第02讲 空间向量的数量积运算（暑假培优讲义）新高二数学人教A版

©命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第02讲空间向量的数量积运算（暑假培优讲义) 析知识讲要点……。 2 知识点01空间向量的夹角.。 .2 知识点02 空间向量的数量积运算. 3 知识点03数量积的性质… .4 剖题型·讲技巧5 题型1空间向量数量积的概念辨析…5 题型2求空间向量的数量积… .8 题型3利用数量积求距离、长度… .8 题型4利用数量积求夹角， .15 题型5利用数量积证明垂直问题 …18 释疑惑，重难拓展 o23 题型1空间向量数量积的综合应用 23 练好题提分培优 27 课标要点 1.理解空间两个非零向量夹角的定义与取值范围，分清向量垂直对应的特殊夹角，能够区分向量夹角和 异面直线夹角的区别。 2.掌握空间向量数量积定义，熟记零向量与任意向量数量积为0，熟练运用交换律、结合律、分配律对数 1/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 量积式子化简变形。 3.理解投影向量的几何意义，可通过平移将空间向量转化到同一平面分析投影。灵活运用数量积各类性 质，求解向量模长、判断向量垂直、推导夹角大小。 4.借助数量积搭建几何与代数的桥梁，运用向量运算分析空间角度、垂直关系，发展直观想象、数学运 算核心素养。 析知识·讲要点 知识点01空间向量的夹角 如图，已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作0A=a,OB=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹 角，记作(a,b), 夹角的范国：0，小，待别地，如果(a=2,那么向量a5互相垂直，记作。1石 b 练习1.如图在正三棱锥P-ABC中，AB=PA=2,则MP,BC)= (PA,AB)= B 【答案】 90° 120° 【详解】取BC的中点D,连接AD、PD, 因为P-ABC为正三棱锥且AB=PA=2,所以三棱锥P-ABC为正四面体， 所以PD⊥BC、AD⊥BC,又PDn AD=D,PD,ADC平面PAD, 所以BC⊥平面PAD, 又Pc平面PAD,所以BC1P,所以P⊥BC,所以 AP,BC=90° 又△PAB为等边三角形，所以∠PAB=60°， 2/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以PA,48=180°-∠PAB=180°-60°=120 故答案为：90°：120° 知识点02空间向量的数量积运算 1、空间向量的数量积 已知两个非零向量a,b, 则cosa,叫做a6的数量积，记作a-6,即a-石=cosa,D】 零向量与任意向量的数量积为0，即0，a=0 2、数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (Aa)-B=a(a-B),iER 交换律 a.b=b.a 分配律 a.(BHc)=a.BHa.c 3、投影向量 在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利 用平面上向量的投影，得到与向量万共线的向纸。，Cac0sa,.石 向量。称为向量。在向量方上 a 的投影向量。 篮国2.在校长为2的正方体4BCD-4BCD中，-DC=（) A.4V2 B.4 C,25 D.2 【答案】B 【详解】在棱长为2的正方体 BCD-ABCD中， 3/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 易知4=2，DG=V2+2=2V5 π 因为AB=DC,DC与DC的夹角为4'， 所以5与C的夹物为号形.0C-丽0Cw子-2×25*点4 2 故选：B D C B A 3.如图，正方体4BCD-ABCD的棱长为1，设丽=aD=五=C,求： D B b. a 6+© (2)a(a+6+© 【答案】(1)0： (2)1. 【详解】（山由题设0-6=ac=0,则a-(仿+0=a-6+ac=0 (2)由（及已知，a-(a+i+d=a+a-b+ac=1+0+0=1 4/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点03数量积的性质 b “，“为非零向量， d(a与洞向 a.b= 则(1)a16分a6=0:(2) -a5(a与6反向)：3)a-a=la,la=vaa: (4) cos(a.B)=a.B a丽：5)la-sa6l 练习4. 已知空间中的三个单位向量a,6,满足两两夹角是3，则a+6+ 6 【答案】 【详解】由题意得单位向量ā，6，c且两两之间夹角为3， 所以问=l=-1,a6-a=正=os号-月 a+i+c=(a+i+ca+6+c)=l+++2a6+2ac+2c 所以a+6+=6 剖题型·讲技巧 题型1空间向量数量积的概念辨析 方法技巧 判断数量积相关命题，核心牢记定义公式： 。数量积运算结果是实数，和向量数乘 区分开，向量数乘结果依旧是向量。 牢记特殊规则：零向量与任意向量数量积恒为0，即 ；两非零向量垂直等价于 -一一一向量夹角范国0.《沙：同向向量.一一一一一一之反向向量 5/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,结合定义逐条辨析命题对错。 【例1】关于空间向量ā，b,c,下列运算错误的是() A.a.b=b.a B.(a+B)c=a.c+B.c c.a.b=(a.) p.(a-）c=a(6-c) 【答案】D a.b=b.a 【详解】由数量积运算的交换律可得 选项A正确， 由数量积运算的分配率可得(a+6列c=a-c+.c 选项B正确， aa.B=a(a.B) 由数量积运算的数乘结合律可得 ,选项C正确 (a-B) 表示与c共线的向量，a(6-d表示与a共线的向量，(6-)小c与a6-)不一定相等，选顶D错误 故选：D 【例2】如图，在八面体ABCDEF中，平面ABE,ACF均垂直于底面ABC,且AE=BE=AF=CF,则下 列向量中与向量EF在平面ABC上的投影向量相等的是() A. C.BC D._BC-AC 【答案】C 【详解】取P,Q分别为AC,AB的中点，连接FP,EO,P№， 6/43 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为AE=BE=AF=CF,所以EO⊥AB,FP⊥AC, 因为平面ABE⊥平面ABC,平面ABEO平面ABC=AB,EOC平面ABE, 所以EQ1平面ABC, 同理可得FP⊥平面ABC, 所以向量示在半面ABC上的投影向量为O,且QF-C 故选：C 【变式1-1】（多选）若三个空间向量，b,c,下列命题为假命题的是() A若8,6.C满是a-6=6-c,则a=8B,若a/6,6c,则aW c.若i=6,6=c,则a=d D.(a.b).c=a.(6.8) 【答案】ABD 【详解】对于A,根据数量积定义可得问cosa.6-5Gcos6.c,当6=0时，对于任京的向量a和c都 有a-6=6.c-0 但不一定a=C,故A错误 对于B,当6=0 万=0时，：0与任意向量平行，故对于任意的向量和心，都有 a∥bb∥c ,但此时不一定有 a∥c,故B错误 对于C,根据向量相等的定义可知，者i=6,6=6,则和大小相等，方向相同，8=，枚c正确 对于D,(a-6}表示与共线的向量， 5:)表示与ā共线的向量， 7/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a和c不-定共线，(a-6列水不-定等于6：)， 故D错误. 故选：ABD 【变式1-2】（多选）下列四个命题中，说法不正确的是() A.空间任意两个单位向量必相等 B.-6=a+6是ā，6共线的充分不必要条件 C.对于非零向量，由 a.c=b.ca=b ,则 D.若向量，D满足>可，则>Cm 【答案】ACD 【详解】A:由单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故空间任意两个单位向量不一定相等，错， B:若-=a+l时，则(@-=a+→a2-2a5+2-a2+2a5lcos(a,5+62. 所u25+cosa,6刃=0.则日，b存在零向量或非零向量a,6反向共线，即a,6英线，充分性成立， 由i,6共线，如非零向量，6同向共线时，此时同+-石+司，原等量关系不成立，必要性不成立，对. C:由c≠0，若a=0nb≠06c=0 ，若 ,且 此时a-C=6:6,但a≠6， ，错， D:根据向量的性质，任意两个向量不能比较大小，错 【变式1-3】如图所示，在棱长为2的正方体 4BCD-4BCD中，0为4C与BD的交点，C为CC的中 点，则0在A 上的投影向量的模为 DG在平面MBCD内的投影向量的模为. D B G D A2-- B 8/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】 【详解】根据正方体的性质可知，AA1⊥平面ABCD, 而1Cc平面 ABCD AA⊥AC ,所以 所以40在4C上的投影向量为40，模为5 根据正方体的性质可知，CG⊥平面ABCD, 而CDC平面ABCD,所以CG⊥CD, DG ABCD DC 所以在平面 内的投影向量为 C,模为2 题型2求空间向量的数量积 方法技巧 础计算公式： ,计算前需要明确两个条件：向量模长 ,向量 夹角 若向量由几何体线段构成，先根据边长得到模长，平移向量至共起点确定夹角：向量表达式复杂时，先 用线性运算化简向量，再代入数量积公式计算，灵活使用向量数量积运算率简化运算。 【例3】已知正方体ABCD-BCD的棱长为1，若=8，D=i,A=C,则(a+)(6-习=() A.0 B.2 C.1 D.4 【答案】C 【详解】 D ⊙ B 由题意，正方体棱长为1，所以a,6,c两两垂直且同===1， 9/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以(a+6)(6-c)=a-b-ac+66-6c 因为a16.a1.万1C,所以a6=0,a=0,6c=0 又6-6=6=P=1,代入得(a+6)(6-)=0-0+1-0=1. 【例41如图、正四面体P-ABC的校长为4，PO1平面BC,O为垂足，P历-号P而，延长C0交4 4 于点E,则正(D+PC)() P A.12 B.-12 C.16 D.-16 【答案】B 【详解】由PO⊥平面ABC,CEC平面ABC,得PO⊥CE, 由题可知， CE.(AD+PC)=CE.(AP+PD+AC-AP)=CE.(PD-CA) -目m-d-cm-ca0-Gqw4ca-网--2 故选：B 【变式2]在正三楼柱4BC-4®G中，MB=2B服=3，则瓜：4C=（) A.2 B.3 C.4 D.6 【答案】A 【详解】8·AC-(+B)AC=4AC+BAC =AAAC)Cos<AA,AC+ABACcos<AB,ACi =3x2×c0s7+2×2×c0s7=0+2=2 3 10/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A C B 【变式2-2】已知正四面体ABCD的棱长为2，F,G分别为AD,DC的中点，则FG.BA= 【答案】-1 【详解】因为FG=4C-(8c-A,所以FG.A=(8c-B列B=BcA-8睛 ×2×2×c0s60°- ×22=-1 2 D 【变式2-3】如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点，求： F (EF.B 2)EF.BD (3)BF.CE 11/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】1)4 2)2 68 1 【分析】 【详解】山F研-D丽-x1x1×}} 24 2FmD丽-0- Fc亚-0+@+时.+0i+西 题型3利用数量积求距离、长度 方法技巧 线段长度等于对应向量的模长，核心公式： ,距离问题均可转化为向量模长计算。 将代表线段的向量拆分为基底组合，计算 展开后代入基底模长、基底间数量积，算 出数值后开平方得到长度：多段线段组合的距离，拆分多个向量分步运算，再合并求解。 【例5】两位游客来到汕尾·保利金町湾的“鲸湾生活馆”外的楼梯上拍照留念，此时正好一人站在地面上 (B点处)，一人站在楼梯斜坡上(A点处)，如图所示.现将楼梯斜坡近似看作斜面，斜面与地面的交 线记作直线1，通过测量得到以下数据：斜面与地面所成的坡度角为60°，A点在地面上的投影与B点恰好 在直线I的两侧，A点到直线I的距离为AD,测得AD=6m,B点到直线I的距离为BC,测得BC=2m, 且测得CD=4m,则A,B两点间的距离为() ●B 12/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.27m 67m √65m B C.v66m D 【答案】A 【详解】由于AB=AD+DC-BCD1DC,BC1Dc C.DA=60 由于斜面与地面所成的坡度角为60°，故 AD.DC=0,BC.DC=0 故 =(AD+DC-BC)-AD+DC+BC+2AD.DC-2AD.BC-2BC.DC AB=36+16+4+0-2×6×2c0s120°+0=68 因此AA=2v17m 故选：A --C 【例6】如图，有一长方形的纸片ABCD,AB的长度为4cm,BC的长度为3cm,现沿它的一条对角线AC 90 把它折叠成 的二面角，则折叠后1CD6= 线段BD的长是 cm D B 13/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】 7 【详解】第一空，因为矩形ABCD,AB=4,BC=3, 所以AC=5,AD=3,cos∠CAD=2,cos∠ACB=3 .DB=DA+AC+CB .AC.DB=AC.(DA+AC+CB)=AC.DA+AC.AC+AC.CB ACIDAI(-cos∠CAD)+|ACP+|AC·|CBI(-cos∠ACB) -5×03+545x33-7 第二空，分别过D,B作DM⊥AC,BN⊥AC,分别交AC于M,N, D M B 因为二面角D-AC-B为90°，所以平面DAC⊥平面ACB, 又DM⊥AC,AC=平面DACn平面ACB,DMC平面DAC,所以DM⊥平面ACB, 因为BNC平面ACB,所以DM⊥BN, 因为矩形4BCD4B=4,BC=3,所以BN=AC=5,CW=VBC2-BN2=? ,AM=9 同理可得DM=12 27 MW=5-9 5 5, 因为DB=DM+M瓜+西 所以D啡VDM++@=DwT+1mP+1wa评=， 122 337 5 5 14/43 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 √337 故答案为：7,5 【变式3-1】如图，在三棱柱 BC-ABG中，BC与BC相交于点0 ∠AAB=∠AAC=∠BAC=60°，AA=3,AB=AC=2 则线段A0的长度为 .... B √33 【答案】2 BCC B 【详解】 是平行四边形，0是对角线交点， 则40=(+AG)={aB+AC+A4) ∠AAB=∠AAC=∠BAC=60°，AA=3,AB=AC=2 已知 A0=a+4C++2B.Ac+2B.aA+2Ac. 4+49+2x2x22x23+2x23- 24, a0-国 2 【变式3-2】在平行六面体ABCD-A'B'CD'中，底面ABCD是正方形，∠AAB=∠A'AD=60°，AB=2, AA'=4,M是棱A'B的中点，AC与平面AMD'交于点H,则线段AH的长度为() 2W2 3W2 A.2 B.3 c.√2 D.2 15/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】A 【详解】 AB=a,AD=i,AA=c∠AAB=∠A'AD=60°∠BAD=90° 所以间=-2=4，a6=0e6=a.c=-2x44, A'C=AA+AB+BC=-c+ā+b ,则 AC=c2+a2+i2+2a-6-2ac-2c-b =16+4+4-8-8=8.AC=22 设47=Ac=(c+a+6)】 又AF=AF-AA, 所以M丽=(-c+a+b)+c=a+6+-a)c 由于D,历， 共面，故存在'使得 丽=x而+aM=(e+6列+c+a 2a+6+(x+y)e, 1 4 1 所以{元=x ,解得x=4, 1-元=x+y y2 故C-*25= 2 故选：A 16/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C A M D B 【变式3-3】如图，在三棱柱ABC-AB,C中，底面边长和侧棱长都等于2，∠BA4=∠CAA=60,M为BC AB 的中点，N为线段 上靠近的三等分点： M A C (①设14=a,B=6,4c= ,试用向量a6,表示瓜 (2)求线段MN的长度： 【答案】()+6- -c 6 √31 (2)3 【分析】 【详解】山而-孤-=+4N-(西+4C)-+号B-西-c (2)依题意，aH6-d=2a6=6元-ac=2x2xcos60°=2 3 17/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 +号2名2- 1 9 6 3 题型4利用数量积求夹角 方法技巧 由数量积公式变形得夹角余弦公式： 先通过基底运算求出a-6,d-v厨，- 全部代入式子算出余弦值。再结合夹角范围[0，可反求角 度，注意几何体中异面线段夹角取锐角或直角，和向量夹角区分开。 【例7】三枝锥0-ABC中，OA,OB,0C两两垂直，OA=0B=0C.则(O1+0B)和C的夹角为() 45 A.301 B C60 D.90° 【答案】C 【详解】设OA=OB=OC=1, (OA+0BCA=(OA+0B(OA-0C)=0A-0A.0C+0B.0A-0B.0c=1 01+0=(@A+0B=V0+0+20A.0B=2, d-oi-0d=Voa-0c=6+0d2-20a.0元=5. (04+0BCA so(i.o)c08 1_1 所以(O1+OB)和CA的夹角为60。 故选：C 【例8】如图所示，在平行六面 A8CD-AB,CD中，以顶点A为端点的三条枝的长度都为L,且两两夹 角为60，则0 BD AC 与 夹角的余弦值为() 18/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B V3 √6 3 A.3 B.6 C.4 D.6 【答案】B 【详解】设向量4B=a,D=五，A4=c,且同==月=1(a,=(ac）=(6,c=60 AC=a+b,BD=b+c-a 可得 则4C=a+6-d+6+2a6=-11+2xlx13,所以d-, BD=(6+c-a}2=6+c+a2+2b.c-2a:c-2i:c=1+1+1+2x2x -2x=2, 2 2 2 所以BD]=V2 H4C.BD-(@+B)(6+c-@)-q.B+ac-@+B+b.c-a-b-1 所以cos(AC,BD AC·BD 1 √6 AC BD 3x√26 故选：B, 【变式4-1】已知空间向量a,6的夹角为3，且同=2，=1，则a+26与6的夹角是（) 5π A.6 π B.6 D.4 【答案】A 【详解】由a:石的夹角为号，且问-2.月=1得a+206=a-b+26=2×1×+2=3, 1 a+26=V2+452+4a.6=4+4+4×2×1×号=2V5 19/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (a+2b)635 设。+26与6的夹角为g则606 a+265252, 由于9e0,风，故0= 6 故选：A 【变式4-2】在正四面体P-ABC中，点E,F分别是线段BC,PC的中点，则os(PE,AF）() 1 1 A.3 1 B.3 C.6 D.6 【答案】C 【详解设P-ABC的棱长为2，PA=2a,P历=26，PC=2运：E,F分别是8C,PC的中点， 则同--1.a6,c夹角为好所以9 ab=ac=bc=1xlx1=1 22 PE-B+c,AF=6-2a,PE.AF=(B+d)(c-2a)=B.c-2a.B+a2-2a.c=-1 E·AF 又△PBC,aAPC为边长为2的等边三角形， PE=AF=3,...cOS<PE,AFL= 1 6: PE·AF 故选：C 【变式4-3】如图，在三棱锥P-ABC中，若AB=AC=3,AP=4,∠BAC=∠PAC=∠BAP=60°，点D 为棱BC上一点，且CD=2BD,点M为线段AD的中点 20/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M (1)求PM的长度； (2)求异面直线PM与AC所成角的余弦值. √47 【答案】(1)2 2W47 (2)47 【分析】 【详解】(1)因为M为线段4D的中点，CD=2BD,所以AW-)AD,BD=;BC, 所以 W=Pi+=Pm+}D=Pm+a+BD)-Pmi+6+兮8c） =pi+++aCj=m+{丽背+号C -ap+}+4c】 又因为.而=P.C=3x4xc0s60=6,丽AC=3x3xcos60 2, 所uP网-亚兮孤c号孤-衣4，g西c+(c- ②自g网c-(丽+c-c元， -cco2.∠Pac+5a6 CosB∠ac+若ac =4×3x+x3×3x+2x32=-3, 2 26 21/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PM·AC cos(PM,AC 2V47 所以 PMAC V47 ×3 47. 2 2W47 即异面直线PM与AC所成角的余弦值为47· 题型5利用数量积证明垂直问题 方法技巧 判定定理：两个非零向量 0 把需要证明垂直的两条线段对应向量用基底表示，完整展开 ,结合题干固定边长、 垂直条件化简式子。若化简后结果等于0，就能证明两向量垂直，进一步推导空间线线、线面垂直关系。 【例9】如图，在平行六面体ABCD-AB'CD中，底面ABCD是正方形，AM=2AB,M是CD中点， ∠AAB=∠AAD=120°，则直线AC'与BM所成角的正弦值为() D' C A B M B V95 5 3√21 A.10 B.5 C.1 D.14 【答案】C 【详解】设AA=2AB=2a,∠AAB=∠AAD=120°， 由4C=仍+D+冠 所以AC=V(AB+AD+AA)=AB+AD°+AA+2(ABAD+AB.A+ADAA） =V2a2+4a2-4a2=V2a 22/43 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为8服=A+D+DM=0-6 所人0+=46+而-而D-5 a 4C丽-(+而+)（而-而+而---0 所以os(4C,BM) AC'.BM =0 ACB☑，直线AC与BM所成角的正弦值为1 故选：C 【例10】如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a,点M,N分别是AB,CD的中点. 证明：MN⊥AB. 【答案】证明见解析 【详解】证明：由题意可知， A8=AC-D=“,且向量B,4C,D两两的夹角均为60°，连接 AN则m=N-M=(4c+而-号B, MN.AB-AC.AB+AD.AB-AB) =号acos60e+acos60-a2）=0. .MN⊥AB,即MN⊥AB 23/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式5-1】平行六面体HBCD-4BCD,中，底面ACD为正方形，∠44D=∠4B-子.M=AB=l, CD E为 的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为() B V3 5 A.0 B 2 C.2 D.4 【答案】A 【详解】解：由题意，A4AB=A4AD=1x1×cos- 32·ABAD=0 又DC=AB E=征-孤=A+40+0E-丽=杯+而孤， BE.DC= 所以 （+而-西分0分0，即布丽配。 故选：A。 【变式52】《多选)如图。在四面体1BCD中，设B=8.4C=万，D=8,下列条件徒证明 AB⊥CD 的是() 24/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.ab=a.c B.B-CD,AC-BD D-BC C.AC-BC AD-BD D.AC-BD-0 AD.BC=0 【答案】ACD 【详解】因为 CD=AD-AC=c-b 要证B1CD,即证B:cD=a(e-)=ac-a-6=0 对A选项：由 -6=a-c,则ad-a6=0,所似孤1CD成立，故A正确 对B选项：将四面体4BCD放入长方体中，使丽与可，C与B历.D与BC分别为相对面的对角 线长， 显然AB与CD不一定垂直，如图长方体的底面不为正方形时AB与CD不垂直，故B错误， 对C选项：因为AC=BC,AD-BD 即--可和=-d,平方得52=2-2a6+万，。2=a2-2ac+2 25/43 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即l=2a6和=2ac】 所以a.b=ac,所以 B.CD=a.(c-B)=a.c-a.B=0 即1CD 故C正确 对D选顶：由4C-BD=0得C,而-C=0,即5-C=a6①. 由D-Bc=0得D-aC-4D4=0,m5-c=a-cg ②， a.b=a.c 由①②得 ,所拟MB-cD=a6-a-6=0,即砺1c ,故D正确 故选：ACD 【变式5-3】如图，已知棱长为1的正四面体ABCD,设高DH的中点为M. D H● (1)求DH的长： (2)求证：MA,MB,MC两两垂直. √6 【答案】(1)3 (2)证明见解析 【分析】 【详解】(1)解：解法1：因为H为△ABC的重心， 所以D丽=(D1+DB+DC. 所以DH=,(DA+DB+DC)】 -DA+DB+DC+2D4-DB+2DC.DA+2DB.DC) 26/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -11+1+2x1x1x+2x1x1x+2x1x1x 1 16 2 2 29 DH=6 所 : 解法2：因为H为△ABC的重心 AH=二x 所以 321 B= 3, 在RtADAH中，由勾股定理可得： DH=VAD-AHE6 (2)证明：证法1：因为MA=MD+DA=-D听+DA (D+DB+DC)+DA =(5D1-D丽-Dc, 所以6M=5D1-Di-D元 6MB=5DB-DA-DC 同理可得 所以6Ma.6砺=(5D1-DB-DC)5DB-DA-DC) =25DA-DB-5DA-5DA.DC-5DB'+DA.DB+DC.DB-5DC.DB+DC.DA+DC -25xlxlx-5-5xlxlx2-5+1x1xx1x-5+lxlxxx =0, 所以MA⊥MB,即MA⊥MB, 同理可证MC⊥MB,MA⊥MC, 所以MA,MB,MC两两垂直. 证法2：因为H为正三角形ABC的重心， 27/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 32 3, 其中AE为正三角形ABC边BC上的中线（高）， 在RtA ADH中， on- MH-IDH= 所以 2 6, 在Rt△AMH中， MA=√AH2+HM= 可得 V362, 同理可得 B=MC= 2 所以可得MA2+MB2=AB2, 所以MA⊥MB, 同理可证MC⊥MB,MA⊥MC, 所以MA,MB,MC两两垂直. 释疑惑·重难拓展 题型1空间向量数量积的综合应用 【例1】线段AB,BD在平面C内，BD⊥AB,AC⊥a,且AB=3,BD=4,AC=5,则C,D两点间的 距离为() A.5 B.V34 C.47 D.5 【答案】D 【详解】由AC⊥ax,ABCa,BDCa,得AC⊥BD,AC⊥AB, ：孤=0，CA-D=0,又BD1M8,所以B-BD=0, 得到 28/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CD=CA+AB+BD :CD'=(CA+AB+BD=CA'+AB'+BD'+2C4.AB+2C4.BD+24B.BD =C+A+BD=52+32+4=50,.CD=52. 【例2】已知a6, 是空间中3个两两垂直的单位向量，向量i=2a+m6+c,立=-a+6+c(m,”为正 数)且=-l,则m'+n 的最小值为() A.2 B.V2 C.2 D. 2 【答案】D 【详解】以，6，为单位正交基底建立空间直角坐标系，可得向量“=(2，m,少，V=(-1L川， 所以4v=-2+m+n=- +84 可得m+n=1 所以Vm+=m2+1-m=2m2-2m+1= 1、√2 2m- 2 +22 2, 1 m=n- 当 V2 n=2时，Vm+n的最小值 故选：D 【变式1-1】如图是缠线用的线拐子，在结构简图中线段AB与CD所在直线异面垂直，E,F分别为AB, CD的中点，且EF⊥AB,EF⊥CD,线拐子使用时将丝线从点A出发，依次经过D,B,C又回到点A, 这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”.图中AB=EF=CD=30cm,则丝线缠一圈 的长度为() H D 简图 29/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.90v2cm 90v3cm B C.60/6em D 80v3cm 【答案】C 【详解】依题意BE⊥EF,FD⊥EF,BE⊥FD, 所以BEEF=0,F而.EF=0BEF历=0 又BD=BE+EF+FD, 所以BD=(B距+F+FD=BE+F+FD+2BEEF+2BEF历+2EF.F历 =152+302+152=152×6 所以BD=15v6 同理可得=AC-BC=156 所以丝线缠一圈的长度为 4x15√6=60W6(cm) 故选：C 【变式1-2】（多选）如图，在三棱柱 BC-ABG中，BC与BC相交于点0， ∠AAB=乙A4C=∠B4C=60,AA=2,AB=AC=1,则下列说法正确的是（) A B B A.AO⊥BC B.40=i 2 31 C.A0与AB所成角的余弦值为22 30/43 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D A0·AA=3 【答案】ABD 【详解】对于A,由题意，四边形 8CC为平行四边形，则0为BC的中点， 40-B+B0-+BC+BB)=B+(AC-+=(B+C+) BC=AC-AB 侧40c=(B+Ac+A)(aC-例-(+4C+c-M西 =（-1+1+2 x1xc0s6(0-2x1xcos60）=0, 则401B ,即AO⊥BC,故A正确： 对于B,由A知，A0=(B+AC+), 则40-(B+4C++2B4c+2瓜+24c 2,故B正确： 对FC,由A知， 0-(+c+）.0- 则40B-)(aB+4C+)B=aB+Ac.B+4·8） 5 =21+1x1xc0s600+2×1xcos60)=4 则cosA0,AB= AO.AB 4=5v 40-A8 -×1 22, 2 5v11 即AO与AB所成角的余弦值为22，故C错误： 31/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于D,由A项知， 而-引西+c+）,0四. 则40.A=(aB+AC+)AM-+AC+） =0+1+4)=3,故D正确 【变式1-3】如图所示，在两条异面直线a,b上分别取不同的点A,E和B,F,使AB⊥a,且AB⊥b.已知 EA,FB 的夹角是120,1B=3,EA+F=4 则线段EF的长度的取值范围为() A[2,到B.(42.6] c.(W21,6 D.(5,42) 【答案】A 【详解】因为1B1a,且1B1b,鼠历的夹角为20，且4B=3。EA+BF=4 设E=p,BF=9,则P,g>0且p+g=4, 由EF=EA+AB+BF, 可得F=E+AB+F+2B.B+2EBF+2BBF =p2+32+g92+0+2p9cos60°+0=p2+q2+p9+9=(p+q)}2-p9+9=25-p9<25 又由f=n2+g+pg+9-202+9+2+02+0-2p+9 +g+0-gr+92o+g+9449=21, 32/43 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以21≤厅<25，所以V21≤E<5,即线段EF的长度的取值范围为V21,5)】 故选：A 练好题提分培优 一、单选题 1.下面给出的关系式中 (1)0a=0 （2)a-6-(a+0=a-6 (3) 2a2 (4)(a-Bc=a(b.c) 5)若a-6=a-c,且ir0。则 =c 正确的个数是()· A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【详解】判断(1)：根据数乘向量的定义，实数0与任意向量ā相乘，结果都是零向量0，因此0：a=0正确； 判断（②）：根据数量积的分配律展开： (a-b).(a+b)=a.a+a.b-b.a-b.b=a2-b2 ,正确： a2=aa=l al alcos0=a 判断(3)： ,正确： 判断(4)： (a.b) 是实数，左边 a·b)c 是与‘共线的向量； (6·c) (b·c 是实数，右边 是与共线的向量，ā与C不一定共线，因此等式不一定成立，错误： 判断6：由a-6=a-c,a≠0只能推出a-6-0=0,当5-c≠0时，a16-,不能推出5=c,箭误： 综上，正确的关系式共3个，选C. 33/43 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.已知“，b是异面直线，且01b,C,分别为直线“，b的单位方向向量，且m=2g+3g 方=kg-4e,,m1元，则实数的值为（） A.-6 B.6 C.3 D.-3 【答案】B ”,所以mn=0 【详解】由于m1刀 即2e+3e)(ke-4e)=0 所以2kg+(3k-8)6·6,-126=2k-12=0 解得k=6. 3.在棱长为1的正方体 BCD-48,CD中，8BC的值为() A.1 B.-1 C.2 D.-2 【答案】A 【详解】如图，以D为原点建立空间直角坐标系， D B A A(1,0,0)B(1,1,0)B(1,1,1)C(0,1,1) .AB,=(01,1),BC=（-1,0,1) AB·BC=(0,1,1)(-1,0,1)=1 故选：A 4.如图，在正三棱柱1BC-ABCG中，AC=2,M4=1,则·BC=() 34/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B A.-3 B.-1 C.0 D.1 【答案】B 【详解】依题意可知∠A4C=∠44B-分∠BAC-于， AB BC =AB+A4AC-AB) =(AB+AA)AA+AC-AB） =AB·AA+AB·AC-AB·AB+AA·AA+AA·AC-AA·AB =0+2×2xc0s7-2x2+1x1+0-0-1 故选：B 5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E,F分别是BC,AD的中点，则AECF 的值为() 1 1 A.1 B.- c.2 D.-1 【答案】B 【详解】根据慰意1BCD为正四面体， BC,BD,BA 两两成60°角。 所以BCBD=BC.BA=BD.BA=1×1xcos60°=} 2 所以G=死--c-F=F-c研+D-C, 所uG.a-ac-瓜j函- 35/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8c+c而+8c-赋D+c 1111111111 4242222222 B 故选：B 6,如图，在直三枝柱48C-A8G中，1C=1B=4=V5,BC=24E=2,则向量正与4C的夹角的 余弦值是() E 1 A.2 2 B.2 3 c.2 D.0 【答案】A 【详解】在直三棱柱 BC-ABC中，AM平面4BC,ABc平面4BC,4Cc平面BC 1L8,41L1C,由4C=B=5,8C=2,得48+AC= 多 ,则BLAC 由BC=2AB=2,得g为BC的中点，则正=(B+AC), 由4C=M=2,得A,C-2,则E4C-B+aC)(c-4)4C-l, 36/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE·AC1 因此cos(AE,4C)=AE4C2, 所以向量正与C的夹角的余孩位号 二、多选题 7.如图所示，在棱长为I的正四面体ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点，则下列计算结果正确的是 () A.EF.BA-1 B.EF.AD- C.EF.DC=-1 D.C- 【答案】ABC 【详解】因为R,F分别是AB,4D的中点，所以示-)BD, 所以F.BA=8D-BA=8 co3(B0,8）=×os60子，A正确： FBD=D-D=B0-,B正确 F.C-o(p.ne)2 -4,C正确： AB.CD=AB(AD-AC)=AB·AD-AB·AC =4ADcos AB,.D-A4Ccos(B,AC）=cos60-cos60=0,D错误： 故选：ABC. 37/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.已知正方体1BCD-4BCD的中心为O,AB=1,则满足4·m=1 的m可以是() A.CD B BC C BD D.CO 【答案】AC 【详解】由 AA=BB=CC DD 正方体如下图示， 根据向量数量积的几何意义有 CC·CDHCCP=1BB·BD =BB P-1 8服-ac=-B丽f-l,co-Cf-月 综上，满足4m=引的m可以是CD、西 A B D 故选：AC 三、填空题 g.已知空间向量a16,1c,1c,且同=月-月-l则6+6+d- 【答案】5 【详解】a1不，a1c,万1c,a-6=0.ac=0i-c=0 ~同===1，a+6+d=+++2a-i+2a-c+26c=3, :.a+b+c-V3 3 故答案为： 38/43 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 10.如图，在一个45°的二面角的棱上有两个点A,B,线段AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内， 并且都垂直于校B,且B=24C-,BD=25,则CD的长为 CD B 【答案】3 CD=CA+AB+BD 【详解】因为 所以C而=C+A6+BD°+2C.B+2C.BD+2ABBD CA⊥AB,AB⊥BD 由题意， 则CAB=0.BBD=0 所以CD=C+AB+BD+2CA.BD 因为线段AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内， 并且都垂直于棱AB，且二面角大小为45°， CA,BD=135 所以 而1B=2,AC=bBD=2V2 所以C0=3 故答案为：3. 1L.如图，在三棱锥P-ABC中，PB=PC=l∠APC=90,-PC 2,则∠BPC= 39/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【答案】60° 【详解】设<BPC=0 ,因为 PB=PC=1,∠APC=90° 所y以1PPC=O 则B元-(P+m元-所元-1xik0号 所以0=60°，即∠BPC=60 故答案为：60° 四、解答题 12.已知空间向屉后万均为单位向量，向量满足日=2.a,)-号，仁，-仁，5)-牙 1 (1)证明：ā在。上的投影向量为4C。 ②求a+6+. 【答案】(1)证明详见解析 ② 【分析】 【详解】(1)证明：因为=2，在，d)=2 3，空间向量a为单位向量，所以d=1. a.c=|dcos(c,a)=l×2×co 2m1. 3 a.c 所以在上的投影向星为可”2、 -1 c= 40/43 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 故a在c上的投影向量为4 (2②)因为空间向量后6均为单位向量，所以=1，月=1，又位，)-号。 所以a6=5cosa.=1x1kc号2同理可得5E-又aG:- 所以a+6+d=a+6+c=层+5+2+2a.6+26:c+2ae ++2+2x2x(-)+2x(-=5 故a+6+=V5 13.如图，在平行六面体 BCD-ABCA中，底面BCD为正方形，∠A1B=∠A1D=60,M=B=2 BC 设E为C的中点. D C B B (I)求AE的长： (2)求BA·BE. 【答案】)5 (2)-2 【分析】 【详解】(1)：1G=++D,B=4+B 征-新ac+)=杯+孤+0， 41/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -++0 1 =V4+4+1+2×2×2×+2×2×=V5 2 (2)由题意 BA.BE=BA.(AE-AB) 又由4)可知证=+0+杯。 又MB.D=0,5A=2×2×cos60=2 .BABE=0-2=-2 14.如图，在平行六面体ABCD-AB'CD'中∠BAA'=∠DAA'=120°，∠BAD=90°，AB=AD=2,AM'=4, 点M为DD的中点 D A B (1)求BM的长： (2)已知E为CC上的动点，若AE⊥BM,求CE的长. 【答案10)26 (2)2 【分析】 【详解】由题意可知：而-丽-2网-4，砺而-0. 而看=丽丽=2x4》4 因为丽=+=-丽+D+4, 42/43 命学科网·上好课 www.zx×k.com 上好每一堂课 则丽(6+而 -B+0+1-2B.0+0.A-8 =4+4+4-0-4+4=12, 即BM=2W5,所BM的长为25 (2)设正=CC,则酝=C+C正=+而+A 花B服-(+而++而+ 可得 =丽+而++合而+}刘小丽 =44+8以-合行小财-4 若征1BM·则正M-8A-40解得天= 所以CE-)cC=2,即CE的长为2 43/43 第02讲 空间向量的数量积运算（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01 空间向量的夹角 2 知识点02 空间向量的数量积运算 3 知识点03 数量积的性质 4 剖题型・讲技巧 5 题型1 空间向量数量积的概念辨析 5 题型2 求空间向量的数量积 8 题型3 利用数量积求距离、长度 8 题型4 利用数量积求夹角 15 题型5 利用数量积证明垂直问题 18 释疑惑·重难拓展 23 题型1 空间向量数量积的综合应用 23 练好题·提分培优 27 课标要点 1．理解空间两个非零向量夹角的定义与取值范围，分清向量垂直对应的特殊夹角，能够区分向量夹角和异面直线夹角的区别。 2．掌握空间向量数量积定义，熟记零向量与任意向量数量积为0，熟练运用交换律、结合律、分配律对数量积式子化简变形。 3．理解投影向量的几何意义，可通过平移将空间向量转化到同一平面分析投影。灵活运用数量积各类性质，求解向量模长、判断向量垂直、推导夹角大小。 4．借助数量积搭建几何与代数的桥梁，运用向量运算分析空间角度、垂直关系，发展直观想象、数学运算核心素养。 知识点01 空间向量的夹角 如图，已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作， 夹角的范围：，特别地，如果，那么向量互相垂直，记作 练习1．如图在正三棱锥中，，则________；________． 知识点02 空间向量的数量积运算 1、空间向量的数量积 已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作，即． 零向量与任意向量的数量积为0，即. 2、数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 交换律 分配律 3、投影向量 在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量． 练习2．在棱长为2的正方体中，（    ） A． B．4 C． D．2 3．如图，正方体的棱长为1，设，求： (1) (2) 知识点03 数量积的性质 若，为非零向量， 则（1）；（2）；（3），； （4）；（5） 练习4．已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 题型1 空间向量数量积的概念辨析 方法技巧 判断数量积相关命题，核心牢记定义公式：。数量积运算结果是实数，和向量数乘区分开，向量数乘结果依旧是向量。 牢记特殊规则：零向量与任意向量数量积恒为0，即；两非零向量垂直等价于。向量夹角范围，同向向量，反向向量，结合定义逐条辨析命题对错。 【例1】关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，在八面体中，平面均垂直于底面，且，则下列向量中与向量在平面上的投影向量相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（多选）若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 【变式1-2】（多选）下列四个命题中，说法不正确的是（    ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．是共线的充分不必要条件 C．对于非零向量，由，则 D．若向量满足，则 【变式1-3】如图所示，在棱长为2的正方体中，为与的交点，为的中点，则在上的投影向量的模为________；在平面内的投影向量的模为________． 题型2 求空间向量的数量积 方法技巧 础计算公式：，计算前需要明确两个条件：向量模长，向量夹角。 若向量由几何体线段构成，先根据边长得到模长，平移向量至共起点确定夹角；向量表达式复杂时，先用线性运算化简向量，再代入数量积公式计算，灵活使用向量数量积运算率简化运算。 【例3】已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【例4】如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（   ） A．12 B． C．16 D． 【变式2-1】在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2-2】已知正四面体的棱长为2，F，G分别为的中点，则_____________． 【变式2-3】如图所示，在棱长为1的正四面体中，，分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3)． 题型3 利用数量积求距离、长度 方法技巧 线段长度等于对应向量的模长，核心公式：，距离问题均可转化为向量模长计算。 将代表线段的向量拆分为基底组合，计算展开后代入基底模长、基底间数量积，算出数值后开平方得到长度；多段线段组合的距离，拆分多个向量分步运算，再合并求解。 【例5】两位游客来到汕尾·保利金町湾的“鲸湾生活馆”外的楼梯上拍照留念，此时正好一人站在地面上（B点处），一人站在楼梯斜坡上（A点处），如图所示．现将楼梯斜坡近似看作斜面，斜面与地面的交线记作直线l，通过测量得到以下数据：斜面与地面所成的坡度角为60°，A点在地面上的投影与B点恰好在直线l的两侧，A点到直线l的距离为AD，测得，B点到直线l的距离为BC，测得，且测得，则A，B两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 【例6】如图，有一长方形的纸片的长度为的长度为，现沿它的一条对角线把它折叠成的二面角，则折叠后__________，线段的长是__________.    【变式3-1】如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 【变式3-2】在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 题型4 利用数量积求夹角 方法技巧 由数量积公式变形得夹角余弦公式：。 先通过基底运算求出，全部代入式子算出余弦值。再结合夹角范围反求角度，注意几何体中异面线段夹角取锐角或直角，和向量夹角区分开。 【例7】三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（   ） A． B． C． D．90° 【例8】如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在三棱锥中，若，，，点为棱上一点，且，点为线段的中点 (1)求的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 题型5 利用数量积证明垂直问题 方法技巧 判定定理：两个非零向量。 把需要证明垂直的两条线段对应向量用基底表示，完整展开，结合题干固定边长、垂直条件化简式子。若化简后结果等于0，就能证明两向量垂直，进一步推导空间线线、线面垂直关系。 【例9】如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为（    ） A． B． C．1 D． 【例10】如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N分别是AB，CD的中点．证明：．    【变式5-1】平行六面体中，底面ABCD为正方形，，，E为的中点，则异面直线BE和DC所成角的余弦值为（    ） A．0 B． C． D． 【变式5-2】（多选）如图，在四面体中，设，，，下列条件能证明的是（    ） A． B．，， C．， D．， 【变式5-3】如图，已知棱长为1的正四面体，设高的中点为． (1)求的长； (2)求证：，，两两垂直． 释疑惑·重难拓展 题型1 空间向量数量积的综合应用 【例1】线段在平面内，，且，则两点间的距离为（   ） A．5 B． C． D． 【例2】已知是空间中3个两两垂直的单位向量，向量，（为正数）且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图是缠线用的线拐子，在结构简图中线段与所在直线异面垂直，，分别为，的中点，且，，线拐子使用时将丝线从点出发，依次经过，，又回到点，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中，则丝线缠一圈的长度为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 【变式1-3】如图所示，在两条异面直线上分别取不同的点和，使，且.已知的夹角是，，则线段的长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．下面给出的关系式中 （1）；         （2）； （3）；         （4）； （5）若，且，则． 正确的个数是（   ）. A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为（   ） A． B．6 C．3 D． 3．在棱长为1的正方体中，的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 4．如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 5．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 6．如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 7．如图所示，在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，则下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知正方体的中心为，，则满足的可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．已知空间向量，，，且，则  _____. 10．如图，在一个的二面角的棱上有两个点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱，且，，则的长为___________ 11．如图，在三棱锥中，，则___________． 四、解答题 12．已知空间向量，均为单位向量，向量满足，，. (1)证明：在上的投影向量为. (2)求. 13．如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 14．如图，在平行六面体中，，，点为的中点.    (1)求的长； (2)已知为上的动点，若，求的长. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $