专题04 图形的性质（3年汇编）（河北专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦初中图形的性质，整合2024-2026年河北中考真题及模拟题，覆盖相交线与平行线、三角形、四边形、圆四大考点，突出核心素养与综合应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|5道|平行线性质、对顶角、平行四边形判定、圆周角|结合正六边形、榫卯结构等情境，考查推理与模型观念| |非选择题|4道|三角形全等、圆的切线与弧长计算、实践测量|圆的综合题融入铅球场地测量、沈括“会圆术”，多问递进，强调运算与创新应用|

专题04 图形的性质 3年真题1年模拟 考点分类 河北考情（2024-2026） 命题规律 考点01 相交线与平行线 近三年共3道题（2026年1道， 2025年1道， 2024年1道）。 均为选择题。 从题型看，均为选择题。命题多围绕平行线性质、邻补角、对顶角及简单推理展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。备考时应回归教材，强化基本技能，注重知识间的联系与综合应用。 考点02 三角形 近三年共1道题（2026年0道， 2025年1道， 2024年0道）。 均为非选择题。 从题型看，均为非选择题。命题多围绕三角形内角和、外角、全等及等腰三角形性质展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。考查频次较低，但仍需关注基础概念与典型解法的掌握。备考时应回归教材，强化基本技能，注重知识间的联系与综合应用。 考点03 四边形 近三年共1道题（2026年0道， 2025年0道， 2024年1道）。 均为选择题。 从题型看，均为选择题。命题多围绕平行四边形、矩形、菱形、正方形性质与判定展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。考查频次较低，但仍需关注基础概念与典型解法的掌握。备考时应回归教材，强化基本技能，注重知识间的联系与综合应用。 考点04 圆 近三年共4道题（2026年2道， 2025年1道， 2024年1道）。 其中选择题1道，非选择题3道。 从题型看，选择题1道、非选择题3道。命题多围绕圆周角、圆心角、垂径定理、切线及弧长计算展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。备考时应回归教材，强化基本技能，注重知识间的联系与综合应用。 考点01 相交线与平行线 1．（2026·河北·中考真题）如图，点P在直线外，点C是直线上的动点，则与的关系一定成立的是（     ）    A． B． C． D． 2．（2025·河北·中考真题）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北·中考真题）直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（    ） A． B． C． D． 考点02 三角形 1．（2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 考点03 四边形 1．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵，∴． ∵，，， ∴①______． 又∵，， ∴（②______）． ∴．∴四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 考点04 圆 1．（2026·河北·中考真题）如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河北·中考真题）在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成的活动报告． 主题 求生活中的圆弧长 研究内容 本次活动选取学校的铅球场地，将场地的一部分抽象为扇形（如图1所示），已知扇形所在圆的半径于点，，用不同的方案分别求的长． 工具 软尺（长度足够）、测角仪（可测量角度的大小）等 研究方案与实践成果 方案一 方案二 方案三 用软尺直接测量的长． 测量数据： 第一次 第二次 用测角仪测角，利用弧长公式计算的长． 测量数据： 查阅文献，发现北宋沈括的《梦溪笔谈》中收录了近似计算圆弧长度的“会圆术”．图1中，弧长． 测量数据： 反思应用 取两次测量结果的平均数，则． 利用弧长公式，…… 根据“会圆术”，…… ①方案一可通过____________的方法减少误差； ②我们可以利用上面的活动经验解决一些生活中的问题． 如图2所示，公园里一座桥的主桥拱是圆弧形，已知其跨度为，拱高为，虽然弧长和圆心角不方便测量，但可以通过计算近似得出． 计算过程如下：…… 请你帮助该小组完成活动报告，具体如下： (1)写出“反思应用”①中减少误差的方法；（写出一种方法即可） (2)分别利用方案二（结果保留）和方案三计算的长； (3)求图2中弧长和圆心角．（取3.1） 3．（2025·河北·中考真题）如图1，图2，正方形的边长为5．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上，，扇形的弧交线段于点，记为． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当四边形为菱形时，求的长； (3)当时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、根据正方形的性质与判定求角度、求弧长 【分析】（1）根据题意证明出四边形是正方形，得到，然后利用圆周角定理求解即可； （2）首先证明出是等边三角形，如图所示，连接交于点G，求出，，然后得到是等腰直角三角形，进而求解即可； （3）分两种情况，根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）∵正方形的边长为5． ∴ ∵当时 ∴ ∵ ∴ ∴四边形是菱形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ ∴； （2）∵四边形为菱形 ∴ ∵扇形所在圆的圆心在对角线上， ∴ ∴是等边三角形 如图所示，连接交于点G ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴； （3）如图所示，当是劣弧时， ∵，半径 ∴； 如图所示，当是优弧时， ∵，半径 ∴ ∴． 综上所述，的长为或． 【点睛】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，求弧长，勾股定理，菱形的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 4．（2024·河北·中考真题）已知的半径为3，弦，中，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在上，点C在内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在上随之移动，设． (1)当点B与点N重合时，求劣弧的长； (2)当时，如图2，求点B到的距离，并求此时x的值； (3)设点O到的距离为d． ①当点A在劣弧上，且过点A的切线与垂直时，求d的值； ②直接写出d的最小值． 1．（2026·河北邯郸·二模）在课题学习中，小明同学用纸板制作了一个如图1所示的无盖正方体包装盒展开图，然后折成如图2所示的无盖正方体盒子放置在桌子上，则贴在桌面上的底面是展开图中的（   ） A．①号面 B．②号面 C．③号面 D．⑤号面 2．（2026·河北邯郸·二模）如图，甲、乙两人分别沿不同的路线从地到地的路程分别为和．下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河北邯郸·模拟预测）利用尺规作，作图痕迹如图所示，图中的数字表示作圆弧的顺序，则此作图的已知条件是（     ） A．