专题01 数与式及其运算（3年汇编）（河北专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 本试卷为初中数学“数与式及其运算”专题试题汇编，精选2024-2026年河北中考真题及模拟题，覆盖有理数、实数、整式、分式、二次根式等核心考点，注重基础概念与综合应用结合。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|约20道|有理数比较大小、整式运算、分式化简等|结合生活情境（如颜料调配、温度变化），考查运算能力与推理意识| |非选择题|约25道|有理数混合运算、二次根式运算、规律探究等|融入科技素材（纳米材料、数据处理），设计跨学科问题（三进制芯片），强调模型观念与创新应用|

专题01 数与式及其运算 考点分类 三年考情（2024-2026） 命题规律 考点01 有理数比较大小 近三年共2道题（2026年1道， 2025年0道， 2024年1道）。其中选择题1道。 从题型看，选择题1道。命题围绕正负数的意义、数轴、相反数、绝对值及有理数大小比较展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。考查频次较低，但仍需关注基础概念与典型解法的掌握。备考时应回归教材，强化基本技能。 考点02 有理数的运算 近三年共5道题（2026年4， 2025年2道， 2024年0道）。其中选择题2道，非选择题3道。 从题型看，选择题2道、非选择题4道。命题多围绕有理数加减乘除、乘方及混合运算，常与生活情境结合展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。备考时应回归教材，强化基本技能，注重知识间的联系与综合应用。 考点03 实数 近三年共1道题（2026年0道， 2025年0道， 2024年1道）。 均为非选择题。 从题型看，均为非选择题。命题多围绕平方根、算术平方根、无理数估算及科学记数法展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。考查频次较低，但仍需关注基础概念与典型解法的掌握。备考时应回归教材，注重知识间的联系与综合应用。 考点04 整式的运算 近三年共5道题（2026年1道， 2025年1道， 2024年3道）。 其中选择题4道，非选择题1道。 从题型看，选择题4道、非选择题1道。命题多围绕整式运算、幂的运算、合并同类项及规律探究展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。备考时应回归教材，强化基本技能，注重知识间的联系与综合应用。 考点05 分式 近三年共3道题（2026年1道， 2025年1道， 2024年1道）。 均为选择题。 从题型看，均为选择题。命题多围绕分式加减、化简求值展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。备考时应回归教材，强化基本技能。 考点06 二次根式 近三年共3道题（2026年1道， 2025年1道， 2024年0道）。 均为选择题2道。 2024—2026年河北中考中，二次根式考点共出现3道题（2026年1道、2025年1道、2024年1道）。从题型看，选择题2道、非选择题1道。命题多围绕二次根式乘除及混合运算展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。 考点01 有理数比较大小 1．（2024·河北·中考真题）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（    ） A． B．C． D． 【答案】A 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键． 由五日气温为得到，，，则气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降． 【详解】解：由五日气温为得到，， ∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降． 故选：A． 考点02 有理数的运算 1．（2026·河北·中考真题）嘉嘉在美术课上了解到，用不同比例的红、黄两种颜料能调配出多种暖色调颜色．如图，根据红色颜料的占比，可以将调配出的颜色分为①、②、③、④等四类．用红色颜料和黄色颜料调配出的颜色属于（     ） A．①类 B．②类 C．③类 D．④类 【答案】C 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】先求出调配出的颜料总质量，再计算红色颜料的占比，最后结合数轴上的分类范围进行判断． 【详解】解：∵红色颜料质量为，黄色颜料质量为 ∴调配出的颜料总质量为 ∴红色颜料的占比为 ∵ ∴该颜色属于③类 ． 2．（2025·河北·中考真题）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据题意计算得出，找到显示为的即可求解． 【详解】解： 故选：B． 3．（2026·河北·中考真题）一游客计划从A地出发到B，C，D三地旅游，然后回到A地．该游客到三地的先后顺序不确定，且每个地方只到1次，如．若图中两地间连线上的数字表示两地之间单次通行的交通费用（单位：百元），则此次旅游的交通费用最少为_________百元． 【答案】 【知识点】有理数大小比较的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】根据题意列举出所有可能的旅游路线，分别利用有理数加法法则计算各条路线的交通费用，通过比较大小得出最小值． 【详解】解：根据题意，从地出发到，，三地旅游，然后回到地，且每个地方只到1次，共有以下不同的路线方案： 方案一：路线为，交通费用为：（百元）； 方案二：路线为，交通费用为：（百元）； 方案三：路线为，交通费用为：（百元）； 方案四：路线为，交通费用为：（百元）； 方案五：路线为，交通费用为：（百元）； 方案六：路线为，交通费用为：（百元）； 因为， 所以此次旅游的交通费用最少为21百元． 4．（2026·河北·中考真题）计算： ________． 【答案】10 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查有理数的减法，熟练掌握减法法则是解题的关键． 根据减去一个数等于加上它的相反数将减法变加法计算即可． 【详解】解∶， 故答案为∶10． 5．（2026·河北·中考真题）用运算律或乘法公式可以简化运算，例如： ． (1)证明，并用以上方法计算； (2)计算：． 【答案】(1) 证明：∵右边左边， ∴， ； (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、运用平方差公式进行运算 【详解】（1）证明见答案 解： ； （2）解： ． 6．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 【答案】（1）原计算第一步开始出错；；（2） 【知识点】有理数四则混合运算、实数的混合运算 【分析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）第一步计算分配律时符号出错； （2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除． 【详解】解：（1）原计算第一步开始出错； ； （2） 考点03 代数式 1．（2024·河北·中考真题）已知a，b，n均为正整数． （1）若，则______； （2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少______个． 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、无理数的大小估算 【分析】本题考查的是无理数的估算以及规律探究问题，掌握探究的方法是解本题的关键； （1）由即可得到答案； （2）由，，为连续的三个自然数，，可得，，再利用完全平方数之间的数据个数的特点探究规律即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，而， ∴； 故答案为：； （2）∵a，b，n均为正整数． ∴，，为连续的三个自然数，而， ∴，， 观察，，，，，，，，，，， 而，，，，， ∴与之间的整数有个， 与之间的整数有个， ∴满足条件的a的个数总比b的个数少（个）， 故答案为：． 考点04 整式的运算 1．（2026·河北·中考真题）计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】合并同类项 【详解】解：． 2．（2024·河北·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项、积的乘方运算、同底数幂的除法运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法依次对各选项逐一分析判断即可．解题的关键是掌握整式运算的相关法则． 【详解】解：A．，不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．（2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 故选：A． 4．（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（    ） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 【答案】D 【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用、单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键． 设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，故可判断C、D选项． 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： 则由题意得： ， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ， ∴A、“20”左边的数是，故本选项不符合题意； B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意； ∴上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， ∴D选项符合题意， 当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意， 故选：D． 5．（2025·河北·中考真题）计算：______． 【答案】 【知识点】合并同类项 【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解题的关键． 直接根据合并同类项法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 考点05整式的运算 1．（2026·河北·中考真题）计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】异分母分式加减法 【详解】解：． 2．（2025·河北·中考真题）若，则（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，将分式化简后代入求值，即可求解． 【详解】解： 当时，原式 故选：B． 3．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 【答案】A 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 由题意得，对进行通分化简即可． 【详解】解：∵的结果为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 考点06 二次根式 1．（2026·河北·中考真题）计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式的乘法 【详解】解：． 2．（2025·河北·中考真题）计算：（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式直接计算，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 1．（2026·河北保定·三模）可以表示（     ） A．2的相反数 B．的绝对值 C．的倒数 D．比2小1的数 【答案】C 【详解】A选项，2的相反数是，，故A错误． B选项，的绝对值是，，故B错误． C选项，的倒数是，符合要求，故C正确． D选项，比2小1的数为，，故D错误． 2．（2026·河北石家庄·二模）如图是某古筝调音器软件的界面，指针指在0处为标准音，不需要调弦．指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音的是（     ） A． B．20 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的意义以及绝对值，根据题意得到负数表示音调偏低，需拧紧琴弦，排除错误选项，再通过比较数值与0的距离来判断即可． 【详解】解：指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦， 正数表示音调偏高，需放松琴弦， 负数表示音调偏低，需拧紧琴弦， 与音准0的距离为，与音准0的距离为，与音准0的距离为， 指针指在0处为标准音，且2最小， 最接近标准音的是． 3．（2026·河北唐山·三模）某家用冰箱的温度显示屏显示冷冻室温度为，冷藏室温度为，则冷藏室温度比冷冻室温度高（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用冷藏室温度减去冷冻室温度，按照有理数减法法则计算即可得到结果． 【详解】解∶， 即冷藏室温度比冷冻室温度高． 4．（2026·河北邯郸·一模）我国地域辽阔，南北方地区的气温差异较大．某天石家庄市的平均气温约为，而哈尔滨市的平均气温恰好为这个数据的相反数，则两地的温差为（     ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】先根据相反数的定义求出哈尔滨市的平均气温，再用较高温度减去较低温度计算温差，即可得到结果． 【详解】解：石家庄市平均气温为，哈尔滨市的平均气温恰好为这个数据的相反数， 哈尔滨市的平均气温为． 两地温差为． 5．（2026·河北邯郸·三模）国家数据局将2026年定为“数据价值释放年”．某大模型每处理1个词元（ ，大模型处理信息的最小单元）需执行1400亿次浮点运算，则处理2000个词元需执行的浮点运算次数用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】科学记数法的表现形式为，其中，n为整数，确定a和n的值即可得到答案． 【详解】解：亿， ． 6．（2026·河北邯郸·三模）随着科技的发展，纳米材料在很多领域有广泛应用．一种新型纳米颗粒的直径约为0.0000000267米，将数据0.0000000267用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值小于1的数的科学记数法表示，科学记数法的表示形式为，其中，为整数. 确定和的值即可求解． 【详解】解：∵ 对于，将小数点移动到第一个非零数字后，可得，小数点共移动了位，且原数绝对值小于， ∴ ， ∴ ． 7．（2026·河北唐山·模拟预测）在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 又 原式可变形为 ． 8．（2026·河北张家口·三模）与相加得的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相反数的定义进行计算即可． 【详解】解：， 故． 9．（2026·河北沧州·三模）的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据算术平方根的定义化简，再表示成负整数幂的形式即可． 【详解】解： ． 10．（2026·河北保定·三模）以下是小明做的四道计算题，每做对一个小题得25分，小明的得分是（     ） （1）    （2） （3）    （4） A．100 B．75 C．50 D．25 【答案】D 【分析】根据相反数、绝对值、算术平方根的定义，逐一判断四道题的正误，统计做对的题数后计算得分即可． 【详解】解：（1）∵，∴小明计算错误； （2）∵，∴小明计算错误； （3）∵，与小明的计算结果一致，∴小明计算正确； （4）∵，∴小明计算错误； ∴小明只做对1道题，得分为分． 11．（2026·河北邯郸·二模）已知，则的取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先估算的取值范围，再利用不等式的性质变形得到的范围. 【详解】解：∵ ， ∴ ，即 ， 不等式两边同除以，得 ， 不等式两边同乘，不等号方向改变，得 ， 即 . 12．（2026·河北邯郸·三模）已知，将实数a，表示的点在数轴上标出，如图所示，则实数a可能是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据数轴，倒数，实数的大小比较进行求解即可． 【详解】解：由题意及数轴，得 ， ∴， A． ，不符合题意； B． ，符合题意； C．，不符合题意； D． ，不符合题意． 13．（2026·河北廊坊·一模）化简的结果是（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【详解】解：． 14．（2026·河北邯郸·二模）若（），且，下列关于代数式的说法正确的是（     ） A．是无理数 B．精确到为 C．有两个平方根 D．在数轴上不存在一个点与之对应 【答案】C 【分析】先对分式因式分解化简，再代入求出的值，结合实数的相关性质判断各选项即可． 【详解】解： ，， 选项A：是分数，属于有理数，故A错误； 选项B：，精确到为，故B错误； 选项C：，正数有两个平方根，故C正确； 选项D：所有实数都对应数轴上的一个点，是实数，存在对应点，故D错误． 15．（2026·河北唐山·模拟预测）已知某球形硅颗粒的直径为．若在长度为的芯片上按如图方式排列一行球形硅颗粒（每相邻两个颗粒相切），则这一行硅颗粒的总数量用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，颗粒数量等于芯片总长度除以单个颗粒的直径，利用同底数幂的除法法则进行计算，最后将结果化为科学记数法即可． 【详解】解：设这一行硅颗粒的总数量为 芯片长度为，颗粒直径为，且颗粒紧密排列， 故这一行硅颗粒的总数量为 个． 16．（2026·河北邯郸·三模）下列算式与相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：与不是同类项，不能合并，故A错误； 对于选项B：，不符合题意，故B错误； 对于选项C：，符合题意，故C正确； 对于选项D：，不符合题意，故D错误． 17．（2026·河北廊坊·二模）若，则整数的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：∵ 个相乘可表示为，且，， ∴原等式可化为， ∴， ∴， 解得． 18．（2026·河北石家庄·模拟预测）已知，其中，均为常数，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将等式左边展开后，对比等式两边对应项的系数，即可得到与的关系． 【详解】解：∵ 利用完全平方公式展开等式左边，得 ， 又∵ ， ∴对比等式两边一次项系数，可得，即． 19．（2026·河北沧州·三模）某光伏发电站的年发电量（单位：度）与光伏板面积（单位：平方米）的关系为：年发电量（为常数），若一块面积为平方米的光伏板，年均维护成本为元，则该光伏板每度电的平均维护成本化简后为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均成本的定义：每度电的平均维护成本年均维护成本总年发电量，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：∵面积为平方米的光伏板年发电量（度）， ∴面积为平方米的光伏板的年发电量为度， ∵年均维护总成本为元， ∴每度电的平均维护成本为． 20．（2026·河北沧州·三模）如图，若要使图中的平面展开图折叠成正方体，相对面上两个数相等，求的值．嘉嘉与琪琪给出如下结论．嘉嘉：由题意可得，，利用整体思想可求得；琪琪：由题意可得，，解它们组成的方程组，可求得．则下列说法正确的是（     ） A．只有嘉嘉的对 B．只有琪琪的对 C．他们两个人的都对 D．他们两个人的都不对 【答案】A 【分析】先确定相对面，再得到，，再结合完全平方公式的变形进行计算即可. 【详解】解：由正方体的相对面可得： ，， ∴； ∴嘉嘉的对，琪琪的错误. 21．（2026·河北唐山·模拟预测）下列与结果相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵原式 选项A：，与原式结果相等； 选项B：，与原式结果不相等； 选项C：，与原式结果不相等； 选项D：，与原式结果不相等． 22．（2026·河北邢台·二模）下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式加减乘运算法则和算术平方根的非负性，逐个计算选项即可判断正误． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意． 23．（2026·河北唐山·二模）计算得（     ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】解：． 24．（2026·河北邯郸·一模）的相反数是__________． 【答案】 1 【分析】先计算出的值，再根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：， 的相反数是， ∴的相反数是1． 25．（2026·河北唐山·三模）分解因式：______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解： ． 26．（2026·河北石家庄·一模）若m、n为正整数，且满足，当时，m的值有______个． 【答案】6 【详解】解：∵， ∴， ∴正整数m的值有10，11，12，13，14，15共6个． 27．（2026·河北邯郸·三模）化简：________． 【答案】 【详解】解： ． 28．（2026·河北邯郸·三模）用边长是的正方形地砖，铺设面积是的正方形平整地面．首先用整块地砖铺设，且保证地砖边缘与正方形地面的边缘平行，当不能铺进完整地砖时，需要把多余的部分裁掉，每块地砖裁掉部分不再使用．若铺满这个地面且所用地砖最少（地砖之间的缝隙忽略不计），则被裁掉的部分面积之和是________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积求得边长，根据，得出覆盖这个地面且所用地砖最少就需要块，进而求得被裁掉的部分面积之和． 【详解】解：∵地面的面积是， ∴其边长是．而， 覆盖这个地面且所用地砖最少就需要块，则需要的地砖的面积为． ∴被裁掉的部分面积之和是． 29．（2026·河北唐山·模拟预测）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：． 将二进制数化为三进制数为______________ 【答案】 【分析】根据有理数的乘方解题即可． 【详解】解：化为十进制数：， 化为三进制数：． 30．（2026·河北石家庄·模拟预测）嘉嘉计算时，由于错将分式前的“”抄成了“”，得到的错误结果为，则正确的计算结果应是__________． 【答案】 【分析】根据错误计算列出关于的等式，求出的化简结果，再将代入正确的分式算式，通分化简即可得到正确结果． 【详解】解：由题意可知，错算的等式为 移项得 ， ∴ ； 31．（2026·河北石家庄·二模）如图，分别是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是5．定义：已知点是线段上的一个点，若点到线段两个端点的距离之比为，则称点为线段的“理想点”．则线段的“理想点”表示的数为_____． 【答案】或1 【分析】设“理想点”P表示的数为x，分两种情况当时和当时，根据“理想点”的定义列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：设“理想点”P表示的数为x， 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 综上，P表示的数为或1． 32．（2026·河北邯郸·模拟预测）计算、化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂运算法则和二次根式乘法法则，依次计算各项后合并即可； （2）原式先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，因式分解后约分得到最简结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 33．（2026·河北沧州·三模）设的结果为． (1)若“”内填入的数为，求的值； (2)若数轴上表示的点位于原点的左侧，求“”内所填的最大整数． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据有理数的乘法法则先计算乘法，再计算减法； （2）设“”内填入的数为，根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：设“”内填入的数为， 由题意得， 解得：， ∴“”内所填的最大整数为0． 34．（2026·河北沧州·三模）有一道题：“先化简，再求值：，其中 ．”小冀的化简过程如下． 原式 请你判断他的化简过程是否正确，若正确，请完成代入求值；若不正确，请写出正确完整的解答过程． 【答案】化简过程不正确； 原式 ， 当 时，原式． 【详解】略 35．（2026·河北邯郸·二模）计算： (1)在做某一些计算问题时，逆用乘法分配律会使运算简便． 例如：． 请你逆用乘法分配律计算：． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 36．（2026·河北邯郸·二模）淇淇在计算时，产生了如下两种简便计算思路： 思路一： 解：原式 = = 思路二： 解：原式= = (1)在“思路一”的“□”填上合适的数，并完成计算； (2)在“思路二”的“〇”内填上运算符号（“+”、“-”、“×”、“÷”中的一个），使得运算过程正确，并完成计算． 【答案】(1) “”里应填， ∴原式 (2) ∴“”内填“”， ∴原式 【分析】（1）先把带分数拆成整十数加剩余部分的形式，因为要凑出整数方便计算，所以可将其改写为，根据带分数的拆分规则确定的数值，再运用乘法分配律展开计算； （2）先明确带分数的定义，因为带分数是整数部分与分数部分的和的简写，所以判断中整数和分数部分的运算符号，确定的内容，再运用乘法分配律展开计算． 【详解】（1）略 （2）略 37．（2026·河北沧州·三模）现有张大小相同的卡片，分别写有有理数：，，，，解答下列问题： (1)计算：用最大的数减去最小的数，所得的差除以剩余两张卡片上数字的和，结果是多少？ (2)某同学用这张卡片玩“抽卡得分”游戏，规则如下：抽到正数得对应数值的分数，抽到负数扣对应数值的分数，抽到得分．该同学随机抽了张卡片（不放回），若抽到“”后，另外两张卡片的得分之和比“”的绝对值少1分，求他抽到的另外两张卡片上的数字． 【答案】(1) (2)0和3． 【分析】（1）先确定最大的数和最小的数，再根据有理数的四则混合运算计算即可； （2）设抽到的另外两张卡片的得分之和为x，由题意可知，，求出，故从剩余数字，，中抽取两张卡片上的得分之和为3，即可确定他抽到的另外两张卡片上的数字． 【详解】（1）解：∵， ∴最大的数是，最小的数是，剩余两张卡片上的数字是0和． ∴． （2）解：设抽到的另外两张卡片的得分之和为x， 由题意可知，， 解得． ∵该同学已抽到“”，故从剩余数字，，中抽取两张卡片上的得分之和为3， ∴符合条件． 因此，抽到的另外两张卡片上的数字为0和3． 38．（2026·河北邯郸·二模）按如图所示的程序进行运算． (1)计算输出整式N的最简结果； (2)嘉嘉说：无论为何值，整式的值一定不超过．你认为嘉嘉的说法正确吗？请说明你的理由． 【答案】(1) (2)同意嘉嘉的说法，理由如下： 无论为何值，总有， ，即输出的结果总不超过， ∴我同意嘉嘉的说法 【分析】（1）根据整式的混合运算法则计算； （2）根据（1）中的计算结果，结合完全平方数的非负性分析可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）略 39．（2026·河北邢台·二模）设，其中“”遮盖了一个关于的最简分式． (1)若“”部分是，请化简，并求当时的值； (2)若化简后，求被“”遮盖的分式． 【答案】(1)；； (2)被遮盖的分式为 【分析】（1）先因式分解，对括号内通分合并，再将除法转化为乘倒数，约分后得，最后把代入代数式完成求值； （2）设遮盖部分为，依据“被除数商除数”变形得，分解并约分右侧式子，移项通分后因式分解分子，约去公因式得到最简分式． 【详解】（1）解：由题意得， ， 当时，； （2）解：设被遮盖的分式为， ∵化简后， ∴ 解得． 40．（2026·河北邯郸·二模）一个数学活动小组编了一个创新题目：如图，在三张硬纸板的正面分别写了一个代数式，记为A，B，C，然后在黑板上写了一个等式：为常数 (1)求m，n的值； (2)当x为任意正整数时，的结果都能被这个活动小组的人数整除，求这个活动小组有几个人活动小组的人数大于 【答案】(1)3； (2)5个 【分析】（1）先根据，将与相乘展开，得到关于的多项式，因为该多项式与是同一个多项式，所以对应项的系数相等，据此列方程求解、的值． （2）把求得的、代入和的表达式，再代入进行化简，将结果整理为常数与含的整式的乘积形式，结合为任意正整数时结果都能被人数整除，确定大于1的公因数即为活动小组人数． 【详解】（1）解：已知， 代入，，， ∴ ， ∴ ， ∴， 解得：． （2）由（1）得，， ∴， ∵是任意正整数， ∴是正整数， ∴对任意正整数都能被整除， 结合活动人数大于1，可得这个活动小组的人数为． 41．（2026·河北沧州·二模）有一道题：“先化简，再求值：，其中”，小明的化简过程如下： 原式 请你判断他的化简过程是否正确？若正确，请完成代入求值；若不正确，请写出正确完整的解答过程． 【答案】小明的化简过程不正确， 正确解答过程如下：原式 将代入得 ． 【分析】先分解分母，通分后合并分子，约分得到最简结果，再代入的值计算． 【详解】略 42．（2026·河北邢台·模拟预测）嘉嘉同学在做一道习题时，解答过程如下： 先化简，再求值：，其中． 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 当时， 原式 ． (1)已知嘉嘉同学的解答是错误的，则他开始出现错误是在第______步，错误原因是______． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)二，中括号前为负数，去括号后没有变号. (2)原式 ， 当时， 原式 ． 【分析】（1）根据去括号得法则即可进行解答； （2）先将整式进行化简，再代入求值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：他开始出现错误是在第二步， 错误原因是：中括号前为负数，去括号后没有变号． （2）略 43．（2026·河北邯郸·三模）如图，已知，，三点均在数轴上，且，． (1)若以的中点为原点，求，，三点所表示的数的和． (2)点也为该数轴上一点，且．若以为原点，则，，三点所表示的数的和是多少？ 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意可得，，，结合的中点为原点可得出，，三点所表示的数，求和即可； （2）分两类讨论，当点在点的左侧时，则点表示的数为，结合，得出点、表示的数，求和即可；当点在点的右侧时，则点表示的数为，同样的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵的中点为原点， ∴点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，，三点所表示的数的和为； （2）解：①当点在点的左侧时， ∵以为原点，， ∴点表示的数为， ∵，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴，，三点所表示的数的和为； ②当点在点的右侧时， ∵以为原点，， ∴点表示的数为， ∵，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∴，，三点所表示的数的和为； 综上所述，，，三点所表示的数的和为或． 44．（2026·河北邯郸·二模）已知整式，，，，如下表所示． 整式 整式 整式 整式 (1)将整式进行因式分解； (2)若，求整式的值； (3)当，时，用科学记数法表示的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：， 将，代入得∶ ． 45．（2026·河北邯郸·三模）淇淇在计算“”时，误把“”看成“+”，得到的计算结果为． (1)求“▲”所表示的代数式． (2)若“”的运算结果乘一个关于的代数式，与“”的运算结果相同，求代数式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用减去即可得到，从而判断出“▲”； （2）结合（1）的结论可得，，用除以即可得到代数式． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴， ∴“▲”所表示的代数式为； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴． 试卷第1页，共3页 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数与式及其运算 考点分类 三年考情（2024-2026） 命题规律 考点01 有理数比较大小 近三年共2道题（2026年1道， 2025年0道， 2024年1道）。其中选择题1道。 从题型看，选择题1道。命题围绕正负数的意义、数轴、相反数、绝对值及有理数大小比较展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。考查频次较低，但仍需关注基础概念与典型解法的掌握。备考时应回归教材，强化基本技能。 考点02 有理数的运算 近三年共5道题（2026年4， 2025年2道， 2024年0道）。其中选择题2道，非选择题3道。 从题型看，选择题2道、非选择题4道。命题多围绕有理数加减乘除、乘方及混合运算，常与生活情境结合展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。备考时应回归教材，强化基本技能，注重知识间的联系与综合应用。 考点03 实数 近三年共1道题（2026年0道， 2025年0道， 2024年1道）。 均为非选择题。 从题型看，均为非选择题。命题多围绕平方根、算术平方根、无理数估算及科学记数法展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。考查频次较低，但仍需关注基础概念与典型解法的掌握。备考时应回归教材，注重知识间的联系与综合应用。 考点04 整式的运算 近三年共5道题（2026年1道， 2025年1道， 2024年3道）。 其中选择题4道，非选择题1道。 从题型看，选择题4道、非选择题1道。命题多围绕整式运算、幂的运算、合并同类项及规律探究展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。备考时应回归教材，强化基本技能，注重知识间的联系与综合应用。 考点05 分式 近三年共3道题（2026年1道， 2025年1道， 2024年1道）。 均为选择题。 从题型看，均为选择题。命题多围绕分式加减、化简求值展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。备考时应回归教材，强化基本技能。 考点06 二次根式 近三年共3道题（2026年1道， 2025年1道， 2024年0道）。 均为选择题2道。 2024—2026年河北中考中，二次根式考点共出现3道题（2026年1道、2025年1道、2024年1道）。从题型看，选择题2道、非选择题1道。命题多围绕二次根式乘除及混合运算展开，注重考查学生的运算能力、推理能力和模型观念。近三年考查较为稳定，常以真实情境或几何载体呈现，综合性逐步增强。 考点01 有理数比较大小 1．（2024·河北·中考真题）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（    ） A． B．C． D． 考点02 有理数的运算 1．（2026·河北·中考真题）嘉嘉在美术课上了解到，用不同比例的红、黄两种颜料能调配出多种暖色调颜色．如图，根据红色颜料的占比，可以将调配出的颜色分为①、②、③、④等四类．用红色颜料和黄色颜料调配出的颜色属于（     ） A．①类 B．②类 C．③类 D．④类 2．（2025·河北·中考真题）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（2026·河北·中考真题）一游客计划从A地出发到B，C，D三地旅游，然后回到A地．该游客到三地的先后顺序不确定，且每个地方只到1次，如．若图中两地间连线上的数字表示两地之间单次通行的交通费用（单位：百元），则此次旅游的交通费用最少为_________百元． 4．（2026·河北·中考真题）计算： ________． 5．（2026·河北·中考真题）用运算律或乘法公式可以简化运算，例如： ． (1)证明，并用以上方法计算； (2)计算：． 6．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． 计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步 （2）计算： 考点03 代数式 1．（2024·河北·中考真题）已知a，b，n均为正整数． （1）若，则______； （2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少______个． 考点04 整式的运算 1．（2026·河北·中考真题）计算：（     ） A． B． C． D． 2．（2024·河北·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（    ） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 5．（2025·河北·中考真题）计算：______． 考点05整式的运算 1．（2026·河北·中考真题）计算：（     ） A． B． C． D． 2．（2025·河北·中考真题）若，则（    ） A． B． C．3 D．6 3．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 考点06 二次根式 1．（2026·河北·中考真题）计算：（     ） A． B． C． D． 2．（2025·河北·中考真题）计算：（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 1．（2026·河北保定·三模）可以表示（     ） A．2的相反数 B．的绝对值 C．的倒数 D．比2小1的数 2．（2026·河北石家庄·二模）如图是某古筝调音器软件的界面，指针指在0处为标准音，不需要调弦．指针指向40表示音调偏高，需放松琴弦．下列指针指向的数字中表示需拧紧琴弦，且最接近标准音的是（     ） A． B．20 C． D． 3．（2026·河北唐山·三模）某家用冰箱的温度显示屏显示冷冻室温度为，冷藏室温度为，则冷藏室温度比冷冻室温度高（     ） A． B． C． D． 4．（2026·河北邯郸·一模）我国地域辽阔，南北方地区的气温差异较大．某天石家庄市的平均气温约为，而哈尔滨市的平均气温恰好为这个数据的相反数，则两地的温差为（     ） A． B． C．0 D． 5．（2026·河北邯郸·三模）国家数据局将2026年定为“数据价值释放年”．某大模型每处理1个词元（ ，大模型处理信息的最小单元）需执行1400亿次浮点运算，则处理2000个词元需执行的浮点运算次数用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·河北邯郸·三模）随着科技的发展，纳米材料在很多领域有广泛应用．一种新型纳米颗粒的直径约为0.0000000267米，将数据0.0000000267用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·河北唐山·模拟预测）在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·河北张家口·三模）与相加得的是（     ） A． B． C． D． 9．（2026·河北沧州·三模）的值为（     ） A． B． C． D． 10．（2026·河北保定·三模）以下是小明做的四道计算题，每做对一个小题得25分，小明的得分是（     ） （1）    （2） （3）    （4） A．100 B．75 C．50 D．25 11．（2026·河北邯郸·二模）已知，则的取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（2026·河北邯郸·三模）已知，将实数a，表示的点在数轴上标出，如图所示，则实数a可能是（   ） A． B． C．1 D． 13．（2026·河北廊坊·一模）化简的结果是（    ） A． B． C．4 D．2 14．（2026·河北邯郸·二模）若（），且，下列关于代数式的说法正确的是（     ） A．是无理数 B．精确到为 C．有两个平方根 D．在数轴上不存在一个点与之对应 15．（2026·河北唐山·模拟预测）已知某球形硅颗粒的直径为．若在长度为的芯片上按如图方式排列一行球形硅颗粒（每相邻两个颗粒相切），则这一行硅颗粒的总数量用科学记数法可表示为（     ） A． B． C． D． 16．（2026·河北邯郸·三模）下列算式与相等的是（     ） A． B． C． D． 17．（2026·河北廊坊·二模）若，则整数的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 18．（2026·河北石家庄·模拟预测）已知，其中，均为常数，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 19．（2026·河北沧州·三模）某光伏发电站的年发电量（单位：度）与光伏板面积（单位：平方米）的关系为：年发电量（为常数），若一块面积为平方米的光伏板，年均维护成本为元，则该光伏板每度电的平均维护成本化简后为（     ） A． B． C． D． 20．（2026·河北沧州·三模）如图，若要使图中的平面展开图折叠成正方体，相对面上两个数相等，求的值．嘉嘉与琪琪给出如下结论．嘉嘉：由题意可得，，利用整体思想可求得；琪琪：由题意可得，，解它们组成的方程组，可求得．则下列说法正确的是（     ） A．只有嘉嘉的对 B．只有琪琪的对 C．他们两个人的都对 D．他们两个人的都不对 21．（2026·河北唐山·模拟预测）下列与结果相等的是（     ） A． B． C． D． 22．（2026·河北邢台·二模）下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 23．（2026·河北唐山·二模）计算得（     ） A． B． C． D．1 24．（2026·河北邯郸·一模）的相反数是__________． 25．（2026·河北唐山·三模）分解因式：______． 26．（2026·河北石家庄·一模）若m、n为正整数，且满足，当时，m的值有______个． 27．（2026·河北邯郸·三模）化简：________． 28．（2026·河北邯郸·三模）用边长是的正方形地砖，铺设面积是的正方形平整地面．首先用整块地砖铺设，且保证地砖边缘与正方形地面的边缘平行，当不能铺进完整地砖时，需要把多余的部分裁掉，每块地砖裁掉部分不再使用．若铺满这个地面且所用地砖最少（地砖之间的缝隙忽略不计），则被裁掉的部分面积之和是________． 29．（2026·河北唐山·模拟预测）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数：． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数：． 将二进制数化为三进制数为______________ 30．（2026·河北石家庄·模拟预测）嘉嘉计算时，由于错将分式前的“”抄成了“”，得到的错误结果为，则正确的计算结果应是__________． 31．（2026·河北石家庄·二模）如图，分别是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是5．定义：已知点是线段上的一个点，若点到线段两个端点的距离之比为，则称点为线段的“理想点”．则线段的“理想点”表示的数为_____． 32．（2026·河北邯郸·模拟预测）计算、化简： (1)； (2)． 33．（2026·河北沧州·三模）设的结果为． (1)若“”内填入的数为，求的值； (2)若数轴上表示的点位于原点的左侧，求“”内所填的最大整数． 34．（2026·河北沧州·三模）有一道题：“先化简，再求值：，其中 ．”小冀的化简过程如下． 原式 请你判断他的化简过程是否正确，若正确，请完成代入求值；若不正确，请写出正确完整的解答过程． 35．（2026·河北邯郸·二模）计算： (1)在做某一些计算问题时，逆用乘法分配律会使运算简便． 例如：． 请你逆用乘法分配律计算：． (2)． 36．（2026·河北邯郸·二模）淇淇在计算时，产生了如下两种简便计算思路： 思路一： 解：原式 = = 思路二： 解：原式= = (1)在“思路一”的“□”填上合适的数，并完成计算； (2)在“思路二”的“〇”内填上运算符号（“+”、“-”、“×”、“÷”中的一个），使得运算过程正确，并完成计算． 37．（2026·河北沧州·三模）现有张大小相同的卡片，分别写有有理数：，，，，解答下列问题： (1)计算：用最大的数减去最小的数，所得的差除以剩余两张卡片上数字的和，结果是多少？ (2)某同学用这张卡片玩“抽卡得分”游戏，规则如下：抽到正数得对应数值的分数，抽到负数扣对应数值的分数，抽到得分．该同学随机抽了张卡片（不放回），若抽到“”后，另外两张卡片的得分之和比“”的绝对值少1分，求他抽到的另外两张卡片上的数字． 38．（2026·河北邯郸·二模）按如图所示的程序进行运算． (1)计算输出整式N的最简结果； (2)嘉嘉说：无论为何值，整式的值一定不超过．你认为嘉嘉的说法正确吗？请说明你的理由． 39．（2026·河北邢台·二模）设，其中“”遮盖了一个关于的最简分式． (1)若“”部分是，请化简，并求当时的值； (2)若化简后，求被“”遮盖的分式． 40．（2026·河北邯郸·二模）一个数学活动小组编了一个创新题目：如图，在三张硬纸板的正面分别写了一个代数式，记为A，B，C，然后在黑板上写了一个等式：为常数 (1)求m，n的值； (2)当x为任意正整数时，的结果都能被这个活动小组的人数整除，求这个活动小组有几个人活动小组的人数大于 41．（2026·河北沧州·二模）有一道题：“先化简，再求值：，其中”，小明的化简过程如下： 原式 请你判断他的化简过程是否正确？若正确，请完成代入求值；若不正确，请写出正确完整的解答过程． 42．（2026·河北邢台·模拟预测）嘉嘉同学在做一道习题时，解答过程如下： 先化简，再求值：，其中． 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 当时， 原式 ． (1)已知嘉嘉同学的解答是错误的，则他开始出现错误是在第______步，错误原因是______． (2)请写出正确的解答过程． 43．（2026·河北邯郸·三模）如图，已知，，三点均在数轴上，且，． (1)若以的中点为原点，求，，三点所表示的数的和． (2)点也为该数轴上一点，且．若以为原点，则，，三点所表示的数的和是多少？ 44．（2026·河北邯郸·二模）已知整式，，，，如下表所示． 整式 整式 整式 整式 (1)将整式进行因式分解； (2)若，求整式的值； (3)当，时，用科学记数法表示的值． 45．（2026·河北邯郸·三模）淇淇在计算“”时，误把“”看成“+”，得到的计算结果为． (1)求“▲”所表示的代数式． (2)若“”的运算结果乘一个关于的代数式，与“”的运算结果相同，求代数式． 试卷第1页，共3页 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $