2.2　锐角的正切 教学设计 2026——2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“锐角的正切”核心知识点，通过回顾直角三角形性质、正弦余弦概念，结合相似三角形引出对边与邻边比值的探究，搭建前后知识学习支架，自然导入新课。 以探究为主线，通过四个探究活动引导学生自主抽象正切概念，培养推理能力，变式题与辅助线构造提升几何直观，达标测评与知识网络强化模型意识，助力学生深化理解，提升教师教学效率。

2.2　锐角的正切 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 课题 2.2　锐角的正切 授课人 教 学 目 标 　　1.理解锐角正切的概念. 2.熟记特殊锐角的正切值. 3.会用计算器求非特殊锐角的正切值. 4.当直角三角形中一锐角的度数确定时,这个锐角的对边与邻边的比值也确定. 5.在利用相似三角形的知识测量、计算物体高度的过程中,联想函数的概念,观察、发现、理解锐角三角函数的概念. 6.培养良好的数形结合能力,体验锐角正切值的应用. 教学 重点 　　锐角正切的概念、符号、表示方法及锐角正切值的相关计算. 教学 难点 　　锐角正切的概念、特殊锐角的正切值. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 回顾 1.直角三角形的两锐角　　　　.  2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的　　　　.  3.若直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,则　　　　.  4.在直角三角形中,锐角A的正弦等于　　　　,锐角A的余弦等于　　　　.  5.sin30°=　　　　,sin45°=　　　　,sin60°=　　　　,  cos30°=　　　　,cos45°=　　　　,cos60°=　　　　.  　　学生回忆并回答,为本课的学习提供迁移或类比方法. 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 1.前面我们学习了锐角正弦、余弦的概念及特殊角的正弦、余弦值等知识,那么在直角三角形中,某一锐角除对边与斜边的比值,邻边与斜边的比值是定值外,还有其他的边的比值是定值吗?比如说对边与邻边的比值?这节课我们就来探究这个问题! 图2-2-6 2.如图2-2-6,由Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3得==. 可见,在Rt△ABC中,当锐角A确定后,无论直角三角形是大是小,其对边与邻边的比值是唯一确定的. 　　鼓励学生独立解决问题,让学生感受当直角三角形的某个锐角确定后,其对边与邻边的比值是唯一确定的. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 锐角正切的概念 图2-2-7 (在课堂引入的基础上多媒体出示)为了探索新的测量方法,在直角三角形中定义锐角的正切,为测量开辟了新的领域:如图2-2-7,在Rt△ABC中,∠C=90°,则tanA=　　　　.  (1)弄清“对边”“邻边”的含义,在Rt△ABC中,∠C=90°,对∠A来说,　　　　是对边、　　　　是邻边;而对∠B来说,　　　　是对边、　　　　是邻边,无论怎样,“边”一定要分清.  (2)为了记忆方便,可以用口诀进行记忆,即“正切等于　　　　　　　”.  (3)锐角的正切符号与锐角的正弦、余弦符号一样,是一个整体,不能看成是tan和A相乘的关系,它的整体表示　的比.  (4)会求锐角的三角函数值.在直角三角形中,知道两边,用勾股定理求第三边,再用锐角三角函数的定义求解. 【探究2】 特殊锐角的正切值 (类比上一节课引入多媒体出示)如图2-2-8,观察一副三角尺:每个三角尺上有几个锐角?分别是多少度? 图2-2-8 (1)tan30°等于多少?与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的? (2)tan45°,tan60°等于多少? 归纳:tan30°=,tan45°=1,tan60°=. 【探究3】 非特殊锐角的正切值的求法 (1)对于非特殊锐角的正弦值、余弦值我们是通过什么方法求出的?能用同样的方法求非特殊锐角的正切值吗? (2)已知锐角的正切值能求锐角的度数吗?操作按键的步骤又是什么? 归纳:(1)已知角度,利用计算器求正切值,按键为tan+角度数. (2)已知锐角的正切值,利用计算器求角度按键为:SHIFT+tan+数值. 【探究4】 锐角三角函数的概念 归纳:任意给定一个锐角α,它的正弦sinα(或余弦cosα,或正切tanα)都有唯一确定的值与它对应,并且当锐角α变化时,相应的sinα(cosα,tanα)的值也随之变化.习惯上把锐角的正弦、余弦和正切统称为锐角三角函数. 　　 本活动的设计意在引导学生通过自主探究,合作交流,使其对具体问题的认识从形象到抽象,训练学生能从实际问题中抽象出锐角三角函数的概念. 活动 二: 探究 与 应用 【应用举例】 例1　计算:tan45°+tan230°tan260°. 变式一　计算6tan45°-2cos60°的结果是 (　D　) A.4　　　　　B.4　　　　　C.5　　　　　D.5 变式二　如图2-2-9所示,在4×8的网格中,每个小正方形的边长都为1,△ABC的三个顶点都在格点上,则tan∠BAC的值为 (　A　) 图2-2-9 A. B.1 C. D. 变式三　在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则tanB的值为(　B　) A. B. C. D. [解析] 由题意可设BC=4x,则AB=5x,所以AC==3x, 所以tanB===. 　　 认真审题是解题的关键,通过运用三角函数的定义求三角函数值,学会解决简单的问题.采取启发式教学发挥学生的潜能. 【拓展提升】 1.通过添加辅助线构造直角三角形求锐角的正切值 例2　如图2-2-10,在四边形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中点.若EF=2,BC=5,CD=3,则tanC等于 (　B　) 图2-2-10 A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. [解析] 如图2-2-11,连接BD.因为E,F分别是AB,AD的中点,所以BD=2EF=4.因为BD2+CD2=16+9=25=BC2,所以△BCD是直角三角形,且∠BDC=90°,所以tanC=. 图2-2-11 2.锐角正切的简单应用 例3　如图2-2-12,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=6,D是AC上一点.若tan∠DBA=,则AD的长为(　A　) 图2-2-12 A.2 B. C. D.1 图2-2-13 [解析] 如图2-2-13,过点D作DE⊥AB,垂足为E.易证△ADE为等腰直角三角形,AE=DE.在Rt△BDE中,tan∠DBA===,所以BE=5AE.在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,BC=AC=6,由勾股定理可求出AB=6,所以AE+BE=6,所以AE=.在等腰直角三角形ADE中,用勾股定理可求出AD的长为2. 　　教师引导学生分析,找出思路后,让学生解答. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.教材P73练习中的T1,T2,T3,T4. 2.教材P74习题2.2中的T1,T2,T3. 　　通过设置达标测评,及时反馈学习效果. 【知识网络】 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 　　①[授课流程反思] 本节课通过类比正弦、余弦概念的学习,引出正切的概念,自然、贴切. ②[讲授效果反思] 本节课通过四个知识要点的探究与展示,引导学生根据锐角正切的概念求锐角的正切值,通过应用举例和拓展提升梳理本节题型,突出了本节的重点、难点,效果较好. ③[师生互动反思]     ④[习题反思] 好题题号　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　  　　错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　　反思,更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $