专题03 集合的基本运算10种常见考法归类（76题）-2026-2027学年新高一暑假人教A版必修第一册考点通关提升讲义

2026-2027学年新高一暑假人教A版2019必修第一册考点通关提升讲义 专题03 集合的基本运算10种常见考法归类（76题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 并集的运算 考点二 交集的运算 考点三 根据交集或并集的结果求集合或参数 （一）根据交集的结果求集合或参数 （二）根据并集的结果求集合或参数 考点四 补集的运算 考点五 根据补集结果求集合或参数 考点六 集合的交、并、补集的综合运算 考点七 根据 集合的交、并、补集的混合运算求集合或参数 考点八 容斥原理 考点九 韦恩图的应用 考点十 集合运算的新定义问题 知识点1：并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对并集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成. (2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示. 知识点2：交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对交集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成. (2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是. (4)当时,和同时成立. 知识点3：全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 知识点4：德摩根律 (1) (2) 知识点5：容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 考点一 并集的运算 策略方法 1.先理解并集核心含义 并集是由所有属于，或者属于的元素组成的集合，这里的“或”包含三种情况：只在里、只在里、同时在和里，重复元素只保留一次。 2.分三类集合对应解题步骤 （1）两个集合都是列举法有限集 第一步，把两个集合全部元素写出来； 第二步，合并所有元素，去掉重复出现的数字； 第三步，用大括号整理出最终并集，也可以画韦恩图辅助观察。 （2）两个集合都是描述法不等式无限集 第一步，分别化简两个不等式，写出各自取值范围； 第二步，画出数轴，把两个区间全部标出； 第三步，取数轴上覆盖到的全部范围，端点能取到就包含，不能取到就剔除。 （3）一个列举集、一个描述集 第一步，先化简描述法集合，明确它包含哪些数； 第二步，把列举集合里的元素全部并入描述集合范围，重复元素只写一遍。 3.基础性质辅助判断 若，那么，做题时可以直接使用这条结论简化计算。 题型训练 1．（2026高一·云南普洱·期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据并集的定义，合并两个集合的所有元素并去重即可求解. 【详解】根据并集的定义,，，可得. 【点睛】 2．（2026高二·江西宜春·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合并集的运算，合并两个集合的元素取值范围即可得答案. 【详解】集合，， 所以. 3．（2026高一·四川成都·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的概念求解即可. 【详解】集合，， 则． 4．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据并集定义求解. 【详解】，， 所以． 5．（2026高二·北京延庆·期末）已知集合，集合，则（    ） A．{或} B． C．{或} D． 【答案】C 【详解】集合或，而集合， 所以或. 考点二 交集的运算 策略方法 1.先理解交集核心含义 交集是同时属于、属于的公共元素组成的集合，必须同时满足两个集合的条件；如果两个集合没有公共元素，交集为空集，不能说没有交集。 2.分两类集合对应解题步骤 （1）有限列举集合 第一步，依次对比两个集合里的每一个元素； 第二步，挑出同时出现在两个集合中的数字； 第三步，整理公共元素得到交集，无公共元素直接写。 （2）不等式无限集合 第一步，化简两个不等式，写出取值区间； 第二步，画数轴标出两个区间； 第三步，只取两个区间互相重叠的部分，重叠部分就是交集，严格区分实心端点与空心端点。 3.基础性质辅助判断 若，那么，遇到包含关系可以直接简化运算。 题型训练 6．（2026·广西·模拟预测）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据集合的约束条件求出集合的所有元素，再根据交集的定义计算A与B的交集. 【详解】因为，且， 所以， 所以. 7．（北京市丰台区2025-2026学年第二学期期末练习高二数学试卷）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用交集定义计算求解. 【详解】解不等式得，即，与无公共元素， 故. 8．（2026高一·云南昭通·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，，所以. 9．（2026高二·贵州铜仁·期末）已知集合 ，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简集合，再根据交集的定义求解. 【详解】由得，所以 即，， 所以． 10．（2026高二·浙江舟山·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以. 11．（2026高二·重庆渝中·期末）已知集合 ，集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集的定义即可求解． 【详解】由题可知，， 所以． 12．（2026高二·湖南郴州·期末）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，又因为，所以， ∴. 13．（2026高三·全国·专题练习）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合是点集，元素是点；集合是数集，元素是实数，故. 14．（2026高二·江苏常州·期中）设集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由已知， 所以，共3个元素． 考点三 根据交集或并集的结果求集合或参数 策略方法 （一）根据交集的结果求集合或参数 1.转化集合关系 看到，等价转化为；看到，说明两个集合没有任何公共元素。 2.分情况讨论集合是否为空集 含有参数的集合，一定要分、两种情况计算，空集是容易遗漏的失分点。 3.分题型列式计算 （1）有限数字集合：根据交集结果列出元素对应等式，解出参数； （2）不等式区间集合：画出数轴，根据无公共元素/存在公共元素列出不等式组。 4.检验步骤 把算出的参数代回原集合，利用集合元素互异性，剔除会造成元素重复的参数值。 （二）根据并集的结果求集合或参数 1.转化集合关系 看到，等价转化为，代表集合所有元素都在集合内。 2.分类讨论空集 带参数的集合优先讨论集合为空集的情况，再计算非空情况。 3.列式求解 有限集合依靠元素相等列方程；不等式集合依靠数轴区间包含列出不等式组。 4.验证取值 将参数代入原集合，核对并集结果和题干给出条件一致，排除不符合的解。 题型训练 （1） 根据交集的结果求集合或参数 15．【多选】（2026高一·云南文山·阶段检测）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AB 【详解】由，得. ①当时，可得，解得； ②当时，可得，解得， 综上，故选项AB正确. 16．（2026高一·全国·专题练习）设 ．若 ，求 的取值范围． 【答案】或 【分析】化简集合，根据交集的概念可知，通过讨论集合是否为空集即可求解. 【详解】化简集合 ，得 ．由于 ，则有 可知集合 或为空集，或只含有根0或 ． ①若，由 ，得． ②若，代入 ，得，即 或 ， 当时，，符合题意； 当时， ，也符合题意； ③若，代入，得 ，即 或 ，当时，②中已讨论，符合题意； 当时， ，不合题意； 综合①②③得或. 17．已知集合.，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】对是否为空集进行分类讨论，由此列不等式求得的取值范围. 【详解】若，则， 当时，，即； 当时， ，得， 则实数m的取值范围为. 18．（2026高二·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 【答案】 【详解】∵ ，∴ ，且. 集合，分情况讨论： ① 若，解得， 此时，则，与矛盾，舍去； ② 若， 此时，则，与矛盾，舍去； ③ 若，解得， 此时，，符合题意. 综上，实数值的集合为. 19．（2026·江苏连云港·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，，， 所以，即，解得. 20．（第03讲集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合，若，求实数t的取值范围. 【答案】或. 【详解】由，包括两种情况： ① 当时，，即； ② 当时，或，解得， 综上，t的取值范围为或 21．已知集合，或.若，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】由，有，解得， 所以实数的取值范围为. 22．（2026高二·黑龙江黑河·期末）若集合，，且，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】若,则，违反集合的互异性， 因为，所以. （二）根据并集的结果求集合或参数 23．（2026高二·广东汕尾·期末）已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．2 【答案】B 【详解】若，则， 所以或. 当时，. 此时不符合集合中元素的互异性，所以； 当时，， 即. 因为，所以，所以， 即. 当时，. 综上所述，. 24．（第03讲集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合，.若，求m的取值范围. 【答案】 【分析】对，分类讨论，列出满足的不等式求解. 【详解】由，可得， 当时， ，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得，所以m的取值范围为. 25．（暑假预习专题第3讲集合的运算（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版）设 ，若 ，求 的值． 【答案】 【分析】化简集合，根据并集的概念可判断集合是集合的子集，分别讨论，即可求得的值. 【详解】 ．因为，所以 ，则，； ①若，代入 ，得，即 或 ， 当时，，符合题意； 当时， ，不符合题意； ②若，代入，得，即或， 当时，①中已讨论，符合题意； 当时， ，不合题意； 综上，． 26．集合或.若，求的取值范围； 【答案】 【详解】集合或， 由，得，解得， 所以的取值范围为. 27．【多选】（2026高一·全国·专题练习）下列结论正确的是（ ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 【答案】BD 【分析】根据集合交集和并集的运算性质进行求解即可. 【详解】当时，即， 则实数的取值范围为，因此选项A不正确，选项B正确. 当时，即， 则实数的取值范围为，因此选项C不正确，选项D正确． 28．（2026高二·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由并集性质得，分类讨论为空集和非空集两种情况列不等式求解； （2）由交集为空集的条件，分类讨论为空集和非空集，结合集合端点的大小关系列不等式求解. 【详解】（1）由并集的性质可知等价于， ① 当时，满足，即，解得； ② 当时，需同时满足：， 解得：，即. 综上，的取值范围是或， 即的取值范围是. （2）由题意， ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足的所有元素都不在的范围内，且（即）， 即： 或 ，解得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或， 即. 考点四 补集的运算 策略方法 1.明确补集前提 补集必须依托全集存在，集合一定是全集的子集，全集改变，补集结果也会改变。 2.补集文字含义 代表全集中所有不属于的元素，全集里任意一个元素，要么属于，要么属于补集，二者只能占其一。 3.两类集合解题步骤 （1）有限列举集合 第一步，完整写出全集的全部元素； 第二步，剔除集合里出现的所有元素； 第三步，剩下的元素组成补集，韦恩图可以辅助核对。 （2）不等式无限集合 第一步，在数轴标出全集范围与集合的区间； 第二步，选取全集内、不在区间里的部分； 第三步，确认端点取舍，空心点、实心点不能混淆。 4.常用性质 ，，，计算时可直接使用。 题型训练 29．（2026高二·云南·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， 所以. 30．（2026高一·广西南宁·期末）设全集，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，全集，而集合， 所以 31．（2026高一·贵州毕节·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 32．（2026高二·河南驻马店·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题首先可根据题意确定集合和集合中包含的元素，然后根据补集的相关性质即可得出结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则. 33．（2026高二·陕西榆林·期末）已知全集，集合，则集合中元素的个数为_________. 【答案】3 【详解】因为， 所以， 又，所以， 则集合中有3个元素. 34．（2026高二·辽宁沈阳·期末）已知全集，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 集合由中满足的元素构成， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， 所以，则. 考点五 根据补集结果求集合或参数 策略方法 1.有限集合解题步骤 第一步，写出全集全部元素； 第二步，已知补集，把补集里的元素从全集中去掉，剩余元素就是集合； 第三步，若存在参数，对比元素列出等式，求出参数，再检验互异性。 2.无限不等式集合解题步骤 第一步，根据补集写出集合对应的取值范围； 第二步，在数轴标注全集、集合区间； 第三步，根据区间端点对应关系列出不等式，求解参数取值范围。 题型训练 35．（2026高一·四川宜宾·期中）已知全集，且则（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由全集，且，故，从而. 36．（2026高二·湖南长沙·期末）已知全集，集合，若，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据补集的定义，先确定集合 ，再比较集合中的元素求出 . 【详解】因为 ，且 ，所以从全集 中去掉元素 后，得到 又 ，因此解得 37．（2026·陕西咸阳·模拟预测）设全集，集合，，则a的值是（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【详解】已知全集，， 则，又，所以，解得． 38．（2026高三·天津红桥·期末）已知全集，集合，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解. 【详解】全集，由，得，而， 所以. 故选：C 39．（2026高一·四川眉山·阶段检测）已知全集，集合，若，则_______， 【答案】7 【分析】由得，即和为一元二次方程的根，利用根与系数关系即可求解. 【详解】由有：，所以和为一元二次方程的根， 所以，所以， 故答案为：. 40．（2026·云南红河·模拟预测）已知全集，集合均为的子集，且，则满足条件的集合的个数是_____ 【答案】 【详解】，，， 满足条件的集合的个数为. 考点六 集合的交、并、补集的综合运算 策略方法 1.运算顺序规则 混合运算先算括号内部，再算外部运算；先求补集，再算交集、并集。例如求，先算，再求补集；求，先算，再算并集。 2.有限集合计算步骤 第一步，依次算出括号内的交集或者并集； 第二步，再按照要求计算补集、并集或交集； 第三步，合并元素时去重，最终整理集合。 3.不等式集合计算步骤 第一步，化简所有集合，画出数轴标注全集、、区间； 第二步，按照运算顺序，先标记出第一步运算对应的区间； 第三步，再在数轴上取第二步运算对应的范围，写出最终区间。 4.德摩根定律简化计算 ，，复杂混合运算可以拆分简化。 题型训练 41．（2026高二·陕西·期末）已知集合，则（     ） A． B． C． D．{5} 【答案】D 【详解】因为， 所以， 所以． 42．（2026高二·天津静海·阶段检测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知全集，集合，则， 又，因此. 43．（2026高二·福建三明·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合在实数集下的补集，再计算该补集与集合的交集即可． 【详解】由，得， 因为，所以． 44．（2026高一·安徽安庆·期末）设全集是小于8的自然数，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是小于8的自然数，所以， 因为，所以， 所以． 45．（2026高二·广东揭阳·期末）已知全集，且，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】全集，而，则 因此，所以集合. 46．（2026高二·河北唐山·期末）设全集是小于等于8的正整数}，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，全集为小于等于8的正整数构成的集合，因此. 而是所有属于但不属于A的元素构成的集合， 代入，可得. 而 是所有既属于又属于B的元素构成的集合， 代入，可得. 47．（2026高一·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，, 其中组成了所有整数， 则, 48．（2026高二·江西九江·期末）已知全集，若集合，，则的元素个数为________. 【答案】2 【详解】依题意，，而，故，即有2个元素. 49．（2026高二·天津·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，，则， 且全集，所以. 50．【多选】（2026高一·贵州遵义·阶段检测）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】本题考查集合的交、并、补基本运算，需根据各类运算的定义逐一计算各选项判断正误 【详解】选项A：根据并集定义，合并两个集合的所有元素并去重，可得，A正确; 选项B：根据交集定义，取两个集合的公共元素，可得，因此，B错误 选项C：先得，再求其在全集中的补集，即中去掉的剩余元素，得，C正确 选项D：先求在中的补集，得，再和求交集，公共元素只有，因此，D正确. 51．