专题06 图形的相似与解直角三角形（3年汇编）（河北专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 整合2024-2026年河北中考真题及模拟题，聚焦图形相似、锐角三角函数、投影与视图三大考点，突出真实情境应用与综合能力考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|6道|图形相似判定（2025年五边形延长线判定）、三视图识别（2026年错金铜博山炉主视图）|结合河北文化素材（如弘济桥化石测量），考查空间观念| |非选择题|19道|锐角三角函数实际应用（2025年眼肌训练图线段计算）、相似综合计算（2026年动态正方形与解直角三角形）|设置分层设问（如2026年楼梯护栏长度计算），体现模型观念与推理能力|

专题06 图形的相似与解直角三角形 3年真题1年模拟 考点分类 河北考情（2024-2026） 命题规律 考点01 图形的相似 近三年共5道题（2026年2道， 2025年2道， 2024年1道）。 其中选择题3道，非选择题2道。 从题型看，选择题3道、非选择题2道。命题多围绕相似三角形判定与性质、相似图形及综合计算展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。备考时应回归教材，强化基本技能，注重知识间的联系与综合应用。 考点02 锐角三角函数 轴对称考点共出现2道题（2025年1道、2024年1道）。 从题型看，均为非选择题。命题多围绕解直角三角形、仰俯角、坡度及实际测量展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。备考时应回归教材，强化基本技能，注重知识间的联系与综合应用。 考点03投影与视图 近三年共3道题（2026年1道，2025年1道，2024年1道）。均为选择题。 从题型看，均为选择题。命题多围绕三视图、几何体展开与投影展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。备考时应回归教材，强化基本技能，注重知识间的联系与综合应用。 考点01 图形的相似 1．（2026·河北·中考真题）如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·河北·中考真题）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河北·中考真题）按要求解答下列问题： (1)尺规作图：如图1，在中，作出边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图2，在中，，点在边上，且．若，，求线段的长． 5．（2024·河北·中考真题）如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点． （1）的面积为______； （2）的面积为______． 考点02 锐角三角函数 1．（2026·河北·中考真题）某楼梯装有护栏，其侧面如图所示．其中，于点，于点，若，，则_________． 2．（2026·河北·中考真题）如图1和图2，在中，，，正方形的顶点，，分别在的三边，，上．当点从点出发沿向点移动时，点，随之分别在，上移动（正方形的大小发生变化），当点与点重合时，移动停止． (1)____________． (2)如图1，当时，求证：． (3)①如图2，当时，求的长； ②当时，直接写出正方形的边长． (4)在移动过程中，每当点移动1个单位长度时，点均移动d个单位长度，直接写出d的值． 3．（2025·河北·中考真题）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为______．（参考数据：，） 4．（2024·河北·中考真题）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为______．（参考数据：，） 考点03 视图与投影 1．（2026·河北·中考真题）河北博物院收藏的错金铜博山炉（如图1所示）是汉代颇具代表性的香薰器物．将它近似地看成由圆锥、半球和圆柱组成的几何体（如图2所示），则这个几何体的主视图中没有出现的图形是（     ） A．三角形 B．矩形 C．半圆 D．菱形 2．（2025·河北·中考真题）一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北·中考真题）如图是由个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   1．（2026·河北唐山·二模）如图是一个由6个大小相同的正方体组成的立体图形，分别从“正面、左面、上面”看，无法得到的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河北保定·二模）如图是由个相同的小正方体组成的几何体，移走其中一个小正方体后，主视图不会发生变化，则移走的小正方体是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 3．（2026·河北廊坊·二模）如图是由4个大小相同的小正方体组成的几何体，若该几何体的主视图与左视图相同，则观察该几何体的主视方向可能是（    ） A．①④ B．②③ C．②④ D．①③ 4．（2026·河北沧州·三模）如图由一个球体和一个圆柱体（圆柱体底面与球体相切）组成的几何体，其主视图不可能是（     ） A．圆形（圆柱体轴线与视线方向一致） B．左边圆形、右边矩形（圆柱体轴线垂直于视线方向） C．带一条竖线的圆形（圆柱体轴线垂直于视线方向，且圆心与球心对齐） D．椭圆形 5．（2026·河北邯郸·三模）一个由大小相同的小正方体搭成的几何体，其主视图、俯视图和左视图均相同，其形状如图所示，则该几何体由几个小正方体搭成（     ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 6．