两边及夹角 B．两角及一角的对边 C．两角及夹边 D．两边及一边的对角 4．（2026·河北承德·二模）如图，下列条件中不能判定四边形为平行四边形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 5．（2026·河北邯郸·三模）如图，完美五边形是指可以无重叠、无间隙地铺满整个平面的凸五边形，展示了数学与艺术的完美结合．五边形是人类发现的第种完美五边形的示意图，其中，则（     ） A． B． C． D． 6．（2026·河北唐山·模拟预测）如图，点A，B分别是 边上的点，且 ，点P在 的内部，要使 ，则满足条件的P的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 7．（2026·河北邯郸·一模）将三角形按下列方式折叠得到线段，其中满足三角形的内心一定在上的是（     ） A． B． C． D． 8．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，是的对角线，把沿折叠，点D落在点E处，交于点F．若，，则（    ） A．2 B． C．3 D． 9．（2026·河北石家庄·二模）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的长是（     ） A．1 B． C． D． 10．（2026·河北保定·三模）如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（     ） A． B． C． D． 11．（2026·河北邯郸·二模）如图，一种装饰盘由圆盘和支架组成，已知支架高，且、，垂足分别为点C、D．已知圆盘的半径为10，要使圆盘离桌面（所在直线）的最近距离为1，则支架和的距离为（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 12．（2026·河北石家庄·二模）如图，正六边形的边长为2，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切……按这样的规律进行下去，的边长为（     ） A． B．2 C． D．1 13．（2026·河北廊坊·二模）2026年央视春晚武术节目《武》以“人机共武”表演惊艳全球，首次实现机器人持武器动态操控，成为科技与传统文化融合的典范之作．如图1是机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，其中，，，则（     ） A． B． C． D． 14．（2026·河北石家庄·二模）如图为嘉淇在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼；若；，，则入射角的度数为（     ） A． B． C． D． 15．（2026·河北廊坊·二模）如图，直线，一个含角的直角三角板的直角顶点在直线上，将三角板绕点转动，且点在，之间．若减少，则（     ） A．减少 B．增加 C．度数不变 D．度数变化不确定 16．（2026·河北邯郸·三模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 17．（2026·河北沧州·三模）生活中处处有数学的影子．珍珍观察如图1所示的鱼；并将其抽象成如图2所示的图形，在矩形中，，根据图中数据可得的度数为（     ） A． B． C． D． 18．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，在正六边形中，点O为它的中心，点P，Q分别在上，且，设的面积为，的面积为，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 19．（2026·河北邯郸·三模）在正方形的四条边上分别取点，，，，使得，连接，，，，易得．若，则． 如图1，当时，； 如图2，当时，； 如图3，当时，； …… 当时，（     ） A． B． C． D． 20．（2026·河北邯郸·三模）如图，菱形的边长为3，点E在边上，，点F是的中点，延长，交于点P，与，分别交于点G，H．下列结论中，错误的是（     ） A． B． C． D． 21．（2026·河北沧州·三模）某非遗传承人设计菱形窗花作品，如图，菱形中，对角线，，对角线交于点．将菱形沿过点的直线折叠，使点落在对角线上的点处，折痕为与边交于点，再将沿折叠，使点落在点处，（如图）．下列结论错误的是（     ） A．第一次折叠后， B．第一次折叠后， C．第二次折叠后， D．第二次折叠后， 22．（2026·河北石家庄·二模）如图，O是的外心，则________． 23．（2026·河北邯郸·三模）如图，已知正六边形的边长为，是以为底边，且底角为的等腰三角形，则点到直线的距离为________． 24．（2026·河北石家庄·二模）如图，点P是边长为2的正方形内部一点，且，点E是边的中点，将线段以点D为中心逆时针旋转得到线段，连结，，线段长度的最大值为_________． 25．（2026·河北唐山·模拟预测）如图，在中，，E，F分别是边，上的点，沿将折叠，使点A落在边上的点H处，若，则__________°． 26．（2026·河北唐山·模拟预测）如图，在和中，，连接，，的延长线与交于点，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的度数； 27．（2026·河北沧州·三模）如图，在菱形 中， ， ，垂足分别为 ， ，连接 ． (1)求证： ； (2)连接 ，求证：． 28．（2026·河北张家口·二模）如图，已知和，，，，与交于点，点在上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 29．（2026·河北唐山·二模）如图，线段、相交于点，且互相平分． (1)求证：； (2)求证：． 30．（2026·河北邯郸·三模）善于动手实践的嘉嘉制作了如图1所示的一把“U”形尺，已知，，，．利用该“U”形尺可以测量圆的半径，进行探索后，他设计出如下问题，请你解答．       图1                            图2                      图3 (1)如图2，点A，B，C，D恰好都在圆上，点P是上一点，且． ①利用无刻度的直尺作出该圆的圆心M．（不写作法，保留作图痕迹） ②求的长． (2)如图3，与相切于点Q，与相交于点D，E．若点Q在“U”形尺上的读数为，求的半径． 31．（2026·河北邯郸·模拟预测）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径，P是半圆弧上的一点（点P与点A、B不重合）， (1)如图1，连接、，则是_____三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)如图2，在半圆弧上取点P、Q（P在Q的右侧）和直径上的点O、B，顺次连接这四个点构成的四边形是菱形．请用直尺和圆规在图中作出符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图3，点Q为上一点，，以为直径在下方作半圆 (4) (5) ①试判断点O与半圆的位置关系，请说明理由； ②如图4，半圆与相切时，求出扇形的面积； ③当点到的距离为时，直接写出点P到的距离． 32．（2026·河北沧州·三模）在某校园文化建设工程中，规划对矩形文化墙区域进行装饰施工．该文化墙横向长度，纵向高度．施工期间，两个操作点将遵循特定运动轨迹，在文化墙平面上移动．装饰条铺设作业中，动点自端点沿线段方向移动，速度为；与此同时，固定钉安装点从端点出发，沿线段向点匀速推进，速度为．当，其中一点到达终点时，两点同时停止操作，设操作时间为．请解决以下问题： (1)如图所示，在施工过程中，需要在区域绘制图案．