专题04 图形的性质（5年汇编）（江西专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 汇编江西近5年中考真题及模拟题，聚焦图形的性质六大核心考点，突出空间观念与几何探究能力，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约10题|几何图形初步、相交线与平行线、圆|以正方形网格考正方体展开图，结合三角板求角度| |填空|约8题|多边形内角和、特殊平行四边形、正多边形|矩形动点面积最值，七巧板拼图求对角线| |解答|约11题|三角形旋转证明、圆切线判定、尺规作图|三角形结合淋浴房模型探究面积变化，圆融入菱形与动态切线证明|

专题04图形的性质 5年真题1年模拟 考点分类 江西考情 命题规律 考点1几何图形初步（立体图形、几何体的展开图、直线、射线、线段、角） 2024江西(1题) ·情境设置：以正方形网格为载体，考查正方体展开图。 ·考查重点：空间想象能力，识别正方体表面展开图。 ·命题趋势：侧重操作性与空间观念，题型以选择题为主，难度基础。 考点2相交线与平行线 2026江西(1题)、2025江西(1题) ·情境设置：结合三角板、平行线或简单几何图形。 ·考查重点：平行线性质求角度，常与三角板、角平分线结合。 ·命题趋势：基础工具性考点，常融入计算或简单证明，难度较低。 考点3三角形（全等三角形、等腰三角形、直角三角形、勾股定理） 2026江西(1题)、2024江西(1题) ·情境设置：以旋转、实际模型或课本溯源为背景。 ·考查重点：特殊三角形性质、全等判定、勾股定理应用。 ·命题趋势：强化几何探究与建模能力，从单一证明转向过程性探究。 考点4多边形与（特殊）平行四边形 2026江西(1题)、2023江西(1题) ·情境设置：结合矩形动点、七巧板、旋转或课本判定定理。 ·考查重点：特殊四边形的性质与判定，多边形内角和。 ·命题趋势：侧重动态分析、综合运用及定理的逆向探究。 考点5圆（⊙O、圆心角、圆周角、垂径定理、切线、弧长、扇形面积、正多边形和圆） 2026江西(1题)、2024江西(1题) ·情境设置：以菱形、实际工具或动点问题为背景。 ·考查重点：圆周角定理、切线性质、弧长与扇形面积计算。 ·命题趋势：结合实际模型与分类讨论，强化圆中动态最值问题。 考点6尺规作图（无刻度直尺、保留作图痕迹） 2026江西(1题)、2025江西(1题) ·情境设置：以正方形网格或给定几何图形为载体。 ·考查重点：仅用无刻度直尺完成特定几何作图。 ·命题趋势：强调网格背景下作图原理与几何逻辑，创新性强。 考点1几何图形初步（立体图形、几何体的展开图、直线、射线、线段、角） 1.(2024·江西·中考真题)如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（       ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 考点2相交线与平行线 1.(2026·江西·中考真题)如图，已知，，则的度数为（        ） A.  B.  C.  D.  2.(2025·江西·中考真题)（1）计算：； （2）如图，已知点C在上，，．求证：． 考点3三角形（全等三角形、等腰三角形、直角三角形、勾股定理） 1.(2023·江西·中考真题)如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（       ）     A.  B.  C.  D.  2.(2026·江西·中考真题)如图，在中，，，点P在的延长线上，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 3.(2025·江西·中考真题)图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得，，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得 （1）在推拉门从闭合到推至最大的过程中， ①的最小值为________度，最大值为________度； ②面积的变化情况是（     ） A．越来越大       B．越来越小       C．先增大后减小 （2）当时，求的面积． 4.(2024·江西·中考真题)追本溯源： 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（       ） A．3个　B．4个　C．5个　D．6个 ②已知，，求的长． 5.(2023·江西·中考真题)（1）计算： （2）如图，，平分．求证：．     6.(2023·江西·中考真题)将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为　　　　　　　cm．     7.(2022·江西·中考真题)沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为　　　　　　　　　　． 考点4多边形与（特殊）平行四边形 1.(2026·江西·中考真题)如图，在矩形中，，，是边上的动点，连接，过点作于点．当面积最大时，的长为　　　　　　　　　　　　　　　． 2.(2025·江西·中考真题)如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为　　　　　　　　度． 3.(2024·江西·中考真题)将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则　　　　　　． 4.(2023·江西·中考真题)如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为　　　　　　　．     5.(2023·江西·中考真题)课本再现 思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，对角线，垂足为． 求证：是菱形．     （2）知识应用：如图，在中，对角线和相交于点，．     ①求证：是菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求的值． 6.(2022·江西·中考真题)正五边形的外角和等于　　　　　　　◦． 考点5圆（⊙O、圆心角、圆周角、垂径定理、切线、弧长、扇形面积、正多边形和圆） 1.(2023·江西·中考真题)如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（       ）     A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2.(2026·江西·中考真题)如图，为的直径，，，是上的点，四边形为菱形． （1）求的长； （2）延长到点，使得，求证：是的切线． 3.(2026·江西·中考真题)生活中的剪刀蕴含着数学知识．如图1是某剪刀，其结构主要包括剪刀、剪柄和指圈．当剪刀张角最大时，其理想化模型如图2，剪刀所在直线与指圈所在半圆相切．已知与相交于点，为半圆的直径，，，则此时张角的大小为　　　　　　　　　　　　　　． 4.(2025·江西·中考真题)如图，点A，B，C在上，，以，为边作． （1）当经过圆心O时（如图1），求的度数； （2）当与相切时（如图2），若的半径为6，求的长． 5.(2024·江西·中考真题)如图，是半圆O的直径，点D是弦延长线上一点，连接，． （1）求证：是半圆O的切线； （2）当时，求的长． 6.(2024·江西·中考真题)如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为　　　　　　． 7.(2023·江西·中考真题)如图，在中，，以为直径的与相交于点D，E为上一点，且．     （1）求的长； （2）若，求证：为的切线． 8.(2022·江西·中考真题)（1）课本再现：在中，是所对的圆心角，是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明； （2）知识应用：如图4，若的半径为2，分别与相切于点A，B，，求的长． 考点6尺规作图（无刻度直尺、保留作图痕迹） 1.(2026·江西·中考真题)如图，在的正方形网格中，的顶点，均在格点上，，，为的中位线． （1）请仅用无刻度直尺作的平分线，交于点；（保留作图痕迹） （2）若网格中小正方形的边长为1，则（1）中的长为______________． 2.(2025·江西·中考真题)如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作出的中点； （2）在图2中作出的重心． 3.(2024·江西·中考真题)如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） （1）如图，过点作的垂线； （2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 4.(2023·江西·中考真题)如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．     （1）在图1中作锐角，使点C在格点上； （2）在图2中的线段上作点Q，使最短． 5.(2022·江西·中考真题)如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作的角平分线； （2）在图2中过点作一条直线，使点，到直线的距离相等． 1.(2026·江西抚州·模拟)如图，直线，于点E．若，则的度数是（　　）         A.  B.  C.  D.  2.(2026·江西赣州·学业水平)下列多边形中，内角和为的是（        ） A.  B.  C.  D.  3.(2026·江西上饶余干·模拟)如图是一个正方体表面展开图，将它折叠成正方体后，与“5”所在的面相对的面是（        ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 4.(2026·江西·学业水平样卷)将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，已知，，，点在边上．若，则的度数是（   ） A.  B.  C.  D.  5.(2026·江西上饶余干·模拟)如图是某品牌商标抽象出来的几何图形，已知，，那么的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  6.(2026·江西赣州·学业水平)如图，直线与相交于点，，若，则的度数是　　　　　　　　　　　　　　　． 7.(2026·江西年江西上饶市铅山县名校联盟·模拟)计算与求角 （1）计算：． （2）如图，直线，F，G分别是，上的点，直线经过点F，若，，求的度数． 8.(2026·江西抚州·模拟)如图，在中，，点D是的中点，以A为圆心的圆过点D． （1）求证：与相切； （2）若，，求阴影部分的面积． 9.(2026·江西·学业水平样卷)已知点，，在上，以，为边作．请仅用无刻度直尺按要求作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，当经过圆心时，以为边作一个是轴对称图形的四边形； （2）如图2，当与相切时，在优弧\overset{\overparen}{BC}上取点，使是等腰三角形． 10.(2026·江西·学业水平样卷)按要求解答： （1）计算：． （2）如图，的对角线相交于点，，分别是，的中点．求证：四边形是平行四边形． 11.(2026·江西九江·模拟)日晷仪也称日晷，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，内圈被分为十二个全等的图形，分别标示着“十二地支”（如图）．通过测量得到晷面内圈的半径为．若晷针投影的长度不变，且都在晷面的内圈上，则晷针投影在晷面上从“巳”时开始到“申”时末结束（从旋转到）扫过的图形面积是　　　　　　　． 12.(2026·江西九江·模拟)小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是　　　　　　． 13.(2026·江西上饶余干·模拟)如图是一个正五边形及两条对角线，则　　　　　　　　　　　． 14.(2026·江西上饶余干·模拟)如图是的正方形网格，点M，N，P均在格点上，请仅用无刻度直尺画出符合要求的图形，保留必要的画图痕迹． （1）请在图1中画出过点P且与垂直的线段； （2）请在图2中画出点P关于的对称点Q． 15.(2026·江西上饶余干·模拟)如图，是的弦（非直径），点C是半径上的一个动点（不与线段两端点重合），过点C作的垂线，交于点D，交于点E，交的垂直平分线于点F，连接． （1）求证：是的切线； （2）若点E是的中点，且点C是的中点，，求的长． 16.(2026·江西上饶余干·模拟)如图，在矩形中，点为直线上任意一点，把沿折叠，点的对应点为点．若与矩形的边或的夹角为，则的度数可以是　　　　　　　　　　　　． 17.(2026·江西抚州·模拟)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目，大致意思是：有一竖立着的木杆，在木杆的上端系有绳索，绳索从木杆上端顺着木杆下垂后，堆在地面上的部分有3尺，牵着绳索头（绳索头与地面接触）退行，在离木杆底部8尺处时，绳索用尽．问绳索长为多少．绳索长为　　　　　　　尺． 18.(2026·江西抚州·模拟)数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形沿折叠，使点落在边的点处，其中，且，则矩形的面积为　　　　　　． 19.(2026·江西年江西上饶市铅山县名校联盟·模拟)如图，在中，，点O在边上，且，以O为圆心，长为半径的半圆，交于点D，交于点F，与相切于点E，连接，． （1）求证：． （2）若，求的长． 试卷第1页，共3页 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04图形的性质 5年真题1年模拟 考点分类 江西考情 命题规律 考点1几何图形初步（立体图形、几何体的展开图、直线、射线、线段、角） 2024江西(1题) ·情境设置：以正方形网格为载体，考查正方体展开图。 ·考查重点：空间想象能力，识别正方体表面展开图。 ·命题趋势：侧重操作性与空间观念，题型以选择题为主，难度基础。 考点2相交线与平行线 2026江西(1题)、2025江西(1题) ·情境设置：结合三角板、平行线或简单几何图形。 ·考查重点：平行线性质求角度，常与三角板、角平分线结合。 ·命题趋势：基础工具性考点，常融入计算或简单证明，难度较低。 考点3三角形（全等三角形、等腰三角形、直角三角形、勾股定理） 2026江西(1题)、2024江西(1题) ·情境设置：以旋转、实际模型或课本溯源为背景。 ·考查重点：特殊三角形性质、全等判定、勾股定理应用。 ·命题趋势：强化几何探究与建模能力，从单一证明转向过程性探究。 考点4多边形与（特殊）平行四边形 2026江西(1题)、2023江西(1题) ·情境设置：结合矩形动点、七巧板、旋转或课本判定定理。 ·考查重点：特殊四边形的性质与判定，多边形内角和。 ·命题趋势：侧重动态分析、综合运用及定理的逆向探究。 考点5圆（⊙O、圆心角、圆周角、垂径定理、切线、弧长、扇形面积、正多边形和圆） 2026江西(1题)、2024江西(1题) ·情境设置：以菱形、实际工具或动点问题为背景。 ·考查重点：圆周角定理、切线性质、弧长与扇形面积计算。 ·命题趋势：结合实际模型与分类讨论，强化圆中动态最值问题。 考点6尺规作图（无刻度直尺、保留作图痕迹） 2026江西(1题)、2025江西(1题) ·情境设置：以正方形网格或给定几何图形为载体。 ·考查重点：仅用无刻度直尺完成特定几何作图。 ·命题趋势：强调网格背景下作图原理与几何逻辑，创新性强。 考点1几何图形初步（立体图形、几何体的展开图、直线、射线、线段、角） 1.(2024·江西·中考真题)如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（       ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 [答案]B[详解]【分析】 此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的特点．依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：如图所示： 共有2种方法， 故选：B． 考点2相交线与平行线 1.(2026·江西·中考真题)如图，已知，，则的度数为（        ） A.  B.  C.  D.  [答案]D[详解]【分析】 根据邻补角求得，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】 解：如图， ∵， ∴ ∵ ∴ 2.(2025·江西·中考真题)（1）计算：； （2）如图，已知点C在上，，．求证：． [答案]（1）解： ； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴．[详解]【分析】 本题考查了平行线的判定和性质，零次幂以及绝对值和相反数的性质． （1）根据绝对值和相反数的性质，零次幂的性质化简，再计算即可求解； （2）根据平行线的性质求得，等量代换得到，再利用平行线的判定定理即可得到． 【详解】 略 考点3三角形（全等三角形、等腰三角形、直角三角形、勾股定理） 1.(2023·江西·中考真题)如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（       ）     A.  B.  C.  D.  [答案]C[详解]【分析】 根据题意可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】 解：依题意，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】 本题考查了直角三角形中两个锐角互余，入射角等于反射角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2.(2026·江西·中考真题)如图，在中，，，点P在的延长线上，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，． （1）求证：； （2）若，，求的长． [答案]（1）证明：绕点按逆时针方向旋转得到， ，． ， ． ， ， ．     （2）     [详解]【分析】 （1）根据旋转的性质可得，，结合已知可得，进而根据，证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）过点作，交的延长线于点，根据全等三角形的性质得出，进而得出，，解直角三角形求得，进而求得的长． (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 解：过点作，交的延长线于点． ，，， ，． ， ． ， ， ，． ， ． ． 3.(2025·江西·中考真题)图1是一种靠墙玻璃淋浴房，其俯视示意图如图2所示，AE与DE两处是墙，AB与CD两处是固定的玻璃隔板，BC处是门框，测得，，MN处是一扇推拉门，推动推拉门时，两端点M，N分别在BC，CD对应的轨道上滑动．当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合；当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，此时测得 （1）在推拉门从闭合到推至最大的过程中， ①的最小值为________度，最大值为________度； ②面积的变化情况是（     ） A．越来越大       B．越来越小       C．先增大后减小 （2）当时，求的面积． [答案]（1）①，；②C．     （2）     [详解]【分析】 （1）①根据临界点运用已知条件以及三角形内角和定理即可解答；②由由特殊情况分析：点与点重合时，；过没有点的限制，点与点重合时，；即可解答； （2）如图2，过N作延长线于G当时，，由勾股定理可得，再根据等腰直角三角形的性质可得，则；最后根据三角形的面积公式求解即可． (1)小问详解： 解：①当点N与点C重合时，推拉门与门框完全闭合，此时有最小值； 当点N滑动到限位点P处时，推拉门推至最大，，则此时有最大值． ∵，， ∴，即有最大值为． 故答案为：，． ②由特殊情况分析：点与点重合时，； 过没有点的限制，点与点重合时，； ∴面积的变化情况是先增大后减小． 故选：C． (2)小问详解： 解：如图2，过N作延长线于G 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平方米）． 【点睛】 本题主要考查了三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质，理解题意解题的关键． 4.(2024·江西·中考真题)追本溯源： 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由． 方法应用： （2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G． ①图中一定是等腰三角形的有（       ） A．3个　B．4个　C．5个　D．6个 ②已知，，求的长． [答案]（1）是等腰三角形；理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）①B；②．[详解]【分析】 本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键； （1）利用角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，推出，再等角对等边即可证明是等腰三角形； （2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性质可以得到四个等腰三角形； ②由①得，利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】 解：（1）略 （2）①∵中， ∴，， 同（1）， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴，，， 即、、、是等腰三角形；共有四个， 故选：B． ②∵中，，， ∴，， 由①得， ∴． 5.(2023·江西·中考真题)（1）计算： （2）如图，，平分．求证：．     [答案]（1）2； （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴．[详解]【分析】 （1）先计算立方根，特殊角三角函数值和零指数幂，再计算加减法即可； （2）先由角平分线的定义得到，再利用证明即可． 【详解】 解：（1）原式 ； （2）略 【点睛】 本题主要考查了实数的运算，零指数幂，特殊角三角函数值，全等三角形的判定，角平分线的定义等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 6.(2023·江西·中考真题)将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为　　　　　　　cm．     [答案][详解]【分析】 根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】 解：∵直尺的两边平行， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∵点，表示的刻度分别为， ∴， ∴ ∴线段的长为, 故答案为：． 【点睛】 本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键． 7.(2022·江西·中考真题)沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为　　　　　　　　　　． [答案][详解]【分析】 根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】 解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1， ∴根据勾股定理可知，长方形的对角线长：． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，七巧板，矩形的性质，勾股定理，解决本题的关键是所拼成的正方形的特点确定长方形的长与宽． 考点4多边形与（特殊）平行四边形 1.(2026·江西·中考真题)如图，在矩形中，，，是边上的动点，连接，过点作于点．当面积最大时，的长为　　　　　　　　　　　　　　　． [答案]1[详解]【分析】 根据题意得出在以为直径的上运动，进而可得当时，到的距离最大，此时面积最大，得出，结合题意得出是等腰直角三角形，求得，根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】 解：如图，设的中点为， ∵ ∴ ∴在以为直径的上运动 ∴当时，到的距离最大，此时面积最大， ∴ ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 2.(2025·江西·中考真题)如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为　　　　　　　　度． [答案]720[详解]【分析】 本题考查了多边形的内角和公式；根据n边形的内角和公式进行计算即可． 【详解】 解：根据图形知，空白部分为六多边形， 六边形的内角和为， 故答案为：720． 3.(2024·江西·中考真题)将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则　　　　　　． [答案][详解]【分析】 本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，如图，设等腰直角的直角边为，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性质是解题的关键． 【详解】 解：如图，设等腰直角的直角边为，则，小正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作的延长线于点，则，， 由图（）可得，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 4.(2023·江西·中考真题)如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为　　　　　　　．     [答案]或或[详解]【分析】 连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解． 【详解】 解：连接，取的中点，连接，如图所示，     ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴， 如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为，         当点在的延长线上时，如图所示，则     当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ 即是直角三角形，     综上所述，旋转角的度数为或或 故答案为：或或． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 5.(2023·江西·中考真题)课本再现 思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，对角线，垂足为． 求证：是菱形．     （2）知识应用：如图，在中，对角线和相交于点，．     ①求证：是菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求的值． [答案]（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴， 在中， ∴ ∴， 同理可得，则， 又∵ ∴ ∴四边形是菱形；     （2）①证明：∵四边形是平行四边形，． ∴ 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴四边形是菱形； ②     [详解]【分析】 （1）根据平行四边形的性质证明得出，同理可得，则，，进而根据四边相等的四边形是菱形，即可得证； （2）①勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，得出，即可得证； ②根据菱形的性质结合已知条件得出，则，过点作交于点，根据平行线分线段成比例求得，然后根据平行线分线段成比例即可求解． (1)小问详解： 略 (2)小问详解： ①略 ②∵四边形是菱形； ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图所示，过点作交于点，     ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 6.(2022·江西·中考真题)正五边形的外角和等于　　　　　　　◦． [答案]360[详解]【详解】 ∵任何n边形的外角和都等于360度 ∴正五边形的外角和也为360° 故答案为360 考点5圆（⊙O、圆心角、圆周角、垂径定理、切线、弧长、扇形面积、正多边形和圆） 1.(2023·江西·中考真题)如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（       ）     A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 [答案]D[详解]【分析】 根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解． 【详解】 解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：D． 【点睛】 本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键． 2.(2026·江西·中考真题)如图，为的直径，，，是上的点，四边形为菱形． （1）求的长； （2）延长到点，使得，求证：是的切线． [答案]（1）     （2）证明：如图2，连接． 由（1）可得，， ∴， ， 是等边三角形， ，． ， ， ． ， 又∵是的半径， 是的切线．     [详解]【分析】 （1）连接．首先，证得是等边三角形，得，，然后，求得，最后，再代入弧长公式计算即可； （2）连接．先证得是等边三角形，得，，再由，得，进而得，，即可证得结论． (1)小问详解： 解：如图1，连接． ∵四边形为菱形， ，． 又， 是等边三角形． ， ． ∵， ， 的长为； (2)小问详解： 略 3.(2026·江西·中考真题)生活中的剪刀蕴含着数学知识．如图1是某剪刀，其结构主要包括剪刀、剪柄和指圈．当剪刀张角最大时，其理想化模型如图2，剪刀所在直线与指圈所在半圆相切．已知与相交于点，为半圆的直径，，，则此时张角的大小为　　　　　　　　　　　　　　． [答案][详解]【分析】 设右半圆的圆心为，与相切于点，连接，分别求得，根据，得出，进而根据邻补角的定义，即可求解． 【详解】 解：如图，设右半圆的圆心为，与相切于点，连接， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 4.(2025·江西·中考真题)如图，点A，B，C在上，，以，为边作． （1）当经过圆心O时（如图1），求的度数； （2）当与相切时（如图2），若的半径为6，求的长． [答案]（1）     （2）     [详解]【分析】 （1）先根据直径所对的圆周角为直角，得出，再求出，再根据平行四边形的性质得出； （2）连接、，根据切线性质得出，证明，得出， 说明垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形性质得出，根据圆周角定理得出，最后根据弧长公式求出结果即可． (1)小问详解： 解：∵经过圆心O， ∴为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴； (2)小问详解： 解：连接、，如图所示： ∵与相切， ∴， ∴， ∵在中， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了切线的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 5.(2024·江西·中考真题)如图，是半圆O的直径，点D是弦延长线上一点，连接，． （1）求证：是半圆O的切线； （2）当时，求的长． [答案]（1） 证明：是半圆O的直径， ， ， ， ， 是半圆O的切线；     （2）     [详解]【分析】 本题考查了直径所对的圆周角为直角，等边三角形的判定和性质，弧长公式，熟知相关性质和计算公式是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角为直角结合已知条件，可得，即可得，进而可证得结论； （2）连接，证明为等边三角形，求得，利用弧长公式即可解答． (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 解：如图，连接， ， 为等边三角形， ，， ， \thereforel_{\overset{\overparen}{AC}}=\frac{120}{360}\times2\pi\times3=2\pi． 6.(2024·江西·中考真题)如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为　　　　　　． [答案]或或2[详解]【分析】 本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】 解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， 将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故答案为：或或2． 7.(2023·江西·中考真题)如图，在中，，以为直径的与相交于点D，E为上一点，且．     （1）求的长； （2）若，求证：为的切线． [答案]（1）     （2）证明：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线．             [详解]【分析】 （1）如图所示，连接，先求出，再由圆周角定理得到，进而求出，再根据弧长公式进行求解即可； （2）如图所示，连接，先由三角形内角和定理得到，则由圆周角定理可得，再由是的直径，得到，进而求出，进一步推出，由此即可证明是的切线． (1)小问详解： 解：如图所示，连接， ∵是的直径，且， ∴， ∵E为上一点，且， ∴， ∴， ∴的长；     (2)小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了切线的判定，求弧长，圆周角定理，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线是解题的关键 ． 8.(2022·江西·中考真题)（1）课本再现：在中，是所对的圆心角，是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明； （2）知识应用：如图4，若的半径为2，分别与相切于点A，B，，求的长． [答案]（1）见解析；（2）[详解]【分析】 （1）①如图2，当点O在∠ACB的内部，作直径，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得结论；②如图3，当O在∠ACB的外部时，作直径CD，同理可理结论； （2）如图4，先根据（1）中的结论可得∠AOB=120°，由切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，可得∠OPA=30°，从而得PA的长． 【详解】 解：（1）①如图2，连接CO，并延长CO交⊙O于点D， ∵OA=OC=OB， ∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO， ∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO， ∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB， ∴∠ACB=∠AOB； 如图3，连接CO，并延长CO交⊙O于点D， ∵OA=OC=OB， ∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO， ∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO， ∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO=2∠ACB， ∴∠ACB=∠AOB； （2）如图4，连接OA，OB，OP， ∵∠C=60°， ∴∠AOB=2∠C=120°， ∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B， ∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=∠APB=（180°-120°）=30°， ∵OA=2， ∴OP=2OA=4， ∴PA= 【点睛】 本题考查了切线长定理，圆周角定理等知识，掌握证明圆周角定理的方法是解本题的关键． 考点6尺规作图（无刻度直尺、保留作图痕迹） 1.(2026·江西·中考真题)如图，在的正方形网格中，的顶点，均在格点上，，，为的中位线． （1）请仅用无刻度直尺作的平分线，交于点；（保留作图痕迹） （2）若网格中小正方形的边长为1，则（1）中的长为______________． [答案]（1）如图，即为所求；      （2）     [详解]【分析】 （1）由题意分别求出的长度，取格点P，由题意可知，，则有，再利用得到则可证，则可知即为所求角平分线； （2）取格点H，则有，，由（1）可知，利用锐角三角形函数求的长即可． (1)小问详解： 解：取与网格交点P，连接并延长交于点Q，即为所求； 由网格可知，， ∵，， ∴， ∵为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则即为所求； (2)小问详解： 解：取格点H，由网格可知， ，， ∵，， ∴ ∴ ∴． 2.(2025·江西·中考真题)如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作出的中点； （2）在图2中作出的重心． [答案]（1） 如图，点即为所作； ；     （2） 如图，点即为所作； ．     [详解]【分析】 本题考查作图-应用与设计，矩形的性质，以及三角形重心的定义． （1）利用矩形的性质即可作出的中点； （2）根据的重心就是三边中线的交点，即可作出图形． (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 略 3.(2024·江西·中考真题)如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） （1）如图，过点作的垂线； （2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线． [答案]（1） 即为所求；      （2） 即为所求．      [详解]【分析】 （）作直线，由菱形的性质可得，即为的垂线； （）连接并延长，与的延长线相交于点，作直线，因为点为线段的中点，所以，因为，所以，，故可得，得到，所以四边形为平行四边形，即； 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，掌握菱形的性质及平行四边形的判定方法是解题的关键． (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 略 4.(2023·江西·中考真题)如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．     （1）在图1中作锐角，使点C在格点上； （2）在图2中的线段上作点Q，使最短． [答案]（1） 如图，即为所求作的三角形；         （2） 如图，即为所求作的点；         [详解]【分析】 （1）如图，取格点，使，在的左上方的格点满足条件，再画三角形即可； （2）利用小正方形的性质取格点，连接交于，从而可得答案． (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 略 【点睛】 本题考查的是复杂作图，同时考查了三角形的外角的性质，正方形的性质，垂线段最短，熟记基本几何图形的性质再灵活应用是解本题的关键． 5.(2022·江西·中考真题)如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中作的角平分线； （2）在图2中过点作一条直线，使点，到直线的距离相等． [答案]（1） 射线即为所作；      （2） 直线即为所作．      [详解]【分析】 （1）连接，，与交于点，作射线即可； （2）取格点，过点和点作直线即可． (1)小问详解： 解：如图1，连接、，与交于点，设小正方形的边长为1个单位， ∵线段和是矩形的两条对角线且交于点， ∴， 又∵，， ∴， ∴平分， (2)小问详解： 如图2，连接、、、，直线经过点和点，设小正方形的边长为1个单位， ∴，， ，， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵，，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，，且， 【点睛】 本题考查作图一应用与设计作图，考查了等腰三角形三线合一的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，勾股定理等知识．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 1.(2026·江西抚州·模拟)如图，直线，于点E．若，则的度数是（　　）         A.  B.  C.  D.  [答案]B[详解]【分析】 延长，与交于点，根据平行线的性质，求出的度数，再直角三角形的两锐角互余即可求出． 【详解】 解：延长，与交于点，     ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】 本题考查平行线的性质和直角三角形的性质，正确作出辅助线和正确利用平行线的性质是解题的关键． 2.(2026·江西赣州·学业水平)下列多边形中，内角和为的是（        ） A.  B.  C.  D.  [答案]C[详解]【分析】 设多边形的边数为n，列方程式即可得出答案． 【详解】 解：设多边形的边数为n，则： 解得：． 即该多边形是八边形，故选项C符合题意． 3.(2026·江西上饶余干·模拟)如图是一个正方体表面展开图，将它折叠成正方体后，与“5”所在的面相对的面是（        ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 6 [答案]B[详解]【分析】 根据正方体的表面展开图找出相对面即可解答． 【详解】 解：利用正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，可得与“5”面相对的面的数字是“3”． 4.(2026·江西·学业水平样卷)将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，已知，，，点在边上．若，则的度数是（   ） A.  B.  C.  D.  [答案]C[详解]【分析】 根据题意得，，由三角形的外角性质得，可得，根据邻补角的定义可得的度数． 【详解】 解：∴，，， ∴，， 又，， ∴， ∴， ∴． 5.(2026·江西上饶余干·模拟)如图是某品牌商标抽象出来的几何图形，已知，，那么的度数为（       ） A.  B.  C.  D.  [答案]A[详解]【分析】 连接，，利用四边形的内角和得到，再细分成，再由三角形内角和得到，，代入运算即可． 【详解】 解：连接，如图所示： ∵四边形内角和为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴整理可得：． 6.(2026·江西赣州·学业水平)如图，直线与相交于点，，若，则的度数是　　　　　　　　　　　　　　　． [答案][详解]【分析】 根据邻补角得定义求出，再根据两直线平行，同位角相等可得． 【详解】 解：，， ， ， ． 7.(2026·江西年江西上饶市铅山县名校联盟·模拟)计算与求角 （1）计算：． （2）如图，直线，F，G分别是，上的点，直线经过点F，若，，求的度数． [答案]（1）     （2）     [详解]【分析】 （1）先计算零次幂，绝对值，锐角三角函数，再进行计算即可； （2）由，，可求，再由平行线的性质即可求解题目． (1)小问详解： 解： ； (2)小问详解： 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 8.(2026·江西抚州·模拟)如图，在中，，点D是的中点，以A为圆心的圆过点D． （1）求证：与相切； （2）若，，求阴影部分的面积． [答案]（1） 证明：∵，点D是的中点 ∴ ∵以点A为圆心，且过点D ∴是的半径 ∴与相切；     （2）     [详解]【分析】 （1）推导出，是的半径，则与相切，即可解答； （2）先求出，，得到，继而推导出，，再根据，即可解答 (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 解：在中，， ∴ ∴，， ∴， ∵点D是的中点 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ 答：阴影部分的面积为． 9.(2026·江西·学业水平样卷)已知点，，在上，以，为边作．请仅用无刻度直尺按要求作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，当经过圆心时，以为边作一个是轴对称图形的四边形； （2）如图2，当与相切时，在优弧\overset{\overparen}{BC}上取点，使是等腰三角形． [答案]（1）见解析     （2）见解析     [详解]【分析】 （1）若连接，结合平行线以及等腰三角形的性质可得，则，那么可得四边形是等腰梯形，故符合题意； （2）由圆的切线的性质以及平行四边形的对边平行可得，那么由垂径定理的推论可得\overset{\overparen}{BM}=\overset{\overparen}{CM}，则． (1)小问详解： 解：如图1，四边形即为所求； (2)小问详解： 解：如图2，点即为所求． 10.(2026·江西·学业水平样卷)按要求解答： （1）计算：． （2）如图，的对角线相交于点，，分别是，的中点．求证：四边形是平行四边形． [答案]（1）     （2）见解析     [详解]【分析】 （1）首先计算乘方，再根据求绝对值法则去掉式子中的绝对值，最后进行加减运算； （2）利用“平行四边形的对角线互相平分”这一性质，结合中点条件，证明新四边形  ，证明其对角线互相平分，从而完成证明． (1)小问详解： 解：原式 ． (2)小问详解： 证明：四边形是平行四边形， ，， 又分别是，的中点， ，， ， ∴四边形是平行四边形． 11.(2026·江西九江·模拟)日晷仪也称日晷，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，内圈被分为十二个全等的图形，分别标示着“十二地支”（如图）．通过测量得到晷面内圈的半径为．若晷针投影的长度不变，且都在晷面的内圈上，则晷针投影在晷面上从“巳”时开始到“申”时末结束（从旋转到）扫过的图形面积是　　　　　　　． [答案][详解]【分析】 根据题意得出，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】 解：内圈被分为十二个全等的图形， 每个图形对应的圆心角为， 从“巳”时到“申”时包含个图形， ， 扫过的图形面积是． 12.(2026·江西九江·模拟)小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，点、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则的长度是　　　　　　． [答案][详解]【分析】 本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，过作于，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，得到，由平行线的性质推出，得到，因此，由，即可得到的长度是． 【详解】 解：过作于， 由题意得：，，， 平分， ， ∵， ， ， ， 、在这把直尺上的刻度读数分别是2、5， ， 的长度是． 故答案为：． 13.(2026·江西上饶余干·模拟)如图是一个正五边形及两条对角线，则　　　　　　　　　　　． [答案][详解]【分析】 本题考查了多边形的内角和定理，等腰三角形性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，掌握各知识点是解题的关键． 根据多边形的内角和定理及正多边形的性质即可求得，由等腰三角形性质得，再由三角形外角性质即得结果． 【详解】 解：设正五边形为，与相交于点F， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 14.(2026·江西上饶余干·模拟)如图是的正方形网格，点M，N，P均在格点上，请仅用无刻度直尺画出符合要求的图形，保留必要的画图痕迹． （1）请在图1中画出过点P且与垂直的线段； （2）请在图2中画出点P关于的对称点Q． [答案]（1） 如图，线段即为所求； ；     （2） 如图，点Q即为所求； ．     [详解]【分析】 本题考查作图-应用与设计作图，平移的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）取格点，连接即可，由可证明，推出，再利用等角的余角相等即可得到； （2）将线段向下平移2个单位，再向右平移1个单位，得到，则点是线段的中点，结合（1）的作图，则，利用平行线分线段成比例即可求解． (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 略 15.(2026·江西上饶余干·模拟)如图，是的弦（非直径），点C是半径上的一个动点（不与线段两端点重合），过点C作的垂线，交于点D，交于点E，交的垂直平分线于点F，连接． （1）求证：是的切线； （2）若点E是的中点，且点C是的中点，，求的长． [答案]（1） 证明：如图1，连接，则． ∵垂直平分， ∴ ∴． ∵ ∴， ∵， ∴ ∴，即． ∵是的半径， ∴是的切线．     （2）     [详解]【分析】 此题考查了切线的判定、垂径定理、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握切线的判定、垂径定理是关键． （1）连接，证明．即可证明结论成立； （2）连接，交于点H．证明，，得到，在中，，根据含角的直角三角形的性质即可得到答案． (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 如图2，连接，交于点H． ∵点E是的中点， ∴垂直平分， ∵垂直平分， ∴， ∵点C是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 16.(2026·江西上饶余干·模拟)如图，在矩形中，点为直线上任意一点，把沿折叠，点的对应点为点．若与矩形的边或的夹角为，则的度数可以是　　　　　　　　　　　　． [答案]或或[详解]【分析】 分类讨论，画出图形，利用矩形和折叠的性质求解即可． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠可得，， 当在点左侧时，， ∴， ∵ ∴； 当在点右侧时，， 同理可得； 当在点右侧时，， ∴， ∴； 当在点右侧时， ∴ ∴ ∴， 综上：的度数可以是或或． 17.(2026·江西抚州·模拟)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目，大致意思是：有一竖立着的木杆，在木杆的上端系有绳索，绳索从木杆上端顺着木杆下垂后，堆在地面上的部分有3尺，牵着绳索头（绳索头与地面接触）退行，在离木杆底部8尺处时，绳索用尽．问绳索长为多少．绳索长为　　　　　　　尺． [答案][详解]【分析】 设绳索的长为x尺，则木柱的长为尺，在中，根据勾股定理即可列出方程解答即可． 【详解】 解：设绳索的长为x尺，则木柱的长为尺， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 答：绳索长为尺． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了勾股定理的应用，熟记直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 18.(2026·江西抚州·模拟)数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形沿折叠，使点落在边的点处，其中，且，则矩形的面积为　　　　　　． [答案]80[详解]【分析】 首先根据折叠的性质得到，然后根据同角的余角相等得到，进而得到，设，，则，，进而求出，，最后利用矩形面积公式求解即可． 【详解】 解：∵矩形沿折叠，使点C落在边的点F处， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，，则，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， 解得：，负值舍去， ∴，， ∴矩形的面积． 故答案为：80 19.(2026·江西年江西上饶市铅山县名校联盟·模拟)如图，在中，，点O在边上，且，以O为圆心，长为半径的半圆，交于点D，交于点F，与相切于点E，连接，． （1）求证：． （2）若，求的长． [答案]（1）证明：， ， ∵， ， ， ；     （2）     [详解]【分析】 （1）根据等腰三角形的性质得到，，得到，证明； （2）可证明为等边三角形，则，由切于知，则可求，又已知，利用弧长公式可解题目． (1)小问详解： 略 (2)小问详解： 解：，， ∴， 为等边三角形， ， ∵切于， ∴， ∴， ∵， ∴l_{\overset{\overparen}{EF}}=\frac{30\times\pi\times2}{180}=\frac{\pi}{3}． 试卷第1页，共3页 2 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $