专题2.3 解直角三角形（8大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版九年级上册

本讲义聚焦解直角三角形核心知识点，系统梳理从定义（已知元素求未知元素）到边角关系（勾股定理、两锐角互余、锐角三角函数），再到不同已知条件（两边、一边一角等）及复杂情境（多三角形、四边形、网格、坐标系）的应用，构建从基础到综合的学习支架。 资料亮点在于题型分层设计，典例结合变式，融入实际问题（如测量、楼梯护栏）和跨情境应用（网格、坐标系），培养几何直观、推理能力与模型意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题2.3 解直角三角形 教学目标 1. 理解解直角三角形的含义，明确直角三角形中边、角间的关系（勾股定理、两锐角互余、边角比），知晓“已知一边及一元素”即可求解其余元素。 2. 掌握解直角三角形的方法，能根据已知条件灵活选用定理或三角函数，准确计算未知边、角。 3. 能将实际问题抽象为直角三角形模型，运用相关知识解决测量等问题，体会数形结合思想。 教学重难点 1.重点 （1）核心是掌握解直角三角形的依据，即勾股定理、直角三角形两锐角互余及锐角三角函数的综合运用。 （2）关键是能根据已知条件（至少含一边），选择恰当方法求出直角三角形的未知边和角。 2.难点 （1）难以根据不同已知条件（如已知“一边一角”或“两边”）灵活选择最优定理或三角函数，导致计算繁琐或出错。 （2）实际问题中，无法准确提取关键信息，难以将仰角、坡度等实际概念转化为直角三角形中的边、角关系。 知识点01 解直角三角形 解直角三角形 1. 解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． 2.解直角三角形要用到的关系 （1）锐角直角的关系：∠A+∠B=90° （2）三边之间的关系：a2+b2=c2 （3）边角之间的关系：，， （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 【即学即练】1．如图，在中，，则的长为（   ） A． B． C． D．6 2．某楼梯装有护栏，其侧面如图所示．其中，于点，于点，若，，则_________． 3．如图，在中，于点，，，，求： (1)的长； (2)的值． 题型01 已知两边解直角三角形 【典例1】（25-26九年级上·广东河源·期末）如图，在中，，，，则的度数为______． 【变式1】（25-26九年级上·山东东营·开学考试）在中，，则的度数为_______． 【变式2】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）已知在中，，、、所对的边分别是、、．其中，解这个直角三角形． 【变式3】（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，中，，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 题型02 已知一锐角和一边解直角三角形 【典例1】（2026·天津河西·一模）在中，，，斜边，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）在中，，，，所对的边分别为，，，且，，则的值为______． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）是直角三角形，，，则的长为______． 【变式3】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）在中，分别为的对边，根据下面的条件解这个三角形： (1)； (2)． 题型03 已知一锐角的三角函数比的值和一边解直角三角形 【典例1】（2026·河北沧州·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为（   ） A．5 B．4 C． D． 【变式1】（25-26九年级上·安徽淮北·期末）在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 则， ∴． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·河南周口·期末）在中，，则_______． 【变式3】（2025九年级上·北京·专题练习）在中，，，，求和的长． 题型04 解一图多三角形的直角三角形 【典例1】（2026·陕西·中考真题）如图，在中，，，．的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·全国·周测）如图，在四边形中，，连接．若，的长度是 ． 【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）已知，如图，，垂足为，，求的正弦值、余弦值和正切值． 【变式3】（2024·北京·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，，是的中点，连接，过作于点，与交于点．    (1)求的值； (2)是线段上一点，且，过点作的垂线交于点，请在图中补全图形，用等式表示和的数量关系，并证明． 题型05 解非直角三角形 【典例1】（2025·江苏常州·一模）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【变式2】（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）在中，，，若，求的长． 【变式3】（2025·浙江·二模）如图，在中，，，中线． (1)求的长； (2)求的值． 题型06 四边形中解直角三角形 【典例1】（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在四边形中，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，在四边形中，，，，，则的长为 ． 【变式2】（2024·吉林长春·模拟预测）在四边形中，，，，，，则四边形周长为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·湖南永州·一模）如图，在四边形中，E是的中点，，交于点F，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 题型07 网格中解直角三角形 【典例1】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C都在网格线上，，垂足为D，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·云南昆明·模拟预测）如图，点、、在边长为1的正方形网格格点上，则下列结论不正确的是（    ） A．是直角三角形 B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，网格中的每个小正方形的边长均为1，点 ，，都在格点上，则的值为 ． 【变式3】（2024·浙江·一模）如图是由36个边长为1的小正方形组成的的网格，的顶点即是网格的顶点． (1)求； (2)在图中找一个格点D，利用和说明“有两条边和一个角相等的两个三角形全等”是假命题． 题型08 坐标系中解直角三角形 【典例1】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，P是射线上的一点，若，则P点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，且，则顶点的坐标是 ． 【变式2】（2023·宁夏银川·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点B的坐标为 ． 【变式3】（2024·山西朔州·一模）如图是一面钟表，以指针的旋转中心为坐标原点，以整9点时针和分针所在的直线分别为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系，当时间为10点10分时，分针的外端点落在点A处．若，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，在中，,，，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（2022·浙江杭州·二模）在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．（2026九年级下·浙江·专题练习）如图，在四边形中，，则四边形与四边形的面积比为（） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，，，分别以点，为圆心大于长为半径画弧，两弧交于点，，交于点，交于点，连接，交于点，则的长度是（     ） A． B． C． D． 5．（2025年四川省达州市初中毕业班升高中新生入学数学测试）三边分别为，且满足，则下面说法正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在中、，，，则的长为_____． 7．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图是的高，，，，则的长为______． 8．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，是的中线，，，．则的长为_____． 9．（2026·广西·中考真题）如图，在正方形中，为边上一点，连接，．若，，则___________． 10．（2026·安徽蚌埠·二模）我们规定：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，例如：矩形，平行四边形等；②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．如图，四边形是“等对角四边形”，，，． （1）的度数是___________； （2）若，则___________； 三、解答题 11．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）在中，的对边分别为a，b，c，由下列条件解直角三角形． (1) (2) 12．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，，，所对的边分别为a，b，c．根据下列条件求出的其他元素： (1)已知，． (2)已知，． 13．（25-26八年级下·北京朝阳·期末）如图，一架长为米的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离为米．当梯子底端沿向外移动米时，设梯子的底端由点B移动到点D，顶端由点A下滑到点C，此时梯子顶端沿墙下滑多少米？ 14．（2026·北京·三模）如图，在四边形 中，是 的中点，，交于点 ，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求 的长． 15．（2026年江苏省南京市中考考前数学试卷）已知：中，，F、G为、边上的点，且，． (1)求证：； (2)，，，，求的长． 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在中，，，，则的长为（   ） A． B．6 C． D．8 2．（25-26九年级上·广西崇左·期末）如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是，且与x轴正半轴的夹角的余弦值是，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·广东深圳·阶段检测）某地正午时，太阳光线与地面形成的夹角为，为了使太阳能板获得最大效率，需将其倾斜角调整为与太阳光线垂直．已知太阳能板的长度为米，此时太阳能板顶端离地面的垂直高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（2026·福建泉州·二模）将一副三角尺按如图所示摆放，其中点、、在同一条直线上，，，，若，则的长是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，将绕点顺时针旋转后，得到，点，的对应点分别是点，，以原点为位似中心，将放大为原来的3倍后，得到，顶点在第一象限对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，在中，，，．点D在上，，连接，则__________． 7．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）周六下午，九年级嘉嘉和同学外出郊游，在河岸边玩耍，她想测量河的宽度，设计了一种测量方案：如图所示，在河对岸选择点，再在河这边岸边选取，两点，使得，，并测量出长为米，则河的宽度为___________米． 8．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接，若，，则m的值是______． 9．（21-22九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在中，，，．的长为 _____．（结果保留根号） 10．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，中，对角线与相交于点，，是线段上一点，，，则的值为__________． 三、解答题 11．（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在中，，，垂足为D，． (1)求的长； (2)求的正切值． 12．（2025·贵州·一模）如图，在中，分别平分，交于点与相交于点，分别过点作，交于点H． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 13．（2024·江苏宿迁·三模）如图1，在中，，，，点在边上由点向点运动(不与点、重合)，过点作，交射线于点． (1)当时，线段 ； (2)若是等腰三角形，求线段的长； (3)若，求线段的长． 14．（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图．已知中，，是斜边上的中线，过点A作，分别与，相交于点H，E，． (1)求证：； (2)求的值； (3)如果 ，求的值． 15．（2024·宁夏银川·二模）阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图所示的直角三角形，是锐角，那么，，．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图），在角α的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线绕点逆时针旋转后所得到的，和原点的距离为（总是正的）然后把角α的三角函数规定为：，，（其中，分别是点的横、纵坐标）我们知道，图的三个比值的大小与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，三个比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点在角α的终边位置无关． 比较图与图，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题． (1)如图3，若，则角α的三角函数值α、α、α，其中取正值的是 ． (2)已知α是钝角，则下列说法正确的是 ． ． ． ．α ．α (3)若角α的终边与直线重合，则αα ． (4)若角α是锐角，其终边上一点且，试求和α的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 解直角三角形 教学目标 1. 理解解直角三角形的含义，明确直角三角形中边、角间的关系（勾股定理、两锐角互余、边角比），知晓“已知一边及一元素”即可求解其余元素。 2. 掌握解直角三角形的方法，能根据已知条件灵活选用定理或三角函数，准确计算未知边、角。 3. 能将实际问题抽象为直角三角形模型，运用相关知识解决测量等问题，体会数形结合思想。 教学重难点 1.重点 （1）核心是掌握解直角三角形的依据，即勾股定理、直角三角形两锐角互余及锐角三角函数的综合运用。 （2）关键是能根据已知条件（至少含一边），选择恰当方法求出直角三角形的未知边和角。 2.难点 （1）难以根据不同已知条件（如已知“一边一角”或“两边”）灵活选择最优定理或三角函数，导致计算繁琐或出错。 （2）实际问题中，无法准确提取关键信息，难以将仰角、坡度等实际概念转化为直角三角形中的边、角关系。 知识点01 解直角三角形 解直角三角形 1. 解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． 2.解直角三角形要用到的关系 （1）锐角直角的关系：∠A+∠B=90° （2）三边之间的关系：a2+b2=c2 （3）边角之间的关系：，， （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 【即学即练】1．如图，在中，，则的长为（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形以及勾股定理的应用，过点作于点，先根据求，再根据求，在中利用勾股定理即可． 【详解】解：过点作于点， 则， ，， ， ， ， ． 故选：C． 2．某楼梯装有护栏，其侧面如图所示．其中，于点，于点，若，，则_________． 【答案】 【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行可得，结合已知可判定四边形为平行四边形，从而得出；利用平行线的性质得出，最后在中利用三角函数求解的长，即可求解． 【详解】解：，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， 在中，，， ． 3．如图，在中，于点，，，，求： (1)的长； (2)的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据题意可知，先求得，然后由，即可解答； （2）先用勾股定理求得，然后由直接计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴． 题型01 已知两边解直角三角形 【典例1】（25-26九年级上·广东河源·期末）如图，在中，，，，则的度数为______． 【答案】/60度 【分析】求出的正弦值，即可求解度数． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·山东东营·开学考试）在中，，则的度数为_______． 【答案】/45度 【分析】本题考查解直角三角形，根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）已知在中，，、、所对的边分别是、、．其中，解这个直角三角形． 【答案】，， 【分析】本题主要考查了勾股定理、锐角三角函数以及直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理和直角三角形两锐角互余的性质是解题的关键．先利用勾股定理求出未知直角边，再通过正弦函数求出，最后根据直角三角形两锐角互余求出 【详解】解：∵在中，，，， ∴由勾股定理： ， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上，，， 【变式3】（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，中，，，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关计算，熟练掌握三角函数的定义，特殊角的三角函数值，是解题的关键． （1）根据三角函数定义求出，根据特殊角的三角函数值，求出结果即可； （2）过点A作于点E，根据三角函数求值，得出，从而求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵中，，，， ∴， ∴； （2）解：过点A作于点E，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型02 已知一锐角和一边解直角三角形 【典例1】（2026·天津河西·一模）在中，，，斜边，则的长为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形中锐角三角函数的定义，利用正弦的定义即可推导出BC的表达式，得到答案． 【详解】解：∵ 在中，， 根据锐角正弦的定义，可得， 又∵ ，， ∴ ， ∴ ． 【变式1】（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）在中，，，，所对的边分别为，，，且，，则的值为______． 【答案】16 【分析】本题考查解直角三角形，掌握知识点是解题的关键． 在中，利用的正弦函数定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， 解得． 故答案为16． 【变式2】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）是直角三角形，，，则的长为______． 【答案】或 【分析】本题考查了解直角三角形，解题关键是分类讨论．分和两种情况讨论，利用特殊角的锐角三角函数解直角三角形即可． 【详解】解：是直角三角形，， 存在和两种情况， 若，则， ， 若，则， ， 的长为或． 故答案为：或． 【变式3】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）在中，分别为的对边，根据下面的条件解这个三角形： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握边角之间的转化． （1）先求正切值，即可求解度数，再由勾股定理求解斜边，以及直角三角形锐角互余求解即可； （2）先根据直角三角形锐角互余求解，然后正切求解，再由勾股定理求解． 【详解】（1）解：如图，∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，∵，， ∴，， ∴， ∴． 题型03 已知一锐角的三角函数比的值和一边解直角三角形 【典例1】（2026·河北沧州·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】先根据三角函数的定义列方程，求得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：， ， ，， ， ， ． 【变式1】（25-26九年级上·安徽淮北·期末）在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，关键是熟练运用数形结合的数学方法．设，根据勾股定理求出，再根据即可得出结果． 【详解】解：如图所示，， 设， 则， ∴． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·河南周口·期末）在中，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形及勾股定理的应用，关键是掌握余弦函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦等于邻边与斜边的比值．先利用余弦的定义求出直角边的长度，再根据勾股定理计算出另一条直角边的长度． 【详解】解：在中，， ，， ； 根据勾股定理，； 故答案为：． 【变式3】（2025九年级上·北京·专题练习）在中，，，，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了解直角三角形，在直角三角形中已知一个角和一条边可以求出三角形的其他元素．通过，，可求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：，，， ， ， ． 题型04 解一图多三角形的直角三角形 【典例1】（2026·陕西·中考真题）如图，在中，，，．的垂直平分线交于点，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余得到，则，根据题意可得，，解直角三角形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴，， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·全国·周测）如图，在四边形中，，连接．若，的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，掌握三角函数定义，勾股定理是解题的关键． 由锐角的余弦求出的长，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴. 故答案为：． 【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）已知，如图，，垂足为，，求的正弦值、余弦值和正切值． 【答案】，， 【分析】本题主要考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，掌握锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 根据题意，运用勾股定理可得，由相似三角形的判定和性质可得，，，结合锐角三角函数的计算方法即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴， ， ． 【变式3】（2024·北京·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，，是的中点，连接，过作于点，与交于点．    (1)求的值； (2)是线段上一点，且，过点作的垂线交于点，请在图中补全图形，用等式表示和的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)．见解析 【分析】（1）证和相似得，由点为的中点及得，设，，则，，进而得，由此可得的值； （2）先证为等腰直角三角形得，，再由得，则，设，由（1）可知，，，则，，进而可求出，，再证和相似得，即，由此得，据此可得和的数量关系． 【详解】（1）解：，， ， 又， ， ， 即， 点为的中点，， ， ， ， 设，， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ； （2）解：补全图形如下图所示，，证明如下：   ，， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 设， 由（1）可知：，，， ， ， 在中，，，则， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， ，， ，， ， 又， ， ， 即， ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，理解等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 题型05 解非直角三角形 【典例1】（2025·江苏常州·一模）如图，在中，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是掌握解直角三角形和点到直线的距离定义． 过点A作，通过三角形内角和定理求出的度数，再在直角三角形中利用正弦求出点A到的距离． 【详解】解：过点作，垂足为D， 在中，， ， 在中，， ， ∴点A到的距离为． 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 【变式2】（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）在中，，，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形．过A点作于D点，则是等腰直角三角形，是含角的直角三角形，解直角三角形即可求解． 【详解】解：过A点作于D点， 在直角三角形中，，， ∴， 在直角三角形中，， ∴． 【变式3】（2025·浙江·二模）如图，在中，，，中线． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形，掌握锐角三角函数的计算是关键． （1）根据正切值的计算得到等腰，，由为中线，得到，由此即可求解； （2）如图，过点作于点，，，根据勾股定理，正弦值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴等腰， ∵等腰中，， ∴， ∵为中线， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵等腰，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 题型06 四边形中解直角三角形 【典例1】（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在四边形中，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键是熟练掌握解直角三角形和勾股定理． 利用锐角三角函数求出的长度，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意得，在中，， 由勾股定理得，， 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，在四边形中，，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．如图，延长与交于点．先解求出，进而求出，再证明，设，则，利用勾股定理得到方程，解方程求出，从而即可得解． 【详解】解：如图，延长与交于点． 在中，，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴在中，， ∴设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 【变式2】（2024·吉林长春·模拟预测）在四边形中，，，，，，则四边形周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形． 过点A、点D分别作的垂线，垂足分别为点E、点F，通过证明，得出四边形是矩形，进而得出，，，即可解答． 【详解】解：过点A、点D分别作的垂线，垂足分别为点E、点F， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形周长， 故选：A． 【变式3】（2025·湖南永州·一模）如图，在四边形中，E是的中点，，交于点F，，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了三角形中位线定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，掌握三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． （1）根据三角形中位线的性质求解即可； （2）根据角的正切值，得到，由三角形中位线定理得到，证明四边形为平行四边形，得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵E是的中点， ， ， 是的中位线， ； （2）解：是的中位线， ， ， ， 在中，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， ， 在中， ． 题型07 网格中解直角三角形 【典例1】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C都在网格线上，，垂足为D，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先证明，再根据相似三角形的性质列出比例式，根据正切的定义式求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】（2025·云南昆明·模拟预测）如图，点、、在边长为1的正方形网格格点上，则下列结论不正确的是（    ） A．是直角三角形 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查解直角三角形．根据勾股定理得出，，的长，进而利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，然后结合解直角三角函数的性质进而解答即可． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ， ∴是直角三角形，， ∴，，， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，网格中的每个小正方形的边长均为1，点 ，，都在格点上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了构造直角三角形和勾股定理与网格问题、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解题关键． 【详解】解：如图； 延长 ，作的延长线交于点 ， 根据勾股定理得：，， ∴在中， 故答案为：. 【变式3】（2024·浙江·一模）如图是由36个边长为1的小正方形组成的的网格，的顶点即是网格的顶点． (1)求； (2)在图中找一个格点D，利用和说明“有两条边和一个角相等的两个三角形全等”是假命题． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形，全等三角形的判定： （1）过点A作交的延长线于点P，利用锐角三角函数，即可求解； （2）取格点D，使，即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作交的延长线于点P， 根据题意得：， ∴； （2）解：如图，点D即为所求； 根据题意得：， 此时和不全等． 题型08 坐标系中解直角三角形 【典例1】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，P是射线上的一点，若，则P点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形性质及勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点P作轴，垂足为B，在中，设，则，，求出，，即可解答． 【详解】解：过点P作轴，垂足为B， 在中，， ∴可设，则， ∴， 解得：， ，， ∴点P的坐标为， 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，且，则顶点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，坐标和图形的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是构造辅助线，利用解直角三角形求线段长度． 作出辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形分别求出线段和的长度，即可求出点的坐标． 【详解】解： 如图所示，过点作轴，交轴于点， ∵四边形是菱形，且， ， ∵顶点， ∴菱形的长为4， 在中， ， ， ， 则． 故答案为：． 【变式2】（2023·宁夏银川·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与旋转规律问题，涉及了三角函数、勾股定理以及旋转的性质等知识点，作轴，求出；分别求出将绕点O逆时针旋转一次到六次之后点的坐标，即可找到规律求解． 【详解】解：作轴，如图所示： 由题意得：，， ∴ ∴ ∴， ∴ 将绕点O逆时针旋转一次之后，点与关于轴对称，此时； 将绕点O逆时针旋转二次之后，点落在轴的负半轴上，此时； 将绕点O逆时针旋转三次之后，点与关于原点对称，此时； 将绕点O逆时针旋转四次之后，点与关于轴对称，此时； 将绕点O逆时针旋转五次之后，点落在轴的正半轴上，此时； 将绕点O逆时针旋转六次之后，点回到原始位置，此时； …… 观察可知，六次一个循环， ∵ ∴经过次旋转后，点B的坐标为 故答案为： 【变式3】（2024·山西朔州·一模）如图是一面钟表，以指针的旋转中心为坐标原点，以整9点时针和分针所在的直线分别为轴和轴建立如图所示的平面直角坐标系，当时间为10点10分时，分针的外端点落在点A处．若，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解含有的直角三角形，正确使用三角函数是解决本题的关键． 过点A作轴，于点B，构造出含有直角三角形，由，解直角三角形即可． 【详解】解： 过点A作轴，于点B． 当时间为10点10分时，分针的外端点落在点A处， 此时分钟转动了， ∴， 在中，， ∴，， 又∵点A在第一象限， ∴点A坐标为． 故选：A． 一、单选题 1．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，在中，,，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点A作于点D，利用和分别求出、长，再利用勾股定理求出长，从而求解的长． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ， 在中，， ， 解得：， ， 在中，， ， 解得：， ． 2．（2022·浙江杭州·二模）在中，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直角三角形中锐角余弦的定义求出斜边的长度，再结合勾股定理计算的长度，即可得到答案. 【详解】解：∵ 如图：在中，， 根据锐角余弦定义得， 又，， ，解得， 由勾股定理得，代入，得：. 3．（2026九年级下·浙江·专题练习）如图，在四边形中，，则四边形与四边形的面积比为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的面积计算公式得出的面积为：，连接四边形的对角线和，利用三角形面积公式分别计算四个角上小三角形面积与大四边形面积的关系，最后利用割补法求解即可 【详解】解：如图，在中，， ∴， ∴的面积为：； 连接， ， ， ∴，即， 同理：，即， ， 同理可得， ， 四边形与四边形的面积比为 4．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，，，分别以点，为圆心大于长为半径画弧，两弧交于点，，交于点，交于点，连接，交于点，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据尺规作图可知垂直平分，从而得出为中点且，结合可得，进而利用相似三角形性质求解即可． 【详解】解：在中，， ． 由作图可知，是线段的垂直平分线， ， ，， ， ， ． 在中，， 5．（2025年四川省达州市初中毕业班升高中新生入学数学测试）三边分别为，且满足，则下面说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过设比例系数k，将三边用含k的代数式表示，化简第三个分式的分子为完全平方形式，求出三边关系判断三角形形状，再逐一验证选项． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， 代入得， 又∵， ∴． 化简第三个分式的分子： ， ∵，， ∴， 则． ∴． 即是直角三角形，． 逐一验证选项： A、，k不一定为1， 故A错误； B、在中， 若y为的对边， 则， ∵， ∴， 故选项B为最佳答案； C、， 故C错误； D、， 仅当时等于， k不一定为该值， 故D错误． 【点睛】本题考查了三角形综合．熟练掌握勾股定理及其逆定理，三角形周长概念，完全平方式，是解题的关键． 二、填空题 6．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）如图，在中、，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，作于点，分别解直角三角形，直角三角形，求出的长，再根据线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：作于点，则：， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故答案为： 7．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如图是的高，，，，则的长为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意分别求得，即可求解． 【详解】解：∵是的高，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，是的中线，，，．则的长为_____． 【答案】6 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握构造直角三角形，余弦、正切值的计算方法是解题的关键． 根据题意，过点作于点，构造直角三角形，在中，运用余弦的计算方法可得，再运用勾股定理可得，在中，运用正切值的计算方法可得，由即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为： ． 9．（2026·广西·中考真题）如图，在正方形中，为边上一点，连接，．若，，则___________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得，根据可求得，进而可求得，根据勾股定理即可求得． 【详解】解：在正方形中，， ，， ，即， ， ， 中，． 10．（2026·安徽蚌埠·二模）我们规定：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，例如：矩形，平行四边形等；②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．如图，四边形是“等对角四边形”，，，． （1）的度数是___________； （2）若，则___________； 【答案】 【分析】（1）根据“等对角四边形”的定义，可知，根据四边形内角和为即可求出的度数； （2）过点作交于点交于点，则四边形是矩形，根据矩形的性质可知，，利用三角函数求出和，再利用勾股定理求出的长度． 【详解】（1）解：四边形是“等对角四边形”，， ， ； （2）解：如下图所示，过点作交于点交于点， 则四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 三、解答题 11．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）在中，的对边分别为a，b，c，由下列条件解直角三角形． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形的两个锐角互余，是基础知识要熟练掌握． （1）先求出，再根据等角对等边，得，运用勾股定理进行求出，即可作答． （2）运用勾股定理进行求出，再根据的余弦值求出的度数，运用直角三角形的两个锐角互余求出，即可作答． 【详解】（1）解： ∴， 即 ∴ ， ∴（负值已舍去）， （2）解：∵， ， （负值已舍去）， ， ， ∴ ∴， 12．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，，，所对的边分别为a，b，c．根据下列条件求出的其他元素： (1)已知，． (2)已知，． 【答案】(1)，，． (2)，，． 【分析】本题考查直角三角形的边角关系，掌握利用勾股定理和三角函数的定义求解直角三角形的边和角是解题的关键． （1）利用勾股定理求直角边，再通过正切函数求，进而求出． （2）利用勾股定理求斜边，再通过正切函数求，进而求出． 【详解】（1）解：由勾股定理，得， ， ， ． 故，，． （2）解：由勾股定理，得． ， ， ． 故，，． 13．（25-26八年级下·北京朝阳·期末）如图，一架长为米的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离为米．当梯子底端沿向外移动米时，设梯子的底端由点B移动到点D，顶端由点A下滑到点C，此时梯子顶端沿墙下滑多少米？ 【答案】米 【分析】本题考查勾股定理在实际问题中的应用，根据勾股定理求初始顶端高度 ，根据勾股定理求下滑后顶端高度 ，最后用即可． 【详解】由题意可知，墙与地面垂直， ∴ 、都是直角三角形， ∵梯子长度不变， ∴ 在 中， ， 梯子底端外移后，， ∴在 中，： ， ∴顶端下滑的距离为： ． 14．（2026·北京·三模）如图，在四边形 中，是 的中点，，交于点 ，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求 的长． 【答案】(1)证明：∵是的中点， ∴ ∵， ∴是 的中位线， ∴， 即． ∵， ∴四边形为平行四边形． (2) 【分析】（1）先得出是的中位线，即，再结合两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可作答． （2）结合，，得出，运用勾股定理列式计算得，根据中位线的性质以及平行四边形的性质得，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴ 在中，， ∵ ∴． 根据勾股定理，． 由（1）得是的中位线， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． 在中，． 15．（2026年江苏省南京市中考考前数学试卷）已知：中，，F、G为、边上的点，且，． (1)求证：； (2)，，，，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， 在中，， ， ； (2)的长为 【分析】（1）由、得；在中，在中，由同角的余角相等得，根据两角对应相等，证得； （2）先由、，得，，，设，在中得，，；由的相似比推出的表达式，再结合中的边长关系列方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，，， ，， 设， ，且， ， ， ∴， 在边上， ， ， 解得， 由图可得，， ∴， ∴， 在中，， ， 由图可得，， ∴， ∴ 解得， ∴的长为． 一、单选题 1．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在中，，，，则的长为（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，根据锐角三角函数的定义列式即可得解． 【详解】解：在中，， 设，则， 又，， ，解得， 则． 故选：D． 2．（25-26九年级上·广西崇左·期末）如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是，且与x轴正半轴的夹角的余弦值是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，坐标与图形，解题的关键是正确添加垂线构造直角三角形． 过点P作轴于点A，先由余弦定义求出，再由勾股定理求解，最后利用正切的定义求解即可． 【详解】解：如图所示：过点P作轴于点A， ∵P是第一象限内的点，其坐标是， ∴， ∵与x轴正半轴的夹角的余弦值是， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 3．（25-26九年级下·广东深圳·阶段检测）某地正午时，太阳光线与地面形成的夹角为，为了使太阳能板获得最大效率，需将其倾斜角调整为与太阳光线垂直．已知太阳能板的长度为米，此时太阳能板顶端离地面的垂直高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】先根据太阳光线与地面夹角为、太阳能板与光线垂直，结合直角三角形两锐角互余，求出太阳能板与地面的夹角；再利用直角三角形的边角关系，将太阳能板顶端离地面的高度转化为太阳能板长度与对应三角函数的乘积，最后对比选项得出结论． 【详解】解：如图，设太阳能板为，太阳光线于，交于点，米，，． ∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ 在中，， ∴ （米）， ∴此时太阳能板顶端离地面的垂直高度为米． 4．（2026·福建泉州·二模）将一副三角尺按如图所示摆放，其中点、、在同一条直线上，，，，若，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形中，，求出，根据即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，将绕点顺时针旋转后，得到，点，的对应点分别是点，，以原点为位似中心，将放大为原来的3倍后，得到，顶点在第一象限对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是等腰直角三角形得到，，即可判断旋转后点在x轴上，轴，，，通过解直角三角形得到，，得到点的坐标，再根据位似图形的坐标变化求解即可． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形，，， ∴，， ∴与x轴的夹角为， ∵绕点顺时针旋转后，得到， ∴点在x轴上，轴，，， ∴， ， ∴， ∵以原点为位似中心，将放大为原来的3倍后，得到， ∴顶点在第一象限对应点的坐标是，即． 二、填空题 6．（24-25九年级上·山东泰安·阶段检测）如图，在中，，，．点D在上，，连接，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．过点作于点E，根据正切值，设，则，利用勾股定理求出，，进而得到，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点E， ，． 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：或（舍）， ，， ， ， 在中，， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）周六下午，九年级嘉嘉和同学外出郊游，在河岸边玩耍，她想测量河的宽度，设计了一种测量方案：如图所示，在河对岸选择点，再在河这边岸边选取，两点，使得，，并测量出长为米，则河的宽度为___________米． 【答案】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意用同一未知数表示出各线段长是解题关键．设河的宽度为，根据已知角用表示出，，的长，进而利用求出即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 设河宽为米，在中，， ∴， 在中 ， ∴， ∵， ∴， 解得： 所以河的宽度为（）米， 故答案为：。 8．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接，若，，则m的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，正切的含义，解题的关键是作辅助线构造直角三角形．先根据直线求得点C的坐标，然后根据求得，然后利用正切的定义求得，从而求得点B的坐标，求得结论即可． 【详解】解：∵直线与y轴交于点C，当时，， ∴点C的坐标为， ∴， 过B作轴于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∵反比例函数，在第一象限内的图象经过点B， ∴． 故答案为：． 9．（21-22九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在中，，，．的长为 _____．（结果保留根号） 【答案】 【分析】过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， 在中，，， ， ， 在中，， ， ． 10．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，中，对角线与相交于点，，是线段上一点，，，则的值为__________． 【答案】 【分析】过点作于，过作于，证明得出，设，，证明，得出，，证明，由相似三角形的性质得出，，证明，由相似三角形的性质结合勾股定理可得，从而得出的长，进而得的长，即可得解． 【详解】解：如图，过点作于，过作于， ， ， 又， ， ， 设，， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ∴，，，， ，， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 三、解答题 11．（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在中，，，垂足为D，． (1)求的长； (2)求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握直角三角形的边角关系是解答的关键． （1）利用勾股定理求出的长，进而求出的值即可得到答案； （2）利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∴； ∵， ∴在中，； （2）解：在中，由勾股定理得， ∴． 12．（2025·贵州·一模）如图，在中，分别平分，交于点与相交于点，分别过点作，交于点H． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、角平分线的性质及三角函数的应用，解题的关键是利用平行四边形和矩形的性质，结合角的关系与三角函数推导线段长度． （1）通过“两组对边分别平行”证四边形是平行四边形，再结合平行四边形邻角互补、角平分线性质证有一个角为直角，从而判定为矩形； （2）根据平行四边形对边平行且相等、三角函数推出，利用矩形性质，推出，结合线段关系求出的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是平行四边形， ，， 分别平分， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：∵， ， 由（1）知， 即， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， 由题意，得， ， ， ． 13．（2024·江苏宿迁·三模）如图1，在中，，，，点在边上由点向点运动(不与点、重合)，过点作，交射线于点． (1)当时，线段 ； (2)若是等腰三角形，求线段的长； (3)若，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可求，可得点与点重合，即； （2）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解； （3）作，，垂足分别为、，根据，设，则，，通过证明，可得，得出，即可求的长，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ， 点与点重合， ， 故答案为：； （2）解：是等腰三角形，故可分为三种情况： ①当时， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当时， ， ，， ， ， ， ， 即， 解得； ③当时，不成立． 综上所述，当是等腰三角形，求线段的长为或． （3）解：如图，作，，垂足分别为、， ， ， 故设，则， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ， 解得舍去，， ． 14．（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图．已知中，，是斜边上的中线，过点A作，分别与，相交于点H，E，． (1)求证：； (2)求的值； (3)如果 ，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)3 【分析】（1）首先得到，求出，然后证明出，即可证明； （2）首先得到，，等量代换得到，然后利用勾股定理表示出，进而求解即可； （3）首先由得到，然后得到，设，则，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∵， 由勾股定理得， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，则， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，求角的正弦值等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 15．（2024·宁夏银川·二模）阅读、理解、应用 研究间的角的三角函数，在初中我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图所示的直角三角形，是锐角，那么，，．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为轴的正半轴，建立直角坐标系（图），在角α的终边上任取一点，它的横坐标是，纵坐标是，终边可以看作是将射线绕点逆时针旋转后所得到的，和原点的距离为（总是正的）然后把角α的三角函数规定为：，，（其中，分别是点的横、纵坐标）我们知道，图的三个比值的大小与角的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，三个比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点在角α的终边位置无关． 比较图与图，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题． (1)如图3，若，则角α的三角函数值α、α、α，其中取正值的是 ． (2)已知α是钝角，则下列说法正确的是 ． ． ． ．α ．α (3)若角α的终边与直线重合，则αα ． (4)若角α是锐角，其终边上一点且，试求和α的值． 【答案】(1)α (2)A (3)或 (4)的值为；α的值为 【分析】（1）由点在第四象限，推出，根据，即可判断； （2）根据三角函数的定义分析求解即可； （3）分两种情形讨论即可解决问题； （4）根据α是锐角，终边上一点在第一象限，，进而得，进而得解得或（舍去），从而即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴点在第四象限， ∴， ∵， ∴， ∴取取正值的是， 故答案为：； （2）解：α是钝角，则α的终边在第二象限， ∴，， 而， ∴，故正确； ∵，， ∴，故不正确； ∵，，， ∴，故不正确； ，故不正确； 故答案为：； （3）解：由角α的终边与直线重合，设角α终边上一点为， ∴， 当时，，，， ∴； 当时，，，， ∴； 故答案为：或； （4）解：∵角α是锐角， ∴终边上一点在第一象限，， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）； 经检验，是原方程的解， ∴的值为； ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查一次函数综合题、三角函数的定义、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目． 2 / 37 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