（2026·河北石家庄·模拟预测）（传统文化）石碾是我国古代劳动人民智慧的结晶，由碾盘、碾砣等部件组成，如图，其俯视图是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·河北沧州·模拟预测）下图是由10个大小相同的正方体搭成的几何体，下列说法正确的是（     ） A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三个视图都不同 8．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 9．（2026·河北邯郸·三模）如图，，，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 10．（2026·河北沧州·三模）如图是“小孔成像”的装置，保持蜡烛与光屏平行，要使蜡烛的像是的倍，若点到蜡烛的距离，则光屏到蜡烛的距离为（     ） A． B． C． D． 11．（2026·河北邯郸·一模）要将邻边为2和3的矩形按下图的方式向外放大，得到与矩形位似的矩形，根据所标数据，a的值应为（     ） A．3 B． C．2 D． 12．（2026·河北邢台·二模）作图要求：如图，以为位似中心，作的位似，使与的位似比为．下面是小明和小亮的作法，则下列说法正确的是（     ） 小明的作法 小亮的作法 A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．小明和小亮合到一起才正确 D．小明和小亮都不正确 13．（2026·河北·一模）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似（点A、B的对应点分别是点D、E），若轴，点D的坐标为，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 14．（2026·河北张家口·二模）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 15．（2026·河北邯郸·三模）如图，菱形的边长为3，点E在边上，，点F是的中点，延长，交于点P，与，分别交于点G，H．下列结论中，错误的是（     ） A． B． C． D． 16．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，在正六边形中，点O为它的中心，点P，Q分别在上，且，设的面积为，的面积为，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 17．（2026·河北邯郸·三模）某数学活动小组利用无人机测量一温室大棚的高度．如图，无人机在距离水平地面20 m的点P处，测得大棚左端底部A的俯角为，测得大棚最高点C的俯角为．已知大棚的跨度，曲线可看作一段圆弧，则大棚的最大高度（点C到地面的距离）约为（     ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 18．（2026·河北邯郸·三模）如图，在矩形中，，相交于点，且．若图中阴影部分的面积为，则矩形的面积为________． 19．（2026·河北保定·三模）如图1为某种水龙头关闭时的状态，其中，，侧面示意图如图2所示，其中，当抬起把手放水时，D，F分别到达点，处，且，则点到的距离约为________．（结果精确到，取0.98，取0.17，取5.7） 20．（2026·河北邢台·模拟预测）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为10m，从顶棚的处看处的仰角，竖直的立杆上两点间的距离为，处到观众区底端处的水平距离为3m．则顶棚的处离地面的高度______m．（，，结果精确到0.1m） 21．（2026·河北保定·三模）如图，在等边中，，点D，E分别是边，上的点，，将线段绕点D顺时针旋转，点E的对应点为F，射线交于点Q． (1)求证：； (2)当时，求的长． 22．（2026·河北唐山·二模）如图1是一个闭合时的夹子，如图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为，（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，于点E，于点F，，，，．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动． (1)当E，F两点的距离最大时，求点A、B、C、D为顶点的四边形的周长； (2)当夹子的开口最大（即点C与点D重合）时，求A、B两点的距离． 23．（2026·河北沧州·三模）某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚（如图1），其侧面的示意图如图所示，其中线段代表水平地面，点，位于地面；测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为，处的俯角为． (1)求支柱的高； (2)求顶棚处离地面的高度．（参考数据：，，） 24．（2026·河北邯郸·模拟预测）图1是一座钢结构的多功能综合电视塔，某校数学兴趣小组计划在综合实践活动课中测量此电视塔的高度，测量方案如下： 课题 测量电视塔的高度 测量工具 卷尺、自制测角仪、计算器等 自制测角仪的使用方法 小组成员利用量角器和铅锤自制简易测角仪，如图2，在P点观察所测物体最高点Q，使视线沿着量角器的直径MN刚好到达点Q，测得视线与铅垂线所夹的锐角为．    模型抽象与测量过程 如图3，电视塔坐落于矩形高台上，小组成员在水平地面上的点D处，用自制测角仪测得的度数，再继续向前走到点G处，沿台阶GC上到平台上，在点C处测得的度数，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内，点E，F，G，D在同一条水平直线上．（测角仪离地面的高度忽略不计）    测量数据 的度数 的度数 的度数 的长度 的长度 参考数据 ，，，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： (1)求台阶的水平宽度； (2)求该电视塔的高度． 25．（2026·河北唐山·三模）中，． (1)如图1，沿过点A的直线折叠三角形使点C落在上的点D处，折痕与交于点E，直接写出，的长度； (2)将折叠后的中的点A在边上滑动，记为点O，点E在边上滑动． ①如图2，当时，求点到的距离； ②如图3，点在边上时，求的长度； ③直接写出点C与点D距离的最大值． 26．（2026·河北·三模）明轩在学习直角三角形的知识后，利用光的折射原理解决以下问题：她把一个长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边缘的点投射至底部的点．光线与水槽内壁的夹角为（直线为法线，为入射光线，为折射光线），已知，，折射角．请计算光线折射后，点到点的距离． 27．（2026·河北沧州·三模）如图1，在中，，，，一个圆心角为的扇形的圆心与边的中点重合．以点在边上时为初始位置（点在点的右侧），此时点恰好在边上．将扇形绕点顺时针旋转． (1)判断直线与扇形所在圆的位置关系，并说明理由； (2)求扇形的半径；扇形旋转过程中，点与点的最短距离为___________； (3)在扇形旋转过程中，求扇形扫过的区域位于外部的面积；（提示：，，，） (4)如图2，延长，在扇形旋转过程中，射线，与射线交于点，．设，直接用含的代数式表示的长． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 图形的相似与解直角三角形 3年真题1年模拟 考点分类 河北考情（2024-2026） 命题规律 考点01 图形的相似 近三年共5道题（2026年2道， 2025年2道， 2024年1道）。 其中选择题3道，非选择题2道。 从题型看，选择题3道、非选择题2道。命题多围绕相似三角形判定与性质、相似图形及综合计算展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。备考时应回归教材，强化基本技能，注重知识间的联系与综合应用。 考点02 锐角三角函数 轴对称考点共出现2道题（2025年1道、2024年1道）。 从题型看，均为非选择题。命题多围绕解直角三角形、仰俯角、坡度及实际测量展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。备考时应回归教材，强化基本技能，注重知识间的联系与综合应用。 考点03投影与视图 近三年共3道题（2026年1道，2025年1道，2024年1道）。均为选择题。 从题型看，均为选择题。命题多围绕三视图、几何体展开与投影展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。备考时应回归教材，强化基本技能，注重知识间的联系与综合应用。 考点01 图形的相似 1．（2026·河北·中考真题）如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据等角对等边证明边相等、利用平行四边形的判定与性质求解、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】首先证明四边形是平行四边形，得到，推出，由折叠得，，，，得到，证明，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ 由折叠得，，， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴． 2．（2025·河北·中考真题）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似图形 【分析】本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解． 【详解】设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得： 故选：C． 3．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质证明、选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 4．（2026·河北·中考真题）按要求解答下列问题： (1)尺规作图：如图1，在中，作出边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图2，在中，，点在边上，且．若，，求线段的长． 【答案】(1)如图1，直线即为所求； (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、作已知线段的垂直平分线、等边对等角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据作已知线段的垂直平分线的方法作图即可； （2）根据等边对等角以及三角形的外角性质证明，即可证明，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 解得． 5．（2024·河北·中考真题）如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点． （1）的面积为______； （2）的面积为______． 【答案】 【知识点】线段n等分点的有关计算、根据三角形中线求面积、全等的性质和SAS综合（SAS）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据三角形中线的性质得，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）证明，得，推出、、三点共线，得，继而得出，，证明，得，推出，最后代入即可． 【详解】解：（1）连接、、、、， ∵的面积为，为边上的中线， ∴， ∵点，，，是线段的五等分点， ∴， ∵点，，是线段的四等分点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴的面积为， 故答案为：； （2）在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 考点02 锐角三角函数 1．（2026·河北·中考真题）某楼梯装有护栏，其侧面如图所示．其中，于点，于点，若，，则_________． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行可得，结合已知可判定四边形为平行四边形，从而得出；利用平行线的性质得出，最后在中利用三角函数求解的长，即可求解． 【详解】解：，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， 在中，，， ． 2．（2026·河北·中考真题）如图1和图2，在中，，，正方形的顶点，，分别在的三边，，上．当点从点出发沿向点移动时，点，随之分别在，上移动（正方形的大小发生变化），当点与点重合时，移动停止． (1)____________． (2)如图1，当时，求证：． (3)①如图2，当时，求的长； ②当时，直接写出正方形的边长． (4)在移动过程中，每当点移动1个单位长度时，点均移动d个单位长度，直接写出d的值． 【答案】(1) (2)证明：∵四边形是正方形， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴； (3)①；② (4) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）过点作于点，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求解，再由正切的定义求解； （2）证明即可； （3）①过点作于点，过点作于点，在中，由，设，同理可设，证明即可求解； ②构造同样辅助线，如上图，由，可得方程组，解方程组求解，再由勾股定理求解； （4）先同样构造（3）问辅助线，再过点作交的延长线于点， 同理可证明，则，证明当点运动时，点到的距离不变，为，当点与点重合时，记作点，作出初始位置时的正方形，则点在同一直线上，由题意设，可得四边形是矩形，则，，那么，，解得，再由求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：①过点作于点，过点作于点，则， ∴在中，，设， ∵， ∴，则设 ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； ②构造同样辅助线，如上图， ∵， ∴可得方程组， 解得， ∴， ∴； （4）解：先同样构造（3）问辅助线，再过点作交的延长线于点， 同理可证明 ∴， 由（3）可知, ∴ ∴， ∴当点运动时，点到的距离不变，为， 当点与点重合时，记作点，作出初始位置时的正方形，则点在同一直线上， 由题意设， ∵四边形是正方形， ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， 解得 ∴，， ∴ ∴d的值为． 3．（2025·河北·中考真题）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为______．（参考数据：，） 【答案】 【知识点】等边对等角、三线合一、利用弧、弦、圆心角的关系求解、解直角三角形的相关计算 【分析】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作于点D，首先得到线段的长与其他的都不相等，然后求出，解直角三角形求出，然后利用三线合一求解即可． 【详解】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作于点D 由图可得，线段的长与其他的都不相等， ∵其中数字对应的点均匀分布在一个圆上， ∴ ∴相邻两个数字与圆心组成的圆心角为 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∵， ∴． ∴这条线段的长为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆心角，解直角三角形，等边对等角，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 4．（2024·河北·中考真题）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为______．（参考数据：，） 【答案】 【知识点】等边对等角、三线合一、利用弧、弦、圆心角的关系求解、解直角三角形的相关计算 【分析】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作于点D，首先得到线段的长与其他的都不相等，然后求出，解直角三角形求出，然后利用三线合一求解即可． 【详解】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作于点D 由图可得，线段的长与其他的都不相等， ∵其中数字对应的点均匀分布在一个圆上， ∴ ∴相邻两个数字与圆心组成的圆心角为 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∵， ∴． ∴这条线段的长为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆心角，解直角三角形，等边对等角，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 考点03 视图与投影 1．（2026·河北·中考真题）河北博物院收藏的错金铜博山炉（如图1所示）是汉代颇具代表性的香薰器物．将它近似地看成由圆锥、半球和圆柱组成的几何体（如图2所示），则这个几何体的主视图中没有出现的图形是（     ） A．三角形 B．矩形 C．半圆 D．菱形 【答案】D 【知识点】矩形性质理解、利用菱形的性质证明、判断简单组合体的三视图 【分析】根据三视图的定义，分别分析圆锥、半球、圆柱的主视图形状，即可得出结论． 【详解】解：该几何体上部是圆锥，中部是半球，下部是圆柱 ∴圆锥的主视图是三角形，半球的主视图是半圆，圆柱的主视图是矩形 ∴这个几何体的主视图中出现的图形有三角形、半圆、矩形，没有菱形． 2．（2025·河北·中考真题）一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断简单组合体的三视图 【分析】根据画三视图的方法，发挥空间想象能力，结合主视图和俯视图，从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形，据此即可求解． 【详解】解：从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形， 故选：A． 3．（2024·河北·中考真题）如图是由个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】判断简单组合体的三视图 【分析】本题考查简单组合体的三视图，左视图每一列的小正方体个数，由该方向上的小正方体个数最多的那个来确定，通过观察即可得出结论．掌握几何体三种视图之间的关系是解题的关键． 【详解】解：通过左边看可以确定出左视图一共有列，每列上小正方体个数从左往右分别为、、． 故选：D． 1．（2026·河北唐山·二模）如图是一个由6个大小相同的正方体组成的立体图形，分别从“正面、左面、上面”看，无法得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别画出该几何体的主视图、左视图和俯视图，与选项进行对比即可得出答案． 【详解】解：从正面看，底层有3个正方形，上层中间有1个正方形，∴主视图为选项A； 从上面看，后排有3个正方形，前排左侧有2个正方形，俯视图为选项B； 从左面看，左列（对应后排）有2个正方形，右列（对应前排）有1个正方形，左视图为选项C； 无法得到的是选项D． 2．（2026·河北保定·二模）如图是由个相同的小正方体组成的几何体，移走其中一个小正方体后，主视图不会发生变化，则移走的小正方体是（     ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据主视图的定义判断即可. 【详解】解：原几何体的主视图为： 移走①，得到的几何体的主视图为： ∴本选项不符合题意； 移走②，得到的几何体的主视图为： ∴本选项符合题意； 移走③，得到的几何体的主视图为： ∴本选项不符合题意； 移走④，得到的几何体的主视图为： ∴本选项不符合题意． 3．（2026·河北廊坊·二模）如图是由4个大小相同的小正方体组成的几何体，若该几何体的主视图与左视图相同，则观察该几何体的主视方向可能是（    ） A．①④ B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】D 【分析】分别按照主视方向为①②③④去分类讨论，判断对应的左视方向，画出对应的主视图与左视图判断即可． 【详解】解：主视方向为①的话，则④为左视方向， 那么主视图和左视图都为： 故①满足主视图与左视图相同，符合题意； 主视方向为②的话，则①为左视方向， 则主视图为： 左视图为： 故②不满足主视图与左视图相同，不符合题意； 主视方向为③的话，则②为左视方向， 则主视图和左视图都为： 故③满足主视图与左视图相同，符合题意； 主视方向为④的话，则③为左视方向， 则主视图为： 左视图为： 故④不满足主视图与左视图相同，不符合题意． 4．（2026·河北沧州·三模）如图由一个球体和一个圆柱体（圆柱体底面与球体相切）组成的几何体，其主视图不可能是（     ） A．圆形（圆柱体轴线与视线方向一致） B．左边圆形、右边矩形（圆柱体轴线垂直于视线方向） C．带一条竖线的圆形（圆柱体轴线垂直于视线方向，且圆心与球心对齐） D．椭圆形 【答案】D 【分析】明确主视图是正投影下的视图，先分别分析球体和圆柱在不同观测方向下的正投影形状：因为球体无论从哪个方向做正投影，投影都是圆形，所以先确定球体投影的固定形状，再分析对应方向下圆柱的投影即可． 【详解】选项A：当圆柱体轴线与视线方向一致时，圆柱体的正投影就是圆形，且原图中圆柱底面直径大于球体直径，整体轮廓为圆形，因此A是可能的； 选项B：圆柱体轴线垂直于视线方向时，圆柱投影为矩形，若球体放在圆柱顶面偏一侧，投影就是左侧圆形（球的投影）、右侧露出矩形（圆柱的投影），因此B是可能的； 选项C：圆柱体轴线垂直视线方向，且球心与圆柱轴线对齐，若球体直径大于圆柱直径，整体外轮廓是球投影的圆形，圆柱的侧边会在圆形内部投影出竖线，因此C是可能的； 选项D：球体的正投影无论从任何方向看都是正圆形，不可能得到椭圆形的轮廓，因此主视图不可能是椭圆形． 5．（2026·河北邯郸·三模）一个由大小相同的小正方体搭成的几何体，其主视图、俯视图和左视图均相同，其形状如图所示，则该几何体由几个小正方体搭成（     ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【详解】解：根据主视图、俯视图和左视图，将搭成该几何体的小正方体个数标记在俯视图上，如下所示： ∴该几何体由7个小正方体搭成． 6．（2026·河北石家庄·模拟预测）（传统文化）石碾是我国古代劳动人民智慧的结晶，由碾盘、碾砣等部件组成，如图，其俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据俯视图的定义，从物体正上方往下看，所得到的图形即为俯视图，结合石碾的结构特征（碾盘为圆柱体，碾砣为横放的圆柱体）进行分析即可． 【详解】解：A、是从正面看到的图形，是主视图，故选项不符合题意； B、是从左面看到的图形，是左视图，故选项不符合题意； C、从物体正上方往下看，碾砣的投影是矩形，故选项不符合题意； D、呈现了圆形的碾盘，内部是矩形的碾砣投影，故选项符合题意． 7．（2026·河北沧州·模拟预测）下图是由10个大小相同的正方体搭成的几何体，下列说法正确的是（     ） A．主视图和左视图相同 B．主视图和俯视图相同 C．左视图和俯视图相同 D．三个视图都不同 【答案】D 【详解】解：该几何体的三视图如图所示 ∴三个视图都不同． 8．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似中心是对应顶点连线的交点. 观察图形可知两个三角形位于直线异侧，属于反向位似，确定对应点后即可判断位似中心的位置． 【详解】解：∵与 位似， ∴对应顶点的连线相交于一点，该点即为位似中心， 由图可知，与分别位于直线的两侧，属于反向位似， ∴点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点， ∵反向位似图形的位似中心位于对应点之间， ∴位似中心在线段上，且在线段上， ∵点在同一直线上，且顺序为， ∴位似中心在线段上． 9．（2026·河北邯郸·三模）如图，，，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， ∴，故A正确， ∴， ∴，，故B、C正确， ∴，故D错误． 10．（2026·河北沧州·三模）如图是“小孔成像”的装置，保持蜡烛与光屏平行，要使蜡烛的像是的倍，若点到蜡烛的距离，则光屏到蜡烛的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题可知，且，， ， ∴， ， 即光屏到蜡烛的距离为． 11．（2026·河北邯郸·一模）要将邻边为2和3的矩形按下图的方式向外放大，得到与矩形位似的矩形，根据所标数据，a的值应为（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先表示出放大后的矩形的长和宽，再由位似图形的性质得出，即可得解． 【详解】解：∵原矩形的长和宽分别为和， ∴由图形知，放大后的矩形宽为，长为， ∵矩形位似于矩形， ∴， ∴． 12．（2026·河北邢台·二模）作图要求：如图，以为位似中心，作的位似，使与的位似比为．下面是小明和小亮的作法，则下列说法正确的是（     ） 小明的作法 小亮的作法 A．只有小明正确 B．只有小亮正确 C．小明和小亮合到一起才正确 D．小明和小亮都不正确 【答案】C 【详解】解：位似图形的对应边成比例，对应点的连线经过位似中心，对应线段互相平行，小明和小亮的图都符合位似的要求，但位似图形可以在位似中心的同侧，也可以在两侧，因此只有小明和小亮合到一起才正确． 13．（2026·河北·一模）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似（点A、B的对应点分别是点D、E），若轴，点D的坐标为，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用位似图形的性质以及锐角三角函数求解． 【详解】解：∵轴， ∴， ∵与关于原点O位似， ∴， ∵点D的坐标为， ∴， 由勾股定理得， ∴． 14．（2026·河北张家口·二模）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴，不符合题意； 对于，缺少夹角，故不能证明相似，符合题意． 15．（2026·河北邯郸·三模）如图，菱形的边长为3，点E在边上，，点F是的中点，延长，交于点P，与，分别交于点G，H．下列结论中，错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，结合点F是的中点，可判断选项A；证明，求得，可判断选项B；证明和，求得，，可判断选项C；由与在顶点的高相等，求得，，据此求解可判断选项D． 【详解】解：∵菱形的边长为3，， ∴，， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故选项C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵与在顶点的高相等， ∴， ∴，， ∴，故选项D错误，符合题意． 16．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，在正六边形中，点O为它的中心，点P，Q分别在上，且，设的面积为，的面积为，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，证明是等边三角形，进而证明，得到，是等边三角形，且为定值，因此当最小时，取得最大值，结合垂线段最短求解即可． 【详解】解：如图，连接，，设正六边形的边长为， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ， 作，则， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ， ∴，， ∴是等边三角形， 为定值， ∴， ∴当最小时，取得最大值， 同理：， ∴当最小时，最小， ∴当时，取得最小值， 此时， ∴， ∴， ∴，即的最大值为． 17．（2026·河北邯郸·三模）某数学活动小组利用无人机测量一温室大棚的高度．如图，无人机在距离水平地面20 m的点P处，测得大棚左端底部A的俯角为，测得大棚最高点C的俯角为．已知大棚的跨度，曲线可看作一段圆弧，则大棚的最大高度（点C到地面的距离）约为（     ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构造直角三角形，利用给定的三角函数值先后求出与后即可求解． 【详解】解：如图，分别过点A与点C作地面的垂线，分别交过P点的水平线于点E与点D，其中交于点O， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵C点是圆弧的最高点，大棚的跨度， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 18．（2026·河北邯郸·三模）如图，在矩形中，，相交于点，且．若图中阴影部分的面积为，则矩形的面积为________． 【答案】 【分析】由矩形的性质容易判断，则，利用同高的三角形之间面积的比例关系可得，进而得到，因此． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴． 19．（2026·河北保定·三模）如图1为某种水龙头关闭时的状态，其中，，侧面示意图如图2所示，其中，当抬起把手放水时，D，F分别到达点，处，且，则点到的距离约为________．（结果精确到，取0.98，取0.17，取5.7） 【答案】 【分析】过作于G，根据题意求得的长及，然后，在中，根据的正弦值代入数据计算即可． 【详解】解：如图2，过作于G， ∵，，， ∴， ∴， 根据题意知， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 20．（2026·河北邢台·模拟预测）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为10m，从顶棚的处看处的仰角，竖直的立杆上两点间的距离为，处到观众区底端处的水平距离为3m．则顶棚的处离地面的高度______m．（，，结果精确到0.1m） 【答案】 【分析】直接根据AC的坡度即可求出AB的值，然后构造直角三角形EGD，通过解直角三角形求出EG的长度，最后利用即可求解． 【详解】解：过点D作交EF于点G， ∵观众区的坡度为， ∴． ， ． ， ． ， ， ． 21．（2026·河北保定·三模）如图，在等边中，，点D，E分别是边，上的点，，将线段绕点D顺时针旋转，点E的对应点为F，射线交于点Q． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明：∵等边， ∴， ∴， ∵由旋转可得：， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）利用等边三角形的性质与三角形的内角和与平角的含义证明，，进一步证明即可； （2）证明，求解，进一步利用相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵在等边中，， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．（2026·河北唐山·二模）如图1是一个闭合时的夹子，如图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为，（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，于点E，于点F，，，，．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动． (1)当E，F两点的距离最大时，求点A、B、C、D为顶点的四边形的周长； (2)当夹子的开口最大（即点C与点D重合）时，求A、B两点的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当，，三点共线时，E、F两点间的距离最大，此时四边形是矩形，可得，根据矩形的性质求出周长即可； （2）当夹子的开口最大（点C与点D重合）时，连接交于，利用勾股定理求出的长，利用等积求得的长，证明，求出的长即可． 【详解】（1）解：当，两点的距离最大时，，，共线，此时四边形是矩形， ， ， ， 此时四边形的周长为； （2）解：如图，连接交于． 由题意， ， 垂直平分线段， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ． 23．（2026·河北沧州·三模）某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚（如图1），其侧面的示意图如图所示，其中线段代表水平地面，点，位于地面；测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为，处的俯角为． (1)求支柱的高； (2)求顶棚处离地面的高度．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，垂足为，交于点，结合题意可得、的长度，由有一个锐角是得的长度，从而可得到； （2）在中，利用正切公式可得的长度，接着在中，利用正切公式可得的长度，从而可得到． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为，交于点， ，，， 四边形和四边形均为矩形， ，， 在中，，， ， ， ， 支柱的高为； （2）解：在中，，，， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 顶棚M处离地面的高度的长为． 24．（2026·河北邯郸·模拟预测）图1是一座钢结构的多功能综合电视塔，某校数学兴趣小组计划在综合实践活动课中测量此电视塔的高度，测量方案如下： 课题 测量电视塔的高度 测量工具 卷尺、自制测角仪、计算器等 自制测角仪的使用方法 小组成员利用量角器和铅锤自制简易测角仪，如图2，在P点观察所测物体最高点Q，使视线沿着量角器的直径MN刚好到达点Q，测得视线与铅垂线所夹的锐角为．    模型抽象与测量过程 如图3，电视塔坐落于矩形高台上，小组成员在水平地面上的点D处，用自制测角仪测得的度数，再继续向前走到点G处，沿台阶GC上到平台上，在点C处测得的度数，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内，点E，F，G，D在同一条水平直线上．（测角仪离地面的高度忽略不计）    测量数据 的度数 的度数 的度数 的长度 的长度 参考数据 ，，，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： (1)求台阶的水平宽度； (2)求该电视塔的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，由的余弦值即可求解； （2）设，根据的正切值可表示的长度，由此可得的长度，再根据的长度与的长度可知的长度，再结合的正切值求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， 可得， 答：台阶的水平宽度的长度为； （2）解：设， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， 在中，， 即， 则有，解得， 即， 答：电视塔的高度为． 25．（2026·河北唐山·三模）中，． (1)如图1，沿过点A的直线折叠三角形使点C落在上的点D处，折痕与交于点E，直接写出，的长度； (2)将折叠后的中的点A在边上滑动，记为点O，点E在边上滑动． ①如图2，当时，求点到的距离； ②如图3，点在边上时，求的长度； ③直接写出点C与点D距离的最大值． 【答案】(1)， (2)①点到的距离为12，②，③点与点距离最大值为 【分析】（1）以点A 为圆心，的长为半径画弧，交于一点D，再作的垂直平分线，与的交点，即为点E，根据勾股定理算出，结合等面积法算出的长度，即可作答． （2）①先整理得，则，根据且，则，结合折叠性质得，则，代入数值计算，即可作答． ②同理设，则，整理得，证明，故，所以，由（1）得，，即可作答． ③结合圆周角定理得，故，所以中，，，证明，，代入数值得，分别运用勾股定理算出，，即可作答． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， 由作图得， 则， ∴， 则， ∴． （2）解：①如图1，过点作于点，过点作于点， 设，则 在中，， 则在中，， ∴， ∵且， ∴， ∵将折叠后的中的点在边上滑动，记为点， ∴， 由（1）得， ∴， 则， ∴， ∴当时，点到的距离为12， ②如图2，过点D作于点，过作于点 ， 设，则， ∵将折叠后的中的点在边上滑动，记为点， ∴图2的等于（1）中的，图2的等于（1）中的， ∴，， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 则 故， ∴， ∵由（1）得， ∴； ③如图3，作的外接圆，过作于点，连接，，连接交于点G， ∵ ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴， 同理得， ∴在中，，， ∵， ∵， ∴， ∴ 由（1）得出， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴， 当D，P，C在同一直线上时与距离最大，且为 ∴最大距离为， 即点与点距离最大值为． 26．（2026·河北·三模）明轩在学习直角三角形的知识后，利用光的折射原理解决以下问题：她把一个长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边缘的点投射至底部的点．光线与水槽内壁的夹角为（直线为法线，为入射光线，为折射光线），已知，，折射角．请计算光线折射后，点到点的距离． 【答案】点到点的距离约为 【分析】根据，得到，根据，，得到，继而通过证明四边形是矩形，得到． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴． ∴点到点的距离约为． 27．（2026·河北沧州·三模）如图1，在中，，，，一个圆心角为的扇形的圆心与边的中点重合．以点在边上时为初始位置（点在点的右侧），此时点恰好在边上．将扇形绕点顺时针旋转． (1)判断直线与扇形所在圆的位置关系，并说明理由； (2)求扇形的半径；扇形旋转过程中，点与点的最短距离为___________； (3)在扇形旋转过程中，求扇形扫过的区域位于外部的面积；（提示：，，，） (4)如图2，延长，在扇形旋转过程中，射线，与射线交于点，．设，直接用含的代数式表示的长． 【答案】(1)解：相切；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为圆的半径， 与相切； (2)； (3) (4) 【分析】（1）易证，进而推出，即可得出结论； （2）解直角三角形求出的长，连接，得到当三点共线时，点与点的距离最短，为，进行求解即可； （3）根据题意，画出图形，得到扇形扫过的区域位于外部的为弓形，作，根据垂径定理，得到，，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，解，求出的长，的度数，再用扇形的面积减去三角形的面积，即可得出结果； （4）作，解，求出的长，勾股定理求出，证明，推出，即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：∵，扇形的圆心与边的中点重合， ∴， 由（1）知：， ∴； 连接，， 则， ∴当三点共线时，点与点的距离最短， ∵，为边的中点， ∴， ∴点与点的最短距离为； （3）解：如图，当点恰好落在上，此时扇形绕点顺时针旋转了， 由图可知，扇形扫过的区域位于外部的为弓形， 作，则，， 在中，， ∴， 由（2）可知，圆的半径为， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴扇形扫过的区域位于外部的面积为； （4）解：作，则在中，， ∴，， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $