专题04一次函数、反比例函数、二次函数（1年汇编）（四川专用）2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦2026年四川中考函数专题，汇编成都、南充等多地真题，融合本土素材与跨学科情境，梯度覆盖基础到压轴题。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|基础题为主|平面直角坐标系、函数概念|象限坐标、自变量取值范围，新增容器注水图像分析| |解答题|中档+压轴|一次函数应用、反比例综合、二次函数压轴|一次函数结合猕猴桃销售计算，反比例函数与压强情境及k几何面积，二次函数与特殊三角形存在性探究|

函学科网 www.zxxk.com 专题04一次函数、反比例函数、 1年真题1年模拟答案版 一年真题分类园 考点01平面直角坐标系、函数基础知识 1.A 2.D 3.C 4.D 5.A 6.D 7.B 8.C 9.x≥5 10,四的函数表达式为：=30+80.的西数表达式为：=50 (2)乙能比甲先到达景点4 11.(1)小明 ②的至数解析式为'0，的函数解折式为了=40r+120 (3)解：小聪能在到达观景台3前追上小明，计算说明如下： 令70x=40x+1200,解得x=40 在y=70x中，当x=40时，y=2800, .小聪追上小明时所走的路程为2800m, .:2800<1200+1800=3000 ∴.小聪能在到达观景台3前追上小明. 1/12 让教与学更高效 二次函数 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 考点02一次函数 1.-2 34 2.2: 4或3 3.322元 4.(1)A地收到250吨物资，B地收到150吨物资. (2)从A地运往C地30吨，运往D地220吨，从B地运往C地150吨，运往D地0吨时，总运费最少，最 少费用为6650元. 5.(1)购进中果礼盒每件30元，大果礼盒每件50元. (2)购进中果礼盒67件，大果礼盒33件时可获得最大利润，最大利润为2330元. 6.(1)y=20x+4000(60≤x≤100，x为整数)： (2)共有6种进货方案，分别是①购进甲种衬衣60件，乙种衬衣40件：②购进甲种衬衣61件，乙种衬衣 39 ⊙ 62 38 (4 63 37 ⑤ 件； 购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件； 购进甲种衬 衣64件，乙种衬衣36件；⑥购进甲种衬衣65件，乙种衬衣35件： (3)a=10 7.(1)每条加工线每月可加工皮蛋3万枚，可加工咸蛋2万枚 (2)共有3种安排加工线的方案 (3)安排3条加工线加工皮蛋，6条加工线加工咸蛋时可获得最大利润，最大利润为19.8万元 考点03反比例函数 1.D 2.D 3.C 4.B 5.D 6.-4 2/12 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 7.18 8.50 10.0=24 2D0,2) 11.(0①0a=2,b=2:少、2 3 (2)2 12,四次函数和反比例函数的表达式分别为y=x+3,y-是 Q 13.(1)y=x e(0,4) 4,)一次函数解析式为"=2-3，反比例函数解析式为y=8 2 2(2,4) 15.a)y=8 、(6,3) 2 16.(1)a=2,b=1 2E(1,4) 17.0y=-2x+4:y=-6 3/12 函学科网 a8: 3)①当x>0时，y随x增大而减小 ②当x<0时y随x增大而减小 18.)AB=2V5 e点的华标为5)安引 FG 3 3)是定值， GC2 19.(1)陌生；友好 9 ②)x<-3或0<x<1:2 (3)45 考点04二次函数 1.B 2.A 3.B 4.C 5.B 6.A 7.1或3 83V2 ，5含6 10.a0) (2)6≤a≤12 11.(1)每月产量的增长率为20% (2)应降价9元，最大利润为2205元. www.zxxk.com 让教与学更高效 4/12 品学科网 www.zxxk.com 12.0)少=-2-x+2 (21 6104 9 3)存在， 7’49 134y=x23 2x+65 20E(6,25),②35-3 14.四y2+x+4 (2)3秒 5 57 3)当=2时，四边形PCQB的面积最大，最大面积为4 m=0 15.(1)n=6: ②0线段0C长度的最小值为：②= 2+ 16,)4(-L,0)B30) (2)①定点 F(1,0) 如图，设直线I与x轴交于点F,过点A作AG⊥DE,过点B作BH⊥DE F1,0/ B ∴.∠AGF=∠BHF=90° 又，A、B两点到直线的距离相等， ..AG=BH 5/12 让教与学更高效 垂足分别为G、H, 函学科网 www.zxxk.com 又，∠AFG=∠BFH, 、△AGF≌△BHF(AAS) .AF=BF, 即：点F为AB中点. ·1(-10)）B3,0) AB中点 (1,0) 即直线过定点 F(1,0) ②直线'过定点亿-列 17.)'=-x-2 (2)△ABD是等腰直角三角形，理由如下： -11 对于抛物线y=r-x-2,对称轴为直线x=2x2, 设直线BC:y=Px+9,代入点 B(2,0)C(0,-2) [2p+q=0 ∴9=-2 p=1 解得9=-2 .直线BC:y=x-2 将x=代入y=x-2,得y方2=多 2引 2-=.40-G-可5.0- 6/12 让教与学更高效 o+ 品学科网 .'AD BD ..AD+BD2= .'AD2+BD2=AB2 .∠ADB=90° “.△ADB为等腰直角三角形： 36V2-36 (3)5 18.)少-x2+2x+3 Pg》 57\ 3)2’4或(4，-5) 19.=+ t+2 4v5 (2)5 3)-2或2 20.a0y=2x++2 4 aE(2,5) 3)2 21.1)k=1,点B的坐标为 2,4) ②)h的取值范围是h≤2 3)点E的坐标为 V2,0).k=22 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB2=9 7/12 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 2.)少=x2+2x-3 75 2)四边形ABCD面积的最大值为8；点D的坐标为2，-4 16 3)是定值，定值为 23.(1)y= 2+x+4: 20P24):②6 )存在，Q的坐标为3+2N5,2+V).(3-25,2-V5) 24.(1)m=3y=-x2+2x+3 a 3)存在， d2号c-2.c-22.q2 考点05函数与方程、不等式 1.B 2.D 3.B 4.D 5.c 6.C 7@y2,s(9-) (2)-9<x<0或x>1 6)当1DP为直角三角形时，点P的坐标为L0)或10,0) 8/12 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 8.(1)y=2x+6 (2)-4≤x<0或x≥1 3)24 9.四0=x’3， ②)x<-6或0<x<3: 33 6)点P的坐标为2'2月 10,Q反比例函数的表达式为y=2 3 :一次函数的表达式为y=2x+3 (2)-4≤x<0或x22 1.(0y=-2x-4:为=-6 (2)x<-3或0<x<1 15 3)2 12.1)t=-1 9 (②)MN的最大值为4 3)t<-2或1>了 13.a)=x2-2x+1 5 (2)g )l<m<5 “一年模拟练测园 9/12 函学科网 www.zxxk.com 1.A 2.A 3.D 4.D 5.B 6.c 7.A 8.LiOH 9.二 10.1(答案不唯一) 11.9 12.2 13.2 2品2 14.-22 15.3<m<4或m>6 16.Q)=-10x+800(40≤r≤50，销售单价每提高1元，每月销量减少 (2)售价定为56元时，每月毛利最大，最大毛利为38400元 17.(1)托盘天平的单价是60元，铁架台的单价是40元 (2)安排采购10套托盘天平，20套铁架台，最低采购总费用1400元 18.1)172 (2)①w=62a+11000:②采购方案为购买杨树33棵，冷杉67棵时，吸收的 x,=x-2 3 19.1)y= 4 (2)5或6 20.1)y=-6 2+2 (2)4 10/12 让教与学更高效 100双 二氧化碳总量最大， 品学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 3+V41 0 0.3-4 3) 2或 2 1 21.Q)直线AB的表达式为y=2X:k=2 (2)5或9 B)存在，点p的坐标为 2 111 22.1)-4 a-2段6引 2.0=3x-3,=18 (2)15 6万+l,-37-3）或万+l3万-3）或6，-36)或6,36) 24.1)a=-2.B(1,0) ②反比例函数的解析式为少-10。 或6 6)的值为ī-1欧32i-1 或 25.1)k=-3,b=-2,n=1 ②P(-1,3)或P3-25,25-3) 8PR2引成P-25.3+2 26.)少=-x2-2x+3 11/12 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 NG 49 -11-5V7 M ②)①存在，G0最大值为48：②”( 0 9 123 27.y=2+x+2 2 313 ②)P(2,3),PM+BN的最小值为2 3)点卫的坐标为-5,2)或3-2√3，-1-V3) 12/12 专题04一次函数、反比例函数、二次函数 1年真题1年模拟 考点分类 四川考情（2026） 命题规律 考点01平面直角坐标系、函数基础知识 2026年巴中、内江、遂宁、甘孜、达州、广安、攀枝花、自贡、泸州、成都中考真题 侧重象限坐标特征、自变量取值范围；新增容器注水、行程、几何面积类图像分析题，结合物理密度、几何动点情境；以折线函数图像判断变化趋势，是函数入门基础送分小题，侧重数形识图能力。 考点02一次函数 2026年成都、南充、广安、广元、内江、攀枝花中考真题 固定结合四川猕猴桃、鸭蛋加工、救灾物资运输本土素材；题型分三类：含参数增减性小题、分段销售计算、二元方程组结合一次函数利润方案；核心考查建立函数模型、不等式限定取值求最值，为专题核心中档题型。 考点03反比例函数 2026年南充、巴中、自贡、宜宾、广元、攀枝花、内江、泸州、乐山、甘孜、凉山、成都、广安、达州中考真题 依托压强、车速等理化情境，必考k几何面积；高频搭配一次函数交点、图形旋转、平移、最短路径综合；创新定义“陌生/友好函数”，结合判别式、等腰三角形分类讨论，几何跨模块综合度显著提升。 考点04二次函数 2026年甘孜、广元、宜宾、巴中、乐山、南充、内江、攀枝花、眉山、自贡、凉山、遂宁、广安、达州、成都中考真题 基础题考查开口、对称轴、平移、顶点最值；解答压轴融合面积最值、特殊三角形存在性、线段最短、定点定值探究；结合产量增长率销售利润实际应用，多小问梯度设问，是试卷核心区分压轴。 考点05函数与方程、不等式 2026年内江、凉山、眉山、遂宁、达州、成都、巴中、自贡、南充、泸州中考真题 借助函数图像直接求解不等式解集、判断方程根情况；结合二次函数表格、图像判断多结论正误；联动一次与反比例函数图像，搭配平移、直角三角形动点设问，强化数形结合思想考查。 考点01 平面直角坐标系、函数基础知识 1．（2026·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·四川内江·中考真题）下列实数中，能使函数有意义的的值是（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 3．（2026·四川遂宁·中考真题）已知点是第三象限内一点，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·四川甘孜·中考真题）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随着时间的变化规律如图所示（图中为一折线）．这个容器的形状可能是下图中（    ） A． B． C． D． 5．（2026·四川达州·中考真题）为比较两种物质的密度，物理兴趣小组选取甲、乙两种物体进行实验探究，得到了甲、乙两种物质的图象，如图（，m表示质量，表示密度，V表示体积），下列说法正确的是（     ） A．当甲乙体积相等时，甲的质量是乙的质量的2倍 B．当乙的质量为时，体积为 C．甲物质的密度小于乙物质的密度 D．甲物质的密度等于乙物质的密度 6．（2026·四川广安·中考真题）小明家，蛋糕店，姥姥家依次在同一直线上．为庆祝姥姥生日，小明从家去蛋糕店买蛋糕，接着去姥姥家．下图反映了在这个过程中，小明离家的距离与时间之间的对应关系．下列说法错误的是（     ） A．小明家离蛋糕店 B．小明买蛋糕用了 C．小明从蛋糕店到姥姥家的平均速度为 D．小明从家到蛋糕店的平均速度小于从蛋糕店到姥姥家的平均速度 7．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，正三角形的边长为4，D是边上的一点，过D作边的垂线，交于G，用x表示线段的长度．显然，的面积y是x的函数，则该函数的大致图象为（） A． B． C． D． 8．（2026·四川自贡·中考真题）如图1，在四边形中，ABCD，，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动，到达点后停止运动；同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，当点停止运动时点也随之停止运动，过点作于点．设运动时间为秒，，关于的函数图象如图2所示，则的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 9．（2026·四川泸州·中考真题）函数的自变量的取值范围是____________． 10．（2026·四川成都·中考真题）成都，一座雪山下的公园城市．全市超1500个公园已成为市民游憩、娱乐的优质生态空间．图1是成都某公园的游览路线示意图，甲、乙两人约定的游览路线为：景点1→景点2→景点3→景点4→景点5，甲先出发，乙出发时甲正好游览到景点2，于是乙沿着游览路线追赶甲．图2中分别表示甲、乙两人离开景点1的路程s（单位：m）与追赶时间t（单位：min）之间的关系，假设两人均保持现有的速度． (1)直接写出的函数表达式； (2)如图1，景点3到景点4有两条道路，甲到达景点3后，沿远路前往景点4，乙到达景点3后，沿近路前往景点4．问乙能比甲先到达景点4吗？请说明理由． 11．（2026·四川甘孜·中考真题）图1是某景区的一段游览路线示意图．小聪在观景台1联系小明，发现小明在观景台2，于是沿着游览路线追赶小明．图2中，，分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系． (1)表示 （“小聪”或“小明”）到观景台1的路程与追赶时间之间的关系； (2)分别求出，的函数解析式； (3)若两人的速度保持不变，小聪能否在到达观景台3前追上小明？请通过计算说明． 考点02 一次函数 1．（2026·四川内江·中考真题）若关于 的方程 的解是负数，且一次函数 中，函数值 随 的增大而减小，则所有满足条件的整数 的值之和是______． 2．（2026·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，设，记，例如，若，则．若点N满足，则所有N点组成的图形面积为_____；已知A是直线（）上一点且位于第一象限，，点P在上，点Q满足，当点P从点O运动到点A时，Q点运动所覆盖的区域面积为，则_____． 3．（2026·四川攀枝花·中考真题）某中学在劳动实践基地开辟了“青春农场”，将土地划分给各班负责．初二（3）班的同学在责任田里种植了有机蔬菜，经过几个月的精心照料，终于迎来了丰收．同学们决定将采摘的新鲜蔬菜拿到学校附近的周末集市销售．卖菜所得款项按每千克0.8元留作下一季的种植基金，余下的捐给福利院．在集市上销售了部分蔬菜后，剩下的每千克降价0.5元，全部售完．销售额与销量之间的关系如图所示，那么该班级本次共捐给福利院多少元？ 4．（2026·四川广安·中考真题）某市发生洪灾，各地发扬“一方有难，八方支援”的精神，现A，B两地收到社会各界人士所捐物资共400吨．据统计，A地收到物资吨数的3倍与地收到物资吨数的5倍相等．现要把这批物资全部运往受灾的C，D两地．从A地运往C，D两地的费用分别为15元/吨和20元/吨；从B地运往C，D两地的费用分别为12元/吨和18元/吨；现C地需物资180吨，D地需物资220吨． (1)分别求出A，两地各收到多少吨物资； (2)请你帮运输公司设计一种总运费最少的方案，并求出最少费用． 5．（2026·四川广元·中考真题）苍溪红心猕猴桃是广元特色农产品，国家地理标志产品．某电商基地分装销售中果和大果两种猕猴桃礼盒，若购进3件中果礼盒和2件大果礼盒需190元，购进2件中果礼盒和4件大果礼盒需260元． (1)求购进中果礼盒、大果礼盒每件的价格； (2)根据市场需求，该电商基地计划购进这两种礼盒共100件进行销售，中果礼盒每件售价50元，大果礼盒每件售价80元，且中果礼盒件数不少于大果礼盒件数的2倍．求怎样进货才能使利润最大，最大利润是多少？ 6．（2026·四川内江·中考真题）某商场准备购进甲、乙两种衬衣进行销售．甲种衬衣每件进价元，售价元；乙种衬衣每件进价元，售价元．现计划购进两种衬衣共件，其中甲种衬衣不少于件．设购进甲种衬衣件，两种衬衣全部售完，商场可获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若商场购进这件衬衣的总费用不超过元，求有哪几种进货方案？ (3)在的条件下，商场准备对甲种衬衣进行优惠促销活动，决定对甲种衬衣每件降价元（）出售，乙种衬衣售价不变，若最大利润为元，求的值． 7．（2026·四川南充·中考真题）在综合与实践课程中，学校数学兴趣小组调查了乡村食品加工情况，得到下列信息． 背景 某乡水资源丰富，村民喜欢养鸭，但面临鸭蛋滞销的困境．为了提高村民养鸭的积极性，乡政府招商引资创办了一个鸭蛋加工厂，为村民致富提供便利，鸭蛋加工厂共有9条加工线，将鸭蛋加工成皮蛋或咸蛋．（温馨提示：一枚鸭蛋可加工成一枚皮蛋或咸蛋） 素材一 若3条加工线加工皮蛋和1条加工线加工咸蛋，则每月可加工11万枚； 若2条加工线加工皮蛋和3条加工线加工咸蛋，则每月可加工12万枚． 素材二 现收购了30万枚鸭蛋，计划在一月内用9条加工线加工成皮蛋或咸蛋；经过市场调研，加工成咸蛋的数量不低于皮蛋数量的一半； 加工厂安排皮蛋加工线不低于3条； 一月内未能加工完的鸭蛋另作处理． 素材三 每万枚皮蛋可获利0.7万元，每万枚咸蛋可获利1.2万元； 一个月内未能加工的鸭蛋，按每万枚亏本0.1万元处理． 根据以上信息，完成下列任务： (1)【任务一】该加工厂每条加工线每月分别可加工皮蛋或咸蛋多少万枚？ (2)【任务二】工厂有几种安排加工线的方案？ (3)【任务三】如何安排加工线方案，可获得最大利润，并求出最大利润． 考点03 反比例函数 1．（2026·四川南充·中考真题）反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川巴中·中考真题）函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·四川自贡·中考真题）科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p（单位：）与受力面积S（单位：）存在函数关系．下表是他们实验的几组数据： （单位：） 1 2 4 8 （单位：） 80 40 20 10 则压强（）与受力面积（）之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，一条直线与反比例函数的图象交于A、两点，分别与轴、轴交于C、两点．若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·四川广元·中考真题）根据压强公式，当压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）成反比例关系．若某物体受力面积增加，则受到的压强比原来减少．设该物体原受力面积为，压力为定值，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 7．（2026·四川内江·中考真题）如图，将反比例函数（，）的图象绕点 顺时针旋转，旋转后的图象与 轴交于点，则_________． 8．（2026·四川成都·中考真题）人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单位：）与车速v（单位：）之间的关系式是．当车速为时，他的视野为______． 9．（2026·四川广元·中考真题）如图，在中，轴，点为的中点，函数的图象经过，两点，过点作的平行线交轴于点，连接，若的面积为2，则的值为__________． 10．（2026·四川泸州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限的点A，且点A到轴的距离为4． (1)求反比例函数的解析式； (2)将点A向上平移4个单位长度得到点B，点D在轴上，BD与反比例函数的图象交于点C，若，求点D的坐标． 11．（2026·四川乐山·中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数的图象交于、两点，连接、 ． (1)求 、 的值和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 12．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为的点，过点作轴于点已知． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若是点关于轴的对称点，、分别是轴和线段上的动点，求周长的最小值． 13．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标． 14．（2026·四川南充·中考真题）如图，一次函数图象与y轴交于点，与x轴交于点，与反比例函数图象交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式． (2)点P在反比例函数第一象限图象上，，求点P的坐标． 15．（2026·四川凉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，在射线上取一点B，使得，过点B作轴于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出点B的坐标_______； (3)在x轴上存在一点P，使最小，求点P坐标． 16．（2026·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与函数的图象交于点． (1)求，的值； (2)将线段绕点逆时针旋转到，连接，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在函数的图象上时，求点的坐标． 17．（2026·四川广安·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数（m为常数，）在第二，四象限分别交于，两点，点，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点在坐标轴上，以点，，为顶点的等腰三角形有 个，当点在轴负半轴时，求等腰三角形的面积； (3)如图2，已知函数的大致图象，请结合图象直接写出该函数的两条性质． 18．（2026·四川成都·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，B两点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，D． (1)求线段的长； (2)已知P为y轴正半轴上一点，若为直角三角形，求点P的坐标； (3)如图2，将线段，组成的折线段“”沿x轴正方向平移得到折线段“”，点D，A，C的对应点分别为．与反比例函数的图象交于点E，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点F，与交于点G．试探究：在平移过程中，的值是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由． 19.（2026·四川达州·中考真题）数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”：当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点． 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1．因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数” 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定与的关系时，由函数表达式得，去分母得，因为，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数” 【问题解决】 (1)对于函数①，②，③．其中①与②是“______函数”，①与③是“______函数”； (2)若与是“友好函数”，如图2，当时，的取值范围是______；若与是“相连函数”，则的值为______； (3)如图3，过点的直线、对应的函数分别与（，），（，）是“相连函数”，相连点分别为，，、与轴分别交于，两点，已知，，求的值． 考点04 二次函数 1．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 2．（2026·四川广元·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·四川宜宾·中考真题）点是抛物线的顶点，点、在抛物线上（其中）．下列结论： ①当点在轴上时，；②点在直线上；③；④当点所在直线与线段没有交点时，的取值范围是；⑤当点在原点时，过点的直线与抛物线交于、两点，则． 其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（2026·四川巴中·中考真题）关于二次函数，下列说法正确的个数是（     ） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2026·四川乐山·中考真题）已知二次函数，有下列结论： ①二次函数图象与轴的交点坐标是； ②二次函数的顶点坐标是； ③若二次函数图象经过、两点，且，则； ④当时，二次函数的最大值为，最小值为，则的值与无关． 其中，正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（2026·四川南充·中考真题）已知抛物线与，过原点O的直线l与抛物线，的另一个交点分别为，，如果，则m的值为（     ） A．或 B．或1 C．或 D．或1 7．（2026·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 8．（2026·四川内江·中考真题）在边长为6的正方形 中，点、分别为对角线、边上的动点，且，则的最小值为_________． 9．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，，，将绕点逆时针旋转得到．连接，则的最小值为________． 10．（2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 11．（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 12．（2026·四川巴中·中考真题）如图，抛物线（）与轴交于、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值； (3)在第二象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 13．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于． (1)求抛物线的解析式； (2)将原点，点关于抛物线对称轴对称的点分别记为点，点，连接，，作的平分线交于点． ①求点的坐标； ②如图，点为直线左侧抛物线上一点，连接并延长交轴于点，连接交抛物线于点，连接，当时，求点的横坐标． 14．（2026·四川凉山·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 15．（2026·四川自贡·中考真题）平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． (1)求，的值． (2)如图，过原点的两条直线与该抛物线相交于点，，，（点在第三象限，点在第二象限）． ①求线段长度的最小值； ②连接，分别交轴于，两点，设，的面积分别为，，是否存在直线使?若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 16．（2026·四川乐山·中考真题）已知抛物线交轴于A、两点（点在点的左侧），顶点为点． (1)求A、两点的坐标； (2)直线与抛物线交于，两点． ①若A、两点到直线距离相等，则直线过定点，请求出这个定点，并说明理由； ②若，试问直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 17．（2026·四川宜宾·中考真题）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接．试判定的形状，并说明理由； (3)如图，点、是直线上两动点，且．求面积的最小值． 18．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，连接，已知点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)点P是直线上一个动点，连接， ，当的长度最小时，求点P的坐标； (3)点Q是二次函数图象上一个动点，当时，请直接写出点Q的坐标． 19．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，点P是第一象限内二次函数图象上的点，过点P作于点H，求线段的最大值； (3)连接，点D与点C关于原点成中心对称，在二次函数的图象上找一点E，作射线，使，求点E的纵坐标． 20．（2026·四川广元·中考真题）定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”． 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点． (1)如图1，若点为线段的中点，二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点，求该二次函数的解析式； (2)在（1）的条件下，若直线上方抛物线上有一点，使，求点的坐标； (3)点在线段上，若抛物线和抛物线的“顶点弦”分别为和，点为和的顶点，且，求的值． 21．（2026·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线（）与抛物线相交于，两点．，两点在抛物线上，且． (1)若点的坐标为，求的值和点的坐标； (2)在（1）的条件下，记，两点的横坐标分别为，（），当时，函数总在处取得最大值，求的取值范围； (3)若，直线，的交点恰好落在轴正半轴上，求点的坐标和的值． 22．（2026·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于、两点，与 轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点 是直线 下方抛物线上一个动点，求四边形 面积的最大值及此时点 的坐标； (3)如图2，点 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与 轴交于点 ，直线（ 为常数）交抛物线于 、 两点（点 、 分别在抛物线对称轴的两侧），直线交 轴于点 ，直线交 轴于点．试探究是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由． 23．（2026·四川广安·中考真题）如图，二次函数（a，b为常数，）的图象与轴分别交于点，点，与轴交于点，，． (1)求二次函数的解析式； (2)①连接，点是第一象限内抛物线上的一动点，当点到的距离最大时，求点的坐标； ②在①的条件下，点，分别是轴和抛物线对称轴上两个动点，且轴，连接，，，求的最小值； (3)在（2）的条件下，平面内是否存在点，使以点，，为顶点的三角形为等边三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（2026·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．与轴交于点．直线经过点、与轴交于点． (1)求的值及抛物线的函数表达式； (2)若线段在抛物线的对称轴上运动，且，求四边形周长最小时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线对称轴上一动点，请问是否存在以，，为顶点的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在．说明理由． 考点05 函数与方程、不等式 1．（2026·四川内江·中考真题）如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 2．（2026·四川凉山·中考真题）已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．当或时， 3．（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，抛物线（为常数，且）与x轴的两个交点坐标分别为，且．下列结论：①；②；③；④若方程有实数根，则．其中正确结论的序号为（     ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 5．（2026·四川达州·中考真题）二次函数（，）的自变量x与函数y的部分对应值如下表： 在下列结论中：①；②；③当时，y的值随着x值的增大而增大；④，是关于x的方程（）的两个根．正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2026·四川成都·中考真题）已知二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 3 … y … 3 4 3 0 … 下列说法错误的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线 C． D． 7．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（）交于、B两点，与x轴交于点D． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)直接写出不等式的解集； (3)若点P为x轴上的动点，当为直角三角形时，求点P的坐标． 8．（2026·四川眉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)将直线向下平移12个单位后交反比例函数的图象于，两点，交轴于点，连接，，求的面积． 9．（2026·四川自贡·中考真题）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于，两点，点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及的值； (2)请直接写出当时的取值范围； (3)点是直线上的一个动点，当时，求点的坐标． 10．（2026·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于 的不等式的解集； (3)已知点是 轴上一点，连接、 ，若 的面积为15，求点的坐标． 11．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围； (3)将一次函数的图象向上平移5个单位长度后，与x轴下方的反比例函数图象交于点P，求的面积． 12．（2026·四川南充·中考真题）已知抛物线．（t为常数）． (1)若抛物线过点，，求t的值． (2)抛物线与x轴交于A、B两点，点为线段上一点，过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直线交于点M，N，求最大值． (3)点，都在抛物线上，当，时，都有，求t的取值范围． 13．（2026·四川泸州·中考真题）已知二次函数． (1)若该二次函数的图象经过点，且关于直线对称，求二次函数的解析式； (2)当时，该二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，且是等腰三角形，求的面积； (3)当时，点，在该二次函数的图象上，若，求二次函数在上的最大值的取值范围． 1．（2026·四川成都·二模）已知点在y轴上，则m的值为（   ） A． B．3 C．0 D．6 2．（2026·四川乐山·一模）根据物理学中欧姆定律可知，当某电路中电压不变时，该电路中的总电流（单位：A）是该电路中总电阻（单位：）的反比例函数，其图像如图所示．当该电路中总电流大于时，该电路将可能烧坏．为了安全起见，则接入电路的总电阻应不小于（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川成都·二模）关于二次函数的部分图象如图，点，对称轴为直线．下列说法错误的是（     ） A． B．b2－4ac＞0 C．方程的根为：， D． 4．（2026·四川成都·一模）已知函数，记其图象为C，则下列说法正确的是（   ） A．C是一个中心对称图形 B．的最小值为 C．方程有四个不等实根 D．直线l与C最多有4个交点 5．（2026·四川乐山·一模）在平面直角坐标系中，y与x的函数关系如图所示，图象与x轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论： ①当时，； ②当时，y随x的增大而增大； ③点在此函数图象上，则符合要求的点只有一个； ④将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 6．（2026·四川广元·二模）如图①，在中， ，E、F分别是边，上的动点，且， D是的中点，连接，，，设，的面积为y，图②是y关于x的函数图象，则下列说法不正确的是（    ） A．是等腰直角三角形 B． C．的周长可以等于12 D．四边形的面积为4 7．（2026·四川南充·二模）如图，纵坐标分别为，的点，点均在函数（，）的图象上．，分别与轴、轴相切，半径是半径的2倍．若，两点间的距离为，则的值为（   ） A． B．3 C． D．不确定 8．（2026·四川成都·二模）氢氧化锂和氢氧化钠均可作为吸收二氧化碳的吸收剂，实验表明：在相同条件下，吸收的质量与吸收剂的质量之间的关系如图所示，则根据该图象，选用______作吸收剂对的吸收效果更好．（请选填“”或“”） 9．（2026·四川泸州·二模）在平面直角坐标系中，点的坐标满足，则点在第__________象限． 10．（2026·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与函数的图象有且只有一个交点，请你写出一个符合条件的实数a的值______． 11．（2026·四川内江·二模）已知a、b都是非负数，且，设，则S的最大值是___________． 12．（2026·四川南充·一模）如图，在平面直角坐标系中，一束光线经过点照射在x轴上的平面镜上的点处，反射光线经过点，则的值为____． 13．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数：的图象交于，两点，点在第四象限，则_____；过点作直线的平行线在第四象限交于点；过点作直线的平行线在第四象限交于点按此规律，记，过点作直线的平行线在第四象限交于点，则点的坐标为_____． 14．（2026·四川广元·二模）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在轴负半轴、轴正半轴上．以、为边，在第二象限内作矩形，点的纵坐标为，点、分别在线段、上，沿将四边形翻折，点与点恰好重合，点的对称点为．若点和线段的中点都在双曲线上，则_______． 15．（2026·四川南充·二模）抛物线的对称轴在轴右侧，点，，都在抛物线上，若，则的取值范围是________． 16．（2026·四川南充·二模）初夏到来，某商场订购一批进价为40元的凉鞋．按往年情况，若按每双50元的价格销售，每月能卖出3000双：若按每双55元的价格销售，每月能卖出2500双，每月销量（双）与销售单价（元）之间满足一次函数关系．售价不低于进价，每双凉鞋的毛利不高于进价的． (1)求与之间的函数关系式，并指出销售单价每提高1元对销量的影响； (2)当售价定为多少时，该商品每月的毛利最大？最大毛利是多少？ 17．（2026·四川广元·三模）某校为保障化学实验课正常开展，决定采购托盘天平和铁架台两种常用实验器材．市场调查发现购买3套托盘天平和2套铁架台共需260元；购买2套托盘天平和3套铁架台共需240元． (1)求每套托盘天平和每套铁架台的费用； (2)学校计划一次性购进两种实验器材共30套，采购总费用不超过1500元，且托盘天平的数量不少于铁架台数量的一半．请设计最省钱的采购方案，并计算最低总费用． 18．（2026·四川乐山·一模）绿动未来——树木固碳护家园 【素材呈现】 为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，棵成年杨树和棵成年冷杉每年大约吸收千克二氧化碳，而棵成年杨树和棵成年冷杉每年大约吸收千克二氧化碳． 【问题解决】 (1)填空：每年每棵成年杨树大约吸收二氧化碳 千克； (2)某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共棵，设购买杨树棵，这棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． ①求与的函数关系式； ②杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请设计一个采购方案，使得这棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 19．（2026·四川眉山·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)过点作轴的垂线，将一次函数的图象向上平移，交轴于点，交直线于点，连接．当是以为腰的等腰三角形时，求平移的距离． 20．（2026·四川泸州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积； (3)在轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与反比例函数的图象交于点，已知点，点在反比例函数的图象上，直线交轴于点． (1)求直线的表达式及的值； (2)当时，求的面积； (3)点在点左侧运动时，是否存在点使得与相似？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（2026·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与y轴的交点为，与反比例函数的图象的一个交点为． (1)求k的值； (2)过点B作直线交反比例函数的图象于点C（异于点B），交y轴于点D，连接，若的面积为4，求点C的坐标； (3)将反比例函数的图象沿直线翻折得到如图2所示的曲线l，若点P为线段上的一点，作直线交曲线l于另一点Q，当时，求点P的坐标． 23．（2026·四川宜宾·二模）如图，已知直线交反比例函数图象于、两点（点在点右侧），交轴、轴于点、点．点为反比例函数第一象限图象上一点．若在轴负半轴，在直线上方，，． (1)求直线和反比例函数解析式； (2)若点的横坐标为2，求面积； (3)点为直线上的一动点，在反比例函数图象上存在一点．当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 24．（2026·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴相交于点，点在反比例函数图象上． (1)求的值及点的坐标； (2)若为等腰直角三角形，，求反比例函数的解析式； (3)过点，的直线与轴交于点，点与点关于点对称，若存在，使得，请直接写出的值． 25．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点，与y轴相交于点，点P是反比例函数图象上一动点，且不与点A重合，过点P作轴交直线于点Q．设点P的横坐标为t，且，连接． (1)求k，b，n的值； (2)当的面积为6时；求点P的坐标； (3)当点P在点A的右侧时，设的中点为点C，D为x轴上一点，E为平面直角坐标系内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，直接写出点P所有可能的坐标． 26．（2026·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，抛物线L：与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，顶点坐标是． (1)求抛物线L的表达式； (2) M点是线段上的一个动点，N是位于抛物线第二象限上的动点，线段与交于点G； 当点M的坐标为时，是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在请说明理由； 当，且时，求点M的坐标． 27．（2026·四川南充·三模）如图，抛物线与轴分别交于点，点（点在点的右侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，连接，，点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当四边形面积最大时，求此时点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后经过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04一次函数、反比例函数、二次函数 1年真题1年模拟 考点分类 四川考情（2026） 命题规律 考点01平面直角坐标系、函数基础知识 2026年巴中、内江、遂宁、甘孜、达州、广安、攀枝花、自贡、泸州、成都中考真题 侧重象限坐标特征、自变量取值范围；新增容器注水、行程、几何面积类图像分析题，结合物理密度、几何动点情境；以折线函数图像判断变化趋势，是函数入门基础送分小题，侧重数形识图能力。 考点02一次函数 2026年成都、南充、广安、广元、内江、攀枝花中考真题 固定结合四川猕猴桃、鸭蛋加工、救灾物资运输本土素材；题型分三类：含参数增减性小题、分段销售计算、二元方程组结合一次函数利润方案；核心考查建立函数模型、不等式限定取值求最值，为专题核心中档题型。 考点03反比例函数 2026年南充、巴中、自贡、宜宾、广元、攀枝花、内江、泸州、乐山、甘孜、凉山、成都、广安、达州中考真题 依托压强、车速等理化情境，必考k几何面积；高频搭配一次函数交点、图形旋转、平移、最短路径综合；创新定义“陌生/友好函数”，结合判别式、等腰三角形分类讨论，几何跨模块综合度显著提升。 考点04二次函数 2026年甘孜、广元、宜宾、巴中、乐山、南充、内江、攀枝花、眉山、自贡、凉山、遂宁、广安、达州、成都中考真题 基础题考查开口、对称轴、平移、顶点最值；解答压轴融合面积最值、特殊三角形存在性、线段最短、定点定值探究；结合产量增长率销售利润实际应用，多小问梯度设问，是试卷核心区分压轴。 考点05函数与方程、不等式 2026年内江、凉山、眉山、遂宁、达州、成都、巴中、自贡、南充、泸州中考真题 借助函数图像直接求解不等式解集、判断方程根情况；结合二次函数表格、图像判断多结论正误；联动一次与反比例函数图像，搭配平移、直角三角形动点设问，强化数形结合思想考查。 考点01 平面直角坐标系、函数基础知识 1．（2026·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标规律，利用“关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数”即可求解． 【详解】解：∵关于轴对称的点的坐标特征为：横坐标相等，纵坐标互为相反数， 已知点， ∴点关于轴对称的点的横坐标为，纵坐标为，即． 2．（2026·四川内江·中考真题）下列实数中，能使函数有意义的的值是（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据二次根式被开方数为非负数求出的取值范围，再判断选项即可． 【详解】解：由题意得，， ， ∴四个选项中，只有D选项中的2满足题意． 3．（2026·四川遂宁·中考真题）已知点是第三象限内一点，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用第三象限点横纵坐标均为负数的性质，列不等式求解即可得到a的取值范围. 【详解】解：∵第三象限内的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，点在第三象限， ∴， 解得. 4．（2026·四川甘孜·中考真题）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随着时间的变化规律如图所示（图中为一折线）．这个容器的形状可能是下图中（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象的斜率变化判断水面上升速度的快慢，斜率越大表示水面上升越快，对应的容器横截面越细；斜率越小表示水面上升越慢，对应的容器横截面越粗，即可求解． 【详解】由函数图象可知，折线分为三段，且增长速度逐渐增大， 注水速度是匀速的，水面上升的速度与容器的粗细（横截面积）有关，容器越细，水面上升越快，图象越陡， 段最平缓，说明容器中部最粗；段较陡，说明容器底部部较细；段最陡，说明容器上部最细， 只有D选项的容器符合中部最粗、下部次之、上部最细的特征． 5．（2026·四川达州·中考真题）为比较两种物质的密度，物理兴趣小组选取甲、乙两种物体进行实验探究，得到了甲、乙两种物质的图象，如图（，m表示质量，表示密度，V表示体积），下列说法正确的是（     ） A．当甲乙体积相等时，甲的质量是乙的质量的2倍 B．当乙的质量为时，体积为 C．甲物质的密度小于乙物质的密度 D．甲物质的密度等于乙物质的密度 【答案】A 【分析】根据图象读取甲、乙对应的质量和体积数据，利用密度公式分别计算两者的密度，再结合图象特征逐项判断； 【详解】解：由图象可知，当时，，，即， A正确； 当时，由图象可知， B错误； 当时，；当时，； ，， ， C、D错误． 6．（2026·四川广安·中考真题）小明家，蛋糕店，姥姥家依次在同一直线上．为庆祝姥姥生日，小明从家去蛋糕店买蛋糕，接着去姥姥家．下图反映了在这个过程中，小明离家的距离与时间之间的对应关系．下列说法错误的是（     ） A．小明家离蛋糕店 B．小明买蛋糕用了 C．小明从蛋糕店到姥姥家的平均速度为 D．小明从家到蛋糕店的平均速度小于从蛋糕店到姥姥家的平均速度 【答案】D 【分析】根据图象判断每个节点的实际意义，再计算平均速度，然后逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：由图象可知，段，小明停留在离家处， ∴小明家离蛋糕店，故A不符合题意； 对于选项B：∵， ∴小明买蛋糕用了，故B不符合题意； 对于选项C：由图象可知，小明从蛋糕店到姥姥家路程为，用时， ∴平均速度为，故C不符合题意； 对于选项D：小明从家到蛋糕店的平均速度为， ∵， ∴小明从家到蛋糕店的平均速度大于从蛋糕店到姥姥家的平均速度，故D符合题意． 7．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，正三角形的边长为4，D是边上的一点，过D作边的垂线，交于G，用x表示线段的长度．显然，的面积y是x的函数，则该函数的大致图象为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质得出，，确定，再由三角函数得出，利用三角形面积建立函数，然后得出自变量的取值范围，取特殊值即可判断函数图象． 【详解】解：为正三角形，边长为4， ，， ， ， ， ， 在中，， ， 是边上的一点， ， 在中，， ， 解得， 该函数图象是抛物线的一部分，且的取值范围是， 当时，， 当时，，对比选项，只有B选项符合． 8．（2026·四川自贡·中考真题）如图1，在四边形中，ABCD，，点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿匀速运动，到达点后停止运动；同时点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，当点停止运动时点也随之停止运动，过点作于点．设运动时间为秒，，关于的函数图象如图2所示，则的长为（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】过作于，可证得四边形为矩形，，根据相似三角形的性质得到比例式，再表示出关于的式子，代入到中，得到关系式，再结合函数图象求出，，的长，结合沿运动时候的函数图像求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：过作于，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴四边形为矩形， ∴， 当在上运动时， ∵， ∴， ∴， ∴， 由题设，则， ∴， ∴， 由函数图象可知，当 时，， ∴，即， 当到达点后，在上运动时，恒等于高，此时， 由函数图象可知，当时， ∴，即， ∴， 把代入中得， 解得； ∴在中，， 当点开始沿运动，此时， ∴， 代入时，得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图像的性质，矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 9．（2026·四川泸州·中考真题）函数的自变量的取值范围是____________． 【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数列出不等式，解不等式即可得到自变量的取值范围 【详解】解：由题意得，， 解得， 10．（2026·四川成都·中考真题）成都，一座雪山下的公园城市．全市超1500个公园已成为市民游憩、娱乐的优质生态空间．图1是成都某公园的游览路线示意图，甲、乙两人约定的游览路线为：景点1→景点2→景点3→景点4→景点5，甲先出发，乙出发时甲正好游览到景点2，于是乙沿着游览路线追赶甲．图2中分别表示甲、乙两人离开景点1的路程s（单位：m）与追赶时间t（单位：min）之间的关系，假设两人均保持现有的速度． (1)直接写出的函数表达式； (2)如图1，景点3到景点4有两条道路，甲到达景点3后，沿远路前往景点4，乙到达景点3后，沿近路前往景点4．问乙能比甲先到达景点4吗？请说明理由． 【答案】(1)的函数表达式为：，的函数表达式为： (2)乙能比甲先到达景点4 【分析】（1）利用待定系数法求得的函数表达式即可； （2）分别求出甲，乙两人到达景点4所用的时间，比较大小即可． 【详解】（1）解：设的函数表达式分别为，， 将点，代入可得，， 解得， 即的函数表达式为：， 将代入可得，，解得， 即的函数表达式为：； （2）解：由题意可得，甲走远路到达景点4，路程为， 将代入可得，， 解得， 则时，甲到达景点4， 乙走近路到达景点4，路程为， 将代入可得，， 解得， 则时，乙到达景点4， ∵， ∴乙能比甲先到达景点4． 11．（2026·四川甘孜·中考真题）图1是某景区的一段游览路线示意图．小聪在观景台1联系小明，发现小明在观景台2，于是沿着游览路线追赶小明．图2中，，分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系． (1)表示 （“小聪”或“小明”）到观景台1的路程与追赶时间之间的关系； (2)分别求出，的函数解析式； (3)若两人的速度保持不变，小聪能否在到达观景台3前追上小明？请通过计算说明． 【答案】(1)小明 (2)的函数解析式为；的函数解析式为； (3)解：小聪能在到达观景台3前追上小明，计算说明如下： 令，解得， 在中，当时，， ∴小聪追上小明时所走的路程为， ∵， ∴小聪能在到达观景台3前追上小明． 【分析】（1）当追赶时间为0时，小明到观景台1的路程为，而小聪到观景台1的路程为0，据此结合函数图象可得答案； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出两人相遇时的时间，进而求出两人相遇时小聪所走的路程即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，当追赶时间为0时，小明到观景台1的路程为，而小聪到观景台1的路程为0， ∴由函数图象可知，表示小明到观景台1的路程与追赶时间之间的关系； （2）解：设的函数解析式为， 把代入得，解得， ∴的函数解析式为； 设的函数解析式为， 把和代入得， ∴， ∴的函数解析式为； （3）略 考点02 一次函数 1．（2026·四川内江·中考真题）若关于 的方程 的解是负数，且一次函数 中，函数值 随 的增大而减小，则所有满足条件的整数 的值之和是______． 【答案】 【分析】先求出一元一次方程的解，根据一元一次方程的解为负数得到 的取值范围，再根据一次函数的性质得到 的另一个取值范围，进而得到符合条件的整数 的值，最后相加即可求解． 【详解】解：解方程 ，得， ∵方程的解是负数， ∴， 解得， ∵一次函数中，函数值随的增大而减小， ∴， 解得， ∴的取值范围是， ∴符合条件的整数为， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 2．（2026·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，设，记，例如，若，则．若点N满足，则所有N点组成的图形面积为_____；已知A是直线（）上一点且位于第一象限，，点P在上，点Q满足，当点P从点O运动到点A时，Q点运动所覆盖的区域面积为，则_____． 【答案】 2 或 【分析】根据定义得出所有N点组成的图形为对角线在坐标轴上且对角线的长为2的正方形，进而求得其面积；进而根据，得出Q点运动所覆盖的区域面积，设，分情况讨论，分别画出图形，求得点的坐标，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：①∵ 设 ∴ 当在第一象限时， 即 ∴点在直线上， 同理当在第二象限时， ∴，即点在上， 当在第三象限时，，即点在上， 当在第四象限时，，即点在上， ∴所有N点与坐标轴的交点，，， ∴所有N点组成的图形为正方形，其面积为； ②∵已知A是直线（）上一点且位于第一象限，，点P在上， ∴点在为半径的弧上运动， ∵点Q满足，同①可得点组成的图形是对角线为，且平行于坐标轴的正方形， ∴当点P从点O运动到点A时，Q点运动所覆盖的区域面积为 设，A是直线（）上一点且位于第一象限， ∴， ∴ 当时，如图， ∴ ∴ 解得： ∵， ∴ ∴ ∴ 当时，如图， ∴ ∴ 解得： ∵， ∴ ∴ ∴ 综上所述，或 3．（2026·四川攀枝花·中考真题）某中学在劳动实践基地开辟了“青春农场”，将土地划分给各班负责．初二（3）班的同学在责任田里种植了有机蔬菜，经过几个月的精心照料，终于迎来了丰收．同学们决定将采摘的新鲜蔬菜拿到学校附近的周末集市销售．卖菜所得款项按每千克0.8元留作下一季的种植基金，余下的捐给福利院．在集市上销售了部分蔬菜后，剩下的每千克降价0.5元，全部售完．销售额与销量之间的关系如图所示，那么该班级本次共捐给福利院多少元？ 【答案】322元 【分析】设销售额为，销量为，由图象先可得降价前的函数表达式为，可得降价前的单价为3元/千克，则降价后单价为2.5元/千克，可得降价后的函数表达式为，则可得总销量为160千克，则可得留作下一季的种植基金，最后可得捐给福利院的钱数． 【详解】解：设销售额为，销量为，则降价前的函数表达式为， 把代入，得， 解得， ∴降价前的函数表达式为， ∴降价前的单价为3元/千克， ∴降价后单价为2.5元/千克， 设降价后的函数表达式为， 把代入，得， 解得， ∴降价后的函数表达式为， 当时，， 解得， ∴总销量为160千克， ∴留作下一季的种植基金为（元）， ∴捐给福利院（元）． 答：该班级本次共捐给福利院322元． 4．（2026·四川广安·中考真题）某市发生洪灾，各地发扬“一方有难，八方支援”的精神，现A，B两地收到社会各界人士所捐物资共400吨．据统计，A地收到物资吨数的3倍与地收到物资吨数的5倍相等．现要把这批物资全部运往受灾的C，D两地．从A地运往C，D两地的费用分别为15元/吨和20元/吨；从B地运往C，D两地的费用分别为12元/吨和18元/吨；现C地需物资180吨，D地需物资220吨． (1)分别求出A，两地各收到多少吨物资； (2)请你帮运输公司设计一种总运费最少的方案，并求出最少费用． 【答案】(1)A地收到250吨物资，B地收到150吨物资． (2)从A地运往C地30吨，运往D地220吨，从B地运往C地150吨，运往D地0吨时，总运费最少，最少费用为6650元． 【分析】（1）设A地收到吨物资，B地收到吨物资．然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设总费用为元，从A地运往C地吨，则运往D地吨，B地运往C地吨，运往D地吨，易得、再利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设A地收到吨物资，B地收到吨物资． 由题意得： ，解得：． 答：A地收到250吨物资，B地收到150吨物资． （2）解：设总费用为元，从A地运往C地吨，则运往D地吨，B地运往C地吨，运往D地吨， 由题意得： ， ∴W随的增大而增大， 当，总费用最少，元． ，， 答：从A地运往C地30吨，运往D地220吨，从B地运往C地150吨，运往D地0吨时，总运费最少，最少费用为6650元． 5．（2026·四川广元·中考真题）苍溪红心猕猴桃是广元特色农产品，国家地理标志产品．某电商基地分装销售中果和大果两种猕猴桃礼盒，若购进3件中果礼盒和2件大果礼盒需190元，购进2件中果礼盒和4件大果礼盒需260元． (1)求购进中果礼盒、大果礼盒每件的价格； (2)根据市场需求，该电商基地计划购进这两种礼盒共100件进行销售，中果礼盒每件售价50元，大果礼盒每件售价80元，且中果礼盒件数不少于大果礼盒件数的2倍．求怎样进货才能使利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)购进中果礼盒每件30元，大果礼盒每件50元． (2)购进中果礼盒67件，大果礼盒33件时可获得最大利润，最大利润为2330元． 【分析】（1）设购进中果礼盒每件x元，大果礼盒每件y元．然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进大果礼盒m件，则购进中果礼盒件，根据题意可得，即m的最大值为33；再列出获得利润：，再利用一次函数的性质求最值即可解答． 【详解】（1）解：设购进中果礼盒每件x元，大果礼盒每件y元． 则，解得：， 答：购进中果礼盒每件30元，大果礼盒每件50元． （2）解：设购进大果礼盒m件，则购进中果礼盒件， 由题意可得：，解得：， ∵m为整数， ∴m的最大值为33， 由题意可得：获得利润：， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，有最大利润元． 答：购进中果礼盒67件，大果礼盒33件时可获得最大利润，最大利润为2330元． 6．（2026·四川内江·中考真题）某商场准备购进甲、乙两种衬衣进行销售．甲种衬衣每件进价元，售价元；乙种衬衣每件进价元，售价元．现计划购进两种衬衣共件，其中甲种衬衣不少于件．设购进甲种衬衣件，两种衬衣全部售完，商场可获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若商场购进这件衬衣的总费用不超过元，求有哪几种进货方案？ (3)在的条件下，商场准备对甲种衬衣进行优惠促销活动，决定对甲种衬衣每件降价元（）出售，乙种衬衣售价不变，若最大利润为元，求的值． 【答案】(1)（，为整数）； (2)共有种进货方案，分别是购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件； (3) 【分析】设购进甲种衬衣件，则购进乙种衬衣件，然后根据“总利润甲的利润乙的利润”，列出函数关系式即可； 根据题意，总费用不超过元，可得，结合自变量的取值范围得到所有整数解，即所有进货方案； 根据题意调价后甲每件利润为元，乙每件利润仍为元，则利润，分情况根据一次函数增减性求最大利润，结合给定最大利润求解，舍去不符合范围的解． 【详解】（1）解：设购进甲种衬衣件，则购进乙种衬衣件， 甲每件利润为元，乙每件利润为元， 根据题意得 由题意得，， 因此，且为整数； （2）解：根据题意，总费用不超过元，可得， 整理得， 解得， ∵，且为正整数， ∴，的取值为，对应乙的数量为， 因此共有种进货方案，分别是购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件； （3）解：根据题意，调价后甲每件利润为元，乙每件利润仍为元， ∴利润， 当时，， ∴随的增大而增大， ∵， ∴当时，利润有最大，此时， 解得； 当时，，不符合题意； 当时，， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，利润有最大，此时， 解得，不符合题意； 综上可得：最大利润为元时的值为． 7．（2026·四川南充·中考真题）在综合与实践课程中，学校数学兴趣小组调查了乡村食品加工情况，得到下列信息． 背景 某乡水资源丰富，村民喜欢养鸭，但面临鸭蛋滞销的困境．为了提高村民养鸭的积极性，乡政府招商引资创办了一个鸭蛋加工厂，为村民致富提供便利，鸭蛋加工厂共有9条加工线，将鸭蛋加工成皮蛋或咸蛋．（温馨提示：一枚鸭蛋可加工成一枚皮蛋或咸蛋） 素材一 若3条加工线加工皮蛋和1条加工线加工咸蛋，则每月可加工11万枚； 若2条加工线加工皮蛋和3条加工线加工咸蛋，则每月可加工12万枚． 素材二 现收购了30万枚鸭蛋，计划在一月内用9条加工线加工成皮蛋或咸蛋；经过市场调研，加工成咸蛋的数量不低于皮蛋数量的一半； 加工厂安排皮蛋加工线不低于3条； 一月内未能加工完的鸭蛋另作处理． 素材三 每万枚皮蛋可获利0.7万元，每万枚咸蛋可获利1.2万元； 一个月内未能加工的鸭蛋，按每万枚亏本0.1万元处理． 根据以上信息，完成下列任务： (1)【任务一】该加工厂每条加工线每月分别可加工皮蛋或咸蛋多少万枚？ (2)【任务二】工厂有几种安排加工线的方案？ (3)【任务三】如何安排加工线方案，可获得最大利润，并求出最大利润． 【答案】(1)每条加工线每月可加工皮蛋万枚，可加工咸蛋万枚 (2)共有种安排加工线的方案 (3)安排条加工线加工皮蛋，条加工线加工咸蛋时可获得最大利润，最大利润为万元 【分析】（1）设每条加工线每月可加工皮蛋万枚，可加工咸蛋万枚，由题意得，然后进行求解即可； （2）设加工厂安排皮蛋加工线m条，则安排咸蛋加工线条，由题意得，进而求解即可； （3）设加工厂安排皮蛋加工线m条，则安排咸蛋加工线条，可获利润为W万元，由题意得，然后根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设每条加工线每月可加工皮蛋万枚，可加工咸蛋万枚，由题意得： ，解得：； 答：每条加工线每月可加工皮蛋万枚，可加工咸蛋万枚． （2）解：设加工厂安排皮蛋加工线m条，则安排咸蛋加工线条，由题意得： ，解得：， ∵m为正整数， ∴m的取值为， 答：共有种安排加工线的方案． （3）解：设加工厂安排皮蛋加工线m条，则安排咸蛋加工线条，可获利润为W万元，由题意得： ， 由（2）可知：， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∴当时，W有最大值，最大值为，此时； 答：安排条加工线加工皮蛋，条加工线加工咸蛋时可获得最大利润，最大利润为万元． 考点03 反比例函数 1．（2026·四川南充·中考真题）反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数中比例系数的性质，建立与的等量关系，再结合已知的范围，根据不等式性质推导的取值范围． 【详解】解：设反比例函数解析式为，由反比例函数性质可得， ∵ 点，在反比例函数图象上， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， 解得． 2．（2026·四川巴中·中考真题）函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的符号分两种情况讨论，结合函数图象经过的象限进行判断即可． 【详解】解：分两种情况讨论：①当时，则， 反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限； 观察选项A、B，图象均不符合； ②当时，则， 反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限； 观察选项C，直线经过第一、三、四象限，不符合； 观察选项D，双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合． 3．（2026·四川自贡·中考真题）科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p（单位：）与受力面积S（单位：）存在函数关系．下表是他们实验的几组数据： （单位：） 1 2 4 8 （单位：） 80 40 20 10 则压强（）与受力面积（）之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断p与S为反比例函数关系，再根据表格数据求比例系数，即可得到函数关系式． 【详解】解：∵根据表格数据计算得：，，，， ∴压力一定时，压强与受力面积成反比例关系，可设， ∴， ∴． 4．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，一条直线与反比例函数的图象交于A、两点，分别与轴、轴交于C、两点．若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点A作于点E，过点B作于点F，证明，得到，设，得到，，，，然后由平行线分线段成比例得到，然后利用相似三角形的性质得到，最后利用列方程求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E，过点B作于点F， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 设， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∴． 5．（2026·四川广元·中考真题）根据压强公式，当压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）成反比例关系．若某物体受力面积增加，则受到的压强比原来减少．设该物体原受力面积为，压力为定值，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知该物体原受力面积为，压力是定值， 由压强公式可得，原压强为， 受力面积增加， 变化后的受力面积为，变化后的压强为， 由题意得，变化后的压强比原来减少，即原压强 现压强 ， 可得方程． 6．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴，点C是x轴上一点，若的面积为3，则k的值为_________． 【答案】 【分析】连接，，由轴可得，再根据反比例函数的几何意义可知，，即可列方程求解． 【详解】解：连接，， 轴， ， 点A在函数的图象上，点B在函数的图象上， ，， ， 解得． 7．（2026·四川内江·中考真题）如图，将反比例函数（，）的图象绕点 顺时针旋转，旋转后的图象与 轴交于点，则_________． 【答案】 【分析】作出点旋转前的对应点 ，根据旋转的性质可得，过点 作轴于点 ，根据勾股定理求出，即可得出点 的坐标，再用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，作出点旋转前的对应点 ，， ∵， ∴， 过点 作轴于点 ， ∴， ∴， 把代入，得． 8．（2026·四川成都·中考真题）人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单位：）与车速v（单位：）之间的关系式是．当车速为时，他的视野为______． 【答案】50 【详解】解：由题意，将代入得：， 即他的视野为． 9．（2026·四川广元·中考真题）如图，在中，轴，点为的中点，函数的图象经过，两点，过点作的平行线交轴于点，连接，若的面积为2，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】设点的坐标为，则点的坐标为，进而可得， 求出 ， 进一步可得 ，根据三角形的中线平分三角形的面积得到，由平行线的性质得到，则，解之即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 设点的坐标为， 点为的中点，为坐标原点 ， 点的坐标为， 轴， 点的纵坐标为， 点在反比例函数的图象上， 点的横坐标为，即， ， ， 点为的中点， ， ，即， 点到直线的距离等于点到直线的距离， ， ， ， 解得． 10．（2026·四川泸州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限的点A，且点A到轴的距离为4． (1)求反比例函数的解析式； (2)将点A向上平移4个单位长度得到点B，点D在轴上，BD与反比例函数的图象交于点C，若，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求解，再代入反比例函数解析式求解即可； （2）先求解，过作于点，过作轴于点，证明，可得，求解，可得，求解直线为，进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限的点A，且点A到轴的距离为4． ∴，，即， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：∵点A向上平移4个单位长度得到点B， ∴， 如图，过作于点，过作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，即， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当，， ∴． 11．（2026·四川乐山·中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数的图象交于、两点，连接、 ． (1)求 、 的值和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) ，； (2) 【分析】（1）将、代入一次函数解析式即可求出 、 的值，再将点P的坐标代入反比例函数解析式求出m的值即可； （2）设一次函数 与 轴相交于点，先求出A点坐标，再根据计算求解． 【详解】（1）解：∵一次函数 的图象经过点、， ，， 解得 ，， 、， ∵反比例函数的图象经过点， ， ∵反比例函数的表达式为； （2）解：如图，设一次函数 与 轴相交于点， 令，则，即：， ， 又，， ． 12．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为的点，过点作轴于点已知． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若是点关于轴的对称点，、分别是轴和线段上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)一次函数和反比例函数的表达式分别为， (2) 【分析】（1）先求出，，则，然后求出一次函数与轴的交点，则，再由三角形面积建立方程求解，再根据待定系数法求解函数表达式即可； （2）过点作直线的对称点，连接，则，那么当点共线时，的周长取得最小值，即为，然后证明为直角三角形，再由勾股定理求解最小值即可． 【详解】（1）解：由题意得，将代入，则， ∴ ∵轴 ∴，， 对于一次函数，当时，，解得 ∴ ∴， ∵轴 ∴ ∴， 解得，（舍去） ∴一次函数表达式为， ∴， 将点代入，则， ∴反比例函数表达式为； （2）解：对于直线，当时，，解得；当时， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵是点关于轴的对称点， ∴， ∴ 过点作直线的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当点共线时，的周长取得最小值，即为， ∵ ∴， ∴的周长最小值为． 13．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求正比例函数的解析式； (2)点是轴正半轴上的一点，若的面积为8，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）根据代入求解即可． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ，则， 点在正比例函数的图象上， ，则， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：联立和得，即，则， ∴， 的面积为8，即， ， ， ∵点是轴正半轴上的一点， 点的坐标为． 14．（2026·四川南充·中考真题）如图，一次函数图象与y轴交于点，与x轴交于点，与反比例函数图象交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式． (2)点P在反比例函数第一象限图象上，，求点P的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为 (2) 【分析】（1）先利用待定系数法求出一次函数解析式，再将代入一次函数解析式求出点的坐标，再由点的坐标求出反比例函数的解析式； （2）过点P作轴于点D，设，证明，根据相似三角形对应边成比例，列方程求解． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， 将、代入， 得， 解得， ∴一次函数解析式为， ∵点在一次函数图象上， ∴， 解得， ∵点在反比例函数图象上， ∴反比例函数解析式为，即； （2）解：如图，过点P作轴于点D， ∵、， ∴，， ∵点P在反比例函数第一象限图象上， ∴设，，， 在和中，，， ∴， ∴，即， 解得或（舍）， ∴点P的坐标为． 15．（2026·四川凉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，在射线上取一点B，使得，过点B作轴于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出点B的坐标_______； (3)在x轴上存在一点P，使最小，求点P坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数关系式可得答案； （2）作轴，作轴，再根据平行线分线段成比例得，然后代入求出点B的横坐标，最后代入关系式求出纵坐标可得答案； （3）先求出点，作点C关于x轴对称的点，连接交x轴于点P，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后求出直线的关系式为，最后令求出答案即可． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴点． ∵反比例函数的图象过点， ∴， 解得， ∴反比例函数关系式为； （2）解：过点A作轴，于点E，过点B作轴，于点D， ∵， ∴ 设点B的横坐标为a，根据题意，得则， ∴， 解得， 当时，， ∴点； （3）解：∵点，轴， ∴点， 作点C关于x轴对称的点，连接交x轴于点P， ∴， 根据两点之间线段最短可得， ∴的最小值为． 设直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴直线的关系式为， 当时，， ∴点． 16．（2026·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与函数的图象交于点． (1)求，的值； (2)将线段绕点逆时针旋转到，连接，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在函数的图象上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用反比例函数的解析式求出a的值得到点C的坐标，将点C的坐标代入一次函数的解析式中，求出b的值； （2）先求出点A、B的坐标，过点D作轴于点E，证明，由此求出点D的坐标，由平移知，可求出直线的解析式，再求出直线与反比例函数的图象交点即为点E的坐标． 【详解】（1）解：将点代入中，得， 解得， ∴， 将代入中，得； （2）由（1）知， 令得；令得， ∴， ∴， 过点D作轴于点E， 由旋转得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵直线的解析式为，平移后， ∴设直线解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线解析式为， 令， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 17．（2026·四川广安·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数，）的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数（m为常数，）在第二，四象限分别交于，两点，点，． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点在坐标轴上，以点，，为顶点的等腰三角形有 个，当点在轴负半轴时，求等腰三角形的面积； (3)如图2，已知函数的大致图象，请结合图象直接写出该函数的两条性质． 【答案】(1)； (2)； (3)①当时，随增大而减小 ②当时随增大而减小 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式，根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式； （2）点在坐标轴上，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形时，应分三种情况讨论：、，；根据三角形的面积公式求出当点在轴负半轴时，等腰三角形的面积； （3）根据函数图象写出该函数的两条性质即可． 【详解】（1）解：将代入， 可得：， 点的坐标为， ， ， ， 点的坐标为， 将代入， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式为， 将代入， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 将代入， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式为； （2）解：点的坐标为， ， 当时，若点在轴上，设点的坐标为， 则有， ， 解得：， 点的坐标为； 当时，点在轴上，设点的坐标为， 则有， ， 解得：， 点的坐标为； 当，点在轴上时， ， 点的坐标是或； 当，点在轴上时， ， 点的坐标是或； 当，点在轴上时， 如下图所示，过点作轴， 点的坐标是， ，， ， 点的坐标是； 当，点在轴上时， 如下图所示，过点作轴， 点的坐标是， ，， ， 点的坐标是； 当是等腰三角形，点在坐标轴上时，点的坐标为或或或或或或， 综上所述，以点，，为顶点的等腰三角形有个； ， ； （3）解：图象的性质：①当时，随增大而减小； ②当时随增大而减小； ③函数的图象关于原点对称； 18．（2026·四川成都·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，B两点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，D． (1)求线段的长； (2)已知P为y轴正半轴上一点，若为直角三角形，求点P的坐标； (3)如图2，将线段，组成的折线段“”沿x轴正方向平移得到折线段“”，点D，A，C的对应点分别为．与反比例函数的图象交于点E，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点F，与交于点G．试探究：在平移过程中，的值是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)是定值， 【分析】（1）将代入反比例函数解析式求出点A坐标，再代入正比例函数解析式求出直线解析式，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称即可求出，最后根据两点距离公式求解即可； （2）设，，分三种情况讨论直角位置： ①，②，③，根据勾股定理列方程求解即可； （3）设平移距离为，则，，，求出直线的解析式，与联立，求出点，求出的解析式，直线的解析式，联立后求出交点的横坐标，过点分别作轴，轴，根据平行线分线段成比例得出，即可解答． 【详解】（1）解：∵在反比例函数上，代入得，即， 将代入得，直线为， ∵正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称， ∴， 由两点距离公式：； （2）解：设，， 分三种情况讨论直角位置： ①：由勾股定理得， 则， 化简得， 故（负值已舍去）， 即； ②：由勾股定理得， 则， 解得， 即； ③：由勾股定理得， 则， 解得：，不符合，舍去； 综上，若为直角三角形，则或； （3）解：根据（1）可知， ∴， 设平移距离为，则平移后各点坐标：，，， 设直线的解析式为， 代入点和点得， 解得：， ∴直线的解析式为， 直线的解析式与联立得，整理得， 解得：或， ∴点， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式和直线的解析式得， 解得：， 即交点的横坐标， 过点分别作轴，轴， 则， ∴， ∵， ∴． 19.（2026·四川达州·中考真题）数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”：当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点． 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1．因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数” 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定与的关系时，由函数表达式得，去分母得，因为，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数” 【问题解决】 (1)对于函数①，②，③．其中①与②是“______函数”，①与③是“______函数”； (2)若与是“友好函数”，如图2，当时，的取值范围是______；若与是“相连函数”，则的值为______； (3)如图3，过点的直线、对应的函数分别与（，），（，）是“相连函数”，相连点分别为，，、与轴分别交于，两点，已知，，求的值． 【答案】(1)陌生；友好 (2)或； (3) 【分析】（1）联立函数，根据方程的解的个数判断函数类型即可； （2）根据图象判断时，的取值范围；联立与，由求出的值； （3）设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为，将与联立，并结合可得，进而计算出点的坐标为，同理，点的坐标为．由可得，利用完全平方公式变形可计算出的值． 【详解】（1）解：对于①与②，联立得， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数解，即与无交点， ∴①与②是“陌生函数”， 对于①与③，联立得， 整理，得， ∴， ∴与有两个交点， ∴①与③是“友好函数”； （2）解：由图可知，两个函数的交点的横坐标为和，且在和部分，反比例函数的图象高于一次函数的图象， ∴当时，的取值范围是或； 联立与，得， ， 整理，得， ∵与是“相连函数”， ∴， 解得； （3）解：设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为， 联立与，得， ， 整理，得， ∵与是“相连函数”， ∴， ∴，即， ∴直线的函数解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为， ∴，即， ∴． 考点04 二次函数 1．（2026·四川甘孜·中考真题）对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 2．（2026·四川广元·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出二次函数的对称轴和顶点坐标，再根据与对称轴的位置关系分类讨论，求出关于的分段函数表达式，最后根据表达式判断函数图象． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，的最小值为， 分三种情况讨论： ①当在对称轴左侧，即， 解得时，随的增大而减小 ， 当时，取得最小值； ②当包含对称轴，即， 解得时，的最小值为顶点的纵坐标， ； ③当在对称轴右侧，即时，随的增大而增大 ， 当时，取得最小值， 综上所述，与的函数关系为：， 观察图象可知，当时，图象为平行于轴的线段； 当或时，图象为开口向上的抛物线的一部分 ，故A符合题意． 3．（2026·四川宜宾·中考真题）点是抛物线的顶点，点、在抛物线上（其中）．下列结论： ①当点在轴上时，；②点在直线上；③；④当点所在直线与线段没有交点时，的取值范围是；⑤当点在原点时，过点的直线与抛物线交于、两点，则． 其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】先对抛物线配方得到顶点坐标，再逐个验证五个结论，利用二次函数顶点坐标性质、对称点性质、交点判断等初中知识逐一分析，统计正确结论个数即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， ①若在轴上，则顶点纵坐标为，即， 解得，故①正确； ②将代入，当时，， ∴点不在直线上，故②错误； ③∵，纵坐标相同，对称轴为， ∴， 解得， 将代入抛物线得， ∴， 当时，不满足，故③错误； ④∵顶点坐标为， ∴， ∴所在直线为， 将代入得，， 解得， ∵当点所在直线与线段没有交点时， ∴或， ∴或， 整理得，或， ∵， ∴， ∴无解； ∵， ∴， ∴，故④正确； ⑤∵点在原点， ∴，， ∴， ∴抛物线为， 当过的直线是时，此时直线与抛物线只有一个交点不符合题意， 则可设过的直线为， 联立得， 整理得，， 设，， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴ ∴， ∴， 同理可得，， ∴，故⑤正确． 综上，正确结论为①④⑤，共3个． 4．（2026·四川巴中·中考真题）关于二次函数，下列说法正确的个数是（     ） ①它的图象经过第一、二、三象限； ②当时，y随x的增大而增大； ③它的图象可由向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到； ④直线（k为常数）与它的图象一定有两个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先将二次函数配方为顶点式，再结合二次函数的图象性质、平移规律、交点与判别式的关系，逐个判断即可得结论． 【详解】解：∵， ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ①令，得，解得或，即抛物线与轴交于和， ∵抛物线开口向上， ∴当时，恒成立，不存在且的点， ∴图象不经过第三象限，故①错误； ②∵ 开口向上，对称轴为， ∴ 时，随的增大而增大，又， ∴ 时随的增大而增大，故②正确； ③根据平移规律可得，向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的二次函数解析式为，与原函数一致，故③正确； ④联立，整理得， ∵恒成立， ∴方程总有两个不相等的实数根，即直线与抛物线一定有两个交点，故④正确； 综上所述，正确的说法共3个． 5．（2026·四川乐山·中考真题）已知二次函数，有下列结论： ①二次函数图象与轴的交点坐标是； ②二次函数的顶点坐标是； ③若二次函数图象经过、两点，且，则； ④当时，二次函数的最大值为，最小值为，则的值与无关． 其中，正确的结论有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据二次函数的基础性质，逐一验证四个结论，利用代入法、配方法、分类讨论区间最值的方法判断结论正误． 【详解】解：对①：令，得，∴二次函数图象与轴交点坐标是，①正确． 对②：对函数配方得， ∴顶点坐标为，结论中横坐标错误，②错误． 对③：代入坐标得，，∵， ∴，化简得，结论错误，③错误． 对④：二次函数开口向上，对称轴为，对区间分情况讨论： 若，即，二次函数随的增大而增大，，不含； 若，即，二次函数随的增大而减小， ，不含； 若，即，最小值为顶点纵坐标，最大值在离对称轴更远的端点，计算得仍消去，不含； 因此的值与无关，④正确． 综上，正确结论共个． 6．（2026·四川南充·中考真题）已知抛物线与，过原点O的直线l与抛物线，的另一个交点分别为，，如果，则m的值为（     ） A．或 B．或1 C．或 D．或1 【答案】A 【分析】设过原点的直线方程，联立两个抛物线得到交点坐标，利用两点间距离公式列方程求解m即可． 【详解】解：设过原点的直线为，， 联立直线与抛物线，消去y得：，解得：， ∴的横坐标为，代入得：， ∴， 同理联立直线与抛物线得：的坐标为， ∴根据两点间距离公式可得： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴约去公因式得，整理得， 解得：，， 经检验：，都是方程的解， ∴的值为或． 7．（2026·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 【答案】或 【分析】设，，可得是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系表示与，结合的条件，建立关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：设，， 令，得 ， 由根与系数的关系得，， ， ∵， ∴， 两边平方得， 整理得， 因式分解得， 解得或． 8．（2026·四川内江·中考真题）在边长为6的正方形 中，点、分别为对角线、边上的动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，证明是等腰直角三角形，四边形是矩形，设，求得，，在中，由勾股定理得，最后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：过点作于点，交于点， ∵四边形是正方形，边长为6， ∴，，， ∵， ∴是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴，，， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中， 由勾股定理得 ， ∵，， ∴当时，有最小值， ∴的最小值为． 9．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，，，将绕点逆时针旋转得到．连接，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】首先构造辅助线与全等三角形，将转化为；再用代数表达式表示的长度；最后通过二次函数的性质求的最小值，即的最小值． 【详解】解：过A作，使，连接、． ∴, ∵， ∴； 又， 设，则． 由旋转性质，得，， ， 又, ， ∴． 在中，， 在中，由勾股定理得， 代入、， 化简得：， ∵， ∴抛物线开口向上， 故当时，取最小值，故 ，即． 10．（2026·四川攀枝花·中考真题）已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入二次函数中，得到，即可得到函数图象的顶点坐标为； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，根据当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，得到，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴，解得； ∵当时，随的增大而增大， ∴，解得， ∴的取值范围是． 11．（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每月产量的增长率为 . (2)应降价元，最大利润为 元. 【分析】（1）设每月产量的增长率为，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）设降价元，每天总利润为 元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额． 【详解】（1）解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得 , ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； （2）解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴， ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 12．（2026·四川巴中·中考真题）如图，抛物线（）与轴交于、两点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值； (3)在第二象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）由题意易得，连接，设，其中，然后根据割补法得到的面积，进而根据二次函数的性质进行求解即可； （3）过点作，交于点，过点作，取的中点，连接，过点作，过点作，由题意易得，，，然后可得，进而根据三角函数及勾股定理可进行求解． 【详解】（1）解：∵抛物线（）与轴交于、两点， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由（1）可知：抛物线的表达式为， ∴令时，则有，即， 连接，设，其中， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为； （3）解：存在点，使得， ∵，，， ∴， ∴，， 过点作，交于点，过点作，取的中点，连接，过点作，过点作，如图所示： ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为，则有， ∴， ∴的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为，把点代入得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（不符合题意，舍去）， ∴． 13．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于． (1)求抛物线的解析式； (2)将原点，点关于抛物线对称轴对称的点分别记为点，点，连接，，作的平分线交于点． ①求点的坐标； ②如图，点为直线左侧抛物线上一点，连接并延长交轴于点，连接交抛物线于点，连接，当时，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】直接将代入抛物线解析式，然后化成一般式即可； ①由题意可得，对称轴为，进而得到，即得，再利用角平分线的定义、特殊角的三角函数值、解直角三角形可得，即可确定点的坐标；②过点作于，则，设，得，即得，，，由得到，再利用解答即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于， ∴， 解得， ∴， 即； （2）解：①∵抛物线与轴负半轴交于点， ∴，对称轴为直线， ∵原点，点关于抛物线对称轴对称的点分别记为点，点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； ②如图，过点作于，则， 设，则， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）， ∴点的横坐标为． 14．（2026·四川凉山·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，对称轴是直线．动点M以每秒1个单位长度的速度，沿x轴从点O向点B运动，设运动时间为t（）秒，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，当t为何值时，四边形为平行四边形； (3)动点M开始运动时，另一动点Q同时以每秒0.5个单位长度的速度，沿x轴从点O向点A运动．当t为何值时，四边形的面积最大，并求最大面积． 【答案】(1) (2)3秒 (3)当时，四边形的面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据抛物线过点，，对称轴是求解即可； （2）用待定系数法求出直线的解析式为，求出，根据四边形为平行四边形得．设，，得出求解即可； （3）根据列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； （2）解：设直线的解析式为，把代入得， ， 解得． ∴． ∵， ∴， 当时，， ∴． ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． ∵过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，， ∴， 解得， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴； （3）解：由题意，得，则， 由（2）得，． ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，四边形的面积最大，最大面积为． 15．（2026·四川自贡·中考真题）平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． (1)求，的值． (2)如图，过原点的两条直线与该抛物线相交于点，，，（点在第三象限，点在第二象限）． ①求线段长度的最小值； ②连接，分别交轴于，两点，设，的面积分别为，，是否存在直线使?若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①线段长度的最小值为；②． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①设，求得，利用二次函数的性质求解即可； ②设，，分别求得直线、，的解析式，分别求得点、、的坐标，再求得直线的解析式，求得点的坐标，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过和两点， ∴， 解得； （2）解：①由（1）得， ∴抛物线的解析式为， 设， ∴， 令，， ∴， ∴当时，线段长度的最小值为； ②设，， 设直线的解析式为， ∴， 则直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， ∵，， 则直线的解析式为， 令，则， 解得， ∴； ∵，， ∴， ∴，的底边相同， ∴， ∴， ∴（舍去正值）， ∴ ∴直线的解析式为． 16．（2026·四川乐山·中考真题）已知抛物线交轴于A、两点（点在点的左侧），顶点为点． (1)求A、两点的坐标； (2)直线与抛物线交于，两点． ①若A、两点到直线距离相等，则直线过定点，请求出这个定点，并说明理由； ②若，试问直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①定点； 如图，设直线与轴交于点，过点作，过点作，垂足分别为、． ∴． 又∵A、两点到直线的距离相等， ∴． 又∵， ∴． ∴， 即：点为中点． ∵，， ∴中点， 即直线过定点； ②直线过定点 【分析】（1）令，解得，再根据抛物线交轴于A、两点（点在点的左侧），得到，． （2）①设直线与轴交于点，过点作，过点作，垂足分别为、．即可证明．得到，则点为中点，根据中点公式得到，即直线过定点； ②先求出顶点，过点作直线轴，过点D、分别作的垂线段，垂足分别为、，即可证明，得到，设，，分别表示出，，，，代入整理得，再联立，结合根与系数的关系得到，．即可得到，则，直线过定点． 【详解】（1）解：令，解得， ∵抛物线交轴于A、两点（点在点的左侧）， ∴，． （2）解：①略 ②∵的对称轴为，当时，， ∴顶点， 如图，过点作直线轴，过点D、分别作的垂线段，垂足分别为、， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴， 设，， ∴，，，， ∴． 整理得． ∵直线与抛物线交于，两点． ∴联立， 可得， ∴，． 代入可得， ∴． ∴， ∴当时，固定不变， ∴直线过定点． 17．（2026·四川宜宾·中考真题）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接．试判定的形状，并说明理由； (3)如图，点、是直线上两动点，且．求面积的最小值． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形，理由如下： 对于抛物线，对称轴为直线， 设直线，代入点、 ∴ 解得 ∴直线 将代入，得 ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴为等腰直角三角形； (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的表达式，然后求出点坐标，再由勾股定理逆定理求解即可； （3）过点作于点，解，求出，再解中，求出，可得为等腰直角三角形，则，作的外接圆，记作，连接，过点作于点，连接，则，可得为等腰直角三角形，则设，那么，由于，则，求出，故当点三点共线，且点重合时，取得最小值为，则此时取得最小值为，而的高为定值，即可求解面积最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴ ∵抛物线与轴交于点． ∴， 解得 ∴，即； （2）略 （3）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴在中， ∵， ∴在中，， ∵点、 ∴ ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ 作的外接圆，记作，连接，过点作于点，连接， 则， ∵ ∴为等腰直角三角形，， ∵， ∴均是等腰直角三角形， ∴， 设， 则， ∴， ∵， ∴， 解得， 当点三点共线，且点重合时，取得最小值为 ∵， ∴此时取得最小值为， 而高为定值， ∴的面积最小值为， ∴的面积为． 18．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，连接，已知点，对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)点P是直线上一个动点，连接， ，当的长度最小时，求点P的坐标； (3)点Q是二次函数图象上一个动点，当时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）代入点坐标以及利用对称轴公式求解即可； （2）过点关于直线的对称点，连接，由于，故当点三点共线时，取得最小值，此时点为与直线的交点，然后求出，则直线，再求出直线，联立即可求解交点P的坐标； （3）分两种情况讨论，点在直线上方或者点在直线下方，通过添加辅助线构造相似三角形求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线经过点，对称轴为直线 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：过点关于直线的对称点，连接， ∴，当点三点共线时，取得最小值，此时点为与直线的交点， 对于，当时， ∴ ∵，对称轴为直线 ∴ ∴，而 ∴， 由对称可得，， ∴ ∴ 设直线 则，解得 ∴直线 设直线 ∴ 解得 ∴直线 联立， 解得 ∴点； （3）解：当点在直线上方时，过点作交射线于点， ∵ ∴， 过点作轴于点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， 同理可求直线， 与抛物线表达式联立可得， 解得或 ∴； 当点在直线下方时，设直线与轴交于点，取点，连接， 则 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， 同理可求直线， 与抛物线表达式联立可得， 解得或 ∴， 综上：点Q的坐标为或． 19．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，点P是第一象限内二次函数图象上的点，过点P作于点H，求线段的最大值； (3)连接，点D与点C关于原点成中心对称，在二次函数的图象上找一点E，作射线，使，求点E的纵坐标． 【答案】(1) (2) (3)或2 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴交于点Q，求出点B的坐标为；则可求出直线的函数表达式为；设点P的坐标为，则点Q的纵坐标为，故；可证明；则可证明，据此可得答案； （3）当点E在点B上方时，设交x轴于点H，可证明，则可证明，得到；设，则，由勾股定理得，解方程推出，则直线的函数表达式为，联立，解得或（舍去），则点E的纵坐标为2；当点E在点B下方时，可证明，即轴，则点E的纵坐标为． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为； （2）解：如图所示，过点P作轴交于点Q 在中，当时，， 解得或， ∴点B的坐标为； 设直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； 设点P的坐标为， ∵轴， ∴点Q的横坐标为p， ∴点Q的纵坐标为， ∴； ∵轴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为； （3）解：如图3-1所示，当点E在点B上方时，设交x轴于点H， ∵，点C与点D关于原点成中心对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； 设直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为， 联立，解得或（舍去）， ∴点E的坐标为， ∴点E的纵坐标为2； 如图3-2所示，当点E在点B下方时， 同理可得， ∴，即轴， ∴点E的纵坐标与点D的纵坐标相同，即点E的纵坐标为； 综上所述，点E的纵坐标为或2． 20．（2026·四川广元·中考真题）定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”． 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点． (1)如图1，若点为线段的中点，二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点，求该二次函数的解析式； (2)在（1）的条件下，若直线上方抛物线上有一点，使，求点的坐标； (3)点在线段上，若抛物线和抛物线的“顶点弦”分别为和，点为和的顶点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可求得，两点的坐标，再由中点坐标公式可求得点的坐标，设二次函数解析式的顶点式，再将点的坐标代入，即可求解； （2）设直线与轴交于点，过点作轴于点，从而求得，得到为等腰直角三角形，由，，得到，，利用待定系数法求得直线的解析式为，根据题意令，即可求解； （3）设，再根据顶点式可表示出和的解析式，由在抛物线上，在抛物线上，可得①，②，与③，联立即可确定点的坐标，再过点作轴于点，最后根据平行线分线段成比例列式计算即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点， ∴令，即，解得， 令，； ∴，， ∵点为线段的中点， ∴，即， ∵二次函数的“顶点弦”为线段，且点为顶点， ∴设二次函数解析式为， 将点代入，得，解得， ∴二次函数解析式为； （2）解：设直线与轴交于点，过点作轴于点， ， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 将点，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， ∴令，解得，（舍去）， ∴； （3）解：设， ∴，， ∵在抛物线上，在抛物线上， ∴①，②， ∵③， ∴联立①②③，得到，解得，（舍去）， ∴， 如图，过点作轴于点， ∴轴， ∴． 21．（2026·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线（）与抛物线相交于，两点．，两点在抛物线上，且． (1)若点的坐标为，求的值和点的坐标； (2)在（1）的条件下，记，两点的横坐标分别为，（），当时，函数总在处取得最大值，求的取值范围； (3)若，直线，的交点恰好落在轴正半轴上，求点的坐标和的值． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)的取值范围是 (3)点E的坐标为， 【分析】（1）将已知点的坐标代入直线解析式，求出的值，再联立直线与抛物线的解析式，解方程组得到点的坐标； （2）根据设出直线的解析式，联立抛物线方程，利用根与系数的关系得到的值，再结合二次函数的图像性质，根据函数在区间上的最大值位置，列出关于函数对称轴的不等式求解； （3）先联立直线、与抛物线的方程，利用根与系数的关系得到交点横坐标的和与积，再根据建立水平距离的关系，求出与的关系式，然后利用、、和、、三点共线的条件，得到关于的关系式，联立求解得到的值，进而求出的值和点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入， 则， 解得：， ， 联立，可得， 解得：，， 点的坐标为， 点的横坐标为， 将代入得， 点的坐标为； （2）解：， 设的函数解析式为：， 联立， 则， 由根与系数的关系得， 函数图像为开口向上的抛物线，对称轴为， 要使函数在处取得最大值，需满足右端点到对称轴的距离不小于左端点到对称轴的距离，即：， 则，即， 解得：； （3）解：设的函数解析式为：， 联立， 则， 设，， 由根与系数的关系得，， 的水平距离， 同理，联立， 则， 设，， 由根与系数的关系得，， 的水平距离， ，， ， ，整理得， 即， 设， 如图， 、、三点共线， ∴直线的k值与直线的k值相等， ， 化简得，，则， 同理由、、三点共线得， ， 整理得，， ，，， ， 解得：， ， 解得：， ，， ， ， 点的坐标为，的值为． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、直线与抛物线的交点问题、根与系数的关系的应用、二次函数的最值问题以及利用三点共线求解参数等知识点，熟练掌握一次函数与二次函数的图像与性质、灵活运用根与系数的关系是解答本题的关键． 22．（2026·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于、两点，与 轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点 是直线 下方抛物线上一个动点，求四边形 面积的最大值及此时点 的坐标； (3)如图2，点 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与 轴交于点 ，直线（ 为常数）交抛物线于 、 两点（点 、 分别在抛物线对称轴的两侧），直线交 轴于点 ，直线交 轴于点．试探究是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为；点的坐标为 (3)是定值，定值为 【分析】（1）先写出交点式，再代入点C坐标求解即可； （2）过点作轴，交于点，可求直线，根据，可得当面积最大时，四边形面积最大，设（），则，那么，再由，得到，再利用二次函数的性质求解即可； （3）不妨设点、分别位于对称轴的左右两侧，可求顶点，则，设，，联立直线与抛物线，整理得，，则，可求直线，求出，同理可得，则，，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴ ∵抛物线与轴交于点 ∴， 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：过点作轴，交于点， 设直线， 代入，可得， 解得 ∴直线 ∵ ∴当面积最大时，四边形面积最大， 设（），则 ∴， ∴， 即 ∵，， ∴当时，的面积最大为， ∴四边形面积最大值为， ∴此时点纵坐标为， ∴点的坐标为； （3）解：是定值， 如图，不妨设点、分别位于对称轴的左右两侧， 抛物线， ∴顶点 ∴ 设， 联立直线与抛物线， 则 整理得，， ∴， 设直线，则 解得 ∴直线， 令，则，解得， ∴，同理可得， ∴，， ∴． 23．（2026·四川广安·中考真题）如图，二次函数（a，b为常数，）的图象与轴分别交于点，点，与轴交于点，，． (1)求二次函数的解析式； (2)①连接，点是第一象限内抛物线上的一动点，当点到的距离最大时，求点的坐标； ②在①的条件下，点，分别是轴和抛物线对称轴上两个动点，且轴，连接，，，求的最小值； (3)在（2）的条件下，平面内是否存在点，使以点，，为顶点的三角形为等边三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②6； (3)存在，Q的坐标为， 【分析】（1）由且，可得，，即，．将两点坐标代入，求解即可； （2）①先求直线解析式为，由为等腰直角三角形，可知点到的距离与竖直线段成正比，设，表示出的长度并配方，当时最大，即可求出点P坐标；②先求出抛物线对称轴为，根据轴，可得为定值．将点向右平移1个单位得，则，原式转化为．当、、三点共线时和最小，由两点间距离公式得，即可求出最小值； （3）已知、，先求得，设的中点为G，则，由三线合一可得，设，由可得，，再结合等边三角形的高列方程求解，得到的两个坐标，对应线段两侧的两种情况． 【详解】（1）解：，， ，， ，， 将，代入中， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：①过点作轴的垂线交轴于点，交于点，过点作于点，如图， 当时，， ∴， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ， ， 在中，， 设的解析式为， 将和代入， 得， 解得， ∴的解析式为， 设，则， 为第一象限内的点， ， ∵， 当时，最大，即当取最大值时，最大，此时； ②将点向右平移1个单位长度得点，则，连接交对称轴于点，如图， ∵，且， ∴， ∵， ， ∴ 当，，三点共线时，最小，为， ∵，， ∴， ， 的最小值为6； （3）解：由（2）得，点坐标为， ∴，， 在中，， 设的中点为G，连接，如图， 则G的坐标为，即，且， ∵为等边三角形， ∴，且， 在中，， 设，由得， 解得， 又∵， ∴ 将代入，得 解得或， 当时，，即； 当时，，即， 综上所述，点Q的坐标为和． 【点睛】本题是二次函数综合题，核心是利用平移法处理定长线段最短路径，避免配方计算失误、平移方向与距离出错、漏解等边三角形的两种位置． 24．（2026·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．与轴交于点．直线经过点、与轴交于点． (1)求的值及抛物线的函数表达式； (2)若线段在抛物线的对称轴上运动，且，求四边形周长最小时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为平移后的抛物线对称轴上一动点，请问是否存在以，，为顶点的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在．说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，、、、 【分析】（1）将点代入直线方程求，得到点坐标，再代入抛物线交点式求系数，展开得抛物线表达式； （2）、为定长，将周长最小转化为求的最小值；通过平移构造平行四边形、作轴对称，利用两点之间线段最短确定点位置，联立直线与对称轴求解； （3）先根据平移方向与距离，得出平移后抛物线的对称轴，设点坐标；分三个顶点分别为直角，利用勾股定理列方程求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， ∵直线经过点，且点在轴上， ∴令，得， ∴， ∵抛物线与轴交于点， ∴把代入，得， 解得， ∴， 综上所述，，抛物线的函数表达式为； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形的周长为：， ∴求四边形周长的最小值，只需求的最小值， ∵抛物线的函数表达式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵、在直线上，且，在上方， ∴设，， 如图：把点向上平移2个单位得，作与关于直线对称，则，连接、、、、， 在四边形中， ∵轴，轴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵与关于直线对称，在直线上， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点在与直线的交点处时，最小， 设直线的函数解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴； （3）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴令，得， 解得：或， ∵在左侧， ∴，， ∵由（1）知，， ∴，， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度，且在抛物线上，， ∴点沿射线方向平移个单位长度后与点重合， ∵，， ∴抛物线沿射线方向平移个单位长度可看作整体向左平移3个单位长度，向上平移3个单位长度，如图： ∵抛物线的对称轴为直线， ∴平移后对称轴为直线， ∵点为平移后的抛物线对称轴上一动点， ∴设， ∵，， ∴，， ， 若，如图： 则， ∴， 解得， ∴， 若，如图： 则， ∴， 解得或， ∴或， 若，如图： 则， ∴， 解得， ∴． 考点05 函数与方程、不等式 1．（2026·四川内江·中考真题）如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 【答案】B 【详解】解：由函数图象知抛物线与轴交点在原点下方，则，故选项A不符合题意； 当时，，即，故选项B符合题意； 由图象知抛物线与轴有两个不同的交点，则，故选项C不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D不符合题意． 2．（2026·四川凉山·中考真题）已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．当或时， 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象及性质：抛物线的开口方向，抛物线与坐标轴的交点，抛物线的对称轴及对称性的特点对选项逐一判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ， 抛物线的对称轴， ， ，选项A错误； ，选项B错误； 抛物线关于对称轴对称， 关于的对称点为， 将代入抛物线，得， ， ，即，选项C错误； 由图象可知，当或时，，选项D正确． 3．（2026·四川眉山·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由题意可知抛物线开口向上，结合对称轴及点 坐标可得 ，利用的范围求的范围，利用顶点纵坐标为最小值判断不等式及方程根的情况． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上， ， 对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， 故①错误； ∵抛物线过点 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时， 有最小值 ， ∴对于任意实数，都有 ， ∴ ，即 ， 故③正确； 抛物线顶点坐标为 ，且开口向上， ∴ 的最小值为， ∴直线 与抛物线 没有交点， ∴关于的方程 没有实数根， 故④错误． 综上所述，正确的结论有②，共2个． 4．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，抛物线（为常数，且）与x轴的两个交点坐标分别为，且．下列结论：①；②；③；④若方程有实数根，则．其中正确结论的序号为（     ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质.根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点判断系数符号；利用抛物线解析式及的范围推导最小值范围；利用一元二次方程根的判别式判断结论④． 【详解】解：①抛物线开口向上， ， ∵与x轴的两个交点坐标分别为， ∴对称轴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴对称轴在轴右侧， ， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ， 故①正确； ， 由和可得， 故②结论错误； ③当时，抛物线有最小值，， ∵，， ∴当时，随增大而减小，当时，；当时，； ∴， 故③正确； ④方程有实数根， ，即. ， ， ， ， 故④正确． 综上所述，正确的结论是①③④． 5．（2026·四川达州·中考真题）二次函数（，）的自变量x与函数y的部分对应值如下表： 在下列结论中：①；②；③当时，y的值随着x值的增大而增大；④，是关于x的方程（）的两个根．正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据表格中值相等的点求出二次函数对称轴，结合已知点推导，，的关系，再逐一判断每个结论． 【详解】解：由表格可知，和时值均为， 因此二次函数对称轴为， 由对称轴公式得，即． 时，代入二次函数得，即， 将代入得，即． ①，，①正确． ②由可知成立，②正确． ③，抛物线开口向上，对称轴为，时，随增大而减小，③错误． ④已知是一个根，设另一个根为，由对称轴得，解得，因此方程两根为，④正确． 综上，正确结论共3个． 6．（2026·四川成都·中考真题）已知二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 3 … y … 3 4 3 0 … 下列说法错误的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线 C． D． 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再逐项判断即可． 【详解】解：将点代入得：， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴函数图象的开口向下，则选项A正确； 将二次函数化成顶点式为， ∴函数图象的对称轴是直线，则选项B正确； 又∵， ∴，则选项C错误； ，则选项D正确． 7．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线（）交于、B两点，与x轴交于点D． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)直接写出不等式的解集； (3)若点P为x轴上的动点，当为直角三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)当为直角三角形时，点P的坐标为或 【分析】（1）先得出，然后可得反比例函数解析式，进而联立函数关系式可得点B的坐标； （2）根据图象可直接进行求解； （3）由题意可设，则有，根据两点间距离公式可得：，，，然后可分当时，当时，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可把点代入直线得：， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得：或， ∴点B的坐标为； （2）解：由图象及（1）可知：不等式的解集为或； （3）解：由题意可设， 把代入直线得：，解得：， ∴， ∵， ∴根据两点间距离公式可得：，，， 当为直角三角形时，则可分： 当时，由勾股定理可得：， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； 综上所述：当为直角三角形时，点P的坐标为或． 8．（2026·四川眉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)将直线向下平移12个单位后交反比例函数的图象于，两点，交轴于点，连接，，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)24 【分析】（1）根据题目所给信息设解析式代入求解即可； （2）结合图像与不等式的几何意义判断即可； （3）先求出移动后直线解析式，设与轴交于点，与轴交于点，再分别求出点，，、，然后利用求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过，两点， ∴，， ∴，， ∴，， 将，代入一次函数，可得： ， 解得， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵不等式的几何意义是：一次函数图象在反比例函数图象上方（或重合）的范围， ∴不等式的解集是一次函数图象在反比例函数图象上方（或重合）的范围， ∵反比例函数的自变量取值范围为， 当时， ∵反比例函数的图象与一次函数的图像交于， ∴当时，根据图像一次函数图象在反比例函数图象上方， 当时， ∵反比例函数的图象与一次函数的图像交于， ∴当时，根据图像一次函数图象在反比例函数图象上方， 综上，不等式的解集为或． （3）解：∵直线向下平移12个单位后交反比例函数的图象于，两点，且直线所在一次函数的表达式为， ∴直线所在一次函数的表达式为， 如图，设与轴交于点，与轴交于点， ∴将代入得， 解得， ∴， 将代入得， 解得， ∴， ∴， ∵直线交轴于点， ∴将代入， ∴， 联立平移后直线与反比例函数，得：， ∴，即， 解得或， ∵点在第一象限， ∴，， ∴， ∵直线平移得到直线，直线和直线平行， ∴． 9．（2026·四川自贡·中考真题）如图，反比例函数与一次函数的图象相交于，两点，点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及的值； (2)请直接写出当时的取值范围； (3)点是直线上的一个动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)或； (3)点的坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）联立求得点的坐标为，根据函数图象即可求解； （3）先求得直线与坐标轴的交点坐标，证明是等腰直角三角形，得到点是的中点，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵一次函数的图象经过点， ∴，解得； （2）解：由（1）知一次函数的解析式为， 联立得， 解得或， ∴点的坐标为， ∴当时的取值范围为或； （3）解：设直线与坐标轴的交点分别为和， 令，则，令，则， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴点是的中点， ∴点的坐标为． 10．（2026·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于 的不等式的解集； (3)已知点是 轴上一点，连接、 ，若 的面积为15，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为 (2)或 (3)或 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数的表达式中求出反比例函数的表达式，进而求出点B的坐标，再根据点A和点B的坐标利用待定系数法求出一次函数的表达式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方或二者交点处时自变量的取值方式即可得到答案； （3）设直线交x轴于点D，求出点D的坐标，根据求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数的表达式得， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 把点代入得， ∴， ∴点B的坐标为， 把点A和点B的坐标代入一次函数的表达式得， ∴， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由函数图象可得关于 的不等式的解集为或； （3）解：如图所示，设直线交x轴于点D， 在中，当时，，解得， ∴点D的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的横坐标为或点C的横坐标为， ∴点C的坐标为或． 11．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围； (3)将一次函数的图象向上平移5个单位长度后，与x轴下方的反比例函数图象交于点P，求的面积． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）将 点的坐标代入反比例函数中求出 的值即可求反比例函数的解析式，通过反比例函数解析式求出 点的坐标，将 和 代入一次函数中联立方程组即可求出一次函数的解析式． （2）根据两交点的纵坐标值相等，观察图象即可求出时x的取值范围． （3）根据函数平移的性质求出平移后的两直线平行，设其交轴于点，则，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：在反比例函数上， ， ， 反比例函数的解析式为． ， ， ， ． 将和代入 中联立方程组得， 解得， 一次函数的解析式为． （2）解：当时，即在第二象限时， 是一次函数和反比例函数的交点， 时，， 欲使， 观察图象可知，． 当 时，即在第四象限时， 是一次函数和反比例函数的交点， 时，， 欲使， 观察图象可知，． ． 综上所述，时x的取值范围是或 ． （3）解：如图， 设一次函数 的图象向上平移5个单位长度后得到直线，设与轴交于点，则 ∵， ． 12．（2026·四川南充·中考真题）已知抛物线．（t为常数）． (1)若抛物线过点，，求t的值． (2)抛物线与x轴交于A、B两点，点为线段上一点，过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直线交于点M，N，求最大值． (3)点，都在抛物线上，当，时，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)或 【分析】（1）根据抛物线的对称性可进行求解； （2）由题意易得，，然后可得，进而根据二次函数的性质进行求解即可； （3）由题意可知抛物线的对称轴为直线，开口向下，则可分：①当时，②当时，③当时，④当时，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线可知：对称轴为直线， ∵抛物线过点，， ∴这两点关于对称轴对称，即， ∴； （2）解：令，则有，解得：， ∴抛物线与x轴的交点横坐标为，， ∵点为线段上一点， ∴， 解得：， ∵过点P作x轴垂线，分别与抛物线和直线交于点M，N，且， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为； （3）解：由题意可知抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 根据题意可知：当，时，的最小值应大于的最大值， 分析抛物线对称轴与和时三种关系， ①当时，如图， 此时，都有，符合题意； ②当时，且当时，此时当时，取得最小值，当时，取得最大值， ∴，解得：， ∴当时，恒成立， 当时，如图， 此时， 在上取得最大值，在上取得最小值， ∴，解得：， ∴当时，都有； ③当时，如图， 此时， 在上取得最大值，在上取得最小值， ∴，解得：， ∴当时，都有； ④当时，则， 若时，则的最大值大于，即不成立， 若时，如图， ∴当时，点C的纵坐标取得最大值，当时，点D的纵坐标取得最小值， ∴， 解得：； 综上所述：t的取值范围为或． 13．（2026·四川泸州·中考真题）已知二次函数． (1)若该二次函数的图象经过点，且关于直线对称，求二次函数的解析式； (2)当时，该二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，且是等腰三角形，求的面积； (3)当时，点，在该二次函数的图象上，若，求二次函数在上的最大值的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据待定系数法进行求解即可； （2）由题意易得，设该二次函数的图象与轴的交点坐标分别为，，当时，则有，那么是该方程的两个不等实数根，根据根与系数的关系可得：，然后根据两点间距离公式及等腰三角形的定义进行求解即可； （3）由题意易得，然后根据可得，则有该二次函数的对称轴范围为，进而根据二次函数的性质分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵该二次函数的对称轴为直线， ∴，即， ∵该二次函数的图象经过点， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：当时，则有， 令，则有，即， ∴， 设该二次函数的图象与轴的交点坐标分别为，，不妨设， 当时，则有，那么是该方程的两个不等实数根， ∴根据根与系数的关系可得：， ∴根据两点间距离公式可得：，，， 当该二次函数的图象与轴分别交于，两点，且在轴的右侧， ∵是等腰三角形， ∴， ∴，解得：（负根舍去）， ∴把代入得：，解得：， ∴，解得：， ∴， ∴； 当该二次函数的图象与轴分别交于，两点，且在轴的左侧， ∵是等腰三角形， ∴， 同理可得：； 综上所述：的面积为； （3）解：当时，则有， ∵点，在该二次函数的图象上， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴，即， ∴当时，即，此时二次函数在上，y随x的增大而增大， ∴二次函数在上的最大值为， ∵， ∴， 当时，即， ∴二次函数在上的最大值为， ∵， ∴，即， ∴； 综上所述：最大值的取值范围为． 1．（2026·四川成都·二模）已知点在y轴上，则m的值为（   ） A． B．3 C．0 D．6 【答案】A 【详解】解：因为点在y轴上， 所以横坐标， 解得． 2．（2026·四川乐山·一模）根据物理学中欧姆定律可知，当某电路中电压不变时，该电路中的总电流（单位：A）是该电路中总电阻（单位：）的反比例函数，其图像如图所示．当该电路中总电流大于时，该电路将可能烧坏．为了安全起见，则接入电路的总电阻应不小于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据电流的限制条件求出电阻的取值范围即可． 【详解】解：设（k为常数，）． ∵图像过点， ∴，解得：， ∴． 当时，， ∵， ∴，即，即选项A符合题意． 3．（2026·四川成都·二模）关于二次函数的部分图象如图，点，对称轴为直线．下列说法错误的是（     ） A． B．b2－4ac＞0 C．方程的根为：， D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程根的关系，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据二次函数的图象的性质逐一判断即可． 【详解】解：A.由图象的开口方向向下可知，，图象的对称轴为正可知，，图象与轴交于正半轴可知，，则，故不符合题意； B.由图象可知，抛物线与轴存在两个交点，则，故不符合题意； C. 由于抛物线过点，且对称轴为直线，根据对称性得，抛物线与轴的交点为，，即方程的根为：，，故不符合题意； D.当时，，根据图象和选项C可知，此时，而非，故符合题意． 4．（2026·四川成都·一模）已知函数，记其图象为C，则下列说法正确的是（   ） A．C是一个中心对称图形 B．的最小值为 C．方程有四个不等实根 D．直线l与C最多有4个交点 【答案】D 【分析】先对带绝对值的函数进行化简，再结合图像及二次函数性质逐一判断选项正误． 【详解】解：，则其函数图像如下： A选项，由图可知图象关于轴对称，不是中心对称图形，A错误； B选项，当或时取得最小值，不是，B错误； C选项，方程即，由图可知仅有2个不等的实根，C错误； D选项，直线l是一次函数，与每一段二次函数最多产生个交点，两段最多共个交点， 且存在直线（如）与有个交点，D正确． 5．（2026·四川乐山·一模）在平面直角坐标系中，y与x的函数关系如图所示，图象与x轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论： ①当时，； ②当时，y随x的增大而增大； ③点在此函数图象上，则符合要求的点只有一个； ④将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】结合函数图象逐个分析即可． 【详解】解：由图象可得， 当时，或，故①错误； 当时，y随x的增大而增大，故②正确； ∵， ∴点M在一次函数的图象上， 如图所示， 由图象可得，有3个交点， ∴点在此函数图象上，则符合要求的点有3个，故③错误； ∵函数经过点， ∴将函数图象向右平移2个或4个单位长度，经过原点，故④正确． 综上所述，上述结论中，所有正确结论的序号是②④． 6．（2026·四川广元·二模）如图①，在中， ，E、F分别是边，上的动点，且， D是的中点，连接，，，设，的面积为y，图②是y关于x的函数图象，则下列说法不正确的是（    ） A．是等腰直角三角形 B． C．的周长可以等于12 D．四边形的面积为4 【答案】C 【分析】通过函数图象的顶点坐标确定等腰直角三角形的直角边长，再利用全等三角形证明的形状，进而判断各选项的正误． 【详解】解：由题意，，为等腰直角三角形，，， ， ， ， ， ， ， 该二次函数图象的对称轴为直线， 由图②可知，对称轴为， ， 解得：， ， 当时，， 故选项B正确． 连接， 是的中点，，， ，，，， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， 故选项正确． ， ， ， ， 四边形的面积为， 故选项正确． 由知， 作于点， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ， 当时，，， 当或时，，， ， 为等腰直角三角形，， ， 的周长， 周长的最小值为， 周长的最大值为， ， 的周长不可能等于12， 故选项不正确． 7．（2026·四川南充·二模）如图，纵坐标分别为，的点，点均在函数（，）的图象上．，分别与轴、轴相切，半径是半径的2倍．若，两点间的距离为，则的值为（   ） A． B．3 C． D．不确定 【答案】A 【分析】由题意设，，则，从而，故，化简得，故，又，故，选A． 【详解】解：由题意设，，由题可知， 半径为， 半径是半径的2倍， 半径为， ， 点，点均在函数上， ，即， ，解得，， ，， ，两点间的距离为， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 8．（2026·四川成都·二模）氢氧化锂和氢氧化钠均可作为吸收二氧化碳的吸收剂，实验表明：在相同条件下，吸收的质量与吸收剂的质量之间的关系如图所示，则根据该图象，选用______作吸收剂对的吸收效果更好．（请选填“”或“”） 【答案】 【详解】 如图所示，当2种吸收剂的质量相等时，吸收的质量大于吸收的质量，因此对的吸收效果更好． 9．（2026·四川泸州·二模）在平面直角坐标系中，点的坐标满足，则点在第__________象限． 【答案】二 【分析】根据平方和绝对值的非负性求出a与b的值，再根据平面直角坐标系中象限的坐标特征判断点A所在象限． 【详解】解：，且，， ，， 解得，， 即点的坐标为，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0，因此点位于第二象限． 10．（2026·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与函数的图象有且只有一个交点，请你写出一个符合条件的实数a的值______． 【答案】 1（答案不唯一） 【分析】先对函数去绝对值分段，联立一次函数得到两个一元一次方程，根据一元一次方程解的情况判断交点个数，当仅一个方程存在符合定义域的解时，满足只有一个交点的条件，即可得到符合要求的的值. 【详解】对函数去绝对值可得： 当时，；当时，. 联立一次函数与，得： ，整理得. 联立一次函数与，得： ，整理得. 若两个函数图象只有一个交点，则只需其中一个方程无解，另一个方程有符合定义域的解. 当，即时，方程无解，将代入得，解得，此时两个函数只有一个交点，满足条件. 故答案为（答案不唯一） 11．（2026·四川内江·二模）已知a、b都是非负数，且，设，则S的最大值是___________． 【答案】9 【分析】先根据已知条件用含的代数式表示，再代入得到关于的一次式，结合，为非负数得到的取值范围，根据一次函数的性质求得的最大值； 【详解】解：， ， ，都是非负数， ，， 解得， 将代入得： ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值． 12．（2026·四川南充·一模）如图，在平面直角坐标系中，一束光线经过点照射在x轴上的平面镜上的点处，反射光线经过点，则的值为____． 【答案】2 【分析】由入射角等于反射角得出，作点关于x轴对称点，连接，进一步得出点，点P和点B在一条直线上，通过待定系数法求出直线的解析式为，把点代入解析式，得出，然后将代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵入射角等于反射角， ∴， 作点关于x轴对称点，连接 ∴， ∴， ∴点，点P和点B在一条直线上， 设直线的解析式为， 把，代入， ∴， 解得， 则直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， ∴ ∴． 13．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数：的图象交于，两点，点在第四象限，则_____；过点作直线的平行线在第四象限交于点；过点作直线的平行线在第四象限交于点按此规律，记，过点作直线的平行线在第四象限交于点，则点的坐标为_____． 【答案】 2 【分析】解题思路：先联立直线与反比例函数解析式求出交点的横坐标；再根据平行线性质、反比例函数图象上点的特征和一元二次方程根与系数的关系，推导出的递推规律，进而求出的坐标． 【详解】解： 直线与反比例函数交于A，B两点 ， ， ， 在第四象限， ； 在上， ， ， ，直线的解析式为， 设过平行于的直线解析式为， 联立与得， ， 两根为，的横坐标， ∴， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 14．（2026·四川广元·二模）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在轴负半轴、轴正半轴上．以、为边，在第二象限内作矩形，点的纵坐标为，点、分别在线段、上，沿将四边形翻折，点与点恰好重合，点的对称点为．若点和线段的中点都在双曲线上，则_______． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得出，，，结合题意设，，则点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，根据折叠的性质得出，，，根据等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，求出线段的中点的坐标为，根据反比例函数上点的坐标特征得出，结合勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 设，， 则点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 由题可知，四边形沿翻折得到四边形，， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴点的坐标为； ∴线段的中点的坐标为 ∵点和线段的中点都在双曲线上， 故将、代入，得，， 整理，得； 在中，， 即， 故 解得：（负值舍去）， ∴点的坐标为， 故将代入，得． 15．（2026·四川南充·二模）抛物线的对称轴在轴右侧，点，，都在抛物线上，若，则的取值范围是________． 【答案】或 【分析】先利用点和点纵坐标相等，求出抛物线对称轴，再结合开口向上的二次函数性质，函数值越大对应点到对称轴距离越大，列出不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵抛物线中，二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∵对称轴在轴右侧， ∴， 即， 点和纵坐标相等， 关于抛物线对称轴对称， 抛物线对称轴为 ， ， 即， ，， 点到对称轴的距离为 ，点到对称轴的距离为， ，开口向上，函数值越大，点到对称轴的距离越大， ， 即或 ， 解得或， 当时， ， 点在抛物线上， ，即 ， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， 即 ， 两边平方得：， 展开得： ， 整理得： ， 解得， ∵对称轴在轴右侧 ∴， 即， 综上，的取值范围是或． 16．（2026·四川南充·二模）初夏到来，某商场订购一批进价为40元的凉鞋．按往年情况，若按每双50元的价格销售，每月能卖出3000双：若按每双55元的价格销售，每月能卖出2500双，每月销量（双）与销售单价（元）之间满足一次函数关系．售价不低于进价，每双凉鞋的毛利不高于进价的． (1)求与之间的函数关系式，并指出销售单价每提高1元对销量的影响； (2)当售价定为多少时，该商品每月的毛利最大？最大毛利是多少？ 【答案】(1)，销售单价每提高1元，每月销量减少100双 (2)售价定为56元时，每月毛利最大，最大毛利为38400元 【分析】（1）利用待定系数法求解一次函数解析式，根据一次函数斜率得到单价对销量的影响，结合题干条件确定自变量的取值范围； （2）根据总毛利=单双利润×销量列出二次函数解析式，结合二次函数的性质和自变量的取值范围求解最大值即可． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 由题意得，时，，时，， 代入得， 解得， 因此函数关系式为， 根据题意，售价不低于进价，毛利不高于进价的， 可得， 即， 由可知，销售单价每提高1元，每月销量减少100双； （2）解：设每月毛利为元， 根据题意得， 整理得， 该二次函数开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴随的增大而增大， 因此当时，取得最大值， 答：当售价定为56元时，该商品每月的毛利最大，最大毛利为38400元． 17．（2026·四川广元·三模）某校为保障化学实验课正常开展，决定采购托盘天平和铁架台两种常用实验器材．市场调查发现购买3套托盘天平和2套铁架台共需260元；购买2套托盘天平和3套铁架台共需240元． (1)求每套托盘天平和每套铁架台的费用； (2)学校计划一次性购进两种实验器材共30套，采购总费用不超过1500元，且托盘天平的数量不少于铁架台数量的一半．请设计最省钱的采购方案，并计算最低总费用． 【答案】(1)托盘天平的单价是60元，铁架台的单价是40元 (2)安排采购10套托盘天平，20套铁架台，最低采购总费用1400元 【分析】（1）设每组托盘天平的单价是x元，铁架台的单价是y元，列出二元一次方程组，解方程即可求解； （2）设购进托盘天平m套，则购进铁架台套，采购总费用为，先列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组求出m的取值范围；再表示出，根据一次函数的性质，判断W随m的变化情况即可作答． 【详解】（1）解：设每套托盘天平的单价是x元，铁架台的单价是y元， 依题意得：， 解得：， 答：托盘天平的单价是60元，铁架台的单价是40元． （2）设购进托盘天平m套，则购进铁架台套，采购总费用为， 依题意得：， 解不等式①得：； 解不等式②得：． ∴m的取值范围为：， 根据题意：采购总费用， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时最省钱，此时，（元）， ∴安排采购10套托盘天平，20套铁架台，最低采购总费用1400元． 18．（2026·四川乐山·一模）绿动未来——树木固碳护家园 【素材呈现】 为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，棵成年杨树和棵成年冷杉每年大约吸收千克二氧化碳，而棵成年杨树和棵成年冷杉每年大约吸收千克二氧化碳． 【问题解决】 (1)填空：每年每棵成年杨树大约吸收二氧化碳 千克； (2)某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共棵，设购买杨树棵，这棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克． ①求与的函数关系式； ②杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请设计一个采购方案，使得这棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【答案】(1) (2)①；②采购方案为购买杨树棵，冷杉棵时，吸收的二氧化碳总量最大． 【分析】（1）设每棵杨树、冷杉每年吸收二氧化碳的量分别为千克、千克，根据题目给出的两组数量关系，列二元一次方程组求解的值． （2）①已知杨树棵，则冷杉为棵，结合（1）中求出的单棵吸收量，根据总吸收量杨树吸收量冷杉吸收量列出与的函数关系式．②先根据杨树棵数不超过冷杉的一半列出一元一次不等式，求出的取值范围；再结合一次函数的增减性，确定使最大的值，从而得到采购方案． 【详解】（1）解：设每年每棵成年杨树大约吸收二氧化碳千克，每棵成年冷杉大约吸收二氧化碳千克．则 ， 解得， ∴每年每棵成年杨树大约吸收二氧化碳千克． （2）解：①已知购买杨树棵，则购买冷杉棵， ， ， ， ②由题意得 解得， 为非负整数，且中， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，此时． ∴采购方案为购买杨树棵，冷杉棵时，吸收的二氧化碳总量最大． 19．（2026·四川眉山·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)过点作轴的垂线，将一次函数的图象向上平移，交轴于点，交直线于点，连接．当是以为腰的等腰三角形时，求平移的距离． 【答案】(1)， (2)5或6 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）设平移后的函数解析式为（），先求出C、D的坐标，然后分；讨论，根据两点间距离公式构建关于h的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； （2）解：设平移后的函数解析式为（）， 当时，；当时，， ∴， 当时，则， 解得； 当时，， 解得或（舍去）， 综上，平移的距离5或6． 20．（2026·四川泸州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积； (3)在轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)4 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，再求出直线的解析式为，过点作轴的垂线交于点，可得，根据，即可求解； （3）根据题意可得，设，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数，则， 解得， ∴反比例函数的表达式为， 将点，点代入一次函数，则， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：将代入，则，将点代入，得，解得， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴的垂线交于点，则点的横坐标为， 将代入，则， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵点，点， ∴， ∵点在轴上， 设， ∴，即， 解得， ∴点的坐标为或． 21．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与反比例函数的图象交于点，已知点，点在反比例函数的图象上，直线交轴于点． (1)求直线的表达式及的值； (2)当时，求的面积； (3)点在点左侧运动时，是否存在点使得与相似？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为； (2)5或9 (3)存在，点的坐标为 【分析】（1）先利用待定系数法求出直线的表达式，再求出点A的坐标，最后利用待定系数法求出k的值即可； （2）当点在点的左侧时，根据题意可得点是的中点，则点P的横坐标为，进而可得，则，根据可得答案；当点P在点A右侧时，过点A和点P分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，由平行线分线段成比例定理得到，则可推出；求出直线的表达式为，得到，根据可得答案； （3）根据题意只存在这种情况，则可推出，求出点C的坐标，进而求出直线的表达式，再求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：直线是过原点的直线， 设直线的表达式为， 将点代入中，得，解得， 直线的表达式为； 点在直线上， ， ， ∴ 点在反比例函数的图象上． ； （2）解：如图所示，当点在点的左侧时， ， 是的中点， ∵点C在y轴上， ∴点P的横坐标为， 由（1）得反比例函数的表达式为， 在中，当时，， 点， ∴，即， ∴； 如图所示，当点P在点A右侧时，过点A和点P分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为3， 在中，当时，， ∴； 设直线的表达式为，则， ∴， ∴直线的表达式为， 在中，当时，， ∴， ∴； 综上所述，的面积为5或9； （3）解：∵，且， ∴与相似时，与是对应角，即只存在这种情况， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设，则， 解得或（舍去）， ∴； 设直线的表达式为， 则， 解得， 直线的表达式为． 联立，得， ，是方程的两实数根， ， ， 在中，当时，， 点的坐标为． 22．（2026·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与y轴的交点为，与反比例函数的图象的一个交点为． (1)求k的值； (2)过点B作直线交反比例函数的图象于点C（异于点B），交y轴于点D，连接，若的面积为4，求点C的坐标； (3)将反比例函数的图象沿直线翻折得到如图2所示的曲线l，若点P为线段上的一点，作直线交曲线l于另一点Q，当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先求出一次函数的解析式为，可求出点B的坐标，即可求解； （2）设点，求出直线的解析式为，可得点D的坐标为，从而得到，再根据的面积为4，得到关于m的方程，即可求解； （3）证明为等腰直角三角形，可得，设线段关于直线的对称线段为，点P，Q关于直线的对称点分别为点，则，，可得点，，点在反比例函数的图象上，然后分两种情况：当点在的上方时，当点在的下方时，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与y轴的交点为， ∴， ∴一次函数的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴点， 把点代入得：； （2）解：由（1）得：反比例函数的解析式为， 设点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点D的坐标为， ∴， ∵的面积为4， ∴， 解得：或， ∴点C的坐标为或； （3）解：设直线与x轴交于点C， 对于，当时，， ∴点C的坐标为， ∵点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，设线段关于直线的对称线段为，点P，Q关于直线的对称点分别为点，则，， ∴， ∴轴， ∴点， ∵， ∴， ∵点Q在曲线l上，且反比例函数的图象沿直线翻折得到曲线l， ∴点在反比例函数的图象上， 当点在的上方时，过点作于点E，过点B作于点F，则，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点，即点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在的下方时， 过点作于点E，过点B作于点F， 同理， ∴； 综上所述，点P的坐标为或． 23．（2026·四川宜宾·二模）如图，已知直线交反比例函数图象于、两点（点在点右侧），交轴、轴于点、点．点为反比例函数第一象限图象上一点．若在轴负半轴，在直线上方，，． (1)求直线和反比例函数解析式； (2)若点的横坐标为2，求面积； (3)点为直线上的一动点，在反比例函数图象上存在一点．当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)15 (3)或或或． 【分析】（）求出点坐标，利用待定系数法可求出直线的函数解析式，进而可求出点坐标，过点作轴于，利用相似三角形的性质可得到点，即可求出反比例函数的解析式； （）过点作轴，交直线于，可知点F的横坐标为2，将分别代入，求出，由求出，，根据计算即可； （）分是边和对角线两种情况，根据平行四边形的性质解答即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， 把代入，得， ∴， ∴直线的函数解析式为， 把代入，得， ∴， ∴， ∴， 过点作轴于， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点在第一象限， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：过点作轴，交直线于， 可知点F的横坐标为2， 将分别代入，得： ，， 即， 由，解得，， ∴，， ∴； （3）解：当是边时，设，则， 则， ∵， ∴， 当时， 解得或， ∴或， 当时， 解得或， ∴或； 当是对角线时，则中点坐标为， 设， ∵点和点关于点对称， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， 解得， ∴或； 综上，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为或或或． 24．（2026·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴相交于点，点在反比例函数图象上． (1)求的值及点的坐标； (2)若为等腰直角三角形，，求反比例函数的解析式； (3)过点，的直线与轴交于点，点与点关于点对称，若存在，使得，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)反比例函数的解析式为或 (3)的值为或 【分析】（1）由待定系数法求出的表达式，进而求解； （2）当点在第一象限或第三象限时，利用一线三垂直构造三角形全等求点的坐标即可； （3）当点在第一象限或第三象限时，证明，则，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得，， ， 将点代入得，，解得， 直线的表达式为：， 令，即，解得， ； （2）解：当点在第一象限时，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，如图所示， ，， 为等腰直角三角形，， ，， ， ，，， ， ，， ， ， 点在反比例函数图象上， ，解得， 反比例函数的解析式为； 当点在第三象限时，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，如图所示， ，， 为等腰直角三角形，， ，， ， ，，， ， ，， ， ， 点在反比例函数图象上， ，解得， 反比例函数的解析式为； 综上所述：反比例函数的解析式为或； （3）解：如图，当点在第一象限时，设点， 点与点关于点对称， 点， ，，， ，， ， ，即， ， 解得（负值已舍去）， ， ， 为的中点， 由中点坐标公式得：点，即， ． 如图，当点在第三象限时，过点作轴于，过点作轴交延长线于点， 设点， 点与点关于点对称， 点， ，，， ，， ， ，即， ， 解得（正值已舍去）， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ，， ，即， ． 综上所述，的值为或． 25．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点，与y轴相交于点，点P是反比例函数图象上一动点，且不与点A重合，过点P作轴交直线于点Q．设点P的横坐标为t，且，连接． (1)求k，b，n的值； (2)当的面积为6时；求点P的坐标； (3)当点P在点A的右侧时，设的中点为点C，D为x轴上一点，E为平面直角坐标系内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，直接写出点P所有可能的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）表示出相关点的坐标，然后利用三角形面积列出方程求解； （3）根据正方形的性质，利用全等三角形得出相等的边，分情况列出方程求解． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴； 将代入，得， ∴； 将代入，得， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得（舍去）或或（舍去）或， 当时，； 当时，； 综上，或； （3）解：∵，的中点为点C，且， ∴； ①当时，符合题意，如图所示，过点作轴于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴当时，； ②当时，符合题意，如图所示，过点作轴于点，于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴当时，； ③当时，符合题意，如图所示，过点作轴于点， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴当时，； ④当时，符合题意，过点作轴于点，于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去） 当时，； 综上，或或． 26．（2026·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，抛物线L：与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，顶点坐标是． (1)求抛物线L的表达式； (2) M点是线段上的一个动点，N是位于抛物线第二象限上的动点，线段与交于点G； 当点M的坐标为时，是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在请说明理由； 当，且时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)存在，最大值为； 【分析】（1）根据顶点坐标可设抛物线的表达式为，代入点可求出a的值，再将顶点式转换为一般式即可求解． （2）待定系数法求出直线的解析式，过点N作轴，设点N坐标，通过证，将线段比转化为坐标比，进而建立关于点N横坐标的函数关系式，利用二次函数的性质求出最值. 根据几何构造添加辅助线（平行线、垂线），作且，过点P作交于H，连接并延长交y轴于点Q，过H点作，交y轴于点S，过点P作，则轴，轴，四边形是矩形，利用平行线与角度关系得到，在设，勾股定理求出，再利用线段的等量关系与和差计算得到，通过证明求出线段、的长度，设， ，然后证明 进而得到线段、的长度，再由四边形是平行四边形可得，结合线段关系求出线段、的长度，最后用含a的式子表示出N点坐标，代入抛物线解析式求出a的值，进而得到线段的长度即可反推出点M的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线L的顶点坐标是， ∴设抛物线L的表达式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线L的表达式为，即． （2）解：存在最大值，理由如下： 设直线的解析式为：， 把、代入得， 解得， ∴直线的解析式为：， 如图，过点N作轴交于点K，    设，则， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为． 如图，作，过点P作交于H，连接并延长交y轴于点Q，过H点作，交y轴于点S，过点P作，则轴，轴，四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，设， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 将点N代入中，解得或（舍）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，根据几何构造添加辅助线，利用三角形相似转化线段比是解题的关键． 27．（2026·四川南充·三模）如图，抛物线与轴分别交于点，点（点在点的右侧），与轴交于点，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点为直线上方抛物线上一点，连接，，点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当四边形面积最大时，求此时点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后经过点，在新抛物线上是否存在一点，使与互补，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，的最小值为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据对称轴得出，将代入，即可求解； （2）先求出点B，C的坐标，分析出当面积最大时，四边形面积最大，求出直线的解析式，设，则，表示出，即可得P点坐标；在轴上取点，使得，分别求出的长，最后根据两点之间，线段最短可得答案； （3）先求出平移以后的抛物线解析式，分2种情况，在轴上方和下方，解答即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）当时，得， ． 又点，关于对称轴直线对称，且， ， ， ， 又， 当面积最大时，四边形面积最大， 如下图，过作轴交于， ，， 直线的解析式为， 设，则， ， ， 当时，面积最大，此时四边形面积最大， ， ． 设对称轴与轴交于点，在轴上取点，且在直线的左侧，使得，连接，则，， 轴， ， 在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：， ， ， 此时，的最小值为； （3）在新抛物线上存在一点，使与互补，理由如下： ，， 新抛物线相当于将抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位， 新抛物线解析式为， 设， 如下图，当在轴上方时，过作轴于， 与互补，与互补， ， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， ； 当在轴下方时，同理可得， 解得：，（舍去）， ， 综上所述，点的坐标为或． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $