2.2锐角的正切（教学课件）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学课件聚焦锐角正切，涵盖定义、特殊角值及计算器应用。通过回顾正弦余弦引入对边与邻边比值的探究，以相似三角形证明比值为常数，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以问题驱动结合小组合作，通过构造直角三角形推导特殊角正切值，培养推理意识与抽象能力。典例与分层练习强化应用，课堂小结系统梳理性质，助力学生构建知识体系，教师使用可提升教学效率。

2.2 锐角的正切 第2章 锐角正弦、余弦、正切 导入新课 斜边 邻边 对边 如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°， sin A=_______；cos A=_______. 我们知道，在直角三角形中，角A的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关. 在直角三角形中，角A的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关. 在直角三角形中，角A的对边与邻边的比值是不是一个常数呢？是不是也与直角三角形的大小无关吗？ 今天，我们来学习它。 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握锐角的正切的定义并能够进行相关运算（重点） 熟记特殊角30°、45°、60°的正切值并进行相关的计算（重点） 学会利用计算器求锐角的正切值或根据正切值求锐角。 新知探究 探 究 如图，△ABC 和△DEF 都是直角三角形，其中 ∠A =∠D =α，∠C =∠F =90°， 则成立吗？为什么？ A B C α E F D α 因为∠A=∠D =α，∠C=∠F= 90°， 所以 △ABC∽△DEF. 我们可以得到什么结论呢？ 证明三角形相似 两角对应相等 在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 锐角α的正切 新知探究 总结归纳 正切 在直角三角形ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫作∠A的正切弦， 记作tanA. 邻边b 对边a 1.tanα是一个完整的符号 若锐角用三个大写字母或数字表示，角的符号“∠”不能省略（如tan∠ABC、tan∠1）；若锐角用一个大写字母或小写希腊字母表示，可省略“∠”（如tanA、tanα） 2.正切是在直角三角形中定义的 3.tanA的值只与角A的大小有关，而与所在的直角三角形大小无关。 新知探究 思 考 小组合作 问题1：如何求tan 30°，tan 60°的值？ 问题2：如何求tan 45°的值？ 思路：正切是在直角三角形中定义的，所以要构造直角三角形。 新知探究 如图，画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=30°. AC2 = AB2－BC2 = (2BC)2－BC2 = 3BC2. 由此得出AC= BC． 于是 BC= AB， ∠B=60°． 根据勾股定理，得 因此 问题1：如何求tan 30°，tan 60°的值？ A B C 30° 新知探究 问题2：如何求tan 45°的值？ A B C 45° 如图，画一个Rt△ABC，使∠C = 90°，∠A=45°. 于是 AC = BC，∠B = 45°， 因此 . 新知探究 总结归纳 30°、45°、60° 角的正弦值、余弦值、正切值 观察上述三个角的正切值，思考：锐角的正切值与角度的大小有什么变化规律？ 锐角的正切值随着角度（0°~90°）的增大而增大。 α 30° 45° 60° sinα cosα tanα 新知探究 总结归纳 锐角三角函数 从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角 α ，它的正弦sin α(或余弦cos α，或正切tanα)都有唯一确定的值与它对应，并且当锐角 α 变化时，相应的sinα(cosα，tanα)的值也随之变化，习惯上把锐角的正弦、余弦和正切统称为锐角三角函数. 例 计算：tan45°+ tan230°tan260°. 典例分析 解：tan45°+ tan230°tan260° 1.熟记30°、45°、60°的正切值. 2.先代入，再计算 新知探究 我们会求特殊角度300、450、600的正切值，那对于一般的锐角的正切值怎样去求呢？ 现代科技很发达，我们可以利用计算器来求 思考：那怎样利用计算器来求呢？ 请同学们阅读教材P73的内容,自己解决这个问题，并完成P73的做一做。 新知探究 求 25°角的正切值(精确到0.000 1). 可以在计算器上依次按键 tan 2 5 显示结果 为 0.466 307 658， 因此 tan 25°≈ 0.466 3. 已知 tan α =0.839 1，要求对应锐角α (精确到1°). tan 0 . 8 3 9 1 显示结果为 40.000 012 4，可得 α ≈ 40°. 依次按键 SHIFT 思考：反过来，已知正弦值或余弦值能不能用计算器来求这个锐角的度数呢？ 新知探究 利用计算器计算： (1) tan21°15′≈ ___________ (精确到0.000 1) ； (2) tan89°27′≈ ___________ (精确到0.000 1)； (3) 若tan α=1.286 8，则锐角α ≈ _______(精确到0.1°) ； (4) 若tan α=108.572 9，则锐角α ≈ _____(精确到0.1°). 0.3889 104.1709 52.1° 89.5° 做一做 基础巩固题 新知应用 1.在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 C B C A (1)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5, AC=12,tanA=( ). (2)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5, AB=13,tanA=( ),tanB=( ). (3)在Rt△ABC中∠C=90°，BC=5,tanA= , AC=( ). 2.完成下列填空： 在直角三角形中，角α的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 基础巩固题 新知应用 3.如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则 tan A = ( ) A. B. C. D. D 这个图呢？ 在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 基础巩固题 新知应用 4.下列各式中一定成立的是（ ） A.tan75°﹥tan48°﹥tan15° B. tan75°﹤tan48°﹤tan15° C. cos75°﹥cos48°﹥cos15° D. sin75°﹤sin48°<sin15° A 1.锐角的正弦值随着角度（0°~90°）的增大而增大。 2.锐角的余弦值随着角度（0°~90°）的增大而减小。 3.锐角的正切值随着角度（0°~90°）的增大而增大。 基础巩固题 新知应用 5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7， BC=5，求 tan A，tan B 的值． 解：根据题意作出Rt△ABC. A B C 方法： 1.构造直角三角形 2.求正切值就是找这个角的对边与邻边。 基础巩固题 新知应用 6.计算： （1）1+ tan260°； （2） tan30°cos30°. 解：1+ tan260° 解：tan30°cos30° 1.熟记30°、45°、60°的正弦值、余弦值、正切值. 2.先代入，再计算 基础巩固题 新知应用 7. 用计算器求下列锐角的正切值(精确到0.0001): （1） 9°42′； （2） 68°12′45″. 解：（1）tan9°42′ ≈ 0.170 9； （2）tan68°12′45″ ≈ 2.5108； 8. 已知下列正切值，用计算器求对应的锐角 (精确到0.1°). （1）tan α=0.108 7； （2）tan α=89.708 1. 解：（1）α ≈ 6.2°； （2）α ≈ 89.4°. 能力提升题 新知应用 9. 已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 (1－tan A)2 ＋| sin B－ |＝0，试判断 △ABC 的形状． 解：∵ (1－tan A)2 ＋ | sin B－ |＝0， ∴ tan A＝1，sin B＝ ∴ ∠A＝45°，∠B＝60°， ∠C＝180°－45°－60°＝75°， ∴ △ABC 是锐角三角形． 非负数+非负数=0 10.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， AB = 15，tan A =，求 AC 和 BC. 4k ∴ BC = 3k = 3×3 = 9，AC = 4k = 4×3 = 12. ┌ A C B 15 解：如图， ∴设 BC = 3k，AC = 4k. 正切本质是两条线段的比值 设参数法 能力提升题 新知应用 11. 如图，在中，，垂足为.若 ，， ，求 的值. 【解】 因为在中， ，所以. 所以.所以 .所以在 中，.所以 ， .所以 . 课堂小结 正切 正切的概念：在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比叫做角α的正切 正切的性质：α确定的情况下，tanα为定值，与三角形的大小无关 用计算器解决正切问题 感谢聆听! $