当该区域图案的面积恰好为时，试求出此时对应的操作时间； (2)施工过程中，需将矩形沿过点的直线进行折叠，使点恰好落在边上的处，且折痕与边相交于点．若运动时间，请求出折痕的长度； (3)在校园文化墙装饰条固定工序中，施工团队采用圆规定位法进行钉子安装点位的规划．如图所示，以定点为圆心，取装饰条固定所需间距作为半径，作．该圆将作为确定钉子安装点位的基准轮廓．施工过程中，是否存在的值，使得文化墙的顶点恰好落在上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (4)如图所示，以点为圆心，长度为半径作圆（记作），该圆将用于固定装饰配件． ①当与文化墙的对角线相切时，求此时的操作时间； ②如图，在①的条件下，点为上可自由转动的配件，点是线段的中点．在实际施工过程中，为防止配件发生碰撞，需要确定线段的最小长度，请直接写出该最小值． 33．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，已知矩形中点，，点从点出发沿边向点运动，连接，过点作交边于点，以为对角线作正方形． (1)若， ①则__________； ②尺规作图：在图中画出正方形，点在上方． (2)点一定在的角平分线上吗？请说明理由； (3)当点从点重合的位置运动至点落在边上时，求点运动的路径长； (4)在点从点到点的运动过程中，请直接写出的外心到边的距离的最大值． 34．（2026·河北邢台·二模）如图1和图2，与直线相切于点，在中裁掉一个圆心角为的扇形，且．点是上一点，连接，从出发以每秒的速度按顺时针方向转动，当与重合时停止转动，设转动时间为秒． (1)如图1，过点且始终与平行的直线也随运动，设直线与的另一个交点为． ①求点到直线的距离； ②当直线与相切时，求的值． (2)如图2，过点且始终与垂直的直线也随运动，直线交直线于点，与的另一个交点为． ①当时，求的值； ②直接写出的最大值． 35．（2026·河北邯郸·二模）如图，点，点在数轴上表示的数分别为和4，点为原点，在数轴的上方作，，．点，同时从点出发在数轴上背向而行，速度均为1个单位长度/秒，当点与点重合时，立即以原速返回，点继续沿数轴正方向移动，当点与点重合时，点，同时停止运动．以为直径构造半圆，设点，的运动时间为秒． (1)直接写出的度数及当秒时点在数轴上表示的数； (2)直接写出的最大值，求当点，重合时，落在半圆外部的图形的面积； (3)若半圆与直线相切时，求点在数轴上所表示的数； (4)求边落在半圆内部（包括边界）的弦长不变的时长．（参考数据：取） 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 图形的性质 3年真题1年模拟 考点分类 河北考情（2024-2026） 命题规律 考点01 相交线与平行线 近三年共3道题（2026年1道， 2025年1道， 2024年1道）。 均为选择题。 从题型看，均为选择题。命题多围绕平行线性质、邻补角、对顶角及简单推理展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。备考时应回归教材，强化基本技能，注重知识间的联系与综合应用。 考点02 三角形 近三年共1道题（2026年0道， 2025年1道， 2024年0道）。 均为非选择题。 从题型看，均为非选择题。命题多围绕三角形内角和、外角、全等及等腰三角形性质展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。考查频次较低，但仍需关注基础概念与典型解法的掌握。备考时应回归教材，强化基本技能，注重知识间的联系与综合应用。 考点03 四边形 近三年共1道题（2026年0道， 2025年0道， 2024年1道）。 均为选择题。 从题型看，均为选择题。命题多围绕平行四边形、矩形、菱形、正方形性质与判定展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。考查频次较低，但仍需关注基础概念与典型解法的掌握。备考时应回归教材，强化基本技能，注重知识间的联系与综合应用。 考点04 圆 近三年共4道题（2026年2道， 2025年1道， 2024年1道）。 其中选择题1道，非选择题3道。 从题型看，选择题1道、非选择题3道。命题多围绕圆周角、圆心角、垂径定理、切线及弧长计算展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。备考时应回归教材，强化基本技能，注重知识间的联系与综合应用。 考点01 相交线与平行线 1．（2026·河北·中考真题）如图，点P在直线外，点C是直线上的动点，则与的关系一定成立的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用邻补角互补求角度 【详解】解：点是直线上的点， 是平角，即， 由图可知，与组成了平角， ． 2．（2025·河北·中考真题）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，结合题意，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（2024·河北·中考真题）直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用邻补角互补求角度、正多边形的内角问题 【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 先求出正六边形的每个内角为，再根据六边形的内角和为即可求解的度数，最后根据邻补角的意义即可求解． 【详解】解：正六边形每个内角为：， 而六边形的内角和也为， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 考点02 三角形 1．（2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即. 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）先证明，结合，，即可得到结论； （2）先证明，结合即可得到结论. 【详解】（1）略 （2）略 考点03 四边形 1．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，中，，平分的外角，点是的中点，连接并延长交于点，连接． 求证：四边形是平行四边形． 证明：∵，∴． ∵，，， ∴①______． 又∵，， ∴（②______）． ∴．∴四边形是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等边对等角证明、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角得，根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得，证明，得到，再结合中点的定义得出，即可得证．解题的关键是掌握：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵，∴． ∵，，， ∴①． 又∵，， ∴（②）． ∴．∴四边形是平行四边形． 故选：D． 考点04 圆 1．（2026·河北·中考真题）如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】如图，连接并延长交于点E，连接，首先利用等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后结合圆周角定理和圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 2．（2026·河北·中考真题）在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成的活动报告． 主题 求生活中的圆弧长 研究内容 本次活动选取学校的铅球场地，将场地的一部分抽象为扇形（如图1所示），已知扇形所在圆的半径于点，，用不同的方案分别求的长． 工具 软尺（长度足够）、测角仪（可测量角度的大小）等 研究方案与实践成果 方案一 方案二 方案三 用软尺直接测量的长． 测量数据： 第一次 第二次 用测角仪测角，利用弧长公式计算的长． 测量数据： 查阅文献，发现北宋沈括的《梦溪笔谈》中收录了近似计算圆弧长度的“会圆术”．图1中，弧长． 测量数据： 反思应用 取两次测量结果的平均数，则． 利用弧长公式，…… 根据“会圆术”，…… ①方案一可通过____________的方法减少误差； ②我们可以利用上面的活动经验解决一些生活中的问题． 如图2所示，公园里一座桥的主桥拱是圆弧形，已知其跨度为，拱高为，虽然弧长和圆心角不方便测量，但可以通过计算近似得出． 计算过程如下：…… 请你帮助该小组完成活动报告，具体如下： (1)写出“反思应用”①中减少误差的方法；（写出一种方法即可） (2)分别利用方案二（结果保留）和方案三计算的长； (3)求图2中弧长和圆心角．（取3.1） 【答案】(1)多次测量取平均值 (2)方案二弧长为；方案三弧长为 (3)， 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、求弧长、求圆心角、求一组数据的平均数 【分析】（1）方案一可通过多次测量取平均值的方法减少误差； （2）方案二利用弧长公式求解即可，方案三代入已知数据求解即可； （3）先由垂径定理以及勾股定理求解，再由“会圆术”求解弧长，最后根据弧长公式求解圆心角的度数即可． 【详解】（1）解：方案一可通过多次测量取平均值的方法减少误差； （2）解：方案二：的长； 方案三：∵，，， ∴； （3）解：∵， ∴ 在中，由勾股定理得，， ∴ 解得 由“会圆术”可得，， 设的度数为，则由得，， 解得 3．（2025·河北·中考真题）如图1，图2，正方形的边长为5．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上，，扇形的弧交线段于点，记为． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当四边形为菱形时，求的长； (3)当时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、根据正方形的性质与判定求角度、求弧长 【分析】（1）根据题意证明出四边形是正方形，得到，然后利用圆周角定理求解即可； （2）首先证明出是等边三角形，如图所示，连接交于点G，求出，，然后得到是等腰直角三角形，进而求解即可； （3）分两种情况，根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）∵正方形的边长为5． ∴ ∵当时 ∴ ∵ ∴ ∴四边形是菱形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ ∴； （2）∵四边形为菱形 ∴ ∵扇形所在圆的圆心在对角线上， ∴ ∴是等边三角形 如图所示，连接交于点G ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴； （3）如图所示，当是劣弧时， ∵，半径 ∴； 如图所示，当是优弧时， ∵，半径 ∴ ∴． 综上所述，的长为或． 【点睛】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，求弧长，勾股定理，菱形的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 4．（2024·河北·中考真题）已知的半径为3，弦，中，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在上，点C在内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在上随之移动，设． (1)当点B与点N重合时，求劣弧的长； (2)当时，如图2，求点B到的距离，并求此时x的值； (3)设点O到的距离为d． ①当点A在劣弧上，且过点A的切线与垂直时，求d的值； ②直接写出d的最小值． 【答案】(1) (2)点B到的距离为； (3)①；② 【知识点】用勾股定理解三角形、切线的性质定理、求弧长、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）如图，连接，，先证明为等边三角形，再利用等边三角形的性质结合弧长公式可得答案； （2）过作于，过作于，连接，证明四边形是矩形，可得，，再结合勾股定理可得答案； （3）①如图，由过点A的切线与垂直，可得过圆心，过作于，过作于，而，可得四边形为矩形，可得，再进一步利用勾股定理与锐角三角函数可得答案；②如图，当为中点时，过作于，过作于， ，此时最短，如图，过作于，而，证明，求解，再结合等角的三角函数可得答案． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵的半径为3，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的长为； （2）解：过作于，过作于，连接， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，而， ∴， ∴点B到的距离为； ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：①如图，∵过点A的切线与垂直， ∴过圆心， 过作于，过作于，而， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即； ②如图，当为中点时， 过作于，过作于， ∴， ∴，此时最短， 如图，过作于，而， ∵为中点，则， ∴由（2）可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：（不符合题意的根舍去）， ∴的最小值为． 1．（2026·河北邯郸·二模）在课题学习中，小明同学用纸板制作了一个如图1所示的无盖正方体包装盒展开图，然后折成如图2所示的无盖正方体盒子放置在桌子上，则贴在桌面上的底面是展开图中的（   ） A．①号面 B．②号面 C．③号面 D．⑤号面 【答案】A 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，由此得与①号面相对是空的，即可作答． 【详解】解：∵正方体表面展开图“141”型中，与①号面相对是空的， ∴贴在桌子上的底面对应的是展开图的①号面． 2．（2026·河北邯郸·二模）如图，甲、乙两人分别沿不同的路线从地到地的路程分别为和．下列关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长、交于点，易证明，则、，进而求出和，根据三角形三边关系得到，据此求出和的关系． 【详解】解：延长、交于点， 由图甲可知，、，由图乙可知，、， 、， 在和中， ， ， 、 、， ， 、， ， ． 3．（2026·河北邯郸·模拟预测）利用尺规作，作图痕迹如图所示，图中的数字表示作圆弧的顺序，则此作图的已知条件是（     ） A．两边及夹角 B．两角及一角的对边 C．两角及夹边 D．两边及一边的对角 【答案】B 【分析】根据作图顺序进行求解即可． 【详解】解：根据作图可知，先作，然后作线段，再过点C作，即作，因此根据作图的已知条件为两角及一角的对边． 4．（2026·河北承德·二模）如图，下列条件中不能判定四边形为平行四边形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形为平行四边形，不符合题意； B、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形为平行四边形，不符合题意； C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形为平行四边形，不符合题意； D、无法判断四边形为平行四边形，符合题意 5．（2026·河北邯郸·三模）如图，完美五边形是指可以无重叠、无间隙地铺满整个平面的凸五边形，展示了数学与艺术的完美结合．五边形是人类发现的第种完美五边形的示意图，其中，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得， ∵， ∴． 6．（2026·河北唐山·模拟预测）如图，点A，B分别是 边上的点，且 ，点P在 的内部，要使 ，则满足条件的P的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，结合等腰三角形“三线合一”的性质，确定点 所在的轨迹为的角平分线，进而判断点的个数． 【详解】解： 点在线段的垂直平分线上 是等腰三角形 线段的垂直平分线经过点 ，且平分 （等腰三角形三线合一） 点在的角平分线上 点 在 的内部，且角平分线在角内部的部分是一条射线 满足条件的点有无数个． 7．（2026·河北邯郸·一模）将三角形按下列方式折叠得到线段，其中满足三角形的内心一定在上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】三角形内心的性质：因为三角形内心是三个内角角平分线的交点，所以若内心在上，则一定是某一个内角的角平分线，因为折叠前后对应角相等，所以分析各选项中折叠后得到的相等角，判断是否能推出AD平分△ABC的某一个内角，逐一验证选项即可． 【详解】解：选项A：折叠后点落在边上，根据折叠前后对应角相等，可得，即平分，因此的内心一定在上， 选项A正确； 选项B：根据折叠前后对应角相等，可得，即不平分，所以 选项B不符合题意； 选项C：根据折叠前后对应角相等，可得，即不平分，所以 选项C不符合题意； 选项D：根据折叠前后对应角相等，可得，即不平分，所以 选项D不符合题意． 8．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，是的对角线，把沿折叠，点D落在点E处，交于点F．若，，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质可得，，从而推出；由折叠的性质可得，进而证得，利用等角对等边得出，最后根据计算即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 由折叠的性质可知：， ， ， ， ， ． 9．（2026·河北石家庄·二模）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的长是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理得，又长度一定，则点P在以中点O为圆心，长为半径的圆上运动，所以当B、P、O三点共线时，最短；在中，利用勾股定理可求的长，并得到点P是的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质可求解． 【详解】解：， ∴， 取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆，则点P在此圆上运动，当B、P、O三点共线时，最短， ， ，， ， ， ∴点P是的中点， ∴在中，． 10．（2026·河北保定·三模）如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由尺规作图可知，根据等腰三角形的性质得到、，利用三角形内角和定理求出，从而求出的度数． 【详解】解：由尺规作图可知，， ， ，， ， ． 11．（2026·河北邯郸·二模）如图，一种装饰盘由圆盘和支架组成，已知支架高，且、，垂足分别为点C、D．已知圆盘的半径为10，要使圆盘离桌面（所在直线）的最近距离为1，则支架和的距离为（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】连接，，作于点，交于点，交于点，证明四边形是矩形，得出，，由垂径定理可得，由勾股定理可得，进而可求出的长． 【详解】解：如图，连接，，作于点，交于点，交于点， ， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 由题意得，， ∴． ∵圆盘的半径为10， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（2026·河北石家庄·二模）如图，正六边形的边长为2，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切……按这样的规律进行下去，的边长为（     ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】连接，根据正六边形的性质可得为等边三角形，再结合切线的性质可得，从而得到，从而得到正六边形的边长，同理得到正六边形的边长，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵六边形为正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∵正六边形的外接圆与正六边形的各边相切， ∴， ∴， ∴， ∴正六边形的边长为， 同理正六边形的边长为， ……， 正六边形的边长为． 13．（2026·河北廊坊·二模）2026年央视春晚武术节目《武》以“人机共武”表演惊艳全球，首次实现机器人持武器动态操控，成为科技与传统文化融合的典范之作．如图1是机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，其中，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，由平行和垂直可得，进而得出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 14．（2026·河北石家庄·二模）如图为嘉淇在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼；若；，，则入射角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出，结合图形根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 15．（2026·河北廊坊·二模）如图，直线，一个含角的直角三角板的直角顶点在直线上，将三角板绕点转动，且点在，之间．若减少，则（     ） A．减少 B．增加 C．度数不变 D．度数变化不确定 【答案】B 【分析】作，得到，推出，，得到，据此求解即可． 【详解】解：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 若减少，则增加． 16．（2026·河北邯郸·三模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，由网格可知，，使用勾股定理计算出，再求出即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，， 在中，， ∴． 17．（2026·河北沧州·三模）生活中处处有数学的影子．珍珍观察如图1所示的鱼；并将其抽象成如图2所示的图形，在矩形中，，根据图中数据可得的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明四边形是平行四边形，得到，则，再根据三角形外角的性质即可得到的度数． 【详解】解：如图，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 18．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，在正六边形中，点O为它的中心，点P，Q分别在上，且，设的面积为，的面积为，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，证明是等边三角形，进而证明，得到，是等边三角形，且为定值，因此当最小时，取得最大值，结合垂线段最短求解即可． 【详解】解：如图，连接，，设正六边形的边长为， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ， 作，则， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ， ∴，， ∴是等边三角形， 为定值， ∴， ∴当最小时，取得最大值， 同理：， ∴当最小时，最小， ∴当时，取得最小值， 此时， ∴， ∴， ∴，即的最大值为． 19．（2026·河北邯郸·三模）在正方形的四条边上分别取点，，，，使得，连接，，，，易得．若，则． 如图1，当时，； 如图2，当时，； 如图3，当时，； …… 当时，（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题干的例题总结出规律，再进行作答即可． 【详解】解：观察前三个式子可得，当时，． 20．（2026·河北邯郸·三模）如图，菱形的边长为3，点E在边上，，点F是的中点，延长，交于点P，与，分别交于点G，H．下列结论中，错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明，结合点F是的中点，可判断选项A；证明，求得，可判断选项B；证明和，求得，，可判断选项C；由与在顶点的高相等，求得，，据此求解可判断选项D． 【详解】解：∵菱形的边长为3，， ∴，， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故选项C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵与在顶点的高相等， ∴， ∴，， ∴，故选项D错误，符合题意． 21．（2026·河北沧州·三模）某非遗传承人设计菱形窗花作品，如图，菱形中，对角线，，对角线交于点．将菱形沿过点的直线折叠，使点落在对角线上的点处，折痕为与边交于点，再将沿折叠，使点落在点处，（如图）．下列结论错误的是（     ） A．第一次折叠后， B．第一次折叠后， C．第二次折叠后， D．第二次折叠后， 【答案】D 【分析】由菱形的性质求得菱形的边长，由折叠的性质即可判定A；过点E作于点M，设，则由折叠的性质得，，利用三角函数知识可求得，进而求得，利用勾股定理求得x的值，从而判定B；在中，由勾股定理求得，进而得，可判定C；由，得，从而，由折叠的性质可判定D． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， 由勾股定理得， 第一次折叠后，，故选项A正确； 过点E作于点M，设， 则第一次折叠后，，，， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， 即第一次折叠后，，故选项B正确； ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 即第二次折叠后，，故选项C正确； 在中，， ∴， ∴， 由两次折叠得， ∵， ∴，故选项D错误． 22．（2026·河北石家庄·二模）如图，O是的外心，则________． 【答案】/90度 【分析】根据圆的外心定义和等腰三角形的性质得到，，，再根据三角形的内角和定理和周角定义求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，则． 23．（2026·河北邯郸·三模）如图，已知正六边形的边长为，是以为底边，且底角为的等腰三角形，则点到直线的距离为________． 【答案】 【分析】连接、、、，过点作直线的垂线，垂足为，由对称性可证明与，进而判断出、、三点共线．由正六边形的性质可得，是含角的直角三角形，则，．容易证明，则，从而得到，最后使用三角函数计算出即可． 【详解】解：如图，连接、、、，过点作直线的垂线，垂足为， 在正六边形中，，，，， ∴， ∴． ∴， 由勾股定理可得，． 由对称性可知，， 在和中， ， ∴， 同理，， ∴，， ∴、、三点共线， ∵是以为底边，且底角为的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 24．（2026·河北石家庄·二模）如图，点P是边长为2的正方形内部一点，且，点E是边的中点，将线段以点D为中心逆时针旋转得到线段，连结，，线段长度的最大值为_________． 【答案】 【分析】证明，可得，从而得到点Q在以为直径的圆上运动，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴，即， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上运动， 如图，取的中点H，连接，则， ∴， ∵， ∴当点E，H，Q在同一直线上时，取得最大值，最大值为的长，即． 25．（2026·河北唐山·模拟预测）如图，在中，，E，F分别是边，上的点，沿将折叠，使点A落在边上的点H处，若，则__________°． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质求出，再由三角形的内角和定理求出，再由折叠的性质即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由折叠可得． 26．（2026·河北唐山·模拟预测）如图，在和中，，连接，，的延长线与交于点，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的度数； 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， ∵ ∴ 又∵ ∴ (2) 【分析】（1）根据已知条件得出，根据等角对等边可得，进而根据，即可证明； （2）根据直角三角形的两个锐角互余得出，根据三角形内角和定理可得，进而根据平角的定义得出，最后根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 27．（2026·河北沧州·三模）如图，在菱形 中， ， ，垂足分别为 ， ，连接 ． (1)求证： ； (2)连接 ，求证：． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴； (2)证明：∵四边形是菱形， ， ， ， ∴， 又∵， ∴垂直平分，即． 【分析】（1）利用证明，即可得到 ； （2）证明和，可得到 垂直平分，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 28．（2026·河北张家口·二模）如图，已知和，，，，与交于点，点在上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ． 在和中 ， ． (2) 【分析】（1）由题意易得，然后根据“”证明全等即可； （2）由（1）可知，则有，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ． ， ． 29．（2026·河北唐山·二模）如图，线段、相交于点，且互相平分． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵线段、相交于点O，且互相平分， ，，， ∴． (2)证明：∵， ∴， ∴． 【分析】（1）由相互平分以及对顶角的性质可得、、，再利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再利用内错角相等、两直线平行即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 30．（2026·河北邯郸·三模）善于动手实践的嘉嘉制作了如图1所示的一把“U”形尺，已知，，，．利用该“U”形尺可以测量圆的半径，进行探索后，他设计出如下问题，请你解答．       图1                            图2                      图3 (1)如图2，点A，B，C，D恰好都在圆上，点P是上一点，且． ①利用无刻度的直尺作出该圆的圆心M．（不写作法，保留作图痕迹） ②求的长． (2)如图3，与相切于点Q，与相交于点D，E．若点Q在“U”形尺上的读数为，求的半径． 【答案】(1)①圆心M如图1所示 ② (2) 【分析】（1）①根据，，可知、均为的直径，则、的交点即为圆心M； ②连接，由圆周角定理得，则，再由弧长公式计算即可； （2）方法一：如图3，连接，过点O作于点H，则，由勾股定理求出，再由垂径定理得，证明，根据相似三角形对应边成比例求解； 方法二：如图4，连接，，过点O作于点H．证明四边形是矩形，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：①略； ②在中，根据勾股定理，得， 的半径为， 如图2，连接， ， ， ， ， 的长为； （2）解：方法一：如图3，连接，过点O作于点H，则． ，， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ． 又， ， ，即， 解得， 的半径为； 方法二：如图4，连接，，过点O作于点H． 是的切线， ， 又， ∴四边形是矩形． 设，则， ，， ． 在中，根据勾股定理，得， 又， ， 解得， ， 的半径为． 31．（2026·河北邯郸·模拟预测）现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径，P是半圆弧上的一点（点P与点A、B不重合）， (1)如图1，连接、，则是_____三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）； (2)如图2，在半圆弧上取点P、Q（P在Q的右侧）和直径上的点O、B，顺次连接这四个点构成的四边形是菱形．请用直尺和圆规在图中作出符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）； (3)如图3，点Q为上一点，，以为直径在下方作半圆 (4) (5) ①试判断点O与半圆的位置关系，请说明理由； ②如图4，半圆与相切时，求出扇形的面积； ③当点到的距离为时，直接写出点P到的距离． 【答案】(1)直角 (2) (3)①解：点O在半圆上．理由如下： 如图，连接，，． ∵是的一条弦，是以为直径的圆的圆心， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得：， ∵的直径， ∴的半径， ∴， 解得：， 即， ∴点O在半圆上． ② ③点P到的距离为或 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角即可得到答案； （2）以点B为圆心，的长为半径画弧交于点P，以点P为圆心，的长为半径画弧交于点Q，连接，，，则四边形即为所求； （3）①连接，，．由垂径定理得到，，由勾股定理得，解出，即有，则点O在半圆上； ②根据题意可得半圆与相切时，切点为点O，则可求出，再运用扇形面积公式进行计算即可； ③分点在点O的右侧以及点在点O的左侧，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵是直径， ∴， ∴是直角三角形． （2）略 （3）①略 ②解：∵点O在半圆上， ∴半圆与相切时，切点为点O， ∴， ∵由①可知，， ∴， ∴， ∴． ③解：点P到的距离为或．理由如下： 如图，当点在点O的右侧时，过点作于点N，过点P作于点M． ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， ∴点P到的距离为； 如图，当点在点O的左侧时，过点作于点S，过点P作于点R． 同理可证， ∴同理可得， ∴， 同理可得点P到的距离为； 综上所述，点P到的距离为或． 32．（2026·河北沧州·三模）在某校园文化建设工程中，规划对矩形文化墙区域进行装饰施工．该文化墙横向长度，纵向高度．施工期间，两个操作点将遵循特定运动轨迹，在文化墙平面上移动．装饰条铺设作业中，动点自端点沿线段方向移动，速度为；与此同时，固定钉安装点从端点出发，沿线段向点匀速推进，速度为．当，其中一点到达终点时，两点同时停止操作，设操作时间为．请解决以下问题： (1)如图所示，在施工过程中，需要在区域绘制图案．当该区域图案的面积恰好为时，试求出此时对应的操作时间； (2)施工过程中，需将矩形沿过点的直线进行折叠，使点恰好落在边上的处，且折痕与边相交于点．若运动时间，请求出折痕的长度； (3)在校园文化墙装饰条固定工序中，施工团队采用圆规定位法进行钉子安装点位的规划．如图所示，以定点为圆心，取装饰条固定所需间距作为半径，作．该圆将作为确定钉子安装点位的基准轮廓．施工过程中，是否存在的值，使得文化墙的顶点恰好落在上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (4)如图所示，以点为圆心，长度为半径作圆（记作），该圆将用于固定装饰配件． ①当与文化墙的对角线相切时，求此时的操作时间； ②如图，在①的条件下，点为上可自由转动的配件，点是线段的中点．在实际施工过程中，为防止配件发生碰撞，需要确定线段的最小长度，请直接写出该最小值． 【答案】(1) (2) (3)存在， (4)①；② 【分析】（1）由题易知，首先表示出，，然后根据题意列方程求解； （2）如图1，连接，设与交于点H，利用勾股定理求出，，然后证明，利用相似三角形的性质求解； （3）根据题意得到，然后利用勾股定理列方程求解； （4）①如图3中，设与相切于点M，连接，由切线长定理得到，然后利用勾股定理求出，得到，然后利用勾股定理求解； ②如图4中，连接，，取的中点G，连接，，过点G作交于点I，交于点H，首先利用三角形中位线性质求出，然后利用平行线分线段成比例得到，，证明四边形是矩形，得到，求出，然后利用勾股定理求出，然后利用三角形三边关系求解． 【详解】（1）解：点运动到终点所需时间为， 点运动到终点所需时间为， ∴； 由题意可知，，， ∵， ∴， 根据题意得，， 整理得，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴此时对应的操作时间； （2）解：如图1，连接，设与交于点H， 由题意可知，， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，，，， ∴． ∵四边形为矩形， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， 解得； （3）解：如图2，连接， 由题意可知，，， ∵，， ∴，， ∵经过点C， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴存在，使得点C恰好落在上； （4）解：①如图3中，设与相切于点M，连接， ∵， ∴切圆Q于点D， ∵与相切于点M， ∴． ∵， ∴． ∵为的切线， ∴，即， 由题意得，，， ∴， ∴， 解得； ②如图4中，连接，，取的中点G，连接，，过点G作交于点I，交于点H， ∵， ∴，， ∵点G是的中点，点是线段的中点， ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴点I是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，，，， ∴． ∵， ∴，即， ∴的最小值为． 33．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，已知矩形中点，，点从点出发沿边向点运动，连接，过点作交边于点，以为对角线作正方形． (1)若， ①则__________； ②尺规作图：在图中画出正方形，点在上方． (2)点一定在的角平分线上吗？请说明理由； (3)当点从点重合的位置运动至点落在边上时，求点运动的路径长； (4)在点从点到点的运动过程中，请直接写出的外心到边的距离的最大值． 【答案】(1)①；② (2)点一定在的角平分线上，理由如下： 过点作，，垂足分别为，则四边形为矩形， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点一定在的角平分线上； (3) (4) 【分析】①证明，再根据相似三角形的性质解答即可；②作线段的垂直平分线，交于点，在垂直平分线上截取，顺次连接，则四边形即为所求； 过点作，，垂足分别为，可证，得到，再根据角平分线的判定即可求证； 由知，点一定在的角平分线上，分别求出点与点重合时和点落在边上时的长度，再相减即可求解； 由可知点为的外心，过点作于，则，得到为的中位线，即得，设，则，由得，再利用相似三角形的性质求出的最大值即可求解． 【详解】（1）解：①∵矩形，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； ②略 （2）略 （3）解：连接， 由知，点一定在的角平分线上， ∴， 当点与点重合时，点与点重合，此时， ∵正方形， ∴， 当点落在边上时，此时， ∴， ∴点运动的路径长为； （4）解：∵， ∴点为的外心， 如图，过点作于，则， ∴为的中位线， ∴， 设，则， 由知，， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴的最大值为， ∴的最大值为， ∴的外心到边的距离的最大值为． 34．（2026·河北邢台·二模）如图1和图2，与直线相切于点，在中裁掉一个圆心角为的扇形，且．点是上一点，连接，从出发以每秒的速度按顺时针方向转动，当与重合时停止转动，设转动时间为秒． (1)如图1，过点且始终与平行的直线也随运动，设直线与的另一个交点为． ①求点到直线的距离； ②当直线与相切时，求的值． (2)如图2，过点且始终与垂直的直线也随运动，直线交直线于点，与的另一个交点为． ①当时，求的值； ②直接写出的最大值． 【答案】(1)①；② (2)①或；② 【分析】（1）①过点作于点，作于点，证明四边形是矩形，在中利用三角函数求出，进而得到，根据矩形对边相等得出，即点到直线的距离为；②根据切线性质得，结合推出，得到，除以转动速度即可求出的值； （2）①连接，在中求出，得，分点在点左侧和右侧讨论，在左侧时直线过圆心，再分在和上，得和，在右侧直线过点且与圆相切，不符合题意舍去，综合即得的值；②延长交直线于点，过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，得，，进而求出，得，由得，求出，在中利用三角函数推出，得，根据垂线段最短得，当取最大值时，取得最大值，代入计算即可得的最大值． 【详解】（1）解：①如图，过点作于点，作于点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵与直线相切于点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴即点到直线的距离为； ②如图，当直线与相切时，切点为，设直线与交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵从出发以每秒的速度按顺时针方向转动， ∴秒； （2）解：①如图，连接， ∵， ∴， 在中，， ∴， 点在直线上，分两种情况讨论： 情况一：点在点左侧： ∴， ∴， ∵直线过点且始终与垂直，直线交直线于点， ∴点、、在直线上， 如图，当点在上时， 旋转角度，此时； 如图，当点在上时， 旋转角度，此时； 情况二：点在点右侧： 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴直线过点， 又∵直线， ∴直线与相切，与只有一个公共点，不符合“有另一个交点”的条件，故舍去； 综上，当时，的值为或； ②延长交直线于点，过点作于点，过点作于点， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵，且，， ∴， ∴， ∵， ∴是点到直线的垂线段， ∴， ∴， 当且仅当点与点重合（即）时，取得最大值， 此时的最大值为：． 35．（2026·河北邯郸·二模）如图，点，点在数轴上表示的数分别为和4，点为原点，在数轴的上方作，，．点，同时从点出发在数轴上背向而行，速度均为1个单位长度/秒，当点与点重合时，立即以原速返回，点继续沿数轴正方向移动，当点与点重合时，点，同时停止运动．以为直径构造半圆，设点，的运动时间为秒． (1)直接写出的度数及当秒时点在数轴上表示的数； (2)直接写出的最大值，求当点，重合时，落在半圆外部的图形的面积； (3)若半圆与直线相切时，求点在数轴上所表示的数； (4)求边落在半圆内部（包括边界）的弦长不变的时长．（参考数据：取） 【答案】(1)；； (2)8； (3)或 (4)秒 【分析】（1）过点A作于点E，利用平行四边形的面积公式求出长，在中，，从而求出的度数，当秒时，点M从点B返回运动，据此求解即可； （2）分析M、N的运动过程，根据两点坐标差的绝对值表示长度，结合运动阶段求最大值；当M与B重合时，确定半圆P的圆心、半径，用梯形面积减去扇形面积，得到外部图形面积； （3）分情况讨论：当半圆与第一次相切于点K时，此时点M向点B处运动，当半圆与第二次相切于点K时，此时点M从点B处返回向点O运动，分析此时半圆P的位置，利用勾股定理求解即可； （4）设半圆与的两个交点分别为R、S（R在S的左侧），当点M返回，点R、A重合时，过点A作于点，线段开始达到固定长度，过圆心P作于点F，连接，当时，此时半圆的半径为4，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，从点R、A重合到点S与点D重合结束，线段的长度持续为，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点E， ， 由题意知，、， ， ， 即， 解得：， 在中，， ； 点M从O向左运动，到达B需要：秒， 当秒时，点M从B返回向右走了1秒，位置为； （2）解：由题意知，，点到达点再返回到达点需要的时间为：秒， 当时，点的位置是，点的位置是， 时，点与点B重合，点N与点C重合，此时， 当时，点的位置是，点的位置是， 此时， 综上所述，的最大值为8； 解：的最大值为8； 如图1，当点M、B重合时，，则以为直径构造半圆的半径为， 过点O作于点T，平行四边形与交与点G，过点G作与点H，连接， 四边形是平行四边形， 、， ， 在中，， ， ， 在中，， 、、、， 、， 四边形、都是矩形， 、， 在中，由勾股定理得：， ， ， （3）解：若半圆与直线相切时， 如图2，当半圆与第一次相切于点K时，连接，此时点、重合， ， 在中，、、， ， ， 当半圆与第一次相切于点K时，点M在数轴上所表示的数为，点N在数轴上所表示的数为； 当半圆与第二次相切于点K时，点从点B处向右侧运动， 如图3， 此时，， ， ， 当半圆与第二次相切于点K时，点N在数轴上所表示的数为； 综上所述，当半圆与相切时，点N在数轴上所表示的数为或； （4）解：设半圆与的两个交点分别为R、S（R在S的左侧）， 如图4，当点M返回，点R、A重合时，过点A作于点，线段开始达到固定长度，过圆心P作于点F，连接，， 当时，此时半圆的半径为4， ， 在中，、、， 、， ， 在中，由勾股定理得：， 同理得：， ， 线段的长度为； 从图4的状态开始，到图5的状态点S与点D重合结束，线段的长度持续为， 持续时间为秒． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、圆的切线的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法是解题的关键． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $