衢州·期中）如图，在四面体OABC中，为线段OA上一点为线段BC上一点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，， ， . 5．（25-26高二下·江苏苏州·期中）点是四面体的棱的中点，点在线段上且，点在线段上且，若，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求，进而可得，即可得结果. 【详解】在四面体中，，，， 则， 可得 ， 因为，则，所以. 6．（25-26高二下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量的线性运算以及空间向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值. 【详解】因为，所以，可得， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以， 因为点、分别为、的中点，所以，， 所以， 因为、、不共面，所以，所以，故. 7．（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，，， 则，又， 且不共面，因此， 所以. 8．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在三棱锥中，点、分别是棱、的中点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为点、分别是棱、的中点， 所以 ， 又，、、不共面， 所以，所以. 二、多选题 9．（25-26高二上·河南南阳·月考）若构成空间的一个基底，则下列选项中的向量不可以作为基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AC 【分析】根据基底的概念分别判断各选项. 【详解】A选项：设，即， 解得，即， 所以，，不能作为空间向量的基底，A选项正确； B选项：设，即，方程无解， 所以向量，，不共面，可以作为空间向量的基底，B选项错误； C选项：设，即， 解得，即， 所以向量，，不能作为空间向量的基底，C选项正确； D选项：设，即，方程无解， 即向量，，不共面，可以作为空间向量的基底，D选项错误； 故选：AC. 10．（25-26高二上·四川达州·月考）如图，在三棱柱中，分别是所在棱的中点，设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】结合空间向量基本定理，根据空间向量的加法、减法运算逐项求解即可. 【详解】对于A： ，正确； 对于B： ，错误； 对于C： ，正确； 对于D：由选项AB知， ，正确. 故选：ACD 11．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图所示，在正四面体中，，则（    ） A． B． C．在平面内的投影向量为 D．在平面内的投影向量为 【答案】BD 【分析】由空间向量基本定理，空间向量的线性运算及正四面体的性质即可求解． 【详解】对于AB，由题知，， ，故A错误，B正确； 对于CD，设点在平面的投影为点， 由正四面体得，底面为等边三角形，且侧棱， 所以由正四面体的性质得，顶点在底面的投影是底面的重心，在平面的投影向量为，则， 所以在平面内的投影向量为，故C错误，D正确． 三、填空题 12．（2025高二下·全国·专题练习）已知是空间的一个基底，若，则_________． 【答案】0 【分析】根据基底向量不能共面，得出系数均为0； 【详解】是空间的一个基底， 为不共面向量． 又， ， ． 故答案为：0. 【点睛】本题考查基底向量的定义，理解基底向量不能共面是解题的关键. 13．（25-26高二下·福建龙岩·期中）如图，在平行六面体中，，记向量，若向量，则______. 【答案】 【详解】在平行六面体中，， 则， 而向量，且不共面， 所以，. 14．（25-26高二下·江苏苏州·月考）如图，棱长为的正四面体中，是底面的重心，是棱中点，且有，则线段的长度为____________ 【答案】/ 【详解】由题意得，， 则 ， 因为，， 则 ， 所以线段的长度为 . 四、解答题 15．（2025高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，，，，分别是，，的中点，点在上，且．用，，表示下列向量：    (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据空间向量的线性运算直接得出. 【详解】（1）根据三角形中位线性质得且，所以． （2）因为，根据向量加法的法则可得 . （3）根据向量加法的法则可得 ． （4）由向量的减法法则及（2）得 . 16．（25-26高二上·陕西西安·期中）如图，在空间四边形中，点、分别为、的中点，设，，．    (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由几何体结构结合向量运算法则直接进行运算即可； （2）先由题设以及用向量，，表示向量和，再由向量运算法则即可求解. 【详解】（1）由题可得向量； （2）由题， 由（1）得，又向量， 所以 . 17．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）结合图形利用空间向量的线性运算求解； （2）利用空间向量的数量积证明； （3）利用空间向量的数量积的运算律计算即得. 【详解】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得， ； （2）因，，，， 则，， 由（1）得 ， 所以，即； （3）由（1）知， 所以 ， 所以. 18．（25-26高二上·湖北孝感·月考）如图，在平行六面体中，，且，. (1)分别求，的长； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由空间向量线性运算，可得，，利用数量积运算性质即可得出． （2）由和，计算出，利用向量数量积运算性质计算即可证明. 【详解】（1）因为，且，， 故， 又，故 ， 由于， 所以 ， （2） ， 所以． 19．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·月考）如图所示，平行六面体的底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，，求对角线的长．    【答案】 【分析】将对角线表示成，然后根据向量的方法计算出对角线的长即可. 【详解】由题意有：，且的长为3，， 故，，， 由于， 所以 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 空间向量基本定理（知识详解+3典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：空间向量基本定理 知识点02：用基底表示空间向量 知识点03：空间向量基本定理的应用 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：空间向量基底概念及辨析 题型02：用空间基底表示向量 题型03：空间向量基本定理及其应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】空间向量基本定理 1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 2．基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 3．单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 4．正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 注意点： (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． (2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量． (3)若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量． 【例1】已知是空间不共面的三个向量，判断向量，，能否作为空间的一组基底。 【知识点02】用基底表示空间向量 选定一组不共面的向量作为基底，利用向量线性运算（加减、数乘），将目标向量拆解为基向量的线性组合，可结合空间几何图形性质简化运算。 用基底表示向量时 (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘运算的运算律； (2)若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求 【例2】在空间四边形中，设，，，为的中点，为的中点，试用基底表示。 【知识点03】空间向量基本定理的应用 证明空间向量共面/异面、求向量线性关系、为空间几何角度（异面直线所成角）、距离求解及平行、垂直关系证明提供向量基础。 (1)证明平行、共面问题的思路 ①利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行． ②利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行． (2)求夹角、证明线线垂直的方法 利用数量积定义可得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况 【例3】已知空间基底，，，，求证：与共面。 【题型01】空间向量基底概念及辨析 【典例1-1】（25-26高二上·贵州遵义·期中）已知是空间的一组基底，则下列向量可以与向量，构成空间的另一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（多选）（25-26高二上·陕西汉中·期末）设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（   ） A．基底中的向量可以为任意向量 B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使 C．向量可以共面 D．也可以构成空间的一组基底 【典例1-3】（2025高二·全国·专题练习）下列命题中，为真命题的是_____．（填序号） ①若向量，，共面，则存在实数，，使得； ②若存在实数，，使得向量，则，，共面； ③若，，则； ④若向量，，两两共面，则，，可能不共面； ⑤若是空间的一个基底，则向量，，一定能构成空间的一个基底． 【变式1-1】（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知向量，，则下列向量中可以与，构成空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）（25-26高二上·河南新乡·月考）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·全国·单元测试）已知，，，若三个向量不能作为空间向量的一组基底，则实数等于________． 【题型02】用空间基底表示向量 【典例2-1】（25-26高二上·广东·期末）如图，在四面体中，．设，则（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（多选）（25-26高二上·广西百色·期末）在长方体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列式子正确的有（   ） A． B． C． D． 【典例2-3】（25-26高二下·江苏泰州·期中）在平行六面体中，已知，，，，则的长度为________. 【变式2-1】（25-26高二下·福建宁德·期中）如图，空间四边形中，点和点分别在和上，且满足，则下列向量与是共线向量的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选）（25-26高二上·河南·阶段检测）在长方体中，，，M为BC的中点．动点P满足，，，则下列说法正确的是（    ） A．点P一定在平面内 B．当时，点P的轨迹长度为 C．当，P，M三点共线时， D．当时，的最大值为 【变式2-3】（25-26高二下·甘肃金昌·月考）在平行六面体中，，，设，，． (1)若点，满足，，试用，，表示； (2)求与夹角的余弦值． 【题型03】空间向量基本定理及其应用 【典例3-1】（25-26高二上·山东临沂·期末）在四面体中，为线段靠近的三等分点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（多选）（24-25高二下·江苏扬州·月考）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若，则是钝角 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 【典例3-3】（25-26高二下·辽宁朝阳·月考）如图所示，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则时，则___________ 【变式3-1】（25-26高二上·山东济宁·期末）在平行六面体中，与的交点为．设，则下列向量中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（多选）（24-25高二上·广东茂名·期中）若是空间的一个基底，则下列说法正确的是（    ） A．，，不可能共面 B．若，，则 C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D．，，一定能构成空间的一个基底 【变式3-3】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）如图，在平行六面体中，，，，点P为线段BC中点. (1)求； (2)求. 一、课堂小结 本讲核心围绕空间向量基本定理展开，重点掌握“基底判定—向量表示—定理应用”三大模块，核心逻辑为：以不共面向量为基底，将空间任意向量转化为基向量的线性组合，进而解决空间几何中的共面、平行、垂直、角度计算问题，所有核心内容均通过微软公式规范呈现，适配暑期预习巩固。 二、知识梳理 知识点1：空间向量基本定理 1. 核心定理：若三个向量不共面，则对空间任意向量，存在唯一有序实数组，使得： 2. 关键概念： （1）基底：不共面的三个向量，记为（基向量为）； （2）核心性质：基底不唯一、零向量不能作为基向量、唯一确定； （3）重要推论：若不共面，对任意点，，则共面。 知识点2：用基底表示空间向量 1. 核心目标：将任意空间向量表示为（为基底）； 2. 三步法： ① 选基底：优先选已知向量或单位正交基底（满足，）； ② 拆向量：利用向量运算（、、）拆解目标向量； ③ 化最简：整理得到，确定的值。 3. 常用技巧：中点公式、分点公式。 知识点3：空间向量基本定理的应用 1. 向量共面判断：存在使得，则共面； 2. 平行关系证明： （1）线线平行：方向向量（为实数）； （2）线面平行：方向向量法向量； 3. 垂直关系证明： （1）线线垂直：方向向量； （2）线面垂直：方向向量（为实数）； 4. 角度计算： （1）异面直线所成角：； （2）线面角：。 知识点4：易错点梳理 1. 易错点1：混淆“共面”与“不共面”，基底必须满足不共面，否则无法表示所有空间向量； 2. 易错点2：零向量不能作为基向量，因，与任意向量共面； 3. 易错点3：角度计算时，异面直线所成角范围为，需取点积的绝对值。 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁·期末）已知、，下列可使非零向量，，组成的集合成为空间的一组基底的条件是（    ） A． B．，，两两垂直 C． D． 2．（25-26高二上·广西玉林·月考）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·浙江衢州·期中）如图，在四面体OABC中，为线段OA上一点为线段BC上一点，且，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏苏州·期中）点是四面体的棱的中点，点在线段上且，点在线段上且，若，则（   ） A． B． C． D．1 6．（25-26高二下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·江苏泰州·期中）如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 8．（25-26高二下·江苏宿迁·期中）在三棱锥中，点、分别是棱、的中点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 二、多选题 9．（25-26高二上·河南南阳·月考）若构成空间的一个基底，则下列选项中的向量不可以作为基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．（25-26高二上·四川达州·月考）如图，在三棱柱中，分别是所在棱的中点，设，则（　　） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图所示，在正四面体中，，则（    ） A． B． C．在平面内的投影向量为 D．在平面内的投影向量为 三、填空题 12．（2025高二下·全国·专题练习）已知是空间的一个基底，若，则_________． 13．（25-26高二下·福建龙岩·期中）如图，在平行六面体中，，记向量，若向量，则______. 14．（25-26高二下·江苏苏州·月考）如图，棱长为的正四面体中，是底面的重心，是棱中点，且有，则线段的长度为____________ 四、解答题 15．（2025高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，，，，分别是，，的中点，点在上，且．用，，表示下列向量：    (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（25-26高二上·陕西西安·期中）如图，在空间四边形中，点、分别为、的中点，设，，．    (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值． 17．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 18．（25-26高二上·湖北孝感·月考）如图，在平行六面体中，，且，. (1)分别求，的长； (2)证明：. 19．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·月考）如图所示，平行六面体的底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，，求对角线的长．    1 学科网（北京）股份有限公司 $