（2026高一·辽宁大连·期中）已知集合，集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集、并集与补集运算即可. 【详解】对于A：，或，A不符合. 对于B：，，B不符合. 对于C：，，C符合. 对于D：或，或，D不符合. 考点七 根据 集合的交、并、补集的混合运算求集合或参数 策略方法 1.统一化简所有集合 先把题干里带不等式、方程的集合全部化简，明确每个集合的取值范围。 2.转化运算条件为集合包含关系 比如，等价于；，等价于。 3.分类讨论空集 带有参数的集合，必须分集合为空集、集合非空两类分别列式。 4.数形结合列式 连续实数区间借助数轴，根据区间包含、无重叠列出不等式组；离散数字集合依靠元素相等列方程。 5.回代验证 求出参数后代回所有集合，核对交并补运算结果和题干条件匹配，剔除错误取值。 题型训练 52．（2026高二·河北沧州·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，集合， 且或，所以或. （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． 53．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 54．（2026高三·河南鹤壁·专题练习）已知集合，，若，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】由补集和交集的概念可得出答案. 【详解】已知，则， ，且， 所以. 故答案为： 55．（第03讲集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】根据集合是否为空集进行分类讨论，由此列不等式求得的取值范围. 【详解】由得，， 当时，由，可得，即， 此时； 当时，由， 得或，而， 所以，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 56．（2026高一·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据并集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即的取值范围为． 57．【多选】（2026高一·河南信阳·期中）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用并集补集定义求解，再分为空集与非空集情况讨论，列出参数不等式求解即可. 【详解】，，， ，， 由且 当时，，即符合题意； 当时，，解得； 综上：或； 故选：ACD 考点八 容斥原理 策略方法 1.牢记核心公式 两个有限集合：； 三个有限集合： 2.解题分步流程 第一步，定义集合，明确每个集合代表的事物，标注每个集合元素数量、两两交集数量、三者交集数量； 第二步，绘制三圆/两圆韦恩图，把已知数字填入对应区域，未知量设为字母； 第三步，代入容斥公式列一元一次方程，求解未知人数； 第四步，结合题干总人数，加上不参与任何集合的元素数量，算出全部总数。 3.结果校验 计算出的人数不能为负数，不符合实际的解直接舍去。 题型训练 58．（2026高一·云南文山·阶段检测）某年级先后举办了数学、物理讲座，其中有100人听了数学讲座，80人听了物理讲座，20人同时听了数学和物理讲座，则听讲座人数为_____________. 【答案】160 【详解】听讲座的人数为. 59．（2026高二·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】结合韦恩图，列出方程求解即可. 【详解】设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为， 则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示， 则，解得，所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. 60．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数． 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 61．（2026高一·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 【答案】 【详解】设都赞成人，所以赞成或赞成的人数为 由题可知都不赞成人数为， 所以总人数 ，解得 62．（2026·浙江温州·模拟预测）表示有限集合A中元素的个数，已知，，，则______． 【答案】17 【详解】. 63．（2026高一·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【答案】D 【分析】利用容斥原理，结合维恩图来进行个数计算即可. 【详解】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合，记观看《浪浪山小妖怪》的同学为集合，记观看《长安的荔枝》的同学为集合， 则根据题意：有15人观看了《南京照相馆》，记， 有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记， 有14人观看了《长安的荔枝》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记， 没有人同时观看三部电影．记， 设同时观看和的人数为（因无人看三部，就是只同时看、的人数）， 只看的人数：， 只看的人数： 要求的只看的人数： 由所有不重叠部分加和等于总人数30， 可得： ，解得， 因此只看的人数为人. 64．（2026高一·河北保定·期中）某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 【答案】5 【分析】将参加各队的学生转化为集合，利用三个集合的容斥原理公式，设三项都参加的人数为未知数，代入已知数据列方程求解． 【详解】设参加足球队的学生组成集合，参加排球队的学生组成集合，参加游泳队的学生组成集合， 则，，，，，． 设三项都参加的人数为， 则， 因为， 所以由 得， 解得，即三项都参加的有5人． 故答案为：5． 65．（2026高一·广东深圳·期末）深圳科学高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人． 【答案】18 【分析】假设只参加集体项目比赛的有人，根据题设及容斥原理列方程求值即可. 【详解】由题意，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目， 因此参加比赛项目的总人数为, 因为有3人同时参加了这三项比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人， 设只参加集体项目比赛一项的有人， 则，解得，即只参加集体项目比赛一项的有18人. 故答案为：18. 考点九 韦恩图的应用 策略方法 1.识别韦恩图各区域含义 两个圆韦恩图分为三部分：只属于、只属于、与公共交集；全集方框内除去两个圆的部分是补集区域。 2.图形转集合表达式步骤 第一步，观察阴影覆盖的区域，区分是单独一块、重叠区域还是全集空白区域； 第二步，用交、并、补符号写出对应集合运算； 只不：；只不：；两圆重叠：；全集除去两圆：。 3.已知集合求阴影元素 第一步，先计算对应交并补集合； 第二步，筛选出符合阴影区域条件的元素，整理结果。 4.带参数题型解法 第一步，根据阴影区域非空，得出集合有元素； 第二步，结合数轴、方程列出参数不等式； 第三步，求解参数范围，保证韦恩图每一块区域都满足题目要求。 题型训练 66．（2026高二·湖南衡阳·期末）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由阴影部分表示的集合为进行求解． 【详解】由题知阴影部分表示的集合为. 67．（2026高二·安徽芜湖·期末）已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，阴影部分由属于不属于的元素构成， 因为，， 所以阴影部分表示的集合为 68．（2026高一·全国·专题练习）尝试借助Venn图证明以下两个等式 (1)； (2) 【答案】(1)证明：、用Venn图都可表示为 (2)证明：、用Venn图都可表示为 【分析】分别将等式两边的Venn图表示出来，即可证明等式成立. 【详解】（1）略 （2）略 69．（2026高一·广西河池·期中）已知，求阴影部分（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知，阴影部分为． 70．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）如图，已知全集及其两个非空真子集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合图形，利用集合运算的表示方法，即可求解. 【详解】根据集合运算的表示方法，可得图中阴影部分表示集合除去的部分， 所以阴影部分表示集合为． 71．（2026高一·广东清远·专题练习）设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或； (2)或 【分析】（1）根据题意可得集合，结合集合间的运算求解即可； （2）分和两种情况讨论，结合交集运算列式求解即可. 【详解】（1）若，则集合， 且集合或，所以集合或； 又因为全集为，则集合， 所以图中阴影部分表示的集合. （2）因为集合或，，且， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为或. 考点十 集合运算的新定义问题 策略方法 1.读懂新运算规则 逐字阅读题干给出的差集、自定义交并集等新定义，圈出关键条件“且”“或”，把文字描述转化为标准集合语言。 2.新旧运算转化 把新定义拆解成交集、并集、补集，例如差集，等价于。 3.列举法演算验证 有限集合直接代入数字，按照新规则一步步写出所有元素，重复元素只保留一个；无限集合结合数轴写出取值范围。 4.含参数新定义题型 第一步，化简原始集合； 第二步，严格按照题目新运算规则列式； 第三步，解方程或不等式得到参数，最后代入定义验证结果是否符合题意。 题型训练 72．（2026高一·浙江杭州·期末）在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件求和，再结合定义求结论. 【详解】因为，， 所以，， 所以，， 所以. 73．（2026高二·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算，再计算，然后根据的定义求解. 【详解】， ， 根据，所以. 74．（2026·辽宁·模拟预测）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据定义先求，进而求解. 【详解】由题意得：，所以. 75．（2026·河南开封·模拟预测）定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，集合，集合，， 所以，，， 选项A：因为，所以或者（且满足集合元素的互异性）； 选项B：因为，所以一定成立； 选项C：当时，集合，集合，，C错误； 选项D：当，时，集合，集合，，D错误. 76．（2026高二·北京怀柔·期末）设、为两个集合，定义且，将称为“集合A与B的笛卡尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④若集合中有个元素，若集合中有个元素，则集合中有个元素． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【详解】 根据笛卡尔积的定义逐一分析：①和③可举反例判定为假；②可通过证明集合相等判定为真；④可根据定义确定元素个数即可. 【解答】 解：对于①，根据新定义，设，， 根据定义且， 则 ，而，显然，所以①错误． 对于②， 对于任意的，根据定义可知且， 即或者．若，则； 若，则．所以， 即 ． 反之，对于任意的， 则或者， 若，则且， 若，则且， 所以且，即， 所以． 综上，，②正确． 对于③， 设，，， 则，， ，， 所以，所以③错误． 对于④， 已知集合中有个元素，集合中有个元素． 对于且，从中取一个元素有种取法， 从中取一个元素有种取法．所以中元素的个数为，所以④正确． 综上，正确的命题有②④. $2026-2027学年新高一暑假人教A版2019必修第一册考点通关提升讲义 专题03 集合的基本运算10种常见考法归类（76题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 并集的运算 考点二 交集的运算 考点三 根据交集或并集的结果求集合或参数 （一）根据交集的结果求集合或参数 （二）根据并集的结果求集合或参数 考点四 补集的运算 考点五 根据补集结果求集合或参数 考点六 集合的交、并、补集的综合运算 考点七 根据 集合的交、并、补集的混合运算求集合或参数 考点八 容斥原理 考点九 韦恩图的应用 考点十 集合运算的新定义问题 知识点1：并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对并集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合或属于集合的元素组成. (2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间不一定是互斥的,“或”包括下列三种情况:①,且;②,且;③,且.可用下图所示形象地表示. 知识点2：交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 对交集概念的理解 (1)仍是一个集合,由所有属于集合且属于集合的元素组成. (2)对于“”,包含以下两层意思:①中的任一元素都是与的公共元素;②与的公共元素都属于,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如,,则,而不是或或. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合与集合没有公共元素时,不能说集合与集合没有交集,而是. (4)当时,和同时成立. 知识点3：全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 知识点4：德摩根律 (1) (2) 知识点5：容斥原理 一般地，对任意两个有限集, 进一步的： 考点一 并集的运算 策略方法 1.先理解并集核心含义 并集是由所有属于，或者属于的元素组成的集合，这里的“或”包含三种情况：只在里、只在里、同时在和里，重复元素只保留一次。 2.分三类集合对应解题步骤 （1）两个集合都是列举法有限集 第一步，把两个集合全部元素写出来； 第二步，合并所有元素，去掉重复出现的数字； 第三步，用大括号整理出最终并集，也可以画韦恩图辅助观察。 （2）两个集合都是描述法不等式无限集 第一步，分别化简两个不等式，写出各自取值范围； 第二步，画出数轴，把两个区间全部标出； 第三步，取数轴上覆盖到的全部范围，端点能取到就包含，不能取到就剔除。 （3）一个列举集、一个描述集 第一步，先化简描述法集合，明确它包含哪些数； 第二步，把列举集合里的元素全部并入描述集合范围，重复元素只写一遍。 3.基础性质辅助判断 若，那么，做题时可以直接使用这条结论简化计算。 题型训练 1．（2026高一·云南普洱·期末）设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026高二·江西宜春·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026高一·四川成都·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026高二·北京延庆·期末）已知集合，集合，则（    ） A．{或} B． C．{或} D． 考点二 交集的运算 策略方法 1.先理解交集核心含义 交集是同时属于、属于的公共元素组成的集合，必须同时满足两个集合的条件；如果两个集合没有公共元素，交集为空集，不能说没有交集。 2.分两类集合对应解题步骤 （1）有限列举集合 第一步，依次对比两个集合里的每一个元素； 第二步，挑出同时出现在两个集合中的数字； 第三步，整理公共元素得到交集，无公共元素直接写。 （2）不等式无限集合 第一步，化简两个不等式，写出取值区间； 第二步，画数轴标出两个区间； 第三步，只取两个区间互相重叠的部分，重叠部分就是交集，严格区分实心端点与空心端点。 3.基础性质辅助判断 若，那么，遇到包含关系可以直接简化运算。 题型训练 6．（2026·广西·模拟预测）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 7．（北京市丰台区2025-2026学年第二学期期末练习高二数学试卷）集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026高一·云南昭通·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 9．（2026高二·贵州铜仁·期末）已知集合 ，，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026高二·浙江舟山·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2026高二·重庆渝中·期末）已知集合 ，集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 12．（2026高二·湖南郴州·期末）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 13．（2026高三·全国·专题练习）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 14．（2026高二·江苏常州·期中）设集合，，则的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点三 根据交集或并集的结果求集合或参数 策略方法 （一）根据交集的结果求集合或参数 1.转化集合关系 看到，等价转化为；看到，说明两个集合没有任何公共元素。 2.分情况讨论集合是否为空集 含有参数的集合，一定要分、两种情况计算，空集是容易遗漏的失分点。 3.分题型列式计算 （1）有限数字集合：根据交集结果列出元素对应等式，解出参数； （2）不等式区间集合：画出数轴，根据无公共元素/存在公共元素列出不等式组。 4.检验步骤 把算出的参数代回原集合，利用集合元素互异性，剔除会造成元素重复的参数值。 （二）根据并集的结果求集合或参数 1.转化集合关系 看到，等价转化为，代表集合所有元素都在集合内。 2.分类讨论空集 带参数的集合优先讨论集合为空集的情况，再计算非空情况。 3.列式求解 有限集合依靠元素相等列方程；不等式集合依靠数轴区间包含列出不等式组。 4.验证取值 将参数代入原集合，核对并集结果和题干给出条件一致，排除不符合的解。 题型训练 （1） 根据交集的结果求集合或参数 15．【多选】（2026高一·云南文山·阶段检测）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 16．（2026高一·全国·专题练习）设 ．若 ，求 的取值范围． 17．已知集合.，求实数m的取值范围. 18．（2026高二·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 19．（2026·江苏连云港·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 20．已知集合，若，求实数t的取值范围. 21．已知集合，或.若，求实数的取值范围. 22．（2026高二·黑龙江黑河·期末）若集合，，且，则（    ） A． B．1 C． D． （二）根据并集的结果求集合或参数 23．（2026高二·广东汕尾·期末）已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．2 24．（第03讲集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合，.若，求m的取值范围. 25．（暑假预习专题第3讲集合的运算（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版）设 ，若 ，求 的值． 26．集合或.若，求的取值范围； 27．【多选】（2026高一·全国·专题练习）下列结论正确的是（ ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 28．（2026高二·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 考点四 补集的运算 策略方法 1.明确补集前提 补集必须依托全集存在，集合一定是全集的子集，全集改变，补集结果也会改变。 2.补集文字含义 代表全集中所有不属于的元素，全集里任意一个元素，要么属于，要么属于补集，二者只能占其一。 3.两类集合解题步骤 （1）有限列举集合 第一步，完整写出全集的全部元素； 第二步，剔除集合里出现的所有元素； 第三步，剩下的元素组成补集，韦恩图可以辅助核对。 （2）不等式无限集合 第一步，在数轴标出全集范围与集合的区间； 第二步，选取全集内、不在区间里的部分； 第三步，确认端点取舍，空心点、实心点不能混淆。 4.常用性质 ，，，计算时可直接使用。 题型训练 29．（2026高二·云南·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 30．（2026高一·广西南宁·期末）设全集，集合，则（     ） A． B． C． D． 31．（2026高一·贵州毕节·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 32．（2026高二·河南驻马店·期末）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 33．（2026高二·陕西榆林·期末）已知全集，集合，则集合中元素的个数为_________. 34．（2026高二·辽宁沈阳·期末）已知全集，且，则（    ） A． B． C． D． 考点五 根据补集结果求集合或参数 策略方法 1.有限集合解题步骤 第一步，写出全集全部元素； 第二步，已知补集，把补集里的元素从全集中去掉，剩余元素就是集合； 第三步，若存在参数，对比元素列出等式，求出参数，再检验互异性。 2.无限不等式集合解题步骤 第一步，根据补集写出集合对应的取值范围； 第二步，在数轴标注全集、集合区间； 第三步，根据区间端点对应关系列出不等式，求解参数取值范围。 题型训练 35．（2026高一·四川宜宾·期中）已知全集，且则（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 36．（2026高二·湖南长沙·期末）已知全集，集合，若，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 37．（2026·陕西咸阳·模拟预测）设全集，集合，，则a的值是（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 38．（2026高三·天津红桥·期末）已知全集，集合，，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 39．（2026高一·四川眉山·阶段检测）已知全集，集合，若，则_______， 40．（2026·云南红河·模拟预测）已知全集，集合均为的子集，且，则满足条件的集合的个数是_____ 考点六 集合的交、并、补集的综合运算 策略方法 1.运算顺序规则 混合运算先算括号内部，再算外部运算；先求补集，再算交集、并集。例如求，先算，再求补集；求，先算，再算并集。 2.有限集合计算步骤 第一步，依次算出括号内的交集或者并集； 第二步，再按照要求计算补集、并集或交集； 第三步，合并元素时去重，最终整理集合。 3.不等式集合计算步骤 第一步，化简所有集合，画出数轴标注全集、、区间； 第二步，按照运算顺序，先标记出第一步运算对应的区间； 第三步，再在数轴上取第二步运算对应的范围，写出最终区间。 4.德摩根定律简化计算 ，，复杂混合运算可以拆分简化。 题型训练 41．（2026高二·陕西·期末）已知集合，则（     ） A． B． C． D．{5} 42．（2026高二·天津静海·阶段检测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 43．（2026高二·福建三明·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 44．（2026高一·安徽安庆·期末）设全集是小于8的自然数，集合，则（    ） A． B． C． D． 45．（2026高二·广东揭阳·期末）已知全集，且，则集合（    ） A． B． C． D． 46．（2026高二·河北唐山·期末）设全集是小于等于8的正整数}，集合，，则（   ） A． B． C． D． 47．（2026高一·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 48．（2026高二·江西九江·期末）已知全集，若集合，，则的元素个数为________. 49．（2026高二·天津·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 50．【多选】（2026高一·贵州遵义·阶段检测）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 51．（2026高一·辽宁大连·期中）已知集合，集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 考点七 根据 集合的交、并、补集的混合运算求集合或参数 策略方法 1.统一化简所有集合 先把题干里带不等式、方程的集合全部化简，明确每个集合的取值范围。 2.转化运算条件为集合包含关系 比如，等价于；，等价于。 3.分类讨论空集 带有参数的集合，必须分集合为空集、集合非空两类分别列式。 4.数形结合列式 连续实数区间借助数轴，根据区间包含、无重叠列出不等式组；离散数字集合依靠元素相等列方程。 5.回代验证 求出参数后代回所有集合，核对交并补运算结果和题干条件匹配，剔除错误取值。 题型训练 52．（2026高二·河北沧州·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 53．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 54．（2026高三·河南鹤壁·专题练习）已知集合，，若，则的取值范围为______ 55．已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 56．（2026高一·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 57．【多选】（2026高一·河南信阳·期中）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 考点八 容斥原理 策略方法 1.牢记核心公式 两个有限集合：； 三个有限集合： 2.解题分步流程 第一步，定义集合，明确每个集合代表的事物，标注每个集合元素数量、两两交集数量、三者交集数量； 第二步，绘制三圆/两圆韦恩图，把已知数字填入对应区域，未知量设为字母； 第三步，代入容斥公式列一元一次方程，求解未知人数； 第四步，结合题干总人数，加上不参与任何集合的元素数量，算出全部总数。 3.结果校验 计算出的人数不能为负数，不符合实际的解直接舍去。 题型训练 58．（2026高一·云南文山·阶段检测）某年级先后举办了数学、物理讲座，其中有100人听了数学讲座，80人听了物理讲座，20人同时听了数学和物理讲座，则听讲座人数为_____________. 59．（2026高二·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 60．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 61．（2026高一·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 62．（2026·浙江温州·模拟预测）表示有限集合A中元素的个数，已知，，，则______． 63．（2026高一·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 64．（2026高一·河北保定·期中）某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 65．（2026高一·广东深圳·期末）深圳科学高中于2025年11月27日至28日举办了第十三届校运会，高一某班共有50人，有6人因后勤保障需要未参与任何比赛项目，已知该班有8人参加田赛，22人参加径赛，30人参加集体项目比赛，同时参加田赛和径赛的有4人，同时参加田赛和集体项目比赛的有5人，有3人同时参加了这三项比赛，则只参加集体项目比赛一项的有___________人． 考点九 韦恩图的应用 策略方法 1.识别韦恩图各区域含义 两个圆韦恩图分为三部分：只属于、只属于、与公共交集；全集方框内除去两个圆的部分是补集区域。 2.图形转集合表达式步骤 第一步，观察阴影覆盖的区域，区分是单独一块、重叠区域还是全集空白区域； 第二步，用交、并、补符号写出对应集合运算； 只不：；只不：；两圆重叠：；全集除去两圆：。 3.已知集合求阴影元素 第一步，先计算对应交并补集合； 第二步，筛选出符合阴影区域条件的元素，整理结果。 4.带参数题型解法 第一步，根据阴影区域非空，得出集合有元素； 第二步，结合数轴、方程列出参数不等式； 第三步，求解参数范围，保证韦恩图每一块区域都满足题目要求。 题型训练 66．（2026高二·湖南衡阳·期末）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 67．（2026高二·安徽芜湖·期末）已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（     ）    A． B． C． D． 68．（2026高一·全国·专题练习）尝试借助Venn图证明以下两个等式 (1)； (2) 69．（2026高一·广西河池·期中）已知，求阴影部分（   ）    A． B． C． D． 70．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）如图，已知全集及其两个非空真子集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 71．（2026高一·广东清远·专题练习）设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 考点十 集合运算的新定义问题 策略方法 1.读懂新运算规则 逐字阅读题干给出的差集、自定义交并集等新定义，圈出关键条件“且”“或”，把文字描述转化为标准集合语言。 2.新旧运算转化 把新定义拆解成交集、并集、补集，例如差集，等价于。 3.列举法演算验证 有限集合直接代入数字，按照新规则一步步写出所有元素，重复元素只保留一个；无限集合结合数轴写出取值范围。 4.含参数新定义题型 第一步，化简原始集合； 第二步，严格按照题目新运算规则列式； 第三步，解方程或不等式得到参数，最后代入定义验证结果是否符合题意。 题型训练 72．（2026高一·浙江杭州·期末）在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 73．（2026高二·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 74．（2026·辽宁·模拟预测）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 75．（2026·河南开封·模拟预测）定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 76．（2026高二·北京怀柔·期末）设、为两个集合，定义且，将称为“集合A与B的笛卡尔积”，则下列关于“笛卡尔积”的结论正确的是（    ） ①； ②； ③； ④若集合中有个元素，若集合中有个元素，则集合中有个元素． A．①② B．②③ C．③④ D．②④ $