专题03 函数的图象和性质（3年汇编）（河北专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦函数图象与性质，汇编2024-2026年河北中考真题及模拟题，涵盖四大考点，以真实情境和几何载体呈现，注重运算、推理能力及模型观念考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12道|平面直角坐标系（点坐标、平移）、一次函数（图象性质）、反比例函数（增减性）|结合“和点”平移、扇文化等情境，如2024河北中考“特征值”矩形顶点问题| |非选择题|13道|二次函数（最值、几何综合）、一次函数应用|注重综合探究，如2026河北中考二次函数旋转与直线交点问题，登山模型结合实际数据运算|

专题03 函数的图象和性质 考点分类 三年考情（2024-2026） 命题规律 考点01 平面直角坐标系 近三年共2道题（2026年0道， 2025年0道， 2024年2道）。 均为选择题。 从题型看，均为选择题。命题多围绕点的坐标、平移规律及坐标与图形综合展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。备考时应回归教材，强化基本技能，注重知识间的联系与综合应用。 考点02 一次函数 近三年共4道题（2026年2道， 2025年1道， 2024年1道）。 其中选择题3，非选择题1道。 从题型看，选择题2道、非选择题1道。命题多围绕一次函数图象性质、解析式及实际应用展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。 考点03 二次函数 近三年共3道题（2026年1道， 2025年1道， 2024年1道）。均为非选择题。 从题型看，均为非选择题。命题多围绕二次函数图象性质、解析式、最值及与几何综合展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。备考时应回归教材，强化基本技能，注重能力的培养和提升。 考点04 反比例函数 近三年共3道题（2026年1道， 2025年1道， 2024年1道）。 均为选择题。 从题型看，均为选择题。命题多围绕反比例函数图象性质、增减性及实际应用展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。备考时应回归教材，注重知识间的联系与综合应用。 考点01 平面直角坐标系 1．（2024·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 考点02 一次函数 1．（2026·河北·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，若两阴影部分的面积分别为，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2025河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·河北·中考真题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（    ） A．B．C． D． 4．（2026·河北·中考真题）某登山爱好者根据经验，总结出一个预估自己登山用时（分钟）的模型：．其中，（为常数），（千米）表示登山路线的长度；，（千米）表示山顶与起点的海拔高度差．从A出发到山顶M的路线及相关数据如图所示．（说明：本题中模型已简化，且不计登山过程中休息和必要的预留时间） (1)①求，的值； ②计算路线3的长度． (2)已知山顶M的海拔高度为1000米，B在图所示的一条等高线上，等高线上标注的数字表示其海拔高度（单位：米）．若该登山爱好者从出发到山顶的路线长度为3千米，根据本题模型，求该登山爱好者登到山顶的预估用时． 考点03 二次函数 1．（2026·河北·中考真题）如图，二次函数（其中）的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为．将点绕点顺时针旋转得到点． (1)若，求直线的函数表达式，并判断点关于二次函数图象对称轴的对称点是否在直线上； (2)当时，二次函数的最大值为9，求的值； (3)连接，当点不在直线上时，过点作直线交轴于点，请直接写出的最小值． 2．（2025·河北·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，． (1)求，的值及点的坐标． (2)点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． (3)直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半． ①若点与点重合，点恰好落在上，求的值； ②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值． 3．（2024·河北·中考真题）如图，抛物线过点，顶点为Q．抛物线（其中t为常数，且），顶点为P． (1)直接写出a的值和点Q的坐标． (2)嘉嘉说：无论t为何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上． 淇淇说：无论t为何值，总经过一个定点． 请选择其中一人的说法进行说理． (3)当时， ①求直线PQ的解析式； ②作直线，当l与的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标． (4)设与的交点A，B的横坐标分别为，且．点M在上，横坐标为．点N在上，横坐标为．若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n． 【答案】(1)， (2)两人说法都正确， 把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为：， 当时， ∴， ∴在上， ∴嘉嘉说法正确； ∵ ， 当时，， ∴过定点； ∴淇淇说法正确； (3)①；②或 (4) 考点04 反比例函数 1．（2026·河北·中考真题）平面直角坐标系中有，，三点．若直线经过原点，则点一定在（     ） A．函数的图象上 B．函数的图象上 C．函数的图象上 D．函数的图象上 2．（2025·河北·中考真题）在反比例函数中，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·河北·中考真题）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍 1．（2026·河北沧州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2026·河北沧州·三模）唐山某钢铁厂炼钢时，将常温下的钢坯（初始温度）放入熔炉加热．加热过程中，钢坯温度（单位：）随加热时间（单位：）的变化分为三段：①未熔化前，随匀速上升（钢的比热容不变）；②熔化过程中，吸收热量但温度保持（钢的熔点）不变；③完全熔化后，继续加热，随再次匀速上升（钢水比热容略小于钢坯）．下列图象中，能正确反映与关系的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·河北石家庄·模拟预测）设一个正多边形的边数为，每一个外角的度数为，则与函数关系的图象大致是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·河北唐山·二模）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C．当时， D．当时， 5．（2026·河北邯郸·三模）在反比例函数中，当自变量时，对应的函数值不可能是（    ） A． B． C．1 D．3 6．（2026·河北唐山·三模）如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，则（     ） A． B． C． D． 7．（2026·河北保定·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则（     ） A．12 B．15 C．30 D．10 8．（2026·河北邯郸·模拟预测）已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，它们的函数关系图象如图所示．当电流I从增加到时，电阻R（    ） A．减小了 B．减小了 C．增大了 D．增大了 9．（2026·河北石家庄·二模）如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点A，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 10．（2026·河北邢台·二模）学校田径队教练把运动员小强某次百米跑训练的速度与路程之间的观测数据绘制成如图所示的图象．则下列结论正确的是（     ） A．因为根据图象无法列出关于的解析式，所以不是的函数 B．因为小强百米跑的速度是，所以他百米跑的时间是 C．在小强从跑到的过程中，他的速度最高达到 D．在小强从跑到的过程中，他的速度有一个下降的阶段 11．（2026·河南平顶山·二模）在平面直角坐标系中，正方形和正方形按如图所示的方式放置在轴的上方，其中，，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 12．（2026·河北保定·三模）如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴于点B，点C是y轴上一点，满足，当点A由高到低在图象上移动时，有下列结论：①的面积不变；②点C的纵坐标逐渐减小；③的长度逐渐增大．其中正确的结论有（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 13．（2026·河北唐山·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在一段抛物线（）上，若点Q的个数有两个，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 14．（2026·河北邯郸·三模）已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 15．（2026·河北唐山·模拟预测）如图，在六边形中，， 均为等边三角形，四边形 是矩形， ， ，点P从点B出发，沿折线 匀速向终点E运动，设点P所走的路程为x， 的面积为y，则y与x之间满足的函数图象是（     ） A． B． C． D． 16．（2026·河北保定·三模）根据图1所示的程序框图，得到了与的函数图象如图2所示，若是轴正半轴上任意一点，过点作轴交函数图象于点，，连接，，则下列结论正确的是（） A．的面积为 B．时， C．时，随的增大而增大 D．可能等于 17．（2026·河北邯郸·一模）在平面直角坐标系中，将点进行平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度，按上述要求将点连续平移3次的过程如图所示，当点第一次落在y轴上时，停止移动． 嘉嘉说：当点第一次落在轴上时，n的值是10； 淇淇说：若直线（）使得这些点分布在它的两侧，每侧点的数量相等，则k的取值范围是． 对于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是（     ） A．只有嘉嘉说的对 B．只有淇淇说的对 C．嘉嘉和淇淇说的都对 D．嘉嘉和淇淇说的都不对 18．（2026·河北廊坊·二模）嘉嘉和淇淇在平面直角坐标系上玩跳棋游戏，他们先将一颗棋子放在整点处（横、纵坐标都为整数的点叫做整点），石头剪刀布定输赢后按以下规则移动此棋子：若嘉嘉赢，则将棋子左移两个单位，下移一个单位到；若淇淇赢，则将棋子左移一个单位，下移两个单位到；若平局，则将棋子下移三个单位到．若棋子的初始位置为原点，则在他们移动棋子5次的过程（含第5次）中，棋子可能到达的位置有（     ） A．35个 B．24个 C．18个 D．11个 19．（2026·河北廊坊·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和矩形均在第一象限，平行于x轴，且，，点A的坐标为，将矩形向下平移，若矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，则矩形的平移距离a的值为________． 20．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，将半径为的量角器（看作半圆，圆心为）放置在平面直角坐标系中，使刻度线与轴重合，原点位于量角器边缘．若反比例函数的图象经过量角器边缘上一点，且点对应的读数为，则________． 21．（2026·河北邯郸·二模）计算机按程序设置构建了平面直角坐标系，并标示了屏幕上A、B、C三个光点的坐标，数据如图，光点在直线上运动，当光点与光点的距离为5时，光点的坐标是____________________． 22．（2026·河北邯郸·三模）如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，且，则________． 23．（2026·河北邯郸·二模）在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为：，，，点是线段上的动点（可与端点重合），连接，过点作，交轴于点．则点纵坐标的取值范围是__________． 24．（2026·河北保定·三模）如图，在平面直角坐标系中，有一段抛物线，记为L，它与x轴交于点O，M．第1次：将L向右平移d（）个单位长度，得到，与x轴交于点，；第2次：将向右平移d个单位长度，得到，与x轴交于点，；……每次将前一段抛物线向右平移d个单位长度，直至第n次，得到，与x轴交于点，．已知，每个抛物线段只与相邻的抛物线段有公共点，则n的值是________． 25．（2026·河北秦皇岛·一模）某物流公司承接一项运输任务，需要将一批物资从仓库运往灾区，该公司拥有不同型号的货车，且对于同一型号的货车，每辆货车的实际载重量相同． 要求：每次任务派出货车的型号相同． 如果用点的横坐标（辆）表示完成该任务所需的货车数量，纵坐标（吨/辆）表示每辆货车的载重量，图中给出了一部分点的坐标．已知． (1)根据所给信息，求与的函数关系式． (2)原计划用若干辆货车运输，实际运输时公司增加了3辆货车，结果每辆货车的实际载重量恰好是原计划每辆货车载重量的．求原计划使用的货车数量． (3)受道路限重条件影响，每辆货车的实际载重量不得超过8吨．请问至少需要多少辆货车才能完成任务？请结合反比例函数图象说明理由． 26．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，一光点M从原点O出发，其路径为抛物线L的一部分，在点处达到最高，并落在x轴上的点P处，并在点P处向右侧弹起，路径为抛物线的一部分，其中抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同，线段的端点，． (1)直接写出点P的坐标，并求出抛物线L的解析式； (2)若抛物线G经过点，求抛物线G的函数解析式； (3)将抛物线L向右平移个单位长度使它与线段有交点，直接写出k的取值范围． 27．（2026·河北唐山·二模）如图，某数学探究小组利用几何画板开展一次函数的动态探究活动：在平面直角坐标系中，先固定点，绘制出直线、；再构造一条动直线： (1)分别求直线、直线的解析式； (2)当直线与线段有交点时，直接写出的取值范围________； (3)当直线与直线平行时，则两直线之间的距离是________． 28．（2026·河北邢台·二模）如图，在平面直角坐标系中有一正方形，正方形的边，分别在轴、轴的正半轴，顶点的坐标为．抛物线：（为常数）与轴交于点，其顶点为． (1)当时，求的顶点及点的坐标； (2)当经过原点时，求的值； (3)下面是两位同学分别提出的问题，请选择其中一人的问题先判断，再说明理由． 嘉嘉提出的问题：是否经过点？ 淇淇提出的问题：是否经过点？ (4)若与正方形的边恰有三个交点，直接写出的值． 29．（2026·河北邢台·模拟预测）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的长方体，将长方体缓慢下降，直至长方体完全没入水中，各种状态如图1所示，整个过程中，弹簧测力计的读数与长方体下降高度的关系图象如图2所示．其中AB段的函数关系式为． (1)根据图1和图2，填写序号：点对应状态为____________，点对应状态为____________； (2)求a，b的值； (3)已知在状态③时长方体浸入水中的高度为，求此时弹簧测力计的读数． 30．（2026·河北保定·一模）如图1，在一个虹吸实验中，水从高位容器通过虹吸管流入低位容器，实验开始的短时间内，水流速度v与时间t的关系成线性关系，其变化如图2所示．在实验开始的6s后，通过持续向高位容器补水，使高位容器的液面高度维持恒定，此时水流速度保持恒定． (1)求时，水流速度v与时间t的函数解析式； (2)求第6s的水流速度； (3)若虹吸管水流方向的横截面面积为，当每秒出水量为时，求此时对应的时间． 31．（2026·河北保定·三模）如图1，线段表示一条长的直跑道，跑道上有一点M，嘉嘉操纵遥控机车，使机车从点A出发，到达点B时结束行驶，其中机车在段跑道上的速度为．图2为机车距点M的距离与其行驶时间之间的函数关系图象． (1)在图1的线段上直接标出点M的位置； (2)求s与t之间的函数关系式（写出自变量t的取值范围）； (3)若机车上安装有一款电子眼（可旋转），电子眼的可视距离，求机车的电子眼看到点M的总时长． 32．（2026·广东广州·一模）已知一量筒装一定量水后放置在太阳下面，随着液体的蒸发，其液面高度会随着放置时间产生一定的变化．数学小组将一个带刻度的圆柱形量筒装入一定量水后放在太阳下面，通过观察放置时间的变化，记录量筒中水的液面高度，得到了如下几组数据． 放置时间 液面高度 (1)如图，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并依次连接起来．在量筒中的水完全蒸发之前，水的液面高度（单位：）与在太阳下放置的时间（单位：）符合初中学习过的某种函数关系，则可能是___________函数关系；（请选填“一次”，“二次”或“反比例”） (2)根据以上判断，求关于的函数表达式，并直接写出的取值范围； (3)在实验条件相同且不受其他因素影响的情况下，若在中午将另一装有等量水的量筒放置在太阳下面，中间有一段时间将其移至阴凉处并加盖（假设此时液面无下降），重新移至太阳下面并去盖后，直到时液面高度下降了一半，求量筒在阴凉处放置了多长时间． 33．（2026·河北沧州·三模）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图1所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为 和 ；整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度 的关系图象如图2所示． (1)图2中，点 对应状态___________，点 对应状态__________（填写图形序号）， ____________， __________； (2)当 时，求 关于 的函数解析式； (3)已知弹簧测力计在状态③时圆柱体下降高度为 ，求此时该圆柱体所受浮力的大小．（提示：当圆柱体位于水面上方时，；当圆柱体入水后，） 34．（2026·河北邯郸·三模）如图，从斜坡的顶端处拖出一个小球，恰好落在坡底处，小球在空中所经过的路线呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系，得到点，点，已知抛物线的解析式为． (1)求该抛物线的解析式． (2)求小球到斜坡的最大距离． (3)若抛物线恰好经过小树的树顶，点在斜坡上，且．已知小树与垂直，请直接写出点的坐标． 35．（2026·河北唐山·二模）温度通常有两种表示方法：华氏温度（单位：）与摄氏温度（单位：），已知华氏温度与摄氏温度之间是一次函数关系，下表列出了它们的部分对应关系． 摄氏温度 0 25 90 … 华氏温度 32 77 194 … (1)根据表格中的数据，求关于的函数解析式； (2)有一种温度计上有两种刻度，即测量某一温度时左边是摄氏温度，右边是华氏温度，把这个温度计拿到中国最北城市“漠河”，发现两个温度显示刻度一样，求当时漠河的气温是多少摄氏度； (3)某种疫苗的活性只能在某温度区间内维持，在该温度区间内，摄氏温度与其对应的华氏温度的数值相差不超过16，直接写出该温度区间的最大温差是多少摄氏度． 36．（2026·河北唐山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中点，点，动点从点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，运动时间为秒，过点的直线：也随之移动，反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)若直线：与反比例函数的图象有唯一的公共点，求的值； (3)若直线：与轴交于点，与反比例函数的图象交于，两点，且点在点的左侧，当时，求的值． 37．（2026·河北沧州·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴、轴分别交于，两点，顶点为． (1)求点和点的坐标； (2)将抛物线绕点旋转，得到抛物线，求抛物线的解析式（用表示）； (3)在（2）的条件下，定义：为较小函数，即，为较大函数，即． ①求的最大值和的最小值； ②在的图象上有、两点，当，时，总有，直接写出的取值范围； ③较大函数与组成新的图形，直线与图形只有三个交点时，交点从左向右依次为，，，为线段的三等分点时，直接写出的值． 38．（2026·河北沧州·三模）在雄安新区街角景观改造中，工程师设计了一款“双蝶型”景观灯（厚度忽略不计），其平面示意图如图所示．灯体由两个成轴对称的“蝶翼”组成，每个“蝶翼”的外边缘可近似看作抛物线，内边缘为线段．如图，两“蝶翼”的公共顶点为，对称轴为直线，内边缘线段为，．经测量：外边缘上一点与点的水平距离为时，到对称轴的距离为；内边缘端点与点的水平距离为，点到对称轴的距离为． (1)如图，以点为坐标原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系． ①求对称轴上方“蝶翼”外边缘抛物线的解析式； ②若点在该抛物线上，且点到对称轴的距离最大，求点的坐标； (2)为增强灯光效果，需分别在两“蝶翼”内部均匀安装4条竖直灯带，灯带两端分别固定在同一“蝶翼”的内、外边缘上，且灯带关于对称轴对称．已知现有灯带总长度为，判断这些灯带是否足够安装（不考虑损耗），并说明理由； (3)为保护景观灯，需制作一个正方形防护框，要求防护框能完全容纳景观灯，求该正方形防护框边长的最小值． 39．（2026·河北石家庄·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为点，抛物线 的顶点为点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)第一象限内一点到轴的距离为8，当抛物线经过点时，点也恰好落在上，求点的坐标； (3)记抛物线与相交于点，直线与的另一个交点为． ①试说明点的横坐标始终为定值，并求出这个定值； ②作直线，当直线与直线交于点时，直接写出的值． 40．（2026·河北邯郸·二模）如图，抛物线（为常数）与轴的交点为点，与轴交于点A，B（点在点的左侧）．将抛物线向下平移3个单位长度得到抛物线与轴的交点为点． (1)直接写出拋物线的解析式及的长度； (2)如图1，已知直线始终在拋物线与的顶点的上方，当拋物线的顶点到直线的距离最小时． ①求的值； ②求此时的长； ③如图2，抛物线在y轴右侧的部分（不含点P）和抛物线在轴左侧的部分（含点）记作．若在图象上有且只有4个点到轴的距离等于6，直接写出的取值范围． 41．（2026·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点．（点在点右侧），与轴交于点，已知抛物线的顶点为，．过，两点作直线． (1)求抛物线的解析式； (2)已知直线在点下方、将抛物线在直线上方的部分沿直线翻折，使点落在点处，抛物线剩余部分与翻折后得到的图形组成“M”形图案； ①当时，在图形位于轴上方的部分是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； ②当点落在内部（含边界）时，求的取值范围． ③当时，将直线向下平移个单位长度，得到直线，当直线与“M”形图案恰有4个公共点时，请直接写出的值． 42．（2026·河北石家庄·二模）燃放烟花爆竹是中华民族传承千年的春节习俗．新春佳节，嘉琪在安全区域燃放一款烟花，如图1，火花从垂直地面的烟花筒的顶端A处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以烟花放置位置O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，烟花筒的高度是米，喷出的最远的一颗火星的运动轨迹为抛物线，与烟花筒的水平距离为1米时，达到最大高度2米，之后火星沿原来的抛物线继续运动，落到地面上的B点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)嘉琪点燃烟花后，跑到离烟花筒水平距离为米处，是否存在安全隐患，请说明理由； (3)设图1中喷出的所有火星的运动轨迹所在的抛物线形成了烟花瀑布，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线l上，如图3，其中一条抛物线与直线相交于点E． ①的顶点坐标为________________；l的表达式为________________． ②设烟花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点F，经测算，当时，烟花瀑布的观赏效果最好，请直接写出此时拋物线中a的取值范围________________． 43．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图是一次体操跳台训练的截面示意图，和线段分别为跳板和跳马面．取地面为轴，跳板边所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，，．已知一名体操运动员在跳板边上的点起跳，第一次腾空的路线为抛物线：，双手撑跳马面后第二次腾空的路线为抛物线：（，为正数）． (1)跳马面的宽为________，求所在直线的表达式； (2)运动员在距离地面的点处起跳，判断其双手是否会撑在跳马面上； (3)运动员第二次腾空的最大高度与第一次腾空的最大高度的差为，越大，完成动作的效果越好，若运动员在第一次腾空后手触跳马面的位置为，直接写出当时，的取值范围． 44．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，抛物线：的对称轴为，顶点为，抛物线：（其中为常数），顶点为． (1)求的值及点的坐标； (2)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线． ①直接写出抛物线的解析式； ②试说明：无论k为何值，点N的总在抛物线上； (3)记抛物线与的对称中心为点，若点恰好落在轴上，求的值； (4)当所在直线与（2）中的抛物线有唯一公共点时，直接写出的值． 45．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中点，的坐标分别为，，从点发射光线，其图象对应的函数解析式为． (1)若光线恰好经过平面镜，的中点，求所在直线的解析式（不要求写出的取值范围）． (2)若入射光线与平面镜有公共点． 嘉嘉说：当入射光线与平面镜交于点时，的值最大； 淇淇说：不对，我认为交于点时，的值最大； 请问，嘉嘉和淇淇谁的说法正确，并求出的最大值． (3)规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与轴相交于点，直接写出点是整点的个数． 46．（2026·河北保定·三模）如图，抛物线L的表达式为，直线经过点和点． (1)若抛物线L经过点B， ①求抛物线L与直线l的函数表达式； ②当时，x的取值范围是________． (2)若抛物线L的顶点在直线l上，求b的值． (3)设抛物线L上点K的坐标为，过点K作直线直线l，求证：直线总经过抛物线L的顶点． (4)若，点M是直线l在范围内的一点，过点M作y轴的平行线，交抛物线L于点N，当最大为4时，直接写出b的值． 47．（2026·河北张家口·二模）新能源汽车多数采用电能作为动力来源，为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电的状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘显示增加的电量（%）与充电时间（分钟）的关系，数据记录如表： 电池充电状态 充电时间（分钟） 增加的电量（%） 实验二：探究充满电的状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量（%）与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表： 汽车行驶过程 行驶里程（千米） … 显示电量（%） … (1)充电状态下，充电1分钟，增加的电量________，汽车行驶过程中，行驶千米消耗电量________，该电动汽车的电量从到充满（），需要的充电时间约为________分钟； (2)在表中，如果显示电量与汽车行驶里程满足一次函数关系． ①求与满足的函数关系式； ②如果该汽车行驶到剩余电量为时会自动报警，那么汽车在充满电的情况下，行驶约多少千米会自动报警； (3)某电动汽车在充满电的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车行驶千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，求电动汽车在服务区充电多长时间？ 48．（2026·河北张家口·二模）如图，已知抛物线（，是常数，且），顶点为，且点和都在抛物线上． (1)求，的值和点的坐标； (2)将抛物线沿轴翻折得到抛物线，请直接写出的解析式； (3)在（2）的条件下，将抛物线向下平移，与轴的两交点记为， ①从最初的状态，将至少向下平移________个单位长度，点，之间的距离不少于个单位长度； ②若将抛物线向下平移个单位长度后，再向右平移个单位长度，得到抛物线，已知直线与抛物线和一共只有两个公共点，求的取值范围； ③直线（）与②中的抛物线交于，两点，为线段的中点；直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，嘉琪经过研究发现，无论如何变化，直线始终经过一个定点，请你直接写出这个点的坐标． 49．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．将抛物线沿直线向右下方平移，得到函数的图象，则称函数为函数的“关联函数”． (1)求抛物线的解析式，并直接写出点的坐标； (2)将抛物线沿直线向右下方平移一定单位长度后，得到“关联函数”的图象，其顶点恰好是点． ①若点在函数的图象上，且到轴的距离小于或等于，求点的纵坐标的取值范围； ②如图，若点在函数的图象上，且在第二象限内，连接并延长，交抛物线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，以，为邻边作矩形，与射线交于点，设矩形与矩形的周长分别为，．求证：为定值； (3)将抛物线沿直线向右下方平移一定单位长度后，得到“关联函数”的图象．若函数的图象恰好经过点，当时，的最大值为，直接写出的值． 50．（2026·河北承德·二模）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形的顶点A、D分别在坐标轴上，轴，点，，是直角三角形，，，将沿x轴向右平移，得到，点P、O、Q的对应点分别为． (1)填空：如图①，点B的坐标为______，当经过点B时，与的交点E的坐标为______； (2)设，与菱形重叠部分的面积为S． ①如图②，当边与相交于点F， 分别与相交于点G、H，且 与菱形重叠部分为六边形时，试用含有t的式子表示线段，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围直接写出结果即可 试卷第1页，共3页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的图象和性质 考点分类 三年考情（2024-2026） 命题规律 考点01 平面直角坐标系 近三年共2道题（2026年0道， 2025年0道， 2024年2道）。 均为选择题。 从题型看，均为选择题。命题多围绕点的坐标、平移规律及坐标与图形综合展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。备考时应回归教材，强化基本技能，注重知识间的联系与综合应用。 考点02 一次函数 近三年共4道题（2026年2道， 2025年1道， 2024年1道）。 其中选择题3，非选择题1道。 从题型看，选择题2道、非选择题1道。命题多围绕一次函数图象性质、解析式及实际应用展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。 考点03 二次函数 近三年共3道题（2026年1道， 2025年1道， 2024年1道）。均为非选择题。 从题型看，均为非选择题。命题多围绕二次函数图象性质、解析式、最值及与几何综合展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。备考时应回归教材，强化基本技能，注重能力的培养和提升。 考点04 反比例函数 近三年共3道题（2026年1道， 2025年1道， 2024年1道）。 均为选择题。 从题型看，均为选择题。命题多围绕反比例函数图象性质、增减性及实际应用展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。备考时应回归教材，注重知识间的联系与综合应用。 考点01 平面直角坐标系 1．（2024·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【知识点】分式的求值、坐标与图形、矩形性质理解 【分析】本题考查的是矩形的性质，坐标与图形，分式的值的大小比较，设，，，可得，，，再结合新定义与分式的值的大小比较即可得到答案． 【详解】解：设，，， ∵矩形， ∴，， ∴，，， ∵，而， ∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B； 故选：B． 2．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键． 先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照的反向运动理解去分类讨论：①先向右1个单位，不符合题意；②先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为． 【详解】解：由点可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移， 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则按照“和点”反向运动16次求点Q坐标理解，可以分为两种情况： ①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，故矛盾，不成立； ②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到，故符合题意，那么点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为， 故选：D． 考点02 一次函数 1．（2026·河北·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，若两阴影部分的面积分别为，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数与几何综合、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】首先利用待定系数法求出四条直线的解析式，分别为，，，，求出阴影部分和各个顶点的坐标，观察图形可知，阴影部分和均可分割为一个平行四边形和一个三角形，分别计算面积，再计算面积差即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴交直线于点，过点作轴交直线于点， ∵轴，轴， ∴，， 由图可知，过，；过，；过，；过，， 设的直线解析式为， 将代入上式，则， ∴的直线解析式为； 同理可得另外三条直线的解析式分别为：，，， ∵直线与 的斜率均为 ， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时，，解得，则； 当时，，解得，则； 当时，，解得，则； 当时，，解得，则； ∴， 联立与得：，解得：，则， ∴； 联立与 得：，解得：，则， ∴； 联立与得：，解得：，则， ∴； 联立与 得：，解得：，则， ∴； ∴阴影部分的面积． 阴影部分的面积． ∴． 2．（2025河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，待定系数法求得直线的解析式为，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解． 【详解】解：设直线的解析式为，代入 ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵， A. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意， B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意， C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，， ∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意， D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形边上或内部，不符合题意， 故选：A． 3．（2024·河北·中考真题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的图象、求扇形面积 【分析】本题考查正比例函数的应用，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为，根据扇形的面积公式表示出，进一步得出，再代入即可得出结论．掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：设该扇面所在圆的半径为， ， ∴， ∵该折扇张开的角度为时，扇面面积为， ∴， ∴， ∴是的正比例函数， ∵， ∴它的图像是过原点的一条射线． 故选：C． 4．（2026·河北·中考真题）某登山爱好者根据经验，总结出一个预估自己登山用时（分钟）的模型：．其中，（为常数），（千米）表示登山路线的长度；，（千米）表示山顶与起点的海拔高度差．从A出发到山顶M的路线及相关数据如图所示．（说明：本题中模型已简化，且不计登山过程中休息和必要的预留时间） (1)①求，的值； ②计算路线3的长度． (2)已知山顶M的海拔高度为1000米，B在图所示的一条等高线上，等高线上标注的数字表示其海拔高度（单位：米）．若该登山爱好者从出发到山顶的路线长度为3千米，根据本题模型，求该登山爱好者登到山顶的预估用时． 【答案】(1)①；②千米 (2)分钟 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）①由题意得，，再用待定系数法求解即可；②先得到，然后将代入，解方程即可； （2）求出海拔差为，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，， 代入两组数据得， 解得； ②由①得， 路线3同样从A到M，海拔差仍为， 将代入，得 解得 即路线3的长度为5千米； （2）解：由等高线图可知，B点位于400米等高线上，海拔为； 山顶M海拔为，因此海拔差： 将代入得， 即预估用时为135分钟 考点03 二次函数 1．（2026·河北·中考真题）如图，二次函数（其中）的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为．将点绕点顺时针旋转得到点． (1)若，求直线的函数表达式，并判断点关于二次函数图象对称轴的对称点是否在直线上； (2)当时，二次函数的最大值为9，求的值； (3)连接，当点不在直线上时，过点作直线交轴于点，请直接写出的最小值． 【答案】(1)，点不在直线上 (2)的值为或 (3) 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、根据旋转的性质求解、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出，，若，则，，则，，由旋转可得，则，再由待定系数法求解直线；然后求出点关于二次函数图象对称轴的对称点为，再代入直线表达式验证即可； （2）先求出对称轴为直线，然后分三种情况，根据二次函数的图象与性质求解即可； （3）同（1）可求，可求，设直线，求出，由，可设直线，求出直线，当时，，再由二次函数的图象与性质求解即可； 【详解】（1）解：如图， 对于，当时，则， 解得， ∴，， 若，则， ∴， ∵将点绕点顺时针旋转得到点． ∴ ∴， 设直线， 则 解得 ∴直线； 对于，当时，， ∴ 由可得对称轴为直线， ∴点关于二次函数图象对称轴的对称点为， 当时，， ∴点不在直线上； （2）解：由（1）可得，， ∴对称轴为直线， 当，即时， ∵抛物线中，，则抛物线开口向上， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或（舍去）； 当，即时， 若，即时，此时离对称轴更远， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或，均不在范围内，故舍去； 若时，即，此时离对称轴更远， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或，均不在范围内，故舍去； 当，即时， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或（舍去）； 综上：的值为或； （3）解：∵， 同（1）可求 对于，对称轴为直线， ∴把代入可得，， ∴， 设直线，则，解得， ∵， ∴设直线， 代入，则，解得， ∴直线， 当时，， ∵， ∴当时，取得最小值为； 2．（2025·河北·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为．抛物线经过点．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为，． (1)求，的值及点的坐标． (2)点在上，到轴的距离为．判断能否经过点，若能，求的值；若不能，请说明理由． (3)直线交于点，点在线段上，且点的横坐标是点横坐标的一半． ①若点与点重合，点恰好落在上，求的值； ②若点为直线与的唯一公共点，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)不能，理由： ∵点在（第一象限）上，到轴的距离为．则 ∴当时， 解得：或 ∴或 ∵抛物线经过点，对称轴为直线 ∴经过点和 ∴不能经过点, (3)①；② 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意得出，代入抛物线解析式得出或，而经过点和，即可得出结论； （3）①先求得，和代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； ②根据题意得出直线的解析式为，根据经过点，得出，联立直线解析式，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，将代入，得出①，根据点为直线与的唯一公共点，得出②，联立解得的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，顶点为 ∴ 解得：， ∴， ∴； （2）略 （3）①∵， 当重合时，则 ∵是的中点， ∴, ∵点恰好落在上，经过点 ∴ 解得：； ②∵直线交于点，， ∴， ∴直线的解析式为， ∵经过点， ∴， ∴， ∴ 联立 消去得， ∴，则 ∵点的横坐标是点横坐标的一半． ∴即， 将代入， ∴①， 整理，得， ， 由， 则， 整理得，， 则或， ∵点为直线与的唯一公共点， ∴② 则或， 当时，代入②解得， 或， 当时，交点不在公共点不在第一象限，不符合题意， ∴． 当时，代入②解得，不符合题意， 故 3．（2024·河北·中考真题）如图，抛物线过点，顶点为Q．抛物线（其中t为常数，且），顶点为P． (1)直接写出a的值和点Q的坐标． (2)嘉嘉说：无论t为何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上． 淇淇说：无论t为何值，总经过一个定点． 请选择其中一人的说法进行说理． (3)当时， ①求直线PQ的解析式； ②作直线，当l与的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标． (4)设与的交点A，B的横坐标分别为，且．点M在上，横坐标为．点N在上，横坐标为．若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n． 【答案】(1)， (2)两人说法都正确， 把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为：， 当时， ∴， ∴在上， ∴嘉嘉说法正确； ∵ ， 当时，， ∴过定点； ∴淇淇说法正确； (3)①；②或 (4) 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为：，再检验即可，再根据函数化为，可得函数过定点； （3）①先求解的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；②如图，当（等于6两直线重合不符合题意），可得，可得交点，交点，再进一步求解即可； （4）如图，由题意可得是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，如图，连接交于，连接，，，，可得四边形是平行四边形，当点M是到直线的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线的距离恰好也为d，此时与重合，与重合，再进一步利用中点坐标公式解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，顶点为Q． ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴； （2）略 （3）解：①当时， ， ∴顶点，而， 设为， ∴， 解得：， ∴为； ②如图，当（等于6两直线重合不符合题意）， ∴， ∴交点，交点， 由直线，设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为：， 当时，， 此时直线与轴交点的横坐标为， 同理当直线过点， 直线为：， 当时，， 此时直线与轴交点的横坐标为， （4）解：如图，∵，， ∴是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同， 如图，连接交于，连接，，，， ∴四边形是平行四边形， 当点M是到直线的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线的距离恰好也为d， 此时与重合，与重合， ∵，， ∴的横坐标为， ∵，， ∴的横坐标为， ∴， 解得：； 考点04 反比例函数 1．（2026·河北·中考真题）平面直角坐标系中有，，三点．若直线经过原点，则点一定在（     ） A．函数的图象上 B．函数的图象上 C．函数的图象上 D．函数的图象上 【答案】B 【知识点】求一次函数解析式、正比例函数的图象、由反比例函数值求自变量 【分析】先根据直线过原点设出直线解析式，代入A、B坐标得到与的乘积，再根据C点坐标判断其满足哪个函数解析式． 【详解】解：∵直线经过原点， ∴设直线的解析式为， 把代入解析式得，即， ∴直线的解析式为， 把代入得，即， ∵点的坐标为， ∴点横纵坐标的乘积为， 对函数变形可得，满足点的坐标特征， ∴点一定在函数的图象上． 2．（2025·河北·中考真题）在反比例函数中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断反比例函数的增减性、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例数的性质，根据反比例函数性质，将不等式转化为关于的范围求解． 【详解】解：∵，，当时，随的增大而减小， 当时，， 当时， ∴当时，， 故选：B． 3．（2024·河北·中考真题）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍 【答案】C 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即可． 【详解】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天． ∴， ∴， 当时，，故A不符合题意； 当时，，故B不符合题意； ∵， ∴当时，x减小，则y增大，故C符合题意； 若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意； 故选：C． 1．（2026·河北沧州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标规律和象限的判定．掌握关于轴对称的点的坐标特征是解题关键．先求出对称点的坐标，再根据坐标符号判断所在象限即可． 【详解】解：∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴的对称点坐标为， ∵，，第三象限内点的横纵坐标均为负数， ∴该对称点在第三象限． 2．（2026·河北沧州·三模）唐山某钢铁厂炼钢时，将常温下的钢坯（初始温度）放入熔炉加热．加热过程中，钢坯温度（单位：）随加热时间（单位：）的变化分为三段：①未熔化前，随匀速上升（钢的比热容不变）；②熔化过程中，吸收热量但温度保持（钢的熔点）不变；③完全熔化后，继续加热，随再次匀速上升（钢水比热容略小于钢坯）．下列图象中，能正确反映与关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵①未熔化前，随匀速上升（钢的比热容不变）， ∴第一段图象是一条从左到右上升的线段， ∵②熔化过程中，吸收热量但温度保持（钢的熔点）不变 ∴第二段图象是一条水平的线段， ∵③完全熔化后，继续加热，随再次匀速上升（钢水比热容略小于钢坯） ∴第三段图象是一条从左到右上升的线段， ∵钢水比热容小于固态钢坯，相同加热时间吸收同等热量，温度升高更快， ∴这段线段的倾斜程度比第一段更大，即更陡， ∴能正确反映与关系的是B选项的图象． 3．（2026·河北石家庄·模拟预测）设一个正多边形的边数为，每一个外角的度数为，则与函数关系的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据多边形的外角和定理得出与的函数关系式，结合自变量的取值范围及反比例函数的性质判断图象即可． 【详解】解：∵任意多边形的外角和等于，且正多边形的每一个外角都相等， ∴， ∵表示正多边形的边数，则为大于等于的整数， ∴与是反比例函数关系，且图象在第一象限， ∴随的增大而减小，且图象是双曲线上的离散点， 只有D选项图象为反比例函数上的点且随增大而减小，符合题意． 4．（2026·河北唐山·二模）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，得到函数的增减性，再根据两点横坐标的大小关系分情况讨论与的大小，即可判断各选项． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴比例系数， ∴反比例函数图象在第一，三象限，且在每个象限内随的增大而减小． ∵点横坐标为，点横坐标为， ∴，即． 当时，，可得，都在第一象限， ∵在第一象限内随增大而减小，∴，选项C正确． 对于其他选项，A，B未分情况，大小不确定，因此A，B错误， 当且时，，都在第三象限，可得，因此D错误． 5．（2026·河北邯郸·三模）在反比例函数中，当自变量时，对应的函数值不可能是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据自变量的条件，分和两种情况，结合反比例函数的增减性得到函数的取值范围，再判断选项即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且每个象限内随的增大而减小． 当时，，、都满足，均为可能的函数值； 当时，当时，，结合函数增减性可得时，∴3是可能的函数值； 因此是不可能的函数值． 6．（2026·河北唐山·三模）如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察网格，设点、，将点、代入反比例函数得到，结合、均为正整数，且，据此解答即可． 【详解】解：观察网格，设点、， 将点、代入反比例函数得 ， 整理得， 由于点，在格点上，且在轴右侧， 则、均为正整数，且， 当时，，解得，， ∴点，， 则点，满足； ∴． 7．（2026·河北保定·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则（     ） A．12 B．15 C．30 D．10 【答案】A 【分析】由题意易得，根据勾股定理可得，然后由中点坐标公式可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，点C为的中点，， ∴， ∵点B的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴根据中点坐标公式可得，即， ∵反比例函数的图象经过点C． ∴． 8．（2026·河北邯郸·模拟预测）已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，它们的函数关系图象如图所示．当电流I从增加到时，电阻R（    ） A．减小了 B．减小了 C．增大了 D．增大了 【答案】A 【分析】先利用待定系数法求出电压的值，得到与的函数关系式，再分别计算电流为和时对应的电阻值，最后求差即可． 【详解】解：设， 由图象可知，函数图象经过点， 把，代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， ， 当电流从增加到时，电阻减小了． 9．（2026·河北石家庄·二模）如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点A，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点A的纵坐标可求得点A的横坐标，观察图象，根据一次函数与一元一次不等式的关系即可求解． 【详解】解：∵函数的图象经过点，与函数的图象交于点A，且点A的纵坐标为2， ∴， ∴， 观察图象知，不等式的解集为． 10．（2026·河北邢台·二模）学校田径队教练把运动员小强某次百米跑训练的速度与路程之间的观测数据绘制成如图所示的图象．则下列结论正确的是（     ） A．因为根据图象无法列出关于的解析式，所以不是的函数 B．因为小强百米跑的速度是，所以他百米跑的时间是 C．在小强从跑到的过程中，他的速度最高达到 D．在小强从跑到的过程中，他的速度有一个下降的阶段 【答案】D 【分析】根据函数的定义、平均速度的概念以及函数图象的增减性进行逐一判断即可． 【详解】解：A．对于每一个路程，都有唯一的速度与之对应，符合函数的定义， 故是的函数，此选项错误； B．小强百米跑的速度是变化的，不是匀速运动，不能用总路程除以某一时刻的速度来计算时间，此选项错误； C．观察图象可知，在左侧图象存在高于的部分， ∴在到的过程中，最高速度超过，此选项错误； D．在从80到100的过程中，图象先下降后上升，说明速度先减小后增大，即有一个下降的阶段，此选项正确． 11．（2026·河南平顶山·二模）在平面直角坐标系中，正方形和正方形按如图所示的方式放置在轴的上方，其中，，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为，，，根据正方形的性质可证，，再根据三角形的性质可得结果． 【详解】解：如图，分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为，，， ， ，． 四边形是正方形， ，， ． 又， ． 又， ， ，， ． 同理可证， ，， ， ． 12．（2026·河北保定·三模）如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴于点B，点C是y轴上一点，满足，当点A由高到低在图象上移动时，有下列结论：①的面积不变；②点C的纵坐标逐渐减小；③的长度逐渐增大．其中正确的结论有（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】设出点A的坐标，利用的条件推导出点C的坐标，再结合点A由高到低移动时横坐标的变化规律，分别验证三个结论即可． 【详解】解：如图，过C作于D， 根据题意，设，其中， ∴，， 轴， ， ，， ∴， ∴． ①判断的面积： ∵， ∴面积为定值，不变，故①正确； ②判断点C的纵坐标： ∵，其中， 令，，则． ∵点A在第二象限的反比例图象上由高到低移动时，y逐渐减小， ∴逐渐增大． ∴逐渐减小，即点C的纵坐标逐渐减小，故②正确； ③判断的长度：， 举例验证：当时，，；当时，，；当时，，， ∴点A在第二象限的反比例图象上由高到低移动时，y逐渐减小，可以发现，在a的值逐渐减小的过程中，长度先减小后增大，不是逐渐增大，故③错误． 综上，正确结论为①②，本题选A． 13．（2026·河北唐山·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在一段抛物线（）上，若点Q的个数有两个，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点代入抛物线，得到关于的一元二次方程在上有两个不相等实根，利用二次函数图像性质求解的取值范围． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴将代入抛物线，得， 展开整理得， ∴该一元二次方程在上有两个不相等的实数根 设，该函数开口向上，对称轴为，满足， 如图：：， 解得； 当时，，解得； 当时，，解得； ∴． 14．（2026·河北邯郸·三模）已知抛物线与直线有唯一的交点，则的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】联立抛物线与直线解析式，整理得到一元二次方程；分两种情况讨论：方程在区间内有两个相等实数根（判别式），此时抛物线与直线相切，仅有一个交点；方程在区间内有两个不相等实数根，但只有一根落在区间内，利用函数端点值符号判断临界范围． 【详解】解：①当抛物线与直线有唯一交点时，方程有且只有一个实数根． 可转化为，当时，， 如图所示． ②方程可转化为． 由题意，可知在的取值范围内，抛物线与直线有唯一的交点． 当直线过点时，；当直线过点时，， 如图所示． 由图象，可知符合条件的的取值范围为． 综上所述，的取值范围为或． 15．（2026·河北唐山·模拟预测）如图，在六边形中，， 均为等边三角形，四边形 是矩形， ， ，点P从点B出发，沿折线 匀速向终点E运动，设点P所走的路程为x， 的面积为y，则y与x之间满足的函数图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象，通过分析点 在不同路段运动时，的高（即点 到直线 的距离）的变化情况来确定面积的变化趋势． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，，， 和均为等边三角形 ， ∵的底边为定值，设点到直线的距离为 ， 则，分段讨论如下： 当点在上运动时 ( )： 点从运动到，在起点 ， 是等边三角形， ， ∴ ∴ 过点作交的延长线于点， 点到直线的距离为的一半，即 在终点， 而点到直线的距离为 ， 此过程中随的增大而增大，图象为上升线段； 当点在上运动时( )： ， 点到直线的距离不变，恒为 ，图象为水平线段； 当点 在上运动时 ( )：点从运动到 在起点时， ， ， 在终点时，同理可得 此过程中随的增大而减小，图象为下降线段 综上所述，函数图象中值先从2上升到4，再保持4不变，最后下降到2． 16．（2026·河北保定·三模）根据图1所示的程序框图，得到了与的函数图象如图2所示，若是轴正半轴上任意一点，过点作轴交函数图象于点，，连接，，则下列结论正确的是（） A．的面积为 B．时， C．时，随的增大而增大 D．可能等于 【答案】D 【分析】根据程序框图确定和时的函数解析式，利用反比例函数的性质判断选项B、C；利用反比例函数的几何意义计算的面积判断选项A；设点、的坐标，利用勾股定理构建方程判断选项D． 【详解】解：由程序框图可知：当时，；当时，．选项B错误； 当时，，， 随的增大而减小，选项C错误； 设，，其中， 点在上，点在上， ，， ，选项A错误 设，()， 若， 则， 即， 整理得：， ， ， ， ，方程有解， 可能等于， 选项D正确．故选：D． 17．（2026·河北邯郸·一模）在平面直角坐标系中，将点进行平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度，按上述要求将点连续平移3次的过程如图所示，当点第一次落在y轴上时，停止移动． 嘉嘉说：当点第一次落在轴上时，n的值是10； 淇淇说：若直线（）使得这些点分布在它的两侧，每侧点的数量相等，则k的取值范围是． 对于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是（     ） A．只有嘉嘉说的对 B．只有淇淇说的对 C．嘉嘉和淇淇说的都对 D．嘉嘉和淇淇说的都不对 【答案】C 【分析】按照题意要求，经过平移，确定的值，即可判定嘉嘉的说法是正确的，先确定直线经过定点，利用每侧需要分布5个的边界点求出的值，进而即可判定淇淇的说法是正确的． 【详解】解：∵：横纵坐标和为，余数为2，向左平移1个单位，得， ：横纵坐标和为，余数为1，向上平移1个单位，得， ：横纵坐标和为，余数为2，向左平移1个单位，得， ：横纵坐标和为，余数为1，向上平移1个单位，得， ：横纵坐标和为，余数为2，向左平移1个单位，得， ：横纵坐标和为，余数为1，向上平移1个单位，得， ：横纵坐标和为，余数为2，向左平移1个单位，得， ：横纵坐标和为，余数为1，向上平移1个单位，得， ：横纵坐标和为，余数为2，向左平移1个单位，得， 此时第一次落在y轴上， ∴当点第一次落在y轴上时，n的值是10，嘉嘉的说法是正确的； ∵， ∴直线经过定点， ∵， ∴这些点共有个，分布在直线的两侧，每侧点的数量相等， ∴每侧需要分布5个， ①当直线经过和时，代入解析式得，，解得，此时在直线上， ②当直线经过和时，代入解析式得，，解得，此时在直线上， ∴当时，如图所示，直线两侧各分布5个，个数相等， ∴淇淇的说法是正确的． 18．（2026·河北廊坊·二模）嘉嘉和淇淇在平面直角坐标系上玩跳棋游戏，他们先将一颗棋子放在整点处（横、纵坐标都为整数的点叫做整点），石头剪刀布定输赢后按以下规则移动此棋子：若嘉嘉赢，则将棋子左移两个单位，下移一个单位到；若淇淇赢，则将棋子左移一个单位，下移两个单位到；若平局，则将棋子下移三个单位到．若棋子的初始位置为原点，则在他们移动棋子5次的过程（含第5次）中，棋子可能到达的位置有（     ） A．35个 B．24个 C．18个 D．11个 【答案】A 【分析】设移动k次（，含第5次），嘉嘉赢a次，淇淇赢b次，平局c次，根据移动规则推导坐标关系，证明不同参数对应不同点，计算每一次移动的可能个数的总数和即可． 【详解】设移动次数为，其中，为整数，设嘉嘉赢次，淇淇赢次，平局次，则，且， 根据移动规则，最终棋子横坐标，纵坐标， ∵，代入，得， 令，得坐标为，， 若两个坐标相同，则由相同得相同，代入纵坐标关系得相同，因此不同的对应不同的点， 对任意，都存在满足条件的： 若，取，满足； 若，取，满足，且， 因此每个对应个不同的点， ∴总和为． 19．（2026·河北廊坊·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和矩形均在第一象限，平行于x轴，且，，点A的坐标为，将矩形向下平移，若矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，则矩形的平移距离a的值为________． 【答案】 【分析】根据题意得到矩形四个点的坐标，再根据平移的性质得到矩形四个点的新坐标，利用反比例函数横纵坐标之积等于求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，点， ∴， 矩形向下平移个单位长度， ∴， ∵将矩形向下平移，若矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上， 且， ∴落在反比例函数的两点为点或者点， 又∵反比例函数， ∴， ∴当同时落在反比例函数图象上的是点， 则，解得， 此时，当时，反比例函数的图象在第一象限，符合题意； 当同时落在反比例函数图象上的是点， 则，解得， 此时，当时，反比例函数的图象在第四象限，不符合题意； 综上所述：． 20．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，将半径为的量角器（看作半圆，圆心为）放置在平面直角坐标系中，使刻度线与轴重合，原点位于量角器边缘．若反比例函数的图象经过量角器边缘上一点，且点对应的读数为，则________． 【答案】 【分析】连接，过点作，根据题意可得，证出是等边三角形，求出，得出，再根据双曲线经过量角器边缘上一点，即可求解． 【详解】解：连接，过点作， 根据题意可得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵双曲线经过量角器边缘上一点， ∴． 21．（2026·河北邯郸·二模）计算机按程序设置构建了平面直角坐标系，并标示了屏幕上A、B、C三个光点的坐标，数据如图，光点在直线上运动，当光点与光点的距离为5时，光点的坐标是____________________． 【答案】或 【分析】首先根据已经条件确定直线轴，由此得到P的横坐标，然后设P的纵坐标，最后利用两点之间的距离公式建立方程求解． 【详解】解：∵，， ∴直线轴， ∴P的横坐标为， 设其纵坐标为m， ∵光点P与光点C之间的距离为， ∴或6， ∴光点P的坐标为或． 22．（2026·河北邯郸·三模）如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，且，则________． 【答案】 【分析】设点的坐标为，点的坐标为，联立直线与反比例函数可得，由根与系数的关系可得，．由，结合勾股定理可得，即，代入求解即可． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为， 联立直线与反比例函数可得， ， 整理，得， ∵两个函数有两个交点， ∴， 解得， 由根与系数的关系可得，，， 由勾股定理可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，符合题意． 23．（2026·河北邯郸·二模）在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为：，，，点是线段上的动点（可与端点重合），连接，过点作，交轴于点．则点纵坐标的取值范围是__________． 【答案】 【分析】设点的坐标为，根据点在线段上确定的取值范围，过点作轴的垂线，延长交轴于点，构造相似三角形，证明，利用相似三角形的性质建立与的函数关系式，根据二次函数的性质求出的取值范围． 【详解】设， 点是线段上的动点（可与端点重合），，， ， 过点作轴于点，延长交轴于点， ，，， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 当时，，， ， ， ， 当时，，， ， ， ， 当时，，，轴， ， 轴， ，即，此时也成立， 综上，，抛物线开口向上， 当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， ． 24．（2026·河北保定·三模）如图，在平面直角坐标系中，有一段抛物线，记为L，它与x轴交于点O，M．第1次：将L向右平移d（）个单位长度，得到，与x轴交于点，；第2次：将向右平移d个单位长度，得到，与x轴交于点，；……每次将前一段抛物线向右平移d个单位长度，直至第n次，得到，与x轴交于点，．已知，每个抛物线段只与相邻的抛物线段有公共点，则n的值是________． 【答案】 3或4或5 【分析】先求初始抛物线与x轴的交点M的坐标，确定原抛物线L在x轴上的跨度，因为每次平移距离为，且每个抛物线段只与相邻的抛物线段有公共点，因此可以确定平移距离的范围，根据点平移的坐标规律，初始点M经过次向右平移个单位后得到，结合的坐标列关系式求解的值． 【详解】解：抛物线解析式为， ∴令， 即， 解得，， ∴由题意可得，， ∵图像依次向右平移个单位， ∴点的坐标也依次向右平移个单位， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∵每个抛物线段只与相邻的抛物线段有公共点， ∴， 即， 解得， ∵为整数， ∴或或． 25．（2026·河北秦皇岛·一模）某物流公司承接一项运输任务，需要将一批物资从仓库运往灾区，该公司拥有不同型号的货车，且对于同一型号的货车，每辆货车的实际载重量相同． 要求：每次任务派出货车的型号相同． 如果用点的横坐标（辆）表示完成该任务所需的货车数量，纵坐标（吨/辆）表示每辆货车的载重量，图中给出了一部分点的坐标．已知． (1)根据所给信息，求与的函数关系式． (2)原计划用若干辆货车运输，实际运输时公司增加了3辆货车，结果每辆货车的实际载重量恰好是原计划每辆货车载重量的．求原计划使用的货车数量． (3)受道路限重条件影响，每辆货车的实际载重量不得超过8吨．请问至少需要多少辆货车才能完成任务？请结合反比例函数图象说明理由． 【答案】(1)（，且x为正整数） (2)原计划使用货车6辆 (3)至少需要8辆货车，理由见解析 【分析】（1）根据题意可得y是x的反比例函数，据此利用待定系数法求解即可； （2）设原计划使用货车辆，根据实际运输时公司增加了3辆货车，结果每辆货车的实际载重量恰好是原计划每辆货车载重量的建立方程求解即可； （3）求出时x的值，再根据增减性可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，所给的点的坐标的横纵坐标的乘积都为60， ∴y是x的反比例函数， 设 当时， ， 解得， ∴， ∵，即， ∴， 与的函数关系式为（，且x为正整数）； （2）解：设原计划使用货车辆， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 答：原计划使用货车6辆． （3）解：至少需要8辆货车才能完成任务，理由如下： 在中，当时，， 由反比例函数的图象可知，当，且x为正整数时，随增大而减小， ∴当时，， ∵为正整数， ∴至少需要8辆货车． 26．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，一光点M从原点O出发，其路径为抛物线L的一部分，在点处达到最高，并落在x轴上的点P处，并在点P处向右侧弹起，路径为抛物线的一部分，其中抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同，线段的端点，． (1)直接写出点P的坐标，并求出抛物线L的解析式； (2)若抛物线G经过点，求抛物线G的函数解析式； (3)将抛物线L向右平移个单位长度使它与线段有交点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先由题意可知，抛物线L的顶点为，且经过原点，根据抛物线的对称性，求出点P的坐标．再设抛物线L的解析式为：，将代入，求出a的值，即可求出抛物线L的解析式； （2）由“抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同”，可知，由此可得抛物线G的解析式为：，根据抛物线G经过点和点，运用待定系数法，将点和点代入抛物线G的解析式中，求出b和c的值，从而求出抛物线G的解析式； （3）由抛物线L的解析式，先写出平移后的解析式，再结合题意，将点A坐标与点B坐标分别代入平移后解析式中，求出k的值，最后结合函数图象分析出k的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线L的顶点为，且经过原点，根据抛物线的对称性，点O与点P关于对称轴对称， 设， 则， 解得：， ∴点P的坐标为． 设抛物线L的解析式为：，将代入， 得：， 解得：， ∴抛物线L的解析式为：， 即． （2）解：∵抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同， ∴抛物线G的二次项系数与抛物线L的二次项系数相同， 即， ∴抛物线G的解析式为：， ∵抛物线G经过点和点， ∴将点和点代入抛物线G的解析式中， 得：， 解得：， ∴抛物线G的解析式为：． （3）解：∵抛物线L的解析式为：， ∴将其向右平移k个单位后，解析式为：， ∵，， ∴当平移后的抛物线经过点A时， 可得：， 解得：或． 同理，当平移后的抛物线经过点B时， 可得：， 解得：或． 结合图象分析，要使平移后的抛物线与线段有交点， 则k的范围为：． 27．（2026·河北唐山·二模）如图，某数学探究小组利用几何画板开展一次函数的动态探究活动：在平面直角坐标系中，先固定点，绘制出直线、；再构造一条动直线： (1)分别求直线、直线的解析式； (2)当直线与线段有交点时，直接写出的取值范围________； (3)当直线与直线平行时，则两直线之间的距离是________． 【答案】(1)直线的解析式为；直线的解析式为 (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）求出当直线：过点时m的值，即可求解； （3）设直线与y轴交于点C，直线l与y轴交于点D，连接，求出点C，D的坐标，再利用勾股定理逆定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：当直线：过点时， ， 解得：， ∴m的取值范围为； （3）解：如图，设直线与y轴交于点C，直线l与y轴交于点D，连接， 对于，当时，， ∴点， 对于，当时，， ∴点， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴， ∴当直线与直线平行时，则两直线之间的距离是． 28．（2026·河北邢台·二模）如图，在平面直角坐标系中有一正方形，正方形的边，分别在轴、轴的正半轴，顶点的坐标为．抛物线：（为常数）与轴交于点，其顶点为． (1)当时，求的顶点及点的坐标； (2)当经过原点时，求的值； (3)下面是两位同学分别提出的问题，请选择其中一人的问题先判断，再说明理由． 嘉嘉提出的问题：是否经过点？ 淇淇提出的问题：是否经过点？ (4)若与正方形的边恰有三个交点，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)解：①选择嘉嘉提出的问题，不经过点，理由如下： 将点代入抛物线的解析式得：， 整理得：， ∵这个方程根的判别式，方程没有实数根， ∴不存在常数，使得抛物线经过点，即不经过点． ②选择淇淇提出的问题，不经过点，理由如下： 将点代入抛物线的解析式得：，即， ∵这个方程根的判别式，方程没有实数根， ∴不存在常数，使得抛物线经过点，即不经过点． (4)或2 【分析】（1）将代入求出抛物线的解析式，由此即可得； （2）将代入抛物线的解析式可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得； （3）两位同学提出的问题的解答思路一样：将相应点的坐标代入抛物线的解析式可得一个关于的一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式解答即可； （4）先求出顶点在直线上，再据此分两种情况：①抛物线经过原点，且对称轴在轴的右侧；②抛物线的顶点在边上，分别求出与的边的另两个交点的坐标进行验证即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线的解析式为， ∴的顶点的坐标为； 将代入抛物线的解析式得：， ∴点的坐标为． （2）解：∵抛物线：经过原点， ∴， 解得或． （3）解：略． （4）解：抛物线：， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点在直线上， 则有以下两种情况： ①如图，抛物线经过原点，且对称轴在轴的右侧， 由（2）可知，或（舍去）， ∴抛物线的解析式为， 由对称性可知，抛物线与轴的另一个交点为， ∵， ∴， ∴点在边上， 将代入抛物线的解析式得：， 即点在抛物线上， ∵， ∴， 又∵当时，随的增大而增大， ∴当时，， ∴此时抛物线与有一个交点， ∴此时与正方形的边恰有三个交点，符合题意； ②如图，抛物线的顶点在边上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， ∴抛物线与轴的交点在边上， 将代入得：，解得或（舍去）， ∴抛物线上的点在边上， ∴此时与正方形的边恰有三个交点，符合题意； 综上，的值为或2． 【点睛】本题的难点在于确定顶点的轨迹，进而进行分类讨论． 29．（2026·河北邢台·模拟预测）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的长方体，将长方体缓慢下降，直至长方体完全没入水中，各种状态如图1所示，整个过程中，弹簧测力计的读数与长方体下降高度的关系图象如图2所示．其中AB段的函数关系式为． (1)根据图1和图2，填写序号：点对应状态为____________，点对应状态为____________； (2)求a，b的值； (3)已知在状态③时长方体浸入水中的高度为，求此时弹簧测力计的读数． 【答案】(1)②；④ (2) (3)此时弹簧测力计的读数为 【详解】解：（1）②；④     （2）当时，，     ， 当时，，解得， ；     （3）当长方体浸入水中的高度为时， ，     将代入， 得， 即此时弹簧测力计的读数为6N．     30．（2026·河北保定·一模）如图1，在一个虹吸实验中，水从高位容器通过虹吸管流入低位容器，实验开始的短时间内，水流速度v与时间t的关系成线性关系，其变化如图2所示．在实验开始的6s后，通过持续向高位容器补水，使高位容器的液面高度维持恒定，此时水流速度保持恒定． (1)求时，水流速度v与时间t的函数解析式； (2)求第6s的水流速度； (3)若虹吸管水流方向的横截面面积为，当每秒出水量为时，求此时对应的时间． 【答案】(1) (2) (3)此时的时间为第 【分析】（1）因为时，与成一次函数关系，所以可设一次函数解析式，利用图2中和时的值代入求解． （2）先求出当时，水流速度v与时间t的函数解析式为，再将代入计算对应的值． （3）因为每秒出水量等于横截面积乘以水流速度，所以先根据出水量求出对应的值，再水流速度判断的时间范围，代入对应区间的函数解析式求解． 【详解】（1）解：当时，设水流速度v与时间t的函数解析式为， 将和分别代入，得，解得， ∴当时，水流速度v与时间t的函数解析式为． （2）解：当时，设水流速度v与时间t的函数解析式为， 将和分别代入，得，解得， ∴当时，水流速度v与时间t的函数解析式为， 当时，， ∴第6s的水流速度为． （3）解：∵每秒出水量为， ∴水流速度为， 由（2）得在范围内，水流速度最小为， ∴将代入中，得，解得， ∴当每秒出水量为时，此时的时间为第． 31．（2026·河北保定·三模）如图1，线段表示一条长的直跑道，跑道上有一点M，嘉嘉操纵遥控机车，使机车从点A出发，到达点B时结束行驶，其中机车在段跑道上的速度为．图2为机车距点M的距离与其行驶时间之间的函数关系图象． (1)在图1的线段上直接标出点M的位置； (2)求s与t之间的函数关系式（写出自变量t的取值范围）； (3)若机车上安装有一款电子眼（可旋转），电子眼的可视距离，求机车的电子眼看到点M的总时长． 【答案】(1)的位置如图所示： (2) (3)机车的电子眼看到点M的总时长为． 【分析】（1）由图象可得：当时，，再画图即可； （2）分与，再利用待定系数法求解即可； （3）分与，结合函数解析式进一步求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得：当时，， 画图略 （2）解：当时，设， 把，代入得： ， 解得：， ∴， ∵最长运动时间为， 当时，设， 把，代入可得： ∴， 解得：， ∴， 综上：． （3）解：当时，电子眼的可视距离， ∴， 解得：， ∴此时机车的电子眼看到点M的最长时间为：， 当时， ∴， 解得：， ∴此时机车的电子眼看到点M的最长时间为：， ∴机车的电子眼看到点M的总时长为． 32．（2026·广东广州·一模）已知一量筒装一定量水后放置在太阳下面，随着液体的蒸发，其液面高度会随着放置时间产生一定的变化．数学小组将一个带刻度的圆柱形量筒装入一定量水后放在太阳下面，通过观察放置时间的变化，记录量筒中水的液面高度，得到了如下几组数据． 放置时间 液面高度 (1)如图，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并依次连接起来．在量筒中的水完全蒸发之前，水的液面高度（单位：）与在太阳下放置的时间（单位：）符合初中学习过的某种函数关系，则可能是___________函数关系；（请选填“一次”，“二次”或“反比例”） (2)根据以上判断，求关于的函数表达式，并直接写出的取值范围； (3)在实验条件相同且不受其他因素影响的情况下，若在中午将另一装有等量水的量筒放置在太阳下面，中间有一段时间将其移至阴凉处并加盖（假设此时液面无下降），重新移至太阳下面并去盖后，直到时液面高度下降了一半，求量筒在阴凉处放置了多长时间． 【答案】(1)图见解析；一次 (2)关于的函数表达式为 (3)量筒在阴凉处放置了 【分析】（1）描出表中数据对应的点，并依次连接起来即可，根据图象判断对应的函数关系； （2）利用待定系数法求出函数表达式，结合实际意义求出的取值范围； （3）先计算出时的液面高度，结合（2）的关系式求出在太阳下面的放置的时间，结合时间间隔，求出阴凉处放置的时间． 【详解】（1）解：图象如图所示： 由图可知，与可能是一次函数关系； （2）解：设关于的函数表达式为， 将点，代入，得， 解得， ∴关于的函数表达式为， ∵，， ∴， 解得， ∴； （3）解：由题意可知，量筒的初始液面高度为， ∵液面高度下降一半， ∴时，， 令，解得， 从到经过了， ∴量筒在阴凉处放置的时间为． 答：量筒在阴凉处放置了． 33．（2026·河北沧州·三模）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图1所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为 和 ；整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度 的关系图象如图2所示． (1)图2中，点 对应状态___________，点 对应状态__________（填写图形序号）， ____________， __________； (2)当 时，求 关于 的函数解析式； (3)已知弹簧测力计在状态③时圆柱体下降高度为 ，求此时该圆柱体所受浮力的大小．（提示：当圆柱体位于水面上方时，；当圆柱体入水后，） 【答案】(1)②，④，10，5 (2) (3) 【分析】（1）根据对应的状态读数即可； （2）先设直线解析式，再将两点代入解析式求出即可； （3）将代入函数解析式，求出对应的值，再根据求值即可． 【详解】（1）解：圆柱体从刚刚接触到水面到刚好完全进入水中，拉力 一直在减小 点 对应状态为②，点 对应状态为④ 弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为 和 ， （2）解：设 ， 将，的坐标分别代入，得，解得， ∴当 时， 关于 的函数解析式为； （3）解：当 时， ， （N）． 即此时圆柱体所受浮力为 ． 34．（2026·河北邯郸·三模）如图，从斜坡的顶端处拖出一个小球，恰好落在坡底处，小球在空中所经过的路线呈抛物线状．建立恰当的平面直角坐标系，得到点，点，已知抛物线的解析式为． (1)求该抛物线的解析式． (2)求小球到斜坡的最大距离． (3)若抛物线恰好经过小树的树顶，点在斜坡上，且．已知小树与垂直，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点为抛物线上一点，过点作轴于点，交于点，作于点，可证明，解直角三角形得到．求出直线的解析式为．设点的坐标为，则，可求出，求出的最大值即可得到答案； （3）设，则，根据，可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：将，代入，得， 解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：设点为抛物线上一点，过点作轴于点，交于点，作于点，如图所示． ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴． ∴． 设所在直线的解析式为， 将，代入得， ∴， ∴直线的解析式为． 设点的坐标为，则， ∴． ∴ ． ∵， ∴当时，取最大值， ∴小球到斜坡的最大距离为． （3）解：设，则， ∵， ∴，即， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或． 35．（2026·河北唐山·二模）温度通常有两种表示方法：华氏温度（单位：）与摄氏温度（单位：），已知华氏温度与摄氏温度之间是一次函数关系，下表列出了它们的部分对应关系． 摄氏温度 0 25 90 … 华氏温度 32 77 194 … (1)根据表格中的数据，求关于的函数解析式； (2)有一种温度计上有两种刻度，即测量某一温度时左边是摄氏温度，右边是华氏温度，把这个温度计拿到中国最北城市“漠河”，发现两个温度显示刻度一样，求当时漠河的气温是多少摄氏度； (3)某种疫苗的活性只能在某温度区间内维持，在该温度区间内，摄氏温度与其对应的华氏温度的数值相差不超过16，直接写出该温度区间的最大温差是多少摄氏度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设一次函数的解析式为，由待定系数法求出其解即可； （2）根据（1）的结论列方程解答即可． （3）根据摄氏温度与其对应的华氏温度的数值相差不超过16列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：已知华氏温度与摄氏温度之间是一次函数关系，设解析式为， 将表格中、代入解析式得：， 解得， 所以，函数解析式为：； （2）解：根据题意得：， 解得． 答：当天漠河的气温为． （3）解：根据题意得：， 把代入得：， 整理得：，即， 解得：， 所以，最大温差为： 答：该温度区间的最大温差是． 36．（2026·河北唐山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中点，点，动点从点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，运动时间为秒，过点的直线：也随之移动，反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)若直线：与反比例函数的图象有唯一的公共点，求的值； (3)若直线：与轴交于点，与反比例函数的图象交于，两点，且点在点的左侧，当时，求的值． 【答案】(1) (2). (3) 【分析】（1）将点代入反比例函数解析式，即可求解； （2）依题意得出，方程有唯一解，进而求得的值，结合题意求得的值； （3）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，勾股定理求得，根据求得，，进而求得，结合题意求得的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴； （2）解：∵直线：与反比例函数的图象有唯一的公共点， 当时， 即，有两个相等的解， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，运动时间为秒， ∴， （3）解：如图， ∵与轴交于点，在上， 设，， ∴， ∵当时，， ∴， 联立， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，运动时间为秒， ∴． 37．（2026·河北沧州·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴、轴分别交于，两点，顶点为． (1)求点和点的坐标； (2)将抛物线绕点旋转，得到抛物线，求抛物线的解析式（用表示）； (3)在（2）的条件下，定义：为较小函数，即，为较大函数，即． ①求的最大值和的最小值； ②在的图象上有、两点，当，时，总有，直接写出的取值范围； ③较大函数与组成新的图形，直线与图形只有三个交点时，交点从左向右依次为，，，为线段的三等分点时，直接写出的值． 【答案】(1)点的坐标为；点的坐标为 (2) (3)①的最大值为，的最小值为；②的取值范围是；③的值为或 【分析】（1）由配方法可解得顶点的坐标，令，，可解得抛物线在轴正半轴的交点； （2）由旋转的性质可知点绕点旋转的对称点，由抛物线的顶点式方程即可求解； （3）①由函数图象可得的最大值和的最小值； ②的图象上有、两点，当，总有，而，由图象可知且即可求解； ③为线段的三等分点，则或，点在抛物线的图象上，列方程解得的值，再求解的值． 【详解】（1）解：， ∴顶点的坐标为， 令 ，解得，， ∵点在轴正半轴， ∴点的坐标为； （2）解：由已知得点关于的对称点为， ∴； （3）解：①令， 解得，， 当时，， 当时，， ∴抛物线和的交点坐标为，， 结合图象可得的最大值为，的最小值为； ②如图，设抛物线与轴的交点为， 令，解得，则点的坐标为． 过抛物线和左边的交点，作一条平行于轴的直线，点也在该直线上， 抛物线的对称轴为， 利用抛物线的对称性可得该直线与的另一个交点为． 的图象上有、两点，当，时，总有， 由图象可得，且， 解得； ③设， 抛物线的对称轴为， 则． ∵为线段的三等分点， ∴或， ∴或， 即或， 解得：或 ∴或． ∵点在抛物线的图象上， ∴或， 解得，（舍去），或，（舍去）． 当时，， 当时，． 38．（2026·河北沧州·三模）在雄安新区街角景观改造中，工程师设计了一款“双蝶型”景观灯（厚度忽略不计），其平面示意图如图所示．灯体由两个成轴对称的“蝶翼”组成，每个“蝶翼”的外边缘可近似看作抛物线，内边缘为线段．如图，两“蝶翼”的公共顶点为，对称轴为直线，内边缘线段为，．经测量：外边缘上一点与点的水平距离为时，到对称轴的距离为；内边缘端点与点的水平距离为，点到对称轴的距离为． (1)如图，以点为坐标原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系． ①求对称轴上方“蝶翼”外边缘抛物线的解析式； ②若点在该抛物线上，且点到对称轴的距离最大，求点的坐标； (2)为增强灯光效果，需分别在两“蝶翼”内部均匀安装4条竖直灯带，灯带两端分别固定在同一“蝶翼”的内、外边缘上，且灯带关于对称轴对称．已知现有灯带总长度为，判断这些灯带是否足够安装（不考虑损耗），并说明理由； (3)为保护景观灯，需制作一个正方形防护框，要求防护框能完全容纳景观灯，求该正方形防护框边长的最小值． 【答案】(1)①；② (2)够用，理由如下： 设直线的解析式为． ∵直线过点， ∴，解得． ∴直线的解析式为， ∴同一“蝶翼”的内、外边缘上安装竖直的灯带长度为． ∴当时，在同一“蝶翼”的内、外边缘上安装竖直的一条灯带长度最大值为2米． ∴在同一“蝶翼”安装4条竖直的灯带总长度最大为8米，则两个“蝶翼”共用灯带总长度不超过16米． ∴总长度为16米的灯带够用． (3) 【分析】（1）①由题意得，抛物线过点，，，运用待定系数法求解即可； ②点F是抛物线顶点，将抛物线解析式化为顶点式，即可解答； （2）运用待定系数法求出直线的解析式，从而可求出同一“蝶翼”的内、外边缘上安装竖直的灯带长度，根据二次函数的性质求出一条灯带长度的最大值，进而求出4条灯带的长，即可判断； （3）当正方形各边与“蝶翼”相切时，所需正方形边长最小．根据正方形的性质得到，因此是等腰直角三角形，设，则点的坐标为，点的坐标为，根据待定系数法求得直线的解析式为．当直线与抛物线有唯一公共点时正方形边长最小，有两个相等的实数根，由一元二次方程根的判别式列出方程，求得m的值，得到直线的解析式，从而可得点的坐标，再由对称性得到点R的坐标，从而可求的长，进而求出正方形边长的最小值． 【详解】（1）解：①∵抛物线过点， ∴设抛物线的解析式为． 由题意得，抛物线过点，， ∴，解得 ∴抛物线的解析式为． ②由题意可知点为抛物线的顶点， ∵， ∴点的坐标为． （2）略 （3）解：如图，当正方形各边与“蝶翼”相切时，所需正方形边长最小． ∵四边形为正方形， ∴，，． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 设，则点的坐标为，点的坐标为． 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 由题意可知，当直线与抛物线有唯一公共点时正方形边长最小， ∴有两个相等的实数根． 化简，得， ∴，解得． ∴直线的解析式为． 当时，， ∴点的坐标为． 由（1）可知，抛物线的顶点的坐标为． ∴抛物线的对称轴为直线． ∵由对称性可知正方形的顶点与G关于抛物线对称轴对称， ∴点R的坐标为， 则． ∴此时所需正方形的边长为． ∴这个正方形边长的最小值是． 39．（2026·河北石家庄·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为点，抛物线 的顶点为点． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)第一象限内一点到轴的距离为8，当抛物线经过点时，点也恰好落在上，求点的坐标； (3)记抛物线与相交于点，直线与的另一个交点为． ①试说明点的横坐标始终为定值，并求出这个定值； ②作直线，当直线与直线交于点时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3)①联立抛物线与的方程解得． 将代入中， 可得． 已知点，， 设直线的方程为， 将点、的坐标代入直线方程可得：， 解得， ∴直线的方程为． 联立直线与抛物线的方程， 解得或． ∵点的横坐标为， ∴点的横坐标为，即点的横坐标始终为定值． 因此，点的横坐标始终为定值； ②10 【分析】（1）将点A、C坐标代入抛物线解析式，求出系数得到表达式，再利用顶点坐标公式算出顶点M坐标． （2）把点代入求出，确定解析式；根据点到x轴距离得到纵坐标，代入方程求解，结合象限条件取舍，得到点D坐标． （3）①联立两条抛物线解析式，求出交点P坐标；结合点C求出直线解析式，再联立直线与，解得两根，确定点Q横坐标为定值．②求出顶点，结合求直线解析式；将的横坐标分别代入两条直线，利用交点纵坐标相等列方程，解出k． 【详解】（1）解：∵抛物线：与轴交于点，与轴交于点， 将点、的坐标代入抛物线方程可得： 解得 ∴抛物线的解析式为． 对于抛物线，其顶点坐标公式为， 在抛物线：中，，，， 则，． ∴顶点的坐标为． 因此，抛物线的解析式为，顶点的坐标为． （2）解：已知抛物线：经过点， 将点的坐标代入抛物线的方程可得：， 解得． ∴抛物线的解析式为． ∵点在第一象限内，且到轴的距离为， ∴点的纵坐标为， 将代入抛物线的解析式中，可得， 解得或（舍去）． ∴点的坐标为． （3）①略 ②已知抛物线：，其顶点的横坐标为，纵坐标为， ∴顶点的坐标为． 已知点，，设直线的方程为， 将点、的坐标代入直线方程可得： ， 解得， ∴直线的方程为． ∵直线与直线交于点，点的横坐标为， 将代入直线的方程中， 可得， 将代入直线的方程，可得． 因为点是直线与直线的交点， ∴， 解得． 因此，的值为10． 40．（2026·河北邯郸·二模）如图，抛物线（为常数）与轴的交点为点，与轴交于点A，B（点在点的左侧）．将抛物线向下平移3个单位长度得到抛物线与轴的交点为点． (1)直接写出拋物线的解析式及的长度； (2)如图1，已知直线始终在拋物线与的顶点的上方，当拋物线的顶点到直线的距离最小时． ①求的值； ②求此时的长； ③如图2，抛物线在y轴右侧的部分（不含点P）和抛物线在轴左侧的部分（含点）记作．若在图象上有且只有4个点到轴的距离等于6，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②的长为3；③或 【分析】（1）根据平移规律可求出，再求出点的坐标，可求出； （2）①求出可得结论； ②求出点的横坐标即可求解； ③分和两种情况，结合图象，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线（为常数） 当时，， ∴； 将抛物线向下平移3个单位长度得到抛物线， 令，则， ∴, ∴； （2）解：①∵， ∴顶点坐标为， 设抛物线的顶点到直线的距离为， ∴， 当时，有最小值， ∴的值为； ②当时，抛物线的解析式为， 当时，， 解得， ∴；此时的长为3； ③两抛物线的对称轴为, 当时，， 解得或（舍去）； 当时，， 解得（舍去）或； 综上，的取值范围为或． 41．（2026·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点．（点在点右侧），与轴交于点，已知抛物线的顶点为，．过，两点作直线． (1)求抛物线的解析式； (2)已知直线在点下方、将抛物线在直线上方的部分沿直线翻折，使点落在点处，抛物线剩余部分与翻折后得到的图形组成“M”形图案； ①当时，在图形位于轴上方的部分是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； ②当点落在内部（含边界）时，求的取值范围． ③当时，将直线向下平移个单位长度，得到直线，当直线与“M”形图案恰有4个公共点时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①存在，点坐标为或； ②当点落在内部（含边界）时，； ③ 【分析】（1）设该抛物线的解析式为，把点代入解答即可； （2）①先求出点，根据，可得，再求出当时，翻折后部分得到的图形所在的抛物线的解析式，即可求解； ②求出直线的解析式为，设点的坐标为，则，再求出当点落在上时，当点落在上时，t的值，即可求解； ③求出当时，翻折后得到的图形所在的抛物线的解析式，直线的解析式，然后求出当直线过点时， 当直线与翻折后部分得到的图形只有一个交点时，n的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴可设该抛物线的解析式为， ∵， ∴点， 把点代入得： ，解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：①存在， 对于， 当时，， 解得：， ∴点， ∴， ∵， ∴， ∴， 对于，当时，， 解得，， 点坐标为或； 由折叠的性质得：点， ∴当时，翻折后部分得到的图形所在的抛物线的解析式为， 此时图象开口向上，顶点坐标为，图象最低点的纵坐标为， 所以翻折后出现的函数图像部分不存在点， 综上所述，点H的坐标为或； ②设直线的解析式为，经过， 当时，，当时，， ， 设点的坐标为， ∵点，关于直线对称， ， ． 对于，当时，， ∴当点落在上时，，解得； 当点落在上时，，解得． ∴当点落在内部（含边界）时，； ③当时，由折叠的性质得：点， 此时翻折后得到的图形所在的抛物线的解析式为． 由②得：直线l的解析式为， ∵将直线向下平移个单位长度，得到直线， ∴直线的解析式为：， 当直线过点时，， 此时， 当直线与翻折后部分得到的图形只有一个交点时， 联立：得：， 整理得：， 此时， 解得：， ∴当直线与“M”形图案恰有4个公共点时，n的取值范围为． 42．（2026·河北石家庄·二模）燃放烟花爆竹是中华民族传承千年的春节习俗．新春佳节，嘉琪在安全区域燃放一款烟花，如图1，火花从垂直地面的烟花筒的顶端A处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以烟花放置位置O为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，烟花筒的高度是米，喷出的最远的一颗火星的运动轨迹为抛物线，与烟花筒的水平距离为1米时，达到最大高度2米，之后火星沿原来的抛物线继续运动，落到地面上的B点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)嘉琪点燃烟花后，跑到离烟花筒水平距离为米处，是否存在安全隐患，请说明理由； (3)设图1中喷出的所有火星的运动轨迹所在的抛物线形成了烟花瀑布，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线l上，如图3，其中一条抛物线与直线相交于点E． ①的顶点坐标为________________；l的表达式为________________． ②设烟花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点F，经测算，当时，烟花瀑布的观赏效果最好，请直接写出此时拋物线中a的取值范围________________． 【答案】(1) (2)不存在安全隐患，理由见解析 (3)①；② 【分析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线的解析式为，再将点代入求解即可； （2）当时，，此时火星已经落地，即可判断答案； （3）①设直线l的表达式为，将和的顶点坐标的顶点代入求解即可； ②先求出，，再根据的顶点在直线l上，求得，即，可进一步求得，结合，可得，再解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：不存在安全隐患；理由如下： 当时，， 当时，火星已经落地，不存在安全隐患； （3）解：①， 的顶点坐标为； 设直线l的表达式为， 将的顶点和代入，得， 解得， 直线l的表达式为； ②．理由如下： 令，则， 解得，， ， 令，则， 解得，， ， ， 抛物线的顶点坐标为， 把顶点的坐标代入直线l的表达式，得， 整理，得， 解得，， 当时，抛物线开口向下，顶点在，无实际飞行轨迹，舍去， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 43．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图是一次体操跳台训练的截面示意图，和线段分别为跳板和跳马面．取地面为轴，跳板边所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，，．已知一名体操运动员在跳板边上的点起跳，第一次腾空的路线为抛物线：，双手撑跳马面后第二次腾空的路线为抛物线：（，为正数）． (1)跳马面的宽为________，求所在直线的表达式； (2)运动员在距离地面的点处起跳，判断其双手是否会撑在跳马面上； (3)运动员第二次腾空的最大高度与第一次腾空的最大高度的差为，越大，完成动作的效果越好，若运动员在第一次腾空后手触跳马面的位置为，直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)； (2)双手会撑在跳马面上 (3) 【分析】（1）根据，的坐标求出；再根据，坐标用待定系数法求出直线的解析式； （2）先求出坐标，再求出抛物线解析式，令解方程求出的值与和比较即可； （3）根据抛物线解析式求出顶点坐标，再根据判定出抛物线顶点坐标的取值范围，再把代入抛物线的解析式求出即可． 【详解】（1）解：，， ， 设所在直线的表达式为， 把，，代入表达式得：， 解得， 所在直线的表达式为； （2） 解：当时，代入，解得， ， 抛物线可化为， 将代入 得， 解得，， 为正数， ， 抛物线， 当时，，解得（舍去），， ， 双手会撑在跳马面上； （3）解：， 顶点坐标为， ， 的顶点纵坐标大于等于小于等于， 在上， ， 当顶点纵坐标为2.1时，则，解得（舍去）或； 当顶点纵坐标为3.35时，则，解得（舍去）或； 的取值范围为． 44．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，抛物线：的对称轴为，顶点为，抛物线：（其中为常数），顶点为． (1)求的值及点的坐标； (2)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线． ①直接写出抛物线的解析式； ②试说明：无论k为何值，点N的总在抛物线上； (3)记抛物线与的对称中心为点，若点恰好落在轴上，求的值； (4)当所在直线与（2）中的抛物线有唯一公共点时，直接写出的值． 【答案】(1)，点M的坐标为 (2)①； ②由抛物线得，顶点的坐标为， 当时，代入抛物线的解析式，得， 无论为何值，点的总在抛物线上． (3) (4)0或4 【分析】（1）根据对称轴的公式求出的值，将抛物线化为顶点式即可得出顶点的坐标； （2）①根据“左加右减，上加下减”即可得出平移后的抛物线解析式；②求出顶点的坐标，代入抛物线的解析式中，判断是否成立即可； （3）由题意可得顶点与顶点关于点对称，即可求出的值； （4）求出直线的解析式，联立抛物线的解析式，得到一元二次方程，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线：的对称轴为， ∴，解得， ∴， ∴顶点的坐标为． （2）解：①∵抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线， ∴：． ②略 （3）解：∵抛物线与关于点对称， ∴顶点与顶点关于点对称． ∵点在轴上， ∴，解得． （4）解：设直线的解析式为， 将点，点，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为． 联立， ∴， 整理得：． ∵直线与抛物线有唯一公共点， ， 整理得：， 解得或4． 45．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中点，的坐标分别为，，从点发射光线，其图象对应的函数解析式为． (1)若光线恰好经过平面镜，的中点，求所在直线的解析式（不要求写出的取值范围）． (2)若入射光线与平面镜有公共点． 嘉嘉说：当入射光线与平面镜交于点时，的值最大； 淇淇说：不对，我认为交于点时，的值最大； 请问，嘉嘉和淇淇谁的说法正确，并求出的最大值． (3)规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与轴相交于点，直接写出点是整点的个数． 【答案】(1)； (2)淇淇的说法正确，的最大值为； (3)个． 【分析】先求出的中点的坐标为，然后利用待定系数法即可求解； 分别求出当入射光线经过，时，当入射光线经过，时，的值即可求解； 作出点关于对称点，则，作直线，分别交轴于点，，分别求出直线的直线解析式为，直线的直线解析式为，然后通过一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵点，的坐标分别为，， ∴的中点的坐标为， 设解式为， 把，代入得， 解得， ∴的解析式为； （2）解：当入射光线经过，时， ，解得， 当入射光线经过，时， ，解得， ∵入射光线与平面镜有公共点， ∴的取值范围是， ∴淇淇的说法正确，的最大值为； （3）解：作出点关于直线对称点，即关于直线的对称点，作直线，分别交轴于点，，如图， 设直线的直线解析式为， ，解得， ∴直线的直线解析式为， 设直线的直线解析式为， ，解得， ∴直线的直线解析式为， ∵反射光线与轴相交于点， ∴点纵坐标的取值范围为， ∴点整点纵坐标有，共个，即整点的个数为． 46．（2026·河北保定·三模）如图，抛物线L的表达式为，直线经过点和点． (1)若抛物线L经过点B， ①求抛物线L与直线l的函数表达式； ②当时，x的取值范围是________． (2)若抛物线L的顶点在直线l上，求b的值． (3)设抛物线L上点K的坐标为，过点K作直线直线l，求证：直线总经过抛物线L的顶点． (4)若，点M是直线l在范围内的一点，过点M作y轴的平行线，交抛物线L于点N，当最大为4时，直接写出b的值． 【答案】(1)①，；②或 (2)或 (3)证明：∵点在抛物线上，代入得： 即点坐标为， ∵直线直线l， ∴设直线的表达式为，将代入： 解得， ∴直线的表达式为：， 由（2）得，抛物线的顶点坐标为， 将抛物线顶点的横坐标代入直线的表达式： ， ∴抛物线的顶点坐标满足直线的解析式， 即直线总经过抛物线的顶点； (4) 【分析】（1）①已知直线过两点，将坐标代入即可求解；将和坐标代入抛物线解析式即可求解；②令，求出两函数交点横坐标，通过图象求解即可； （2）将抛物线L的顶点代入直线l的解析式即可求得b的值； （3）点在抛物线上，代入得点坐标为，因为，且过点，则可求得直线的表达式为：，将抛物线的顶点坐标代入的表达式，说明等式成立即可； （4）是竖直线段的长度，结合的条件，用两个点的纵坐标作差得到关于的二次函数，分析二次函数的对称轴位置，分情况讨论最大值取得的位置，排除不符合取值范围的解，最终得到的值； 【详解】（1）解：①将点代入，得， 将点代入得： 解得， ∴直线l的表达式为； ∵， ∴抛物线解析式为：，将点代入得： ， 解得， ∴抛物线的表达式为； ②令， 解得， 由图象知当时，或； （2）解：抛物线的顶点坐标为， ∵顶点在直线上，将顶点坐标代入得： 整理得：， 解得或； （3）略 （4）解：设点的横坐标为，其中， ∵轴，且在抛物线上， ∴， 令， 解得， ∵， ∴， ∴当时，在上方， ∴， ∴此抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， ∵， ∴， 当，即时， ∵该二次函数开口向下， ∴的最大值取在顶点处，即， 解得，（舍去）； 当，即时， ∵抛物线开口向下，在时，随的增大而增大， ∴在处取得最大值，代入得： ， 解得，不符合舍去； ∴综上所述，． 47．（2026·河北张家口·二模）新能源汽车多数采用电能作为动力来源，为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电的状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘显示增加的电量（%）与充电时间（分钟）的关系，数据记录如表： 电池充电状态 充电时间（分钟） 增加的电量（%） 实验二：探究充满电的状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量（%）与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表： 汽车行驶过程 行驶里程（千米） … 显示电量（%） … (1)充电状态下，充电1分钟，增加的电量________，汽车行驶过程中，行驶千米消耗电量________，该电动汽车的电量从到充满（），需要的充电时间约为________分钟； (2)在表中，如果显示电量与汽车行驶里程满足一次函数关系． ①求与满足的函数关系式； ②如果该汽车行驶到剩余电量为时会自动报警，那么汽车在充满电的情况下，行驶约多少千米会自动报警； (3)某电动汽车在充满电的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车行驶千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，求电动汽车在服务区充电多长时间？ 【答案】(1)，， (2)①；②行驶约千米会自动报警 (3)充电时间为25分钟 【分析】（1）根据题意可直接列式进行求解； （2）①由题意可设函数关系式为，然后根据待定系数法进行求解即可； ②由题意可把代入①中函数解析式进行求解即可； （3）设充电分钟，据题意可得，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： 充电状态下，充电1分钟，增加的电量；汽车行驶过程中，行驶千米消耗电量；该电动汽车的电量从到充满（），需要的充电时间约为分钟； （2）解：①由表格可知当时，，设函数关系式为， 时，， ， ， ∴函数关系式为； ②由题意可把代入①中函数解析式，得：， 解得：， 答：行驶约千米会自动报警 （3）解：设充电分钟，据题意可得： 解得； 答：充电时间为25分钟． 48．（2026·河北张家口·二模）如图，已知抛物线（，是常数，且），顶点为，且点和都在抛物线上． (1)求，的值和点的坐标； (2)将抛物线沿轴翻折得到抛物线，请直接写出的解析式； (3)在（2）的条件下，将抛物线向下平移，与轴的两交点记为， ①从最初的状态，将至少向下平移________个单位长度，点，之间的距离不少于个单位长度； ②若将抛物线向下平移个单位长度后，再向右平移个单位长度，得到抛物线，已知直线与抛物线和一共只有两个公共点，求的取值范围； ③直线（）与②中的抛物线交于，两点，为线段的中点；直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，嘉琪经过研究发现，无论如何变化，直线始终经过一个定点，请你直接写出这个点的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)①；②；③ 【分析】（1）根据待定系数法进行求解即可； （2）由题意直接进行求解即可； （3）①设将向下平移n（）个单位长度，则平移后的表达式为，由题意可令，则有，设该方程的两个根为，则有与轴的两交点为，，然后根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可； ②由题意易得抛物线的表达式为，然后得出当直线与抛物线和一共只有两个公共点时的临界值，进而问题可求解； ③设直线（）与②中的抛物线的交点，，直线与抛物线的交点，，根据一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式可得，，然后得出直线的解析式为，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ，解得：， ∴抛物线， ∴， ∴顶点的坐标为； （2）解：由将抛物线沿轴翻折得到抛物线，可知：抛物线与抛物线的开口方向相反，顶点坐标相同， ∴抛物线的表达式为； （3）解：①设将向下平移n（）个单位长度，则平移后的表达式为， 令，则有，设该方程的两个根为，则有与轴的两交点为，， ∴根据根与系数的关系可得， 当点，之间的距离为个单位长度时，即， ∴， 解得：， ∴从最初的状态，将至少向下平移个单位长度，点，之间的距离不少于个单位长度； ②由将抛物线向下平移个单位长度后，再向右平移个单位长度，得到抛物线，可知抛物线的表达式为， ∴当直线与抛物线相切时，此时直线与抛物线和有3个公共点， 联立得：，消去y得：，即， ∴，解得：； 当直线与抛物线相切时，此时直线与抛物线和有1个公共点， 联立，消去y得：，即， ∴，解得：； ∴当直线与抛物线和一共只有两个公共点时，则的取值范围为； ③设直线（）与②中的抛物线的交点，，直线与抛物线的交点，， 由②可知：抛物线的表达式为，与直线联立得：， 消去y得：，即，根据一元二次方程根与系数的关系可得：， ∵点，在直线上， ∴， ∴， ∵为线段的中点， ∴根据中点坐标公式可得：，即； 同理可得：， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，则有， ∴直线过定点的坐标为． 49．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．将抛物线沿直线向右下方平移，得到函数的图象，则称函数为函数的“关联函数”． (1)求抛物线的解析式，并直接写出点的坐标； (2)将抛物线沿直线向右下方平移一定单位长度后，得到“关联函数”的图象，其顶点恰好是点． ①若点在函数的图象上，且到轴的距离小于或等于，求点的纵坐标的取值范围； ②如图，若点在函数的图象上，且在第二象限内，连接并延长，交抛物线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，以，为邻边作矩形，与射线交于点，设矩形与矩形的周长分别为，．求证：为定值； (3)将抛物线沿直线向右下方平移一定单位长度后，得到“关联函数”的图象．若函数的图象恰好经过点，当时，的最大值为，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①； ②证明：设直线的解析式为， 将点代入，得， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 整理，得， 解得或， ∴， 联立直线与抛物线，得， ， 整理，得， 解得或， ∴， ∵轴，轴，点在第二象限， ∴，， ∵矩形的周长，矩形的周长， ∴，为定值， 即为定值； (3)或 【分析】（1）使用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出点的坐标即可； （2）①先根据平移规律和顶点坐标求出，利用二次函数的增减性求出的取值范围；②设直线的解析式为，将直线分别与抛物线和抛物线联立，计算得，，从而得到，，求出两个矩形的周长，再作差即可证明； （3）由平移方向可设，代入可得，因此．分为，和三类讨论，结合二次函数的增减性与最值，求出符合要求的的值． 【详解】（1）解：将点，代入，得， ，解得， ∴抛物线的解析式为， 令，即， ∴， 解得或， ∴点的坐标为； （2）解：①，顶点为， ∵将抛物线沿直线向右下方平移一定单位长度后，得到“关联函数”的图象，其顶点恰好是点， ∴平移方式为：向右平移个单位，向下平移个单位， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线，图象开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴直线越近，函数值越大， ∴越小，越大， 又∵点到轴的距离小于或等于，即， ∴当时，取得最小值；当时，取得最大值； 综上，点的纵坐标的取值范围为； ②略； （3）解：∵抛物线沿直线向右下方平移， ∴等价于向右平移个单位，同时向下平移个单位， ∴平移得到的抛物线为， 将点代入，得， ， 整理，得， 解得或（不符题意，舍去）， ∴，该抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ①当，即时，区间在对称轴的左侧， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， ∴， 解得或（与矛盾，舍去）； ②当，即时，区间在对称轴的右侧， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， ∴， 解得或（与矛盾，舍去）； ③当，即时，区间包含， ∴抛物线在顶点处取得最大值，与题意矛盾； 综上所述，的值为或． 50．（2026·河北承德·二模）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形的顶点A、D分别在坐标轴上，轴，点，，是直角三角形，，，将沿x轴向右平移，得到，点P、O、Q的对应点分别为． (1)填空：如图①，点B的坐标为______，当经过点B时，与的交点E的坐标为______； (2)设，与菱形重叠部分的面积为S． ①如图②，当边与相交于点F， 分别与相交于点G、H，且 与菱形重叠部分为六边形时，试用含有t的式子表示线段，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围直接写出结果即可 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）连接交于点，利用菱形的性质得到，，，结合轴，推出四边形是矩形，则有，，在中利用正切的定义求出，得到，得出点B、A的坐标；利用待定系数法求出直线和的解析式，联立解析式即可求出交点E的坐标； （2）①连接交于点，交于点，结合（1）中的结论，通过证明四边形是矩形得到，，则有，在中利用余弦的定义表示出的长，再结合与菱形重叠部分为六边形，即可得出t的取值范围；②根据重叠部分图形的变化，分以下情况讨论：、、、、，分别画出示意图，利用图形面积公式表示出，利用二次函数的性质求出的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接交于点， ∵， ∴， ∵菱形，， ∴，，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴，， ∴点B的坐标为，点A的坐标为， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵当经过点B时，与重合， ∴沿x轴向右平移3个单位长度， ∴，， 设直线的解析式为， 代入和得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得：直线的解析式为， 联立，解得， ∴； ∴综上所述，点B的坐标为，点E的坐标为 故答案为：；． （2）解：①如图，连接交于点，交于点， 由题意得，沿x轴向右平移个单位长度得到， ∴，，， 由（1）得，，，四边形是矩形，， ∴， ∵菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵在中，， ∴， 当点与点重合时，； 当经过点B时， ∵，， ∴同理（1）的方法可得，直线的解析式为， 代入得，，解得； 由图象得，当时，与菱形重叠部分为六边形， ∴综上所述，； ②当时，与菱形重叠部分为，连接交于点， 由①得，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，与菱形重叠部分为四边形，设与轴交于点， 由①得，直线的解析式为， 令，则， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴； 当时，与菱形重叠部分为六边形， 同理可得，， ∵， ∴ ， 当时，有最大值， ∵， ∴； 当时，与菱形重叠部分为五边形，设与延长线交于点， 同理可得，，， ∵，， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴； 当时，与菱形重叠部分为，设与交于点， 直线的解析式为， 令，则，解得， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴综上所述，S的取值范围为． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的性质与判定、解直角三角形、二次函数的最值、待定系数法求函数解析式、割补法求图形面积、勾股定理，运用分类讨论和数形结合的思想是解题的关键．本题属于函数与几何综合题，综合要求较高，适合有能力解决压轴题的学生． 试卷第1页，共3页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $