1.2 常用逻辑用语（讲义）高一数学沪教版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“常用逻辑用语”核心知识点，从命题的定义与真假判断切入，通过推出关系衔接充分、必要、充要条件的判定，结合集合子集关系“小推大”规律深化理解，最终以反证法原理与步骤构建完整逻辑学习支架。 资料特色在于融合数学文化（如《论语》名句）设计情境题，通过“即学即练+变式巩固”强化数学思维，反证法步骤培养严谨推理能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升用数学语言表达现实逻辑的能力。

第1章 集合与逻辑 1.2 常用逻辑用语 课标要点 1.掌握命题定义、真假命题区分，理解推出关系及其传递性，会书写推出符号。 2.熟记充分、必要、充要条件定义，能双向推导判断四类条件关系。 3.理解反证法原理、步骤与适用题型，可规范完成含至多至少类命题证明。 4.结合集合子集关系判断条件，利用“小推大”快速解决范围类条件题型。 学习重难点 重点： 1.命题、推出关系概念，充分、必要、充要条件的定义与五类判定形式。 2.反证法核心思路、四步标准流程，明确证题时矛盾的多种来源。 3.集合与条件的对应关系，依托子集借助范围快速判断条件类型。 难点： 1.区分充分与必要条件，容易颠倒推导方向，混淆各类条件判定标准。 2.反证法完整否定结论，处理“至多、至少”类词语的反面表述易出错。 3.灵活转化集合范围与逻辑条件，熟练运用“小范围推出大范围”规律。 知识点一 有关命题的概念 1.命题定义：能够判断真假的陈述句称为命题。 2.命题分类：能够判定为真的是真命题，能够判定为假的是假命题。 3.推出关系：若“若，则”为真命题，称可以推出，记作。 4.推出关系传递性：若且，则，是逻辑推理的基础。 即学即练 1．下列命题为真命题的是（    ） A．有些菱形不是平行四边形 B．平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 C．所有素数都是奇数 D．每个四边形的内角和都是 【答案】D 【详解】对于A：所有菱形都是平行四边形，故A错误； 对于B：在同一平面内垂直于同一条直线的两直线平行，故B错误； 对于C：是素数，但是偶数，故C错误； 对于D：每个四边形的内角和都是，故D正确. 故选：D 2．老师们常常给我们说，“努力学习不一定有好结果，但是不努力学习一定没有好结果”，对于这句话，正确的理解是（    ） A．任何时候不管努力学习，或者不努力学习，都不一定有好结果 B．不努力学习也可能有好结果 C．努力学习一定有好结果 D．如果没有取得好结果，那么一定没有努力 【答案】A 【详解】对于A，由给定的语句知，努力学习，或者不努力学习，都不一定有好结果，A正确. 对于B，由给定的语句知，不努力学习一定没有好结果，B错误； 对于C，由给定的语句知，努力学习不一定有好结果，C错误； 对于D，命题“如果没有取得好结果，那么一定没有努力”，等价于：如果努力，就能取得好结果，D错误. 故选：A 知识点二 充分条件、必要条件、充要条件 1.若，则是的充分条件，是的必要条件；若且，则是的充要条件，记作，二者等价。 2.几类条件关系：（1），：是充分不必要条件 （2），：是必要不充分条件 （3）：是充要条件 （4），：是既不充分也不必要条件 3.范围判断口诀：小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围。 即学即练 3．“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【详解】解不等式得或，若，则成立，满足充分性， 由得或，不能推出，不满足必要性， 故是的充分不必要条件． 4．“是整数”是“是奇数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若是整数，则不一定是奇数；若是奇数，则一定是整数”， 所以“是整数”是"是奇数"的必要不充分条件． 知识点三 反证法 1.适用场景举反例仅可证明命题为假；证明命题为真可采用反证法，多用于题干含否定、至多、至少类语句。 2.核心原理先假设原结论不成立，经过严谨推理推出与已知、定理、事实矛盾的结果，从而证明原结论成立。 3.证明思路：肯定条件，否定结论→推理得出矛盾→假设不成立，原结论正确 4.标准步骤：（1）拆分命题的条件与结论；（2）作出与结论完全相反的假设；（3）结合条件与假设推理，推出矛盾；（4）否定假设，证明原命题为真。 5.矛盾类型：与已知条件、假设、公理、定理、客观事实冲突均可。 易错提醒 否定结论时只否定部分文字，没有对结论进行全盘否定，遇到“至少、至多、存在”这类限定词时反面容易写错。例如“至少有一个”的反面是“一个都没有”，“至多两个”反面是“至少三个”，假设必须和原结论完全对立。 即学即练 5．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（    ） A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度 C．假设三内角至多有一个大于60度 D．假设三内角至多有两个大于60度 【答案】B 【详解】根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即“三内角都大于60度”． 知识点四 从集合角度理解充分、必要条件 设集合，集合 1.； 2.充分不必要； 3.必要不充分； 4.充要条件； 5.且：、互相既不充分也不必要。 6.通用步骤：①分清条件与结论；②验证能否推出；③验证能否推出；④判定条件类型。 易错提醒 容易记反“小推大”规则，误以为大范围可以推出小范围，同时混淆真子集对应的条件关系。小集合代表限制更强的小范围，能够推出限制宽松的大范围；若是的真子集，说明是的充分不必要条件，切勿记反对应关系。 题型01 命题的真假判断 解题贴士 先判断语句是否为可判定真假的陈述句，疑问句、含未知变量无法定对错的式子都不属于命题。 判定假命题只需举出一组满足条件但不匹配结论的反例即可，不需要完整推导。判定真命题要结合定义、定理完成完整逻辑推导，不能依靠个别例子佐证。 遇到带范围、不等式的命题可借助数轴、集合辅助分析，区分全称与存在类命题，全称命题找反例，存在命题找一组成立的情况。 典｜例｜精｜析 【例1】Agnes在白纸上写下以下四个论断： 这些论断中至少有一个是真的． 这些论断中至少有两个是真的． 这些论断中至少有两个是假的． 这些论断中至少有一个是假的． 每个论断非真即假．问Agnes在纸上写的假论断有几个？(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 E．4 【答案】B 【详解】假设论断1为假，即四个论断都是假的，但论断4若为假， 即四个论断都是真的，与假设矛盾，故论断1为真； 假设论断2为假，即至多有一个论断为真的，因为论断1为真， 则论断2、3、4为假，但论断3若为假，即至多有一个为假， 假设与论断3矛盾，故论断2为真； 假设论断3为假，即至多有一个为假，因为论断1、2为真， 故论断4也为真的，与假设符合，故论断3为假； 若论断4为假，即四个论断都是真的，但论断3为假的， 假设与论断3矛盾，故论断4为真； 综上，论断1、2、4为真，论断3为假. 【例2】下列叙述正确的是________. ①不等式的所有解可以组成一个集合； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是无限集； ③是的真子集； ④. 【答案】①③ 【详解】对于①，不等式的所有解可以组成一个集合，①正确； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是有限集，②错误； ③是的真子集，③正确； ④若，则或，④错误， 所以正确的命题是①③. 故答案为：①③ 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】给出以下四个命题： ①任何一个集合都至少有两个子集． ②若，则． ③若，则或1． ④． 其中真命题有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】①空集只有本身一个子集，①错误； ②若，则，不一定成立，②错误； ③若，则，此时成立，若，不符合集合元素的互异性，故，③错误； ④，④正确； 故选：B. 【变式1-2】“若直线与圆存在公共点，则直线与圆相切”是__________命题.（请在“真”“假”中选择一个填入横线中） 【答案】假 【详解】当直线与圆没有公共点时，直线与圆的位置关系是相离； 当直线与圆有一个公共点时，直线与圆的位置关系是相切， 当直线与圆有两个公共点时，直线与圆的位置关系是相交， 本题只描述了存在公共点，没有明确是几个公共点，所以结果可能是相交，也可能是相切. 故答案为：假. 【变式1-3】关于的方程，有下列四个命题： 甲：是该方程的根； 乙：是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号. 如果只有一个假命题，则该命题是________. 【答案】甲 【详解】解：若甲、乙两命题均正确，且，， 则丙、丁均为假命题，与题意不符，故甲、乙必有一个是假命题. 若甲为真命题，由丙命题可知，方程的另一根为1，这样方程两根同号，与丁命题矛盾. 故甲命题为假命题； 若乙为真命题，可知方程的另一根为，此时丁命题也为真命题，符合题意. 故答案为：甲 题型02 充分条件、必要条件的判断（“是”结构) 解题贴士 先拆分句式“p是q的XX条件”，确定p为条件、q为结论，分别验证与两种推导关系。 若仅前式成立则为充分不必要，仅后式成立则为必要不充分，双向成立为充要，均不成立则既不充分也不必要。 涉及取值范围时套用小范围推出大范围的规律，转化为集合子集关系快速判断，全程不要颠倒p、q的推导顺序。 典｜例｜精｜析 【例3】已知，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若“，”，能推出“”，满足充分性； “”，则“，”或“，”，不满足必要性， 故“，”是“”的充分不必要条件． 【例4】设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】取，成立，不成立，故， 若，则，所以“”是“”的必要不充分条件. 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】已知a，b，c，d均为正实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当时，满足，而，充分性不成立； 当时，满足，而，必要性不成立， 则“”是“”的既不充分也不必要条件. 【变式2-2】已知集合则x∈B是x∈U的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】先求全集解方程，，或，所以. 再求，由，根据补集的定义知，，则有. 充分性：若，则，显然，因此由能推出，即充分性成立； 必要性：若不能推出，必要性不成立，故A选项正确. 【变式2-3】“”是“关于的不等式的解集是空集”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由不等式的解集是空集等价于判别式： ，解得：． 若成立，则一定满足，故充分性成立； 若成立（比如），不一定满足，故必要性不成立． 因此，“”是“不等式的解集是空集”的充分不必要条件． 题型03 充分条件、必要条件的判断（“的”结构) 解题贴士 句式为“q成立的XX条件是p”，核心逻辑与“是”结构相反，此时p是结论，q是条件，极易混淆推导方向。 典｜例｜精｜析 【例5】设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合， 集合， 当时，，； 当时，； 若，则； 若，则； 若，推不出. 所以是的充要条件； 是的必要不充分条件； 和都是的既不充分也不必要条件. 所以的一个必要不充分条件是. 【例6】“”的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由. 所以不等式的解集为. 因为，所以“”是“”的充要条件； 因为与集合不存在包含关系，所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 因为⫋，所以：“”是“”的必要不充分条件； 因为⫋，所以“” 是“”的充分不必要条件. 故选：C 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】方程两根异号的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．，， 【答案】D 【详解】方程两根异号的一个充要条件是， 注意到， 所以方程两根异号的一个充要条件是， 所以当，，时，方程的两根异号， 换言之，，是方程两根异号的一个充分不必要条件，对比选项可知，只有D正确. 故选：D. 【变式3-2】已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是________． 【答案】 【详解】由是成立的一个充分不必要条件， 可知：， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 【变式3-3】“集合至多含有一个元素”的一个充分非必要条件是__________． 【答案】（答案不唯一）. 【详解】由方程， 当时，即为，解得，此时满足题意； 当时，要使得集合中至多含有一个元素， 则满足，解得， 综上可得，方程至多一个解时，实数的取值范围为， 所以集合中至多含有一个元素的一个充分不必要条件为. 故答案为：（答案不唯一）. 题型04 数学文化中的充分性和必要性 典｜例｜精｜析 【例7】在中国传统的十二生肖中，马､牛､羊､鸡､狗､猪为六畜，则“甲的生肖不是马”是“甲的生肖属于六畜”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若甲的生肖不是马，则甲的生肖未必属于六畜； 若甲的生肖属于六畜，则甲的生肖不一定是马. 故“甲的生肖不是马”是“甲的生肖属于六畜”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【例8】“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由题意：其身正，不令而行，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件； 又其身不正，虽令不从，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件， 综合知“身正”是“令行”的充要条件， 故选：C． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】荀子曰：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言，阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】荀子的名言表明至千里必须积跬步，积跬步未必能至千里，故“至千里”是“积跬步”的充分不必要条件. 故选:A. 【变式4-2】王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【详解】因为人在阵地在，所以胡马度过阴山说明龙城飞将不在， 因为人不在阵地在不在不知道，所以龙城飞将不在，不能确定胡马是否度过阴山， 所以胡马度过阴山是龙城飞将不在的充分不必要条件， 故选：D 【变式4-3】王安石在《游褒禅山记》中说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（    ） A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【详解】由题意知，“有志”不一定“能至”， 但“能至”一定“有志”， 所以“有志”是“能至”的必要不充分条件. 故选：D. 题型05 根据充分性，必要性求参数 解题贴士 先根据条件类型转化集合包含关系，充分不必要对应真子集，必要不充分对应，充要条件对应两集合相等。 列出参数不等式，求解参数取值范围，求出结果后代回原集合检验，规避端点、空集带来的漏解、错解。 区间类参数借助数轴划分分界点分类讨论，单独验证边界数值是否满足题干的推出关系。 典｜例｜精｜析 【例9】设集合，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是的必要不充分条件，可得是的真子集， 又因为集合， 当时，此时方程组无解； 当时，解得，此时，满足是的真子集， 综上可得，实数的值为. 故选：C. 【例10】新高一年级数学人教A版）已知全集，集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】. 【详解】若“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集， 当时，，此时，满足是的真子集， 当时，则，解得：，且和不能同时成立， 综上所述：实数的取值范围为. 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】非空集合， 是的充分不必要条件，则有集合是集合的真子集，所以， 即实数的取值范围为. 【变式5-2】设命题，命题且，若是的必要条件，则的取值范围是____________. 【答案】 【详解】由命题知：时，， 则为26的正因数，即为1，2，13，26， 当时，，不合题意舍；当时，； 当时，；当时，； 故命题； 由于是的必要条件，故， 只需满足，即， 即的取值范围是， 故答案为： 【变式5-3】已知，. (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）令，， 因为是的必要条件， 所以, 可得：解得：， 即实数的取值范围是； （2）由是的充分条件， 可得：， 当时，满足题意，此时，即； 当时，需满足此时，解集为； 综上：实数的取值范围 题型06 探索命题为真的充要条件 典｜例｜精｜析 【例11】二次函数的图象与x轴没有交点的充要条件是（    ） A． B． C． D．， 【答案】B 【详解】由二次函数的图象与x轴没有交点， 故，得， 故答案为：B 【例12】已知，求成立的充要条件． 【答案】 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 当时，成立， 所以在的条件下，成立的充要条件是. 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】已知，则“”的充要条件是（   ） A．a，b都不为1 B．a，b不都为1 C．a，b不都为0 D． 【答案】A 【详解】且， 即都不为1， 故选：A 【变式6-2】关于的方程有两个负实根的充要条件是______． 【答案】 【详解】充分性：由题意可得，即得，充分性成立； 必要性：若，则此时， 满足方程有两个负实根，必要性成立． 故关于的方程有两个负实根的充要条件是充要条件是． 故答案为： 【变式6-3】已知方程，求使方程有两个大于的实数根的充要条件． 【答案】 【详解】方程，有两个大于的实数根， ， ⇔⇔ ⇔⇔. 由于上述变型过程是等价的，所以使方程有两个大于1的实根的充要条件是. 题型07 反证法 解题贴士 做题第一步拆分命题的条件与结论，完整否定结论做出假设，遇到至少、至多、存在类词语要准确写出反面表述。 依托已知、定理、假设逐步严谨推理，推出与已知、公理、事实相冲突的矛盾，依靠矛盾推翻假设，证明原结论成立。 典｜例｜精｜析 【例13】用反证法证明结论“、、至少有一个是正数”时，应假设（   ） A．、、都是正数 B．、、都不是正数 C．、、至多有一个正数 D．、、至多有两个正数 【答案】B 【详解】因为 “、、至少有一个是正数”的否定为“、、都不是正数”， 由反证法的定义，故应假设：、、都不是正数. 故选：B 【例14】用反证法证明：若、、，且，，，则中至少有一个不小于0． 【答案】证明见解析 【详解】假设、、都小于0，即，则， 因为、、，且，，， 则， 当且仅当时，等号成立， 这与矛盾， 可知假设不成立，所以、、中至少有一个不小于0. 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】用反证法证明：“若且，则且”时，第一步应假设___________． 【答案】或 【详解】对于用反证法证明命题“若且，则且”时， 第一步应假设的是“且”的否定，即：或. 故答案为：或. 【变式7-2已知，，且.求证：，中至少有一个小于. 【答案】证明见解析 【详解】假设，都不小于，即，， ∵，，∴，. ∴. 即，这与已知矛盾. ∴，中至少有一个小于. 【变式7-3】已知、、，用反证法证明：若，则、、中至少有一个小. 【答案】证明见解析 【详解】假设，，，由不等式的基本性质得，这与矛盾， 故假设不成立，故、、中至少有一个小. 基础通关 一、填空题 1．已知，，则是的________.（选“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”之一填空） 【答案】必要不充分条件 【详解】因为，，所以是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分条件. 2．用反证法证明命题“若，则或”时，第一步应该假设的内容为__________. 【答案】且 【详解】由反证法解题思路，应假设且， 故答案为：且 3．设α：，β：，若α是β的充分条件，则实数a的取值范围是______． 【答案】. 【详解】由α是β的充分条件，可得是的子集， 即， 故答案为：. 4．“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的_____条件.（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充分必要”或“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【详解】四边形的对角线互相垂直，若对角线不互相平分，则四边形不是平行四边形， 此时无法得到四边形为菱形，充分性不成立， 若四边形为菱形，则对角线互相垂直，必要性成立， 所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 5．“若，则”为真命题，则实数的一个值为______. 【答案】0（答案不唯一，满足即可） 【详解】“若，则”为真命题，则， 可得，解得，例如. 故答案为：0（答案不唯一，满足即可）. 6．写出一个使关于的方程有实数根的充分不必要条件__________． 【答案】 【详解】由方程有实数根得，当时，； 当也有实数根，所以充要条件为． 充分不必要条件只需要是的真子集即可． 故答案为： 二、单选题 7．下列语句为命题的是（ ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【答案】D 【详解】由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命题，所以D为命题． A，B，C不能判断真假，所以不是命题. 8．努力学习不一定能够成功，不努力学习一定不会成功，在这句话中，努力学习是成功的什么条件？（    ） A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】C 【详解】“努力学习不一定能够成功”，则“努力学习”不能推出“成功”，不满足充分性， “不努力学习一定不会成功”则“不努力学习”能推出“不成功”， 其逆否命题“成功”能推出“努力学习”，满足必要性， 故“努力学习”是“成功”的必要不充分条件． 9．在中，角的对边分别为，则“”是“为锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】在中，因为，所以， 若，则，从而，这与矛盾，所以为锐角； 反之，若，则满足为锐角，但不能满足. 故“”是“为锐角”的充分不必要条件. 故选：A 10．已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则， 又因为集合，，则或，可得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 三、解答题 11．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出命题的真假． (1)绝对值相等的数也相等； (2)矩形的对角线相等； (3)两个无理数的和是无理数． 【答案】(1)若两个数的绝对值相等，则这两个数相等；假命题 (2)若一个四边形是矩形，则它的对角线相等；真命题 (3)若两个数是无理数，则这两个数的和是无理数；假命题 【分析】 【详解】（1）命题：绝对值相等的数也相等， 改写为：若两个数的绝对值相等，则这两个数相等. 命题是假命题，比如和，两个数的绝对值都是，但是这两个数不相等. （2）命题：矩形的对角线相等， 改写为：若一个四边形是矩形，则它的对角线相等. 命题是真命题，因为矩形的对角线是相等的. （3）命题：两个无理数的和是无理数， 改写为：若两个数是无理数，则这两个数的和是无理数. 命题是假命题，如和都是无理数，但这两个数的和为是有理数. 12．设集合，非空集合． (1)若，求和； (2)设命题，命题，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1），因为，所以， 所以，． （2）因为是成立的充分不必要条件，所以， 所以，解得，经检验满足， 所以实数的取值范围是. 13．设集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因，则，即， 故实数的取值范围为； （2）由题意得，且，则，得， 故实数的取值范围. 14．已知集合，集合． (1)若且，求实数的取值范围； (2)设命题；命题，若命题成立的充分不必要条件是命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 由得，解得． 由得，解得， 若，则或， 若且，得， 即实数的取值范围为； （2）命题成立的充分不必要条件是命题， 又命题，命题，所以是的真子集， 因为， 又，所以或， 当，即时，，，命题成立； 当时，由是的真子集可得，或，解得或； 综上所述，实数的取值范围为． 素养提升 1．已知有两个不相等的负根，无实根.若和有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【详解】若命题为真命题，设方程的两根分别为、， 则，解得， 若命题为真命题，则，解得， 因为和有且只有一个为真命题， 若真假，，此时不存在， 若假真，则，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对不等式化简变形可得： ，即，进一步化简可得： ，即， 所以原不等式等价于：， 若，则，，， 因此，原不等式成立， 即，充分性成立， 若取，，此时，​， 满足（原不等式成立），但不满足， 即，所以必要性不成立。 因此“”是“​”的充分不必要条件. 3．在中，，则“”是“为锐角三角形”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】在中，， 若为锐角三角形，则，解得， 因为， 所以“”是“为锐角三角形”的必要不充分条件， 故选：B. 4．设，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A．都为0 B．都不为0 C．中至多有一个是1 D．都不为1 【答案】C 【详解】，，即且， 对于A选项，若都为0，则，满足； 但当时，不一定都为0，比如时，， 所以“都为0”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对于B选项，若都不为0，比如，则，不满足， 而时，也可能为， 所以“都不为0”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C选项，由“”即且能推出“中至多有一个是1”， 当“中至多有一个是1”时，比如，此时，不满足， 所以由“中至多有一个是1”不能推出“”， 因此“中至多有一个是1”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D选项，“都不为1”就是“”的等价条件， 所以“都不为1”是“”的充要条件，故D错误. 故选：C. 5．若矩形的长为，宽为，则“”是“矩形的面积为1”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由整理得， 所以，解得， 所以矩形的面积为， 所以“”是“矩形的面积为”的充分条件； 若矩形的面积为，不妨设， 此时， 所以“”不是“矩形的面积为”的必要条件； 所以“”是“矩形的面积为”的充分不必要条件； 故选：B. 6．已知命题：关于的方程有实数根，命题：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围 (3)当时，若与有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】 【详解】（1）因为命题是真命题， 所以． 即，解得， 所以实数a的取值范围是； （2）由（1）可知：， 记，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以或， 解得，所以实数的取值范围是； （3）当时，命题：， 当命题为真，命题为假时，此时； 当命题为假，命题为真时，此时； 综上，实数得取值范围为：或. 迁移创新 1．如图，现有四个电路图，已知：灯泡L亮，：开关闭合，则符合是的必要不充分条件的电路图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项：灯泡L亮，开关闭合；开关闭合，灯泡L不一定亮，即， 所以是的充分不必要条件，A错误； 对于B选项：灯泡L亮，开关不一定闭合；开关闭合，灯泡L不一定亮，即， 所以是的既不充分也不必要条件，B错误； 对于C选项：灯泡L亮，开关不一定闭合；开关闭合，灯泡L亮，即， 所以是的必要不充分条件，C正确； 对于D选项：灯泡L亮，开关闭合；开关闭合，灯泡L一定亮，即， 所以是的充分必要条件，D错误； 故选:C. 2．请选择“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填入下面空格处．并完成第（2）问的证明． (1)是的___________条件： (2)已知，证明：成立的___________条件是． 提示： 【答案】(1)必要不充分 (2)充要，证明见解析 【分析】 【详解】（1）当时，令，此时不成立， 当时，可得且， 所以， 所以是的必要不充分条件． （2）成立的充要条件是． 先证必要性： ； 再证充分性： ， 即： ，即． 综上所述：成立的充要条件是． 3．已知二次函数，其中且. (1)证明：二次函数与轴正半轴和负半轴各有一个交点的充要条件是； (2)若，且当和时，y均为奇数，证明：方程无整数根. 【答案】(1) 必要性：若一元二次方程有一正根和一负根， 则由韦达定理得：，即； 充分性：若成立，此时方程一元二次方程的， 方程有两个不同的根，且，即一元二次方程有一正根和一负根. 所以一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是. (2) 当时，为奇数， 当时，均为奇数，因为为奇数，所以为偶数， 所以同为奇数或同为偶数， 假设有整数根，则， 1.当均为偶数时，则为偶数，为偶数，又为奇数， 所以为奇数，所以，与假设矛盾； 2.当均为奇数时，若为偶数，则为偶数，为偶数， 又为奇数，所以为奇数，所以，与假设矛盾； 若为奇数，则为奇数，为奇数， 又为奇数，所以为奇数，所以，与假设矛盾； 综上，假设不成立，所以方程无整数根. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 集合与逻辑 1.2 常用逻辑用语 课标要点 1.掌握命题定义、真假命题区分，理解推出关系及其传递性，会书写推出符号。 2.熟记充分、必要、充要条件定义，能双向推导判断四类条件关系。 3.理解反证法原理、步骤与适用题型，可规范完成含至多至少类命题证明。 4.结合集合子集关系判断条件，利用“小推大”快速解决范围类条件题型。 学习重难点 重点： 1.命题、推出关系概念，充分、必要、充要条件的定义与五类判定形式。 2.反证法核心思路、四步标准流程，明确证题时矛盾的多种来源。 3.集合与条件的对应关系，依托子集借助范围快速判断条件类型。 难点： 1.区分充分与必要条件，容易颠倒推导方向，混淆各类条件判定标准。 2.反证法完整否定结论，处理“至多、至少”类词语的反面表述易出错。 3.灵活转化集合范围与逻辑条件，熟练运用“小范围推出大范围”规律。 知识点一 有关命题的概念 1.命题定义：能够判断真假的陈述句称为命题。 2.命题分类：能够判定为真的是真命题，能够判定为假的是假命题。 3.推出关系：若“若，则”为真命题，称可以推出，记作。 4.推出关系传递性：若且，则，是逻辑推理的基础。 即学即练 1．下列命题为真命题的是（    ） A．有些菱形不是平行四边形 B．平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线 C．所有素数都是奇数 D．每个四边形的内角和都是 2．老师们常常给我们说，“努力学习不一定有好结果，但是不努力学习一定没有好结果”，对于这句话，正确的理解是（    ） A．任何时候不管努力学习，或者不努力学习，都不一定有好结果 B．不努力学习也可能有好结果 C．努力学习一定有好结果 D．如果没有取得好结果，那么一定没有努力 知识点二 充分条件、必要条件、充要条件 1.若，则是的充分条件，是的必要条件；若且，则是的充要条件，记作，二者等价。 2.几类条件关系：（1），：是充分不必要条件 （2），：是必要不充分条件 （3）：是充要条件 （4），：是既不充分也不必要条件 3.范围判断口诀：小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围。 即学即练 3．“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 4．“是整数”是“是奇数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点三 反证法 1.适用场景举反例仅可证明命题为假；证明命题为真可采用反证法，多用于题干含否定、至多、至少类语句。 2.核心原理先假设原结论不成立，经过严谨推理推出与已知、定理、事实矛盾的结果，从而证明原结论成立。 3.证明思路：肯定条件，否定结论→推理得出矛盾→假设不成立，原结论正确 4.标准步骤：（1）拆分命题的条件与结论；（2）作出与结论完全相反的假设；（3）结合条件与假设推理，推出矛盾；（4）否定假设，证明原命题为真。 5.矛盾类型：与已知条件、假设、公理、定理、客观事实冲突均可。 易错提醒 否定结论时只否定部分文字，没有对结论进行全盘否定，遇到“至少、至多、存在”这类限定词时反面容易写错。例如“至少有一个”的反面是“一个都没有”，“至多两个”反面是“至少三个”，假设必须和原结论完全对立。 即学即练 5．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（    ） A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度 C．假设三内角至多有一个大于60度 D．假设三内角至多有两个大于60度 知识点四 从集合角度理解充分、必要条件 设集合，集合 1.； 2.充分不必要； 3.必要不充分； 4.充要条件； 5.且：、互相既不充分也不必要。 6.通用步骤：①分清条件与结论；②验证能否推出；③验证能否推出；④判定条件类型。 易错提醒 容易记反“小推大”规则，误以为大范围可以推出小范围，同时混淆真子集对应的条件关系。小集合代表限制更强的小范围，能够推出限制宽松的大范围；若是的真子集，说明是的充分不必要条件，切勿记反对应关系。 题型01 命题的真假判断 解题贴士 先判断语句是否为可判定真假的陈述句，疑问句、含未知变量无法定对错的式子都不属于命题。 判定假命题只需举出一组满足条件但不匹配结论的反例即可，不需要完整推导。判定真命题要结合定义、定理完成完整逻辑推导，不能依靠个别例子佐证。 遇到带范围、不等式的命题可借助数轴、集合辅助分析，区分全称与存在类命题，全称命题找反例，存在命题找一组成立的情况。 典｜例｜精｜析 【例1】Agnes在白纸上写下以下四个论断： 这些论断中至少有一个是真的． 这些论断中至少有两个是真的． 这些论断中至少有两个是假的． 这些论断中至少有一个是假的． 每个论断非真即假．问Agnes在纸上写的假论断有几个？(    ) A．0 B．1 C．2 D．3 E．4 【例2】下列叙述正确的是________. ①不等式的所有解可以组成一个集合； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是无限集； ③是的真子集； ④. 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】给出以下四个命题： ①任何一个集合都至少有两个子集． ②若，则． ③若，则或1． ④． 其中真命题有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-2】“若直线与圆存在公共点，则直线与圆相切”是__________命题.（请在“真”“假”中选择一个填入横线中） 【变式1-3】关于的方程，有下列四个命题： 甲：是该方程的根； 乙：是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号. 如果只有一个假命题，则该命题是________. 题型02 充分条件、必要条件的判断（“是”结构) 解题贴士 先拆分句式“p是q的XX条件”，确定p为条件、q为结论，分别验证与两种推导关系。 若仅前式成立则为充分不必要，仅后式成立则为必要不充分，双向成立为充要，均不成立则既不充分也不必要。 涉及取值范围时套用小范围推出大范围的规律，转化为集合子集关系快速判断，全程不要颠倒p、q的推导顺序。 典｜例｜精｜析 【例3】已知，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例4】设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】已知a，b，c，d均为正实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】已知集合则x∈B是x∈U的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-3】“”是“关于的不等式的解集是空集”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型03 充分条件、必要条件的判断（“的”结构) 解题贴士 句式为“q成立的XX条件是p”，核心逻辑与“是”结构相反，此时p是结论，q是条件，极易混淆推导方向。 典｜例｜精｜析 【例5】设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 【例6】“”的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】方程两根异号的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．，， 【变式3-2】已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是________． 【变式3-3】“集合至多含有一个元素”的一个充分非必要条件是__________． 题型04 数学文化中的充分性和必要性 典｜例｜精｜析 【例7】在中国传统的十二生肖中，马､牛､羊､鸡､狗､猪为六畜，则“甲的生肖不是马”是“甲的生肖属于六畜”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例8】“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】荀子曰：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言，阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-2】王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 【变式4-3】王安石在《游褒禅山记》中说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（    ） A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 题型05 根据充分性，必要性求参数 解题贴士 先根据条件类型转化集合包含关系，充分不必要对应真子集，必要不充分对应，充要条件对应两集合相等。 列出参数不等式，求解参数取值范围，求出结果后代回原集合检验，规避端点、空集带来的漏解、错解。 区间类参数借助数轴划分分界点分类讨论，单独验证边界数值是否满足题干的推出关系。 典｜例｜精｜析 【例9】设集合，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【例10】新高一年级数学人教A版）已知全集，集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】设命题，命题且，若是的必要条件，则的取值范围是____________. 【变式5-3】已知，. (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 题型06 探索命题为真的充要条件 典｜例｜精｜析 【例11】二次函数的图象与x轴没有交点的充要条件是（    ） A． B． C． D．， 【例12】已知，求成立的充要条件． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】已知，则“”的充要条件是（   ） A．a，b都不为1 B．a，b不都为1 C．a，b不都为0 D． 【变式6-2】关于的方程有两个负实根的充要条件是______． 【变式6-3】已知方程，求使方程有两个大于的实数根的充要条件． 题型07 反证法 解题贴士 做题第一步拆分命题的条件与结论，完整否定结论做出假设，遇到至少、至多、存在类词语要准确写出反面表述。 依托已知、定理、假设逐步严谨推理，推出与已知、公理、事实相冲突的矛盾，依靠矛盾推翻假设，证明原结论成立。 典｜例｜精｜析 【例13】用反证法证明结论“、、至少有一个是正数”时，应假设（   ） A．、、都是正数 B．、、都不是正数 C．、、至多有一个正数 D．、、至多有两个正数 【例14】用反证法证明：若、、，且，，，则中至少有一个不小于0． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】用反证法证明：“若且，则且”时，第一步应假设___________． 【变式7-2已知，，且.求证：，中至少有一个小于. 【变式7-3】已知、、，用反证法证明：若，则、、中至少有一个小. 基础通关 一、填空题 1．已知，，则是的________.（选“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”之一填空） 2．用反证法证明命题“若，则或”时，第一步应该假设的内容为__________. 3．设α：，β：，若α是β的充分条件，则实数a的取值范围是______． 4．“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的_____条件.（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充分必要”或“既不充分也不必要”） 5．“若，则”为真命题，则实数的一个值为______. 6．写出一个使关于的方程有实数根的充分不必要条件__________． 二、单选题 7．下列语句为命题的是（ ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 8．努力学习不一定能够成功，不努力学习一定不会成功，在这句话中，努力学习是成功的什么条件？（    ） A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 9．在中，角的对边分别为，则“”是“为锐角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 三、解答题 11．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出命题的真假． (1)绝对值相等的数也相等； (2)矩形的对角线相等； (3)两个无理数的和是无理数． 12．设集合，非空集合． (1)若，求和； (2)设命题，命题，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 13．设集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若且“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 14．已知集合，集合． (1)若且，求实数的取值范围； (2)设命题；命题，若命题成立的充分不必要条件是命题，求实数的取值范围． 素养提升 1．已知有两个不相等的负根，无实根.若和有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是__________. 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在中，，则“”是“为锐角三角形”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A．都为0 B．都不为0 C．中至多有一个是1 D．都不为1 5．若矩形的长为，宽为，则“”是“矩形的面积为1”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知命题：关于的方程有实数根，命题：. (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围 (3)当时，若与有且只有一个真命题，求实数的取值范围. 迁移创新 1．如图，现有四个电路图，已知：灯泡L亮，：开关闭合，则符合是的必要不充分条件的电路图是（   ） A． B． C． D． 2．请选择“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填入下面空格处．并完成第（2）问的证明． (1)是的___________条件： (2)已知，证明：成立的___________条件是． 提示： 3．已知二次函数，其中且. (1)证明：二次函数与轴正半轴和负半轴各有一个交点的充要条件是； (2)若，且当和时，y均为奇数，证明：方程无整数根. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $