专题04 充分条件与必要条件8种常见考法归类（83题）-2026-2027学年新高一暑假人教A版必修第一册考点通关提升讲义

2026-2027年新高一暑假人教A版2019必修第一册考点通关提升讲义 专题04 充分条件与必要条件8种常见考法归类（83题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 命题的概念与真假判断 （一）命题的概念 （二）判断命题的真假 考点二 充分、必要条件的判断 （一）充分条件的判断 （二）必要条件的判断 考点三 探求命题成立的一个充分、必要条件 考点四 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 （一）根据充分条件求参数的取值范围 （二）根据必要条件求参数的取值范围 考点五 充分、必要、充要条件的判断 （一）充分不必要条件的判断 （二）必要不充分条件的判断 （三）充要条件的判断 （四）既不充分也不必要条件的判断 考点六 探索命题为真的一个充要条件 （一）探求命题为真的一个充分不必要条件 （二）探求命题为真的一个必要不充分条件 （三）探求命题为真的一个充要条件 考点七 充要条件的应用 （一）依据充分不必要条件求参数 （二）依据必要不充分条件求参数 （三）依据充要条件求参数 考点八 充要条件的证明 知识点1：命题的定义与表示 (1)命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题． 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． (2)命题的表示：命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论． 知识点2：充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 知识点3：充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点4：充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 知识点5：充分、必要、充要条件的证明 1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。 2、证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件。 尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了。 一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即 考点一 命题的概念与真假判断 （一）命题的概念 策略方法 1. 核心知识 命题标准定义：可以判断出唯一真假的陈述句。判定需要同时满足两条硬性规则，缺一不可。 规则1：语句必须是陈述句；疑问句、祈使句、感叹句都不属于陈述句，直接排除。 规则2：语句有确定的真假结果；含有无约束未知量、无法判定对错的陈述句，不能算作命题。 2. 完整解题步骤 步骤1：判断语句句式，疑问句、祈使句、感叹句直接判定不是命题； 步骤2：剩余陈述句，观察是否存在固定、可确定的真假； 步骤3：两条规则同时满足则为命题，任意一条不满足都不是命题。 3. 避坑提醒 只满足“陈述句”不代表是命题，例如是陈述句，但没有限定取值范围，无法判断真假，不属于命题。 题型训练 1．（2026高一·全国·课后作业）下列语句为命题的是（ ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【答案】D 【分析】由命题的定义判断各个选项即可. 【详解】由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命题，所以D为命题． A，B，C不能判断真假，所以不是命题. 2．（2026高一·上海·阶段检测）下列语句是命题的有__． ①地球是太阳的一个行星；②今天下雨吗；③、都是无理数，则是无理数；④若，则；⑤；⑥求证是无理数． 【答案】①③④ 【分析】根据命题的定义进行判断. 【详解】②是疑问句，不是命题；⑤中未知数的值未知，无法判断真假，故不是命题； ⑥是祈使句，不是命题，其他均为可以判断真假的陈述句，为命题. 故答案为：①③④ 3．（2026高一·上海浦东新·阶段检测）下列语句中是命题的有________． ①三边对应相等的两个三角形全等 ②如果，则 ③对于任意数，不能被3整除 ④八月的桂花真香啊 ⑤ 【答案】①②③ 【分析】根据命题的定义能判断真假的陈述句即是命题，逐项验证即可求解. 【详解】对于A，三边对应相等的两个三角形全等，是真命题； 对于B，如果，则，是假命题； 对于C，对于任意数，不能被3整除，能判断真假，是真命题； 对于D，八月的桂花真香啊，不能判断真假，所以不是命题； 对于E，，不能判断真假，所以不是命题. 故答案为：ABC. 4．【多选】下列语句是命题的有（   ） A．求证：的对称轴是y轴 B．你是高一学生吗？ C．若，则 D．三角形的内角和是 【答案】CD 【详解】A是祈使句，不是命题；B是疑问句，不涉及真假，不是命题；C，D是命题． 5．（2026高一·重庆·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．有些菱形不是平行四边形 B．平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 C．所有素数都是奇数 D．每个四边形的内角和都是 【答案】D 【分析】一一判断各命题的真假即可. 【详解】对于A：所有菱形都是平行四边形，故A错误； 对于B：在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行，故B错误； 对于C：是素数，但是偶数，故C错误； 对于D：每个四边形的内角和都是，故D正确. 故选：D （二）判断命题的真假 策略方法 1.核心知识 真命题：条件成立时，结论一定成立； 假命题：存在一组条件成立，但结论不成立的反例。 命题分类：全称量词命题、存在量词命题、“若，则”复合命题、定理事实类命题。 2.完整解题步骤 步骤1：前置判定，先确认该语句是命题，非命题无需讨论真假； 步骤2：分类型选择判断方法 （1）定理事实类：对照课本公理、定义，符合则为真，违背则为假； （2）全称命题：需要全部取值都成立，找到1个反例即可判定为假； （3）存在命题：只需找到1个满足条件的取值，即可判定为真； （4）若则复合命题：寻找满足但不满足的实例，有反例为假，无反例则推理证明为真； 步骤3：复杂命题可使用反证法，假设结论不成立，结合已知推导矛盾，反向证明原命题为真。 3.避坑提醒 全称命题只举1个成立例子不能判定为真；存在命题举1个反例不能判定为假。 题型训练 6．（2026高一·四川绵阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 【答案】D 【分析】对于选项A，将集合的子集一一列出，即可判断A错误；对于选项B，根据梯形的性质即可判断B错误；对于选项C，取特值，即可判断C错误；对于选项D，取特值，即可判断D正确. 【详解】对于A选项，集合的子集包括，，和，共个，故A错误； 对于B选项，仅等腰梯形的对角线相等，一般梯形的对角线并不相等，故B错误； 对于C选项，令，为无理数，则，为有理数，故C错误； 对于D选项，令，为无理数，则，为有理数，故D正确. 故选：D 7．（2026高三·全国·一轮复习）下列命题为假命题的是（　　） A．有些实数是无限不循环小数 B．每一个末位是0的整数都是5的倍数 C．至少有一个整数，使是4的倍数 D．对任意负数，的平方是正数 【答案】C 【分析】对于A，根据实数的定义分析判断即可；对于B，根据5的倍数的特点判断即可；对于C，利用反证法判断即可；对于D，根据负数的平方的特点判断即可. 【详解】对于A，比如是实数，而且是无限不循环小数，故A正确； 对于B，每一个末位是0的整数都是5的倍数，故B正确； 对于C，假设有一个整数，使是4的倍数，则为偶数， 所以为奇数，可设， 则， 所以除以4余2，则不是4的倍数，与是4的倍数矛盾， 所以假设不成立，则不存在整数，使是4的倍数，故C错误； 对于D，对任意负数，的平方是正数，故D正确. 故选：C 考点二 充分、必要条件的判断 策略方法 （一）充分条件的判断 1. 核心知识 是的充分条件，逻辑关系； 集合对应：设条件对应集合，条件对应集合，满足。 文字含义：只要成立，必然成立，“有之必成立，无之未必不成立”。 2. 完整解题步骤 步骤1：拆分题干，区分条件、结论； 步骤2：验证正向推导，任意满足的元素都满足，则；若存在反例，推导不成立； 步骤3：集合辅助验证，写出，借助数轴、Venn图观察，完全包含在内即可判定。 3. 避坑提醒 充分条件只要求成立，不需要反向成立，不要额外验证反向推导。 （二）必要条件的判断 1.核心知识 是的必要条件，逻辑关系； 集合对应：，，满足。 文字含义：想要成立，必须先满足，“有之未必成立，无之必不成立”。 2.完整解题步骤 步骤1：分清题干中的条件、结论； 步骤2：验证推导方向，所有满足的元素一定满足，即；存在反例则不是必要条件； 步骤3：借助数轴、Venn图观察集合，全部落在内部即可判定。 3.避坑提醒 必要条件的推导起点是结论，极易颠倒写成，造成判断错误。 题型训练 （1） 充分条件的判断 8．（2026高一·江苏常州·阶段检测）下列所给的各组中，是的充分条件的是（    ） A． B． C．：：关于的方程有两个实数解 D．中，中， 【答案】D 【分析】根据充分条件的定义，结合方程的根、不等式的性质、一元二次方程的根、三角形的边角关系逐项判断即可. 【详解】对于A，若则或，则， 所以不是的充分条件，故A不符合； 对于B，若，则且或且，则， 所以不是不充分条件，故B不符合； 对于C，若关于的方程有两个实数解， 则，解得且， 则，所以不是不充分条件，故C不符合； 对于D，在中，可得， 则，所以是的充分条件，故D符合. 故选：D. 9．（2026高一·全国·课后作业）下列各题中，p是q的充分条件的是______. ①p：，q：； ②p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； ③p：，q：方程无实根. 【答案】③ 【分析】解二次方程结合充分条件的概念判断①；根据三角形全等和相似的概念结合充分条件的概念判断②；根据判别式法及充分条件的概念判断③. 【详解】①因为，所以或，不能推出. 所以p不是q的充分条件. ②因为两个三角形相似，不能推出两个三角形全等，所以p不是q的充分条件. ③因为，所以，所以方程无实根，所以p是q的充分条件. 故选：③ 10．【多选】（2026高三·全国·一轮复习）下列命题中，p是q的充分条件的是（　　） A．若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直 B．若，则 C．若，则 D．若，为无理数，则为无理数 【答案】AC 【分析】根据充分条件的定义进行判断. 【详解】对A：因为菱形的对角线互相垂直，所以“：四边形为菱形”是“：这个四边形的对角线互相垂直”的充分条件； 对B：因为或，所以“：”不是“：”的充分条件； 对C：因为，所以“：”是 “：”的充分条件； 对D：当，，则，为无理数，但为有理数，所以“：，为无理数”不是“：为无理数”的充分条件. 故选：AC 11．（2026高一·全国·课后作业）下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形. (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似. (3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直. (4) (5)若，则. (6)若x，y为无理数，则xy为无理数. 【答案】(1)是 (2)是 (3)是 (4)不是 (5)是 (6)不是 【分析】利用充分条件的定义即可求解. 【详解】（1）这是平行四边形的判定定理，，所以p是q的充分条件. （2）这是一条相似三角形的判定定理，，所以p是q的充分条件. （3）这是一条菱形的性质定理， ，所以p是q的充分条件. （4）由于，但是，，所以p不是q的充分条件. （5）由等式的性质知， ，所以p是q的充分条件. （6）为无理数但是有理数，，所以p不是q的充分条件. （2） 必要条件的判断 12．（2026高一·湖北·期中）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 【答案】A 【分析】根据充分条件的定义依次判断每个选项即可. 【详解】对选项A：若则，故是的必要条件，故A正确； 对选项B：若，时，不能得到，故B错误； 对选项C：取，满足为无理数，为有理数，故C错误； 对选项D：四边形的对角线互相垂直，则这个四边形不一定是菱形，故D错误； 故选：A 13．（2026高三·安徽合肥·阶段检测）在下列若则的命题中，是的必要条件的命题是（    ） A．若四边形的一组邻边相等，则四边形是平行四边形 B．若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等 C．若，则 D．若是无理数，则也是无理数 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A：因为不是的充分条件，则不是的必要条件，故A错误； 对于B：若一个三角形三边分别为5，6，9，另一三角形三边分别为6，6，8， 两个三角形周长相等，却不全等，则不是的必要条件，故B错误； 对于C：由可以推出，所以是的充分条件， 则是的必要条件，故C正确； 对于D：若，则，不是无理数，不是的充分条件，则不是的必要条件，故D错误； 故选：C 14．【多选】（2026高一·全国·课后作业）对任意实数a，b，c，下列结论不正确的是（　　） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】ACD 【分析】ACD可举出反例；B选项，根据等式的基本性质可得. 【详解】A选项，已知，当时，则，故A错误； C选项，已知，当时，则，故C错误； B选项，已知，方程两边同乘以，可得，故“”是“”的必要条件，B正确； D选项，不妨设，满足，但不满足，D错误. 故选：ACD 15．（2026高一·江苏·寒假作业）判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？ (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (4)p：a>b，q：ac>bc． 【答案】(1)是 (2)不是 (3)是 (4)不是 【分析】根据必要条件的概念可对各个小问进行分析、运算即可判断即可. 【详解】（1）∵两个三角形全等⇒两个三角形相似，即q⇒p． ∴p是q的必要条件． （2）四边形的对角线相等，这个四边形不一定是矩形，如，等腰梯形，即qp． ∴p不是q的必要条件． （3）∵A∩B＝A⇒A⊆B，即q⇒p， ∴p是q的必要条件． （4）∵c的正负不确定，∴不能由ac＞bc推出a>b，即qp， ∴p不是q的必要条件． 考点三 探求命题成立的一个充分、必要条件 策略方法 探求命题成立的充分、必要条件，解题策略如下：​ 首先，明确充分条件和必要条件的定义：若p能推出q，则p是q的充分条件；若q能推出p，则p是q的必要条件。​ 其次，对于“探求q成立的充分条件p”：需找到一个p，使得p⇒q成立。可通过分析q成立的条件，选取其真子集范围内的条件（如q为x>1，p可为x>2，因x>2⇒x>1）。​ 对于“探求q成立的必要条件p”：需找到一个p，使得q⇒p成立。可从q成立的条件出发，推导其必然满足的更宽泛的条件（如q为x>2，p可为x>1，因x>2⇒x>1）。​ 最后，结合具体问题（如方程有实根、不等式成立等），先求出命题成立的充要条件，再根据充分、必要条件与充要条件的包含关系（充分条件是充要条件的子集，必要条件是充要条件的母集）筛选答案，必要时通过举反例验证逻辑关系。​ 题型训练 16．（2026高一·全国·课后作业）设，则使成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分条件的判定即可得到答案. 【详解】设是的一个充分条件，则根据充分条件的判定得，则， 故选：C. 17．（2026高一·全国·课后作业）下列结论的充分条件为“，为无理数”的是（    ） A．为无理数 B．为无理数 C．为无理数 D． 【答案】D 【分析】举特殊值，可排除A、B、C选项，由0不是无理数可知D正确. 【详解】若，则为有理数，A错误； 若，则为有理数，B错误； 若，则为有理数，C错误； 若为无理数，则，所以，D正确． 故选：D. 18．【多选】（2026高一·甘肃白银·期中）下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件是（     ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 【答案】ABD 【分析】根据四边形的性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】对选项A：对角线相等的菱形是正方形，正确； 对选项B：邻边相等的矩形是正方形，正确； 对选项C：对角线相等的平行四边形是矩形，错误； 对选项D：有一个角是直角的菱形是正方形，正确； 故选：ABD 19．（2026高一·全国·课后作业）关于x的方程有实根的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的求解即可判断，由充分条件的定义即可求解. 【详解】由，要使方程有实根，则， 故是方程有实根的一个充分条件， 故选：B 20．【多选】（2026高一·广东中山·阶段检测）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】解不等式，得到解集，结合集合的包含关系得到AD满足要求，BC不满足要求. 【详解】，解得， 由于是的子集， 故是的一个必要条件，A正确， 同理，是的子集， 故是的一个必要条件，D正确， B,C选项均不满足要求. 故选：AD. 考点四 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 策略方法 （一）根据充分条件求参数 1.核心知识 文字翻译：是的充分条件 ，其中，。 含参数区间必须讨论空集，空集是任意集合的子集。 2.完整解题步骤 步骤1：化简对应的不等式、方程，写出集合； 步骤2：对含参数集合分两类讨论：集合为空集、集合非空； 步骤3：绘制数轴，根据列出不等式组； 步骤4：单独检验区间端点，判断等号是否可取； 步骤5：合并所有符合条件的参数范围，回代验证。 3.避坑提醒 极易忽略集合为空集的讨论；端点等号判断失误，会直接改变参数取值范围。 （二）根据必要条件求参数 1.核心知识 文字翻译：是的必要条件 。 2.完整解题步骤 步骤1：分别整理条件对应的集合； 步骤2：含参数集合分空集、非空两种情况讨论； 步骤3：利用数轴表示区间，根据全部包含于列出不等式； 步骤4：求解不等式，将参数代回原集合验证包含关系。 3.避坑提醒 推导方向容易颠倒，误写成，得到完全错误的参数范围。 题型训练 （1） 根据充分条件求参数的取值范围 21．【多选】（2026高一·云南文山·阶段检测）已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】ACD 【分析】先根据题意得到，再分类讨论与，利用集合的包含关系得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【详解】因为是的充分条件，所以， 若，显然满足题意，此时，解得； 若，则，且，解得； 综上，或，对比选项可知，ACD符合题意， 故选：ACD. 22．集合，若命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据是的充分条件，得到，然后分情况讨论确定实数的取值范围. 【详解】由题意，. 是的充分条件，. ①当时，此时，解得，符合题意. ②当时： 若为单元素集，则，解得，此时，符合题意. 若为双元素集，则, 则有，此时无解. 综上，实数的取值范围为． 23．（2026高一·江苏连云港·开学考试）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解，得到，再利用条件即可求出结果. 【详解】由，得到， 又不等式的一个充分条件为，所以， 故选：C. 24．（2026高一·云南·开学考试）设全集，集合，非空集合． (1)若，求； (2)若的一个充分条件是，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）化简集合，根据集合运算法则求结论； （2）根据充分条件的定义条件可转化为，结合集合的包含关系列不等式求的范围即可. 【详解】（1）当时，，或， 不等式可化为， ， 所以或． （2）的一个充分条件是，则， 已知非空集合， 所以 所以，的取值范围为． 25．（2026高一·安徽淮北·期末）若关于的不等式的解集为. (1)求的值； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理即可求解； （2）由题意可得，分为和两种情况，分别求解即可求出答案. 【详解】（1）由题意知是方程的两个根， 所以，解得. （2）因为“”是“”的充分条件，所以. ①当，即时， ，符合条件； ②当时，即时， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. （二）根据必要条件求参数的取值范围 26．已知全集，集合 ，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】条件可转化为，分和分别列不等式求的范围. 【详解】∵“”是“”的必要条件， ∴，∴. 当，即时，，满足． 当时，由，得，解得. 综上所述，实数的取值范围是． 27．（2026高一·安徽淮北·期中）已知集合，集合，． (1)求； (2)若是的必要条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求解出各个集合，再利用集合的交并补混合运算求解即可. （2）结合必要条件的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】（1）令，解得，则， 令，解得，则， 可得，故. （2）令，解得，则， 因为是的必要条件，所以，解得. 28．（2026高一·上海·期末）已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【分析】根据必要条件的定义进行求解即可. 【详解】因为是的必要条件，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 29．（2026高一·上海·期末）设是实数，若是的必要条件，则的取值范围是____________ 【答案】 【分析】根据必要条件的定义直接求解即可. 【详解】若是的必要条件， 则， 故可得. 故答案为： 30．（2026高一·北京石景山·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集结果列式即可求解； （2）根据题意得到，列式即可求解. 【详解】（1）若，则或， 所以或， 故实数的取值范围. （2）因为成立的一个必要条件是， 所以， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 考点五 充分、必要、充要条件的判断 策略方法 1.核心知识 设，，四类判定标准： （1）且，：是的充分不必要条件； （2）且，：是的必要不充分条件； （3）且，：是的充要条件； （4）且，且：是的既不充分也不必要条件。 句式区分规则： ① 是的XX条件：为条件，为结论； ② 的XX条件是：为条件，为结论，逻辑倒装。 2.完整解题步骤 步骤1：拆分题干，明确条件、结论，写出对应集合； 步骤2：分别判断、两条推导的真假； 步骤3：对照四类判定标准，写出最终条件类型； 步骤4：题干带有“的”字倒装句式，优先转换推导顺序再判断。 3.避坑提醒 看到“的充分条件是”容易看反推导关系，等价于，不是。 （一）充分不必要条件判断 1.核心知识 正向推导成立，反向推导不成立，集合是的真子集。 2.完整解题步骤 步骤1：证明成立一定能推出成立； 步骤2：举出反例，存在成立但不成立的情况； 步骤3：得出结论。 3.避坑提醒 双向都能推导时，是充要条件，不是充分不必要条件。 （二）必要不充分条件判断 1.核心知识 成立，不成立，集合是的真子集。 2.完整解题步骤 步骤1：证明成立一定推出成立； 步骤2：举反例，存在成立但不成立的情况； 步骤3：给出结论。 3.避坑提醒 推导起点是结论，不能以为起点验证。 （三）充要条件判断 1.核心知识 双向推导全部成立，两个集合完全相等。 2.完整解题步骤 步骤1：证明充分性； 步骤2：证明必要性； 步骤3：双向成立，判定为充要条件。 3.避坑提醒 只证明单向推导，不能判定为充要条件，必须双向验证。 （四）既不充分也不必要条件判断 1.核心知识 且，两个集合无互相包含关系。 2.完整解题步骤 步骤1：举反例，证明成立无法推出； 步骤2：再举反例，证明成立无法推出； 步骤3：得出结论。 3.避坑提醒 只找到一组单向反例，不能直接判定，两条推导都要否定。 题型训练 （1） 充分不必要条件的判断 31．（2026高三·全国·专题练习）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求解不等式得出的取值范围，再根据充分性和必要性的定义判断两个条件之间的关系. 【详解】不等式可化为，即. 若成立，一定满足，因此充分性成立； 若满足，不一定满足，因此，必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 32．（2026高一·广东河源·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式后由充分必要条件的概念即可求解. 【详解】解得， 可以推出，但不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 33．（2026高二·山东泰安·期末）已知，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先解不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断两者之间的逻辑关系. 【详解】因为解得，所以， 又因是的真子集，故是的充分不必要条件. 34．（2026高二·重庆沙坪坝·期末）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，又，所以， 所以“”是“”的充分条件； 若，又， 所以或，解得或， 所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件. 35．（2026高二·河北承德·期末）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件及不等式的性质求解. 【详解】因为，所以，故充分性成立； 当，时，不等式成立，但，故必要性不成立． 综上，“”是“”的充分不必要条件． （二）必要不充分条件的判断 36．（2026高二·天津静海·阶段检测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求解一元二次不等式得到对应解集，通过判断两个解集的集合包含关系，结合充分必要条件的定义得出结论. 【详解】不等式解集为， 所以，“”是“”的必要不充分条件. 37．（2026高二·广东·期末）“是整数”是“是奇数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若是整数，则不一定是奇数；若是奇数，则一定是整数”， 所以“是整数”是"是奇数"的必要不充分条件． 38．（2026高二·北京昌平·期末）设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，，满足，但. 若，因为，所以成立. 所以是必要不充分条件. 39．（2026高二·内蒙古通辽·期末）设实数，满足，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分别通过基本不等式判断必要性、举反例判断充分性，即可确定两个条件的逻辑关系 【详解】设条件，条件。 已知，由基本不等式可得（当且仅当时等号成立）， 若，则，即成立，故必要性成立； 取，满足，且，但， 即存在满足的情况不满足，即不成立，故充分性不成立. 综上，“”是“”的必要不充分条件. （三）充要条件的判断 40．（2026高一·宁夏银川·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先根据命题求的取值范围，再根据充分，必要条件的定义，判断选项. 【详解】等价于，所以， 所以是的充要条件. 故选：C. 41．（2026高一·辽宁沈阳·期末）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】依题意找到成立的等价条件，再由充要条件的定义即可判断. 【详解】因， 对于，，当且仅当时等号成立. 则由可得，由可得，故“”是“”的充要条件. 故选：C. 42．（2026高二·辽宁大连·学业考试）“”是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可． 【详解】充分性：若，根据不等式基本性质可得，充分性成立； 必要性：若，根据不等式基本性质可得，必要性成立； 因此“”是的充要条件， 故选：C. 43．（2026高一·上海·专题练习）设为全集，、为非空集合，下面四个条件，（1）；（2）；（3）；（4）.其中是的充要条件个数有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】结合韦恩图可直接判断集合间的关系. 【详解】U为全集，A、B为非空集合 对于（1）； 对于（2）； 对于（3）； 对于（4）. 故选：D 44．（2026高一·河北·期中）关于的方程，则“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由方程有一个正根和一个负根可求得的范围，进而可求得结论. 【详解】方程有两个不等实根，则，解得； 方程有一正实根和一负实根，则， 所以方程有一个正实根和一个负实根，则； 若，则，又，所以方程有一正实根和一负实根； 所以“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的充要条件. 故选：C． （四）既不充分也不必要条件的判断 45．（2026高二·河南南阳·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】对于充分性，当时，满足，不满足，则充分性不成立， 对于必要性，当时，满足，不满足，则必要性不成立， 可得“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确. 46．（2026高二·湖南怀化·期末）已知、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当时，不妨取，则，此时“”“”， 当时，不妨取，，则，此时“”“”， 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 47．（2026高二·福建福州·期末）“是等腰直角三角形”是“是等边三角形”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】“是等腰直角三角形”推不出“是等边三角形”，反过来也不成立， 所以“是等腰直角三角形”是“是等边三角形”的既不充分也不必要条件. 48．（2026高二·全国·期末）已知a，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件及必要条件的定义，结合特殊值法求解判断即可. 【详解】当，时，满足，但，故推不出， 当，时，满足，但，故不能推出， 所以“”是 “”的既不充分也不必要条件. 考点六 探求命题为真的一个充要条件 策略方法 （一）探求充分不必要条件 1.核心知识 逻辑约束：，；集合约束：。 2.完整解题步骤 步骤1：求出成立对应的完整取值集合； 步骤2：在内部选取范围更小的真子集作为； 步骤3：举例验证，存在成立但不成立的元素。 3.避坑提醒 选取范围不能与完全重合，重合则为充要条件。 （二）探求必要不充分条件 1.核心知识 逻辑约束：，；集合约束：。 2.完整解题步骤 步骤1：求解成立的全部取值，得到集合； 步骤2：选取包含的更大集合作为； 步骤3：举反例，存在成立但不成立的元素。 3.避坑提醒 选取的范围不能小于，无法满足。 （三）探求充要条件 1.核心知识 逻辑约束：，每一步变形必须等价，双向推导同时成立。 2.完整解题步骤 方法1 等价变形法 步骤1：对原式做等式、不等式变形，每一步标注； 步骤2：最终化简得到的式子即为充要条件，无需分开证明； 方法2 双向推导法 步骤1：先证明充分性； 步骤2：再证明必要性； 步骤3：双向全部成立，该条件为充要条件。 3.避坑提醒 变形时使用单向符号，不是等价变换，不能作为充要条件。 题型训练 （1） 探求命题为真的一个充分不必要条件 49．（2026·山东聊城·模拟预测）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解出的范围，再根据充分不必要条件的判断即可得到答案. 【详解】由，得， 故“”是“”的一个充分不必要条件. 故选：B. 50．（2026高一·福建宁德·阶段检测）使不等式成立的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分条件、必要条件的定义求解即可. 【详解】解出，下列选项可以推出的有C、D选项， 而C选项为充要条件，且推不出D选项， 故选：D. 51．（2026高一·上海·期中）下列是成立的一个充分非必要条件的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的定义，结合不等式的性质即可逐一求解. 【详解】对于A,由于不能推出，故A错误， 对于B,由可得，故可得，但可得，无法得到，故是成立的一个充分不必要条件，B正确， 对于C，由可得，由于无法得知的符号，所以无法确定，故C错误， 对于D, ，故是成立的充分必要条件，D错误， 故选：B 52．（2026高三·安徽·开学考试）“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，“”是“”的充分必要条件，不合题意； 对于B，由推不出，但是由可以推出， 所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意； 对于C，由推不出，但是由可以推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，符合题意； 对于D，由推不出，比如满足，不满足， 但是由可以推出，所以“”是“”的必要不充分条件，不合题意． 故选：C 53．（2026高一·河南·阶段检测）关于的一元二次方程有实数解的一个充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有实数解可求得其成立的充要条件，根据推出关系可得到结论. 【详解】若一元二次方程有实数解，则，解得：； 对于A，，，是一元二次方程有实数解的充分不必要条件，A正确； 对于B，是一元二次方程有实数解的充要条件，B错误； 对于C，，，是一元二次方程有实数解的必要不充分条件，C错误； 对于D，，，是一元二次方程有实数解的必要不充分条件，D错误. 故选：A. 54．（2026高一·广西北海·期末）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】A选项，时，一定推出， 反之若时，例如，无法推出， 故是的充分不必要条件，A选项正确； B选项，显然是的充要条件，B选项不正确； C选项，若，取，则不满足，充分性不成立，C选项错误； D选项，若，取，类似C的分析可知充分性不成立，D选项错误. 故选：A 55．【多选】（1.4充分条件与必要条件）关于的方程至少有一个负根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】探求使不等式成立的充分不必要条件，即寻找在解集范围内且小于该范围的选项． 【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 当方程有两个负根时，则有，解得， 当方程有一个负根一个正根时，则有即， 综上所述，当关于的方程至少有一个负根时，有， 选项中，在的范围内，且比小的范围有A、B、C． 故选：ABC. 56．（2026高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用充分条件与必要条件的概念判断即可. 【详解】当时，取，不满足，故不是p的充分条件，故A不合题意； 是p的充要条件，故B不合题意； 集合是的真子集，故是的充分不必要条件，故C正确； 当时，取，不满足，故不是p的充分条件，故D错误， 故选：C. （2） 探求命题为真的一个必要不充分条件 57．（2026高一·江苏盐城·期中）已知，写出p的一个必要不充分条件________________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，只需写出的范围满足是的真子集即可. 【详解】根据题意，需要寻求p的一个必要不充分条件， 故只需满足是所写范围的真子集即可，故可以为， 此时，是必要不充分条件. 故答案为：（答案不唯一） 58．（2026高一·江苏南通·阶段检测）关于的二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求解方程有实数根的充要条件，即可结合必要不充分条件的定义求解. 【详解】有实数解，则，解得， 故二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是， 故选：D 59．（2026高一·河北保定·阶段检测）设集合，则B是A的真子集的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，再利用真子集的意义，结合包含关系求出取值集合，进而判断得解. 【详解】依题意，， 由B是A的真子集，得或或，而， 当时，； 当时，； 当时，， 因此B是A的真子集的充要条件是， 而真包含， 所以B是A的真子集的一个必要不充分条件是. 故选：A （三）探求命题为真的一个充要条件 60．（2026高一·广东广州·阶段检测）“方程至多有一个实数解”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据判别式即可求解. 【详解】若有两个不相等的实数根，则， 故方程至多有一个实数解时，， 故“方程至多有一个实数解”的一个充要条件是：， 故选：A 61．（2026高一·上海·期末）的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，即，所以A符合题意； 由，可得或，所以选项B是的充分不必要条件； 选项C和D都为的既不充分也不必要条件. 故选：A. 62．（2026高一·广东汕尾·阶段检测）若a，b都是正整数，则成立的充要条件是（　 　） A．a，b都大于1 B．a，b都不等于1 C．a，b至少有一个为1 D．a，b都等于1 【答案】C 【分析】将不等式变形为，然后结合已知讨论即可. 【详解】因为a，b都是正整数， 所以， 若a，b都大于1，则，不满足题意，所以a，b至少有一个为1； 反之，若a，b至少有一个为1，则或. 综上，a，b都是正整数，则成立的充要条件是a，b至少有一个为1. 故选：C 63．（2026高一·江苏南京·阶段检测）设，则“”的充要条件是（    ） A．a，b都为 B．a，b不都为 C．a，b中至少有一个为 D．a，b都不为0 【答案】C 【分析】变形给定的等式，再利用充分条件、必要条件的定义逐项判断作答. 【详解】，，于是得或， 因此a，b中至少有一个为，反之当a，b中至少有一个为时，， “a，b中至少有一个为”是 “”的充要条件，C正确； 而“或”可以是“a，b中只有为”，A不正确； “或”可以是“a，b都为”，B不正确； “或”可以是“a，b中一个为，另一个为0”，D不正确. 故选：C 考点七 充要条件的应用 策略方法 （一）核心知识 设，集合转化规则： （1）是充分不必要条件 ； （2）是必要不充分条件 ； （3）是充要条件 。 基础规律：小范围集合可以推出大范围集合；小是大的充分不必要，大是小的必要不充分，范围相等互为充要。 （二）依据充分不必要条件求参数 1.完整解题步骤 步骤1：文字条件转化为集合真子集； 步骤2：化简带参数集合，分空集、非空两类讨论； 步骤3：绘制数轴，列出不等式，真子集两端不能同时取等； 步骤4：解出参数，代回验证是真包含，不是相等。 2.避坑提醒 普通子集允许两端同时取等，真子集不允许，等号处理易出错。 （三）依据必要不充分条件求参数 1.完整解题步骤 步骤1：转化为； 步骤2：讨论含参数集合为空集的情况； 步骤3：根据区间真包含列出不等式，检验端点取值； 步骤4：参数代回原集合验证集合关系。 2.避坑提醒 极易颠倒的包含顺序，写出相反不等式。 （四）依据充要条件求参数 1.完整解题步骤 步骤1：条件转化； 步骤2：集合区间、端点必须全部一一对应相等，列等式/不等式； 步骤3：求解参数，代回后两个集合完全一致才符合要求。 2.避坑提醒 只要有一处区间端点不相等，两个集合就不满足，舍去该参数。 通用统一解题步骤（本考点通用） 步骤1：将文字逻辑翻译为集合包含/相等关系； 步骤2：化简所有集合，对含参数集合讨论空集； 步骤3：借助数轴画出区间，列出对应不等式（组）； 步骤4：求解参数后代入原集合检验匹配关系。 通用避坑提醒 所有含参数区间，必须优先讨论，空集极易遗漏造成答案不全。 题型训练 （1） 依据充分不必要条件求参数 64．（2026高二·河南商丘·期末）已知集合，． (1)若，求及； (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）求出集合，根据并集的定义可求得集合，根据补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可得，分、两种情况讨论，根据题意以及集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围； （3）由题意可知集合是集合的真子集，可得出关于实数的不等式组，由此可得出实数的取值范围. 【详解】（1）由，解得，所以． 当时，，所以， 或，所以． （2）因为，所以， ①当时，，解得； ②当时，则，解得． 综上所述，实数的取值范围为． （3）由是的充分不必要条件，知集合是集合的真子集， 所以，解得， 当时，，此时是的真子集，符合题意. 故实数的取值范围是． 65．（2026高一·山东潍坊·期中）已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)讨论两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围； (2)由是成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围. 【详解】（1）①若，此时，即，此时，满足题意； ②若，此时，即，若，则满足或， 又因为，得. 综上，实数m的取值范围为. （2）p是q的充分不必要条件，是的真子集， 则，且等号不能同时成立，解得. 66．（2026高三·全国·专题练习）条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，当，，此时不等式无解， 当，此时，所以，解得，即, 已知，且是的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以. 67．（2026高二·江西南昌·期末）已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据是的充分不必要条件,得到是A的真子集，然后根据真子集的定义建立不等式组求解即可. (2)利用分情况讨论或时的情况，得到含的不等式，然后求解不等式即可得到参数范围, 【详解】（1）若是的充分不必要条件，所以是A的真子集， 当时，由，可得； 当时，，即， 又（等号不同时取），解得，又，． 综上，实数m的取值范围为． （2）若时，当时，即，可得； 当时，需满足或，解得（舍）或， 即，时, . 68．已知全集，集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】. 【详解】若“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集， 当时，，此时，满足是的真子集， 当时，则，解得：，且和不能同时成立， 综上所述：实数的取值范围为. 69．（2026高三·全国·专题练习）已知p：，q：，若p是q成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【详解】由，得或， 因为是成立的充分不必要条件， 所以是或的真子集， 所以或，即或， 则实数a的取值范围是. （2） 依据必要不充分条件求参数 70．（2026高三·全国·专题练习）已知：，，若非是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】求出命题相应的集合，判断出两集合的包含关系，列不等式即可求解. 【详解】解法一：由可知，即． 非或． 设集合或． 由可求得或． 设集合或． 非是的必要不充分条件，B是A的真子集，即得，且两等号不能同时成立， 解得，即实数的取值范围是. 解法二：非是的必要不充分条件，非是的必要不充分条件， 由解法一可知，非． P是Q的真子集， 则，且两等号不能同时成立， 解得，即实数的取值范围是. 71．（2026高二·天津·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由“”是“”的必要不充分条件， 得集合是集合的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 72．（2026高二·河北邢台·阶段检测）已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 【答案】(1)，或． (2) (3) 【详解】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 73．已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先根据必要不充分条件得到Ü，然后根据集合间的关系求解的取值范围 【详解】或，. 又是的必要不充分条件，是的真子集. ①当时，则，得， ②当时，则或，解得， 综上，实数的取值范围是． 74．已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】将必要不充分条件转化为集合的子集关系，再结合集合的子集关系，分类讨论，即可求解. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 当时，，解得； 当时，要使集合是集合的真子集，需使，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 75．已知集合和集合，已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】先将“q是p的必要不充分条件”转化为集合是集合的真子集，再根据集合真包含关系列不等式组，求解实数的取值范围. 【详解】∵q是p的必要不充分条件，∴⫋， 则或，解得， 故实数的取值范围为. 76．设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 【答案】2 【详解】由条件，因为 是的充要条件，所以， 即，解得， 所以实数的值是. （3） 依据充要条件求参数 77．（2026高三·全国·一轮复习）若集合，，其中为实数． （1）若是的充要条件，则________； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：________. 【答案】 / 【详解】（1）由已知可得， 当时，，与矛盾， 当，，与矛盾， 当时，， 结合可得，解得； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以，，得， 故的取值范围是. 78．（2026高一·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 【答案】(1). (2)不存在 【分析】（1）把必要条件转化为子集关系，从而确定参数满足的不等式组，即可求解； （2）把充要条件转化为两集合相等，从而确定参数满足的方程组，即可作出判断. 【详解】（1）∵是的必要条件，故， ∴，解得， 即所求实数m的取值范围是. （2）∵若是的充要条件，则， ∴，由于该方程组无解， 即不存在实数m，使是的充要条件. 79．（2026高一·广东东莞·阶段检测）已知集合. (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 【答案】(1)不存在，理由见详解 (2) 【分析】（1）根据题意，转化为，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，转化为，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）若存在实数，使得是成立的充要条件，则. 故，无解，故不存在实数，使得是成立的充要条件. （2）因为，所以，故， 由是成立的必要不充分条件，得真包含于， 所以且不等式组的两个等号不同时取得，解得，又， 所以的取值范围为. 80．（2026高一·重庆·阶段检测）设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】先求出命题中不等式的解集，再根据p是q成立的充要条件，即p和q所表示的集合相等求出的值． 【详解】，解得， ， 又，， ， 故选：A． 考点八 充要条件的证明 策略方法 1.核心知识 求证是的充要条件，必须分两步证明：充分性、必要性，两步缺一不可。 集合证明思路：证明且，即可推出，得到。 2.完整解题步骤 步骤1：区分清楚条件、结论； 步骤2：证明充分性：以作为已知条件，推导得出； 步骤3：证明必要性：以作为已知条件，推导得出； 步骤4：总结，双向推导均成立，故是的充要条件。 简化技巧：若全部变形步骤都是等价变换（标注），可以不用拆分两步证明。 3.避坑提醒 充分性、必要性推导方向不能颠倒；只证明单向推导，不能完成充要条件的完整证明。 题型训练 81．（2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【答案】①充分性，当时，， 代入方程，得， 满足此方程，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是． 【分析】根据代入方程，因式分解即可求证充分性成立，将代入方程中即可求证必要性． 【详解】略 82．（2026高一·全国·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 【答案】证明见解析 【分析】分别证明充分性和必要性即可. 【详解】先证充分性： 由得，则，因此； 再证必要性： 由，得，由，得， 因此，则 所以“是“”的充要条件. 83．（2026高一·贵州贵阳·阶段检测）（1）命题“”；命题“”．若命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围； （2）证明：的充要条件是 【答案】（1） ；（2）证明见解析 ． 【分析】（1）先求命题p为真命题时，的范围，再求命题q为真命题时，的范围，进而得当命题p与命题q均为假命题时，的范围，即可求命题p与命题q中至少有一个为真命题时，的范围； （2）根据充要条件的证明，先证充分性，再证必要性即可得证. 【详解】（1）当命题p为真命题，则，，解得， 当命题q为真命题，则，解得， 所以当命题p与命题q均为假命题，则实数a的取值范围是． 故命题p与命题q中至少有一个为真命题时，， 所以实数a的取值范围是． （2）充分性：因为所以 所以 即充分性成立 必要性：因为 且， 所以即，必要性成立． 综上；的充要条件是 $2026-2027年新高一暑假人教A版2019必修第一册考点通关提升讲义 专题04 充分条件与必要条件8种常见考法归类（83题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 命题的概念与真假判断 （一）命题的概念 （二）判断命题的真假 考点二 充分、必要条件的判断 （一）充分条件的判断 （二）必要条件的判断 考点三 探求命题成立的一个充分、必要条件 考点四 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 （一）根据充分条件求参数的取值范围 （二）根据必要条件求参数的取值范围 考点五 充分、必要、充要条件的判断 （一）充分不必要条件的判断 （二）必要不充分条件的判断 （三）充要条件的判断 （四）既不充分也不必要条件的判断 考点六 探索命题为真的一个充要条件 （一）探求命题为真的一个充分不必要条件 （二）探求命题为真的一个必要不充分条件 （三）探求命题为真的一个充要条件 考点七 充要条件的应用 （一）依据充分不必要条件求参数 （二）依据必要不充分条件求参数 （三）依据充要条件求参数 考点八 充要条件的证明 知识点1：命题的定义与表示 (1)命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题． 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． (2)命题的表示：命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论． 知识点2：充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 知识点3：充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点4：充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 知识点5：充分、必要、充要条件的证明 1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。 2、证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件。 尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了。 一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即 考点一 命题的概念与真假判断 （一）命题的概念 策略方法 1. 核心知识 命题标准定义：可以判断出唯一真假的陈述句。判定需要同时满足两条硬性规则，缺一不可。 规则1：语句必须是陈述句；疑问句、祈使句、感叹句都不属于陈述句，直接排除。 规则2：语句有确定的真假结果；含有无约束未知量、无法判定对错的陈述句，不能算作命题。 2. 完整解题步骤 步骤1：判断语句句式，疑问句、祈使句、感叹句直接判定不是命题； 步骤2：剩余陈述句，观察是否存在固定、可确定的真假； 步骤3：两条规则同时满足则为命题，任意一条不满足都不是命题。 3. 避坑提醒 只满足“陈述句”不代表是命题，例如是陈述句，但没有限定取值范围，无法判断真假，不属于命题。 题型训练 1．（2026高一·全国·课后作业）下列语句为命题的是（ ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 2．（2026高一·上海·阶段检测）下列语句是命题的有__． ①地球是太阳的一个行星；②今天下雨吗；③、都是无理数，则是无理数；④若，则；⑤；⑥求证是无理数． 3．（2026高一·上海浦东新·阶段检测）下列语句中是命题的有________． ①三边对应相等的两个三角形全等 ②如果，则 ③对于任意数，不能被3整除 ④八月的桂花真香啊 ⑤ 4．【多选】下列语句是命题的有（   ） A．求证：的对称轴是y轴 B．你是高一学生吗？ C．若，则 D．三角形的内角和是 5．（2026高一·重庆·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．有些菱形不是平行四边形 B．平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 C．所有素数都是奇数 D．每个四边形的内角和都是 （二）判断命题的真假 策略方法 1.核心知识 真命题：条件成立时，结论一定成立； 假命题：存在一组条件成立，但结论不成立的反例。 命题分类：全称量词命题、存在量词命题、“若，则”复合命题、定理事实类命题。 2.完整解题步骤 步骤1：前置判定，先确认该语句是命题，非命题无需讨论真假； 步骤2：分类型选择判断方法 （1）定理事实类：对照课本公理、定义，符合则为真，违背则为假； （2）全称命题：需要全部取值都成立，找到1个反例即可判定为假； （3）存在命题：只需找到1个满足条件的取值，即可判定为真； （4）若则复合命题：寻找满足但不满足的实例，有反例为假，无反例则推理证明为真； 步骤3：复杂命题可使用反证法，假设结论不成立，结合已知推导矛盾，反向证明原命题为真。 3.避坑提醒 全称命题只举1个成立例子不能判定为真；存在命题举1个反例不能判定为假。 题型训练 6．（2026高一·四川绵阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 7．（2026高三·全国·一轮复习）下列命题为假命题的是（　　） A．有些实数是无限不循环小数 B．每一个末位是0的整数都是5的倍数 C．至少有一个整数，使是4的倍数 D．对任意负数，的平方是正数 考点二 充分、必要条件的判断 策略方法 （一）充分条件的判断 1. 核心知识 是的充分条件，逻辑关系； 集合对应：设条件对应集合，条件对应集合，满足。 文字含义：只要成立，必然成立，“有之必成立，无之未必不成立”。 2. 完整解题步骤 步骤1：拆分题干，区分条件、结论； 步骤2：验证正向推导，任意满足的元素都满足，则；若存在反例，推导不成立； 步骤3：集合辅助验证，写出，借助数轴、Venn图观察，完全包含在内即可判定。 3. 避坑提醒 充分条件只要求成立，不需要反向成立，不要额外验证反向推导。 （二）必要条件的判断 1.核心知识 是的必要条件，逻辑关系； 集合对应：，，满足。 文字含义：想要成立，必须先满足，“有之未必成立，无之必不成立”。 2.完整解题步骤 步骤1：分清题干中的条件、结论； 步骤2：验证推导方向，所有满足的元素一定满足，即；存在反例则不是必要条件； 步骤3：借助数轴、Venn图观察集合，全部落在内部即可判定。 3.避坑提醒 必要条件的推导起点是结论，极易颠倒写成，造成判断错误。 题型训练 （1） 充分条件的判断 8．（2026高一·江苏常州·阶段检测）下列所给的各组中，是的充分条件的是（    ） A． B． C．：：关于的方程有两个实数解 D．中，中， 9．（2026高一·全国·课后作业）下列各题中，p是q的充分条件的是______. ①p：，q：； ②p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； ③p：，q：方程无实根. 10．【多选】（2026高三·全国·一轮复习）下列命题中，p是q的充分条件的是（　　） A．若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直 B．若，则 C．若，则 D．若，为无理数，则为无理数 11．（2026高一·全国·课后作业）下列“若p则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形. (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似. (3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直. (4) (5)若，则. (6)若x，y为无理数，则xy为无理数. （2） 必要条件的判断 12．（2026高一·湖北·期中）下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为无理数，则为无理数 D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形 13．（2026高三·安徽合肥·阶段检测）在下列若则的命题中，是的必要条件的命题是（    ） A．若四边形的一组邻边相等，则四边形是平行四边形 B．若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等 C．若，则 D．若是无理数，则也是无理数 14．【多选】（2026高一·全国·课后作业）对任意实数a，b，c，下列结论不正确的是（　　） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 15．（2026高一·江苏·寒假作业）判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？ (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (4)p：a>b，q：ac>bc． 考点三 探求命题成立的一个充分、必要条件 策略方法 探求命题成立的充分、必要条件，解题策略如下：​ 首先，明确充分条件和必要条件的定义：若p能推出q，则p是q的充分条件；若q能推出p，则p是q的必要条件。​ 其次，对于“探求q成立的充分条件p”：需找到一个p，使得p⇒q成立。可通过分析q成立的条件，选取其真子集范围内的条件（如q为x>1，p可为x>2，因x>2⇒x>1）。​ 对于“探求q成立的必要条件p”：需找到一个p，使得q⇒p成立。可从q成立的条件出发，推导其必然满足的更宽泛的条件（如q为x>2，p可为x>1，因x>2⇒x>1）。​ 最后，结合具体问题（如方程有实根、不等式成立等），先求出命题成立的充要条件，再根据充分、必要条件与充要条件的包含关系（充分条件是充要条件的子集，必要条件是充要条件的母集）筛选答案，必要时通过举反例验证逻辑关系。​ 题型训练 16．（2026高一·全国·课后作业）设，则使成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 17．（2026高一·全国·课后作业）下列结论的充分条件为“，为无理数”的是（    ） A．为无理数 B．为无理数 C．为无理数 D． 18．【多选】（2026高一·甘肃白银·期中）下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件是（     ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 19．（2026高一·全国·课后作业）关于x的方程有实根的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 20．【多选】（2026高一·广东中山·阶段检测）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 考点四 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 策略方法 （一）根据充分条件求参数 1.核心知识 文字翻译：是的充分条件 ，其中，。 含参数区间必须讨论空集，空集是任意集合的子集。 2.完整解题步骤 步骤1：化简对应的不等式、方程，写出集合； 步骤2：对含参数集合分两类讨论：集合为空集、集合非空； 步骤3：绘制数轴，根据列出不等式组； 步骤4：单独检验区间端点，判断等号是否可取； 步骤5：合并所有符合条件的参数范围，回代验证。 3.避坑提醒 极易忽略集合为空集的讨论；端点等号判断失误，会直接改变参数取值范围。 （二）根据必要条件求参数 1.核心知识 文字翻译：是的必要条件 。 2.完整解题步骤 步骤1：分别整理条件对应的集合； 步骤2：含参数集合分空集、非空两种情况讨论； 步骤3：利用数轴表示区间，根据全部包含于列出不等式； 步骤4：求解不等式，将参数代回原集合验证包含关系。 3.避坑提醒 推导方向容易颠倒，误写成，得到完全错误的参数范围。 题型训练 （1） 根据充分条件求参数的取值范围 21．【多选】（2026高一·云南文山·阶段检测）已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（    ） A． B． C．0 D． 22．集合，若命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 23．（2026高一·江苏连云港·开学考试）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．（2026高一·云南·开学考试）设全集，集合，非空集合． (1)若，求； (2)若的一个充分条件是，求的取值范围． 25．（2026高一·安徽淮北·期末）若关于的不等式的解集为. (1)求的值； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. （二）根据必要条件求参数的取值范围 26．已知全集，集合 ，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 27．（2026高一·安徽淮北·期中）已知集合，集合，． (1)求； (2)若是的必要条件，求的取值范围． 28．（2026高一·上海·期末）已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________ 29．（2026高一·上海·期末）设是实数，若是的必要条件，则的取值范围是____________ 30．（2026高一·北京石景山·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围. 考点五 充分、必要、充要条件的判断 策略方法 1.核心知识 设，，四类判定标准： （1）且，：是的充分不必要条件； （2）且，：是的必要不充分条件； （3）且，：是的充要条件； （4）且，且：是的既不充分也不必要条件。 句式区分规则： ① 是的XX条件：为条件，为结论； ② 的XX条件是：为条件，为结论，逻辑倒装。 2.完整解题步骤 步骤1：拆分题干，明确条件、结论，写出对应集合； 步骤2：分别判断、两条推导的真假； 步骤3：对照四类判定标准，写出最终条件类型； 步骤4：题干带有“的”字倒装句式，优先转换推导顺序再判断。 3.避坑提醒 看到“的充分条件是”容易看反推导关系，等价于，不是。 （一）充分不必要条件判断 1.核心知识 正向推导成立，反向推导不成立，集合是的真子集。 2.完整解题步骤 步骤1：证明成立一定能推出成立； 步骤2：举出反例，存在成立但不成立的情况； 步骤3：得出结论。 3.避坑提醒 双向都能推导时，是充要条件，不是充分不必要条件。 （二）必要不充分条件判断 1.核心知识 成立，不成立，集合是的真子集。 2.完整解题步骤 步骤1：证明成立一定推出成立； 步骤2：举反例，存在成立但不成立的情况； 步骤3：给出结论。 3.避坑提醒 推导起点是结论，不能以为起点验证。 （三）充要条件判断 1.核心知识 双向推导全部成立，两个集合完全相等。 2.完整解题步骤 步骤1：证明充分性； 步骤2：证明必要性； 步骤3：双向成立，判定为充要条件。 3.避坑提醒 只证明单向推导，不能判定为充要条件，必须双向验证。 （四）既不充分也不必要条件判断 1.核心知识 且，两个集合无互相包含关系。 2.完整解题步骤 步骤1：举反例，证明成立无法推出； 步骤2：再举反例，证明成立无法推出； 步骤3：得出结论。 3.避坑提醒 只找到一组单向反例，不能直接判定，两条推导都要否定。 题型训练 （1） 充分不必要条件的判断 31．（2026高三·全国·专题练习）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 32．（2026高一·广东河源·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 33．（2026高二·山东泰安·期末）已知，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 34．（2026高二·重庆沙坪坝·期末）已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 35．（2026高二·河北承德·期末）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （二）必要不充分条件的判断 36．（2026高二·天津静海·阶段检测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 37．（2026高二·广东·期末）“是整数”是“是奇数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 38．（2026高二·北京昌平·期末）设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 39．（2026高二·内蒙古通辽·期末）设实数，满足，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （三）充要条件的判断 40．（2026高一·宁夏银川·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 41．（2026高一·辽宁沈阳·期末）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 42．（2026高二·辽宁大连·学业考试）“”是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 43．（2026高一·上海·专题练习）设为全集，、为非空集合，下面四个条件，（1）；（2）；（3）；（4）.其中是的充要条件个数有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 44．（2026高一·河北·期中）关于的方程，则“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （四）既不充分也不必要条件的判断 45．（2026高二·河南南阳·期末）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 46．（2026高二·湖南怀化·期末）已知、，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 47．（2026高二·福建福州·期末）“是等腰直角三角形”是“是等边三角形”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 48．（2026高二·全国·期末）已知a，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点六 探求命题为真的一个充要条件 策略方法 （一）探求充分不必要条件 1.核心知识 逻辑约束：，；集合约束：。 2.完整解题步骤 步骤1：求出成立对应的完整取值集合； 步骤2：在内部选取范围更小的真子集作为； 步骤3：举例验证，存在成立但不成立的元素。 3.避坑提醒 选取范围不能与完全重合，重合则为充要条件。 （二）探求必要不充分条件 1.核心知识 逻辑约束：，；集合约束：。 2.完整解题步骤 步骤1：求解成立的全部取值，得到集合； 步骤2：选取包含的更大集合作为； 步骤3：举反例，存在成立但不成立的元素。 3.避坑提醒 选取的范围不能小于，无法满足。 （三）探求充要条件 1.核心知识 逻辑约束：，每一步变形必须等价，双向推导同时成立。 2.完整解题步骤 方法1 等价变形法 步骤1：对原式做等式、不等式变形，每一步标注； 步骤2：最终化简得到的式子即为充要条件，无需分开证明； 方法2 双向推导法 步骤1：先证明充分性； 步骤2：再证明必要性； 步骤3：双向全部成立，该条件为充要条件。 3.避坑提醒 变形时使用单向符号，不是等价变换，不能作为充要条件。 题型训练 （1） 探求命题为真的一个充分不必要条件 49．（2026·山东聊城·模拟预测）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 50．（2026高一·福建宁德·阶段检测）使不等式成立的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 51．（2026高一·上海·期中）下列是成立的一个充分非必要条件的是（　　） A． B． C． D． 52．（2026高三·安徽·开学考试）“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 53．（2026高一·河南·阶段检测）关于的一元二次方程有实数解的一个充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 54．（2026高一·广西北海·期末）“”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 55．【多选】（1.4充分条件与必要条件）关于的方程至少有一个负根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 56．（2026高一·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． （2） 探求命题为真的一个必要不充分条件 57．（2026高一·江苏盐城·期中）已知，写出p的一个必要不充分条件________________. 58．（2026高一·江苏南通·阶段检测）关于的二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 59．（2026高一·河北保定·阶段检测）设集合，则B是A的真子集的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． （三）探求命题为真的一个充要条件 60．（2026高一·广东广州·阶段检测）“方程至多有一个实数解”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 61．（2026高一·上海·期末）的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 62．（2026高一·广东汕尾·阶段检测）若a，b都是正整数，则成立的充要条件是（　 　） A．a，b都大于1 B．a，b都不等于1 C．a，b至少有一个为1 D．a，b都等于1 63．（2026高一·江苏南京·阶段检测）设，则“”的充要条件是（    ） A．a，b都为 B．a，b不都为 C．a，b中至少有一个为 D．a，b都不为0 考点七 充要条件的应用 策略方法 （一）核心知识 设，集合转化规则： （1）是充分不必要条件 ； （2）是必要不充分条件 ； （3）是充要条件 。 基础规律：小范围集合可以推出大范围集合；小是大的充分不必要，大是小的必要不充分，范围相等互为充要。 （二）依据充分不必要条件求参数 1.完整解题步骤 步骤1：文字条件转化为集合真子集； 步骤2：化简带参数集合，分空集、非空两类讨论； 步骤3：绘制数轴，列出不等式，真子集两端不能同时取等； 步骤4：解出参数，代回验证是真包含，不是相等。 2.避坑提醒 普通子集允许两端同时取等，真子集不允许，等号处理易出错。 （三）依据必要不充分条件求参数 1.完整解题步骤 步骤1：转化为； 步骤2：讨论含参数集合为空集的情况； 步骤3：根据区间真包含列出不等式，检验端点取值； 步骤4：参数代回原集合验证集合关系。 2.避坑提醒 极易颠倒的包含顺序，写出相反不等式。 （四）依据充要条件求参数 1.完整解题步骤 步骤1：条件转化； 步骤2：集合区间、端点必须全部一一对应相等，列等式/不等式； 步骤3：求解参数，代回后两个集合完全一致才符合要求。 2.避坑提醒 只要有一处区间端点不相等，两个集合就不满足，舍去该参数。 通用统一解题步骤（本考点通用） 步骤1：将文字逻辑翻译为集合包含/相等关系； 步骤2：化简所有集合，对含参数集合讨论空集； 步骤3：借助数轴画出区间，列出对应不等式（组）； 步骤4：求解参数后代入原集合检验匹配关系。 通用避坑提醒 所有含参数区间，必须优先讨论，空集极易遗漏造成答案不全。 题型训练 （1） 依据充分不必要条件求参数 64．（2026高二·河南商丘·期末）已知集合，． (1)若，求及； (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 65．（2026高一·山东潍坊·期中）已知集合，集合 (1)若，求实数m的取值范围. (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 66．（2026高三·全国·专题练习）条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 67．（2026高二·江西南昌·期末）已知集合，集合． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 68．已知全集，集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 69．（2026高三·全国·专题练习）已知p：，q：，若p是q成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______． （2） 依据必要不充分条件求参数 70．（2026高三·全国·专题练习）已知：，，若非是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 71．（2026高二·天津·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 72．（2026高二·河北邢台·阶段检测）已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 73．已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 74．已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 75．已知集合和集合，已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 76．设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； （3） 依据充要条件求参数 77．（2026高三·全国·一轮复习）若集合，，其中为实数． （1）若是的充要条件，则________； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：________. 78．（2026高一·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 79．（2026高一·广东东莞·阶段检测）已知集合. (1)是否存在实数，使得是成立的充要条件，若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)若是成立的必要不充分条件，求出的取值范围. 80．（2026高一·重庆·阶段检测）设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 考点八 充要条件的证明 策略方法 1.核心知识 求证是的充要条件，必须分两步证明：充分性、必要性，两步缺一不可。 集合证明思路：证明且，即可推出，得到。 2.完整解题步骤 步骤1：区分清楚条件、结论； 步骤2：证明充分性：以作为已知条件，推导得出； 步骤3：证明必要性：以作为已知条件，推导得出； 步骤4：总结，双向推导均成立，故是的充要条件。 简化技巧：若全部变形步骤都是等价变换（标注），可以不用拆分两步证明。 3.避坑提醒 充分性、必要性推导方向不能颠倒；只证明单向推导，不能完成充要条件的完整证明。 题型训练 81．（2026高一·全国·专题练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 82．（2026高一·全国·专题练习）已知，证明：“”是“”的充要条件. 83．（2026高一·贵州贵阳·阶段检测）（1）命题“”；命题“”．若命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围； （2）证明：的充要条件是 $