第1章 集合与逻辑单元题型大总结（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第一册

第1章 集合与逻辑单元题型大总结 教学目标 1.通过实例了解集合的含义,集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题。 2.会用集合语言表示有关数学对象：描述法，列举法。 3. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，理解子集、真子集的概念。 4.理解两个集合的并集与交集的含义，补集的含义，会求简单集合的交、并运算，会求给定子集的补集。 5.正确理解充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念，会判断命题的充分条件、必要条件、充要条件． 教学重难点 教学重点: ①由实际问题抽象集合的概念，理解集合间的关系与运算; ②通过集合间的关系，探究充分条件与必要条件; 教学难点: ①抽象研究对象--集合; ②根据集合间关系，利用集合的运算对参数进行求解; ③对充分条件和必要条件关系的理解。 知识点01 集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 【即学即练】已知，则实数 . 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系，9必定是集合中的某一个元素，再分别讨论当和两种情况，结合元素的互异性得出正确答案即可. 【详解】由题意得，， 若，则，此时， 不满足集合元素的互异性， 若，则（舍去）或， 此时，满足题意. 故答案为：. 知识点02集合的表示方法 1常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 或 2集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 【即学即练】集合，则的真子集个数为 个． 【答案】 【分析】根据整除且，可逐个求出，进而求出集合A的真子集个数. 【详解】解：因为，所以，又因为，即整除， 所以，，， 所以，，， 故集合， 所以集合的真子集个数为个． 故答案为：. 知识点03 子集 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 【即学即练】已知集合，则满足的集合个数为 【答案】 【分析】利用常用数集的定义化简集合，再由条件得到集合为集合的真子集，从而得解. 【详解】因为，， 所以的取值为，即的取值为， 所以，有6个元素， 又，即集合为集合的真子集， 所以集合个数为. 故答案为：. 知识点04 真子集 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 【即学即练】设集合，则的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】D 【分析】写出集合，计算真子集个数. 【详解】，因为集合中有个元素，所以真子集个数为. 故选：D. 知识点05 交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 【即学即练】已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集结果可知，再由绝对值不等式可得集合，求出其补集即可得出实数的取值范围. 【详解】由得，，故． 由得，所以或； 根据可得 解得，即实数的取值范围为. 故选：A 知识点06 并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 【即学即练】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元二次不等式，根据并集运算得解. 【详解】因为， 所以． 故选：A 知识点07 全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 【即学即练】设全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补集以及并集的计算，可得答案. 【详解】有题意可得，则. 故选：C. 知识点08 充分条件，必要条件、充要条件 【定义】1.对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件，亦称是的必要条件. 【定义】2.对于两个陈述句与，如果，又有，就称是的充分必要条件，简称充要条件，记作，读作与等价或者成立当且仅当成立 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. （6）判断命题与命题所表示的范围，再根据“小范围推的出大范围，大范围推不出小范围”的原则，判断命题与命题的关系． 【即学即练】命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出命题“”为真命题的充要条件，然后可选出答案. 【详解】由可得：， 当时，，所以， 则的取值范围为， 满足其一个充分不必要条件的集合为，则：为的真子集, 故其一个充分不必要条件是：. 故选:C. 题型01 元素（集合）与集合 【典例1】下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】①根据子集的定义判断；②根据集合中的元素的特征判断；③根据集合中有一个元素0判断；④根据元素与集合的关系判断；⑤根据集合与集合的关系判断；⑥根据空集是任意集合的子集判断. 【详解】依据子集定义，任何集合都是自身的子集，①正确； 集合中的元素具有无序性，②正确； 集合中有一个元素0，不是空集，③正确； 0是集合中的元素，所以，④正确； 空集和集合两个集合的关系为包含关系不是属于关系，⑤错误； 由于空集是任意集合的子集，则，⑥正确； 故选：C 【变式1】已知集合.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定集合中的元素，进而逐项判断即可； 【详解】 A，C选项使用符号错误，，B错，，D对； 故选：D 【变式2】设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据补集的概念确定集合，利用元素与集合的关系可得答案. 【详解】∵全集，， ∴， ∴，，，． 故选：D． 【变式3】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据分式不等式的解法得出；再根据集合间的基本关系即可判断. 【详解】因为，， 所以，. 故选：B. 【变式4】若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得出集合A，再应用元素与集合的关系判断即可. 【详解】因为集合，则，所以A错误，B正确； 空集是集合A的真子集，C错误；集合A不是整数集的子集，D错误. 故选：B. 元素与集合 属于 不属于 集合与集合 包含 不包含 题型02 集合中元素的三个特性 【典例1】设集合，，且满足，则． (1)求出只含2个元素的集合； (2)满足题设条件的集合共有几个？列举出来． 【答案】(1)，， (2)7个，，，，，，， 【分析】（1）根据的形式，先确定的取值，再代入验证； （2）根据（1）的结果，列举满足条件的集合. 【详解】（1）∵只有2个元素，且且， ∴可取2或3或4或5或7或13，代入， 当代入，得13，将13再代入，得2，满足双元素集合， 当代入，得7，将7再代入，得3，满足双元素集合， 当代入，得5，将5再代入，得4，满足双元素集合， 都是对应上述双元素集合中的元素，不需再代入，不合要求， 所以双元素集，，． （2）满足题设条件的集合共有（个），分别是，，，，，，． 【变式1】已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是（   ） A．506 B．507 C．1012 D．1013 【答案】D 【分析】假设B中的最大元素为2025，再将其余元素分组，再结合抽屉原理即可得解. 【详解】假设B中的最大元素为2025， 将其余元素分组，，..，，共1012组， 若B中元素多于1013个，由抽屉原理可知，必有两个数在同一组，两个数的和为2025，与条件矛盾. 所以B中元素不能多于1013个. 所以当时， B中元素个数最多为. 故选：D 【变式2】集合中元素的个数为（    ） A．18 B．12 C．8 D．5 【答案】A 【分析】根据集合定义结合分步计数原理即可求解. 【详解】集合中元素的个数为. 故选：A. 【变式3】已知集合，，若，则的取值集合是 ． 【答案】 【分析】由题意可知，根据包含关系列式求解，并结合集合的互异性运算求解. 【详解】因为，则， 若，可得或， 当，则集合，，符合题意； 当，则集合，，符合题意； 若，可得，不满足互异性，不符合题意； 综上所述：的取值集合是. 故答案为：. 【变式4】已知为一个数集，集合． (1)设，求集合A的元素个数； (2)设，证明：若，则． 【答案】(1)8个； (2)证明见解析． 【分析】（1）需要对的取值进行分类讨论，然后计算出，再根据元素的互异性求解； （2）设，计算出，即可证明． 【详解】（1）时，； ，； ，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； 所以，它有8个元素； （2）因为， 所以设，． ，所以得证． 题型03集合的表示方法综合 【典例1】集合可用列举法表示为 ． 【答案】 【分析】根据集合描述法与列举法的定义求解. 【详解】由可知， 所以只能取，又，所以， 即集合中的元素为，故列举法表示为. 故答案为： 【变式1】集合用列举法表示为 . 【答案】 【分析】根据集合的描述法出集合中的元素，利用列举法表示即可. 【详解】因为集合的描述法表示为， 所以集合中的元素为1,2,3,4， 所以集合的列举法表示为. 故答案为： 【变式2】集合，用列举法表示是 . 【答案】 【分析】解一元一次不等式，利用列举法求解即可. 【详解】集合，故用列举法表示是. 故答案为： 【变式3】集合中的元素个数为 ． 【答案】6 【分析】利用4的因数结合集合的描述法一一计算即可. 【详解】因为，即， 所以的可能取值为，分别代入可得， 所以集合中共有6个元素. 故答案为：6 【变式4】下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的表示方法，以及集合相等的概念，逐项分析判定，即可求解. 【详解】对于A中，集合与集合中的元素完全相同，所以，所以A正确； 对于B中，集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 集合表示由点作为元素，构成的单元素集合， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于C中，集合表示由两个元素构成的数集； 集合表示由点作为元素，构成的单元素数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 对于D中，集合表示直线的点作为元素构成的无限点集， 集合表示直线的点的纵坐标作为元素构成的无限数集， 所以集合与集合不相等，所以B不符合题意； 故选：A. 题型04 子集（真子集）个数 【典例1】已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据真子集的个数得，即可求解. 【详解】因为集合有15个真子集，所以集合中包含4个元素， 所以，所以，则实数的取值范围为． 故答案为： 【变式1】集合，则的子集有（    ）个 A．8 B．7 C．6 D．3 【答案】A 【分析】由题可解集合，再利用子集个数求解公式可求. 【详解】因为， 所以则的子集有个， 故选：A. 【变式2】已知集合，，满足，，则集合的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据交集的性质即可求解，根据子集的个数公式求解. 【详解】易知，于是集合的子集个数为. 故选：B. 【变式3】设集合满足Ü，则满足条件的有 个． 【答案】7 【分析】根据子集和真子集的概念求解即可. 【详解】由题意可知，集合中一定包含元素, 且是的真子集， 所以或或或或或或， 即满足条件的集合有7个. 故答案为：7. 【变式4】已知集合，且满足：“若，则”，则满足条件的集合的个数为 ． 【答案】4 【分析】根据子集的定义及集合元素的关系可得出结论． 【详解】由集合，可得的可能情况有： ，，，，，，，， 其中，满足“若，则”的集合有：，，，， 故满足条件的集合的个数为4． 故答案为：4． 若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 题型05 根据包含关系求参数 【典例1】已知集合，，，. (1)求p，a，b的值； (2)若，且，求m的值. 【答案】(1)，； (2)或或. 【分析】（1）根据交集结果有求，再由并集结果有，结合根与系数关系求参数值； （2）由包含关系并讨论、求对应参数值，即可得. 【详解】（1）由，故，可得，则， 又，则，故； 所以，； （2）由， 若，即，满足题设， 若，即，则，或， 综上，或或. 【变式1】已知集合， (1)当时，求与; (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据集合的交并补运算的定义即可求解， （2）分类讨论求解集合，即可列不等式求解. 【详解】（1）当时，， 故， 由于，故， （2）当时，， 当时，， 若，则需满足或，解得 故 【变式2】已知集合． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）解不等式求得集合，根据，可求得的取值范围； （2）分和两种情况解不等式求得集合，利用，可求得的取值范围. 【详解】（1）； ． 由，．故的取值范围为． （2）当时，则，又，所以． 当时，则，又，所以， 综上所述：的取值范围为． 【变式3】已知集合． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再由并集的定义求解即可； （2）先求出，分和，由子集的定义列出不等式组，解方程即可得出答案 【详解】（1）由可得：， 由可得：或， 所以或， . （2），因为, ①，则，解得：， ②，则或，解得：. 故实数的取值范围为：． 【变式4】设全集，集合，， (1)求，； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出集合M，然后结合集合的基本运算即可分别求解； （2）结合集合的包含关系即可求解． 【详解】（1）全集，集合，， ，或， 则. （2）若，，， 则，解得， 故实数a的取值范围为 题型06 交集、并集、补集运算 【典例1】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合集合中元素的性质利用集合交集运算直接求解即可. 【详解】因为集合表示奇数组成的集合， 又，所以. 故选：B 【变式1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次不等式得到集合，由集合的交集运算得到答案. 【详解】由得，所以， 又因为，所以， 故选：B. 【变式2】集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的交集与补集，可得答案. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 【变式3】已知集合，则的整数元素的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据题意，求出集合，再利用并集运算求出，得解. 【详解】由题意得，则， 所以的整数元素为，共6个. 故选：B. 【变式4】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用集合交集和补集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合， 则，所以. 故选：D. 题型07 根据交集、并集、补集运算结果求参数 【典例1】已知全集，集合. (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）求出，结合并集概念计算；（2）求出，结合交集概念和得到取值范围. 【详解】（1）由，解得或， 可得或， 若，则，所以或. （2）由（1）知可得或， 所以， 又因为，若， 则实数的取值范围是. 【变式1】已知集合或，，回答下列问题. (1)若，试求，； (2)若，求实数的取值范围； 【答案】(1)，或 (2)或 【分析】（1）求出时的集合，再根据补集、交集和并集的定义计算即可； （2）由知，讨论当和时的情形，分别求出对应的的取值范围. 【详解】（1）或，则， ，当时，， 所以； 又或，所以或. （2）若，则. 当时，，即； 当时，则或，解得或. 综上，的取值范围为或. 【变式2】设全集为，集合或，. (1)当时，求图中阴影部分表示的集合； (2)在（1）；（2）；（3）这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2). 【分析】（1）由题意可知，阴影部分表示的集合是，通过集合运算解决即可； （2）选择（1）（2）（3），均可得，这里注意集合为空集这种情况，再通过子集之间的包含关系求解即可. 【详解】（1）全集为，集合或， 当时，， 或， 图中阴影部分表示的集合或. （2）选择（1）（2）（3）均得到， 当时，，解得； 当时，或 解得或， 综上，实数的取值范围是. 【变式3】已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）分别求解集合中的不等式，然后求它们的并集. （2）首先判断集合的关系，然后分为空集和非空集两种情况讨论的范围. 【详解】（1）由， 若， 则， ， 故； （2）， 即， ①当时，，即， 此时成立， 符合题意； ②当时，需满足：，解得． 综上，． 【变式4】已知为实数，集合，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先根据，分别得出集合，进而应用交集，并集，补集定义计算求解； （2）分和求出集合，再由得，列方程求解即可. 【详解】（1）因为，所以，，， 所以. （2）当时，，满足，所以成立； 当时，，可得且且， 得，且，且， 因为满足，所以， 所以或，得或或（舍去）， 所以或； 综上，或或； 题型08 充分性与必要性的判断 【典例1】已知，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件对应集合中的包含关系，解出不等式，判断解集的关系，判断结果. 【详解】已知，解得， 已知，化简得，解得， 可知，即不能推导，可以推出， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 【变式1】“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先解不等式，然后根据充分条件、必要条件的定义判断即可 【详解】由或，， 若或成立，则不一定成立，故充分性不成立， 若成立，则或一定成立，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 【变式2】若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件. 【答案】B 【分析】当时，解不等式，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由得，解得或，因为，故， 因为是的真子集，故当时，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式3】“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先解不等式，然后根据充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】由，可得，解得. 因为是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 【变式4】“成立”是“成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】首先求解绝对值不等式与分式不等式，然后再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，解得：；由，解得：. 由于“”推不出“” 但“”可以推出“” 因此可得：“成立”是“成立”的必要不充分条件. 故选：B 题型09 根据充分性与必要性求参数 【典例1】已知集合，. (1)当时，求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，若实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据集合交并补的运算法则进行计算即可. （2）先明确集合的包含关系，根据集合的包含关系求参数的取值范围. 【详解】（1）由题得，， 当时，， 或，. （2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以B是A的真子集， 当时，，满足题意. 当时，由题得或，所以. 综上所述，.即的取值范围是： 【变式1】（1）求不等式的解集； （2）已知不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围； （3）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2），（3） 【分析】（1）因式分解即可求解； （2）由判别式即可求解； （3）由集合的包含关系即可求解； 【详解】（1）等价于， 解得：， 所以不等式的解集为： （2）由题意可得：， 解得：， 所以的取值范围是 （3）由题意可知： 所以，等号不同时成立， 解得：， 所以实数的取值范围 【变式2】设集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先求出集合，然后结合集合的交集运算即可求解； （2）结合集合包含关系与充分必要条件的转化即可求解. 【详解】（1）， 时，， . （2）是的充分不必要条件，即A⫋， 又且， （等号不同时成立），解得， 故的范围为. 【变式3】设全集，集合，集合，其中. (1)若，求. (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简集合，结合结合运算法则求结论， （2）根据充分条件定义条件可转化为，根据包含关系列不等式求的范围. 【详解】（1）， 当，， 所以， 所以 （2）因为“”是“”的充分条件，所以. ，所以 所以. 【变式4】设全集为R，，． (1)若，求，； (2)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1), (2) 【分析】（1）根据分式不等式化简集合，即可根据集合的交并补运算的定义求解， （2）根据必要条件，将问题转化为，即可根据子集关系求解. 【详解】（1）由可得， 当时，， 故，或， 故 （2）由于“”是“”的必要条件，故， 因此，解得 充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 题型10 新定义题 【典例1】已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可； （2）先证明若，，则，即可得到，从而得证； （3）依题意可得，从而求出，再说明即可. 【详解】（1）因为，所以； 因为，所以； 因为没有倒数，所以； 因为，所以； 综上可得，. （2）先证明：若，，则； 设，，为整数， 所以， 由于，都是整数，所以， 当，时，，，所以，所以； （3）因为， 所以， 所以，都是整数， 所以为整数， 所以， 假如，则，则应为的倍数， 设为整数，若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 所以，即. 【变式1】已知数集（，且），若，均有，则称具有性质．规定集合，集合，设集合中的元素个数为，集合中的元素个数为． (1)试判断集合和集合是否具有性质； (2)若具有性质，，证明：； (3)若具有性质，试比较a，b的大小，并说明理由． 【答案】(1)集合不具有性质，集合具有性质 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）由定义即可直接判断； （2）由新定义得到集合中元素的个数不超过，即可求证； （3）对集合中的元素分两种情况讨论：，得到或，得到，，进而得到，同样讨论集合中的元素，得到，即可求证； 【详解】（1）对于集合，若，则，所以集合不具有性质． 对于集合，因为，，，，，，，，所以集合具有性质． （2）依题意，集合中的元素构成有序数对，共有个． 因为，所以，又当时，， 所以当时，， 因此集合中元素的个数不超过，故． （3）对集合中的元素分两种情况讨论： ①若，则，，可得， 这种情况下，集合中每个元素都能在集合中找到一个对应的元素． ②若，其中，则，，．， 可得，且，， 这种情况下，集合中每对元素都能在集合中找到一对对应的元素，所以． 同理，对集合中的元素也分两种情况讨论： ①若，可得， 这种情况下，集合中每个元素都能在集合中找到一个对应的元素． ②若，其中，可得，且，， 这种情况下，集合中每对元素都能在集合中找到一对对应的元素．所以． 综上可得． 【点睛】关键点点睛：通过或推出，集合中每对元素都能在集合中找到一对对应的元素，同理推出集合中每对元素都能在集合中找到一对对应的元素． 【变式2】设是正整数，是的非空子集（至少有两个元素），如果对于中的任意两个元素，，都有，则称具有性质． (1)试判断集合是否具有性质？并说明理由； (2)若集合，证明不可能具有性质； (3)若集合具有性质和，中最多有几个元素，并说明理由． 【答案】(1)具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 (3)至多只有5个，理由见解析 【分析】（1）根据新定义判断是否具有性质即可； （2）利用反证法，假设具有性质，可得集合中最多有3个元素，与集合中含有4个元素矛盾，从而得证； （3）分①5，6，7同时选，②5，6，7选2个，③5，6，7中只选1个，三种情况讨论，分别利用新定义求解即可. 【详解】（1）∵，，，，， ∴具有性质． （2）假设具有性质，那么有1不能有4，有2不能有5，有3不能有6， 那么集合中最多有3个元素，与集合中含有4个元素矛盾， ∴不可能具有性质． （3）．将这11个数分为，，，，，，，7个集合， ①5，6，7同时选，因为具有性质和，所以选5则不选1，9；选6则不选2，10； 选7则不选3，11；则只剩4，8，又不能同时选，故1，2，3．．．，11中属于集合的元素个数不超过5个． ②5，6，7选2个， 若选5，6，则1，2，9，10，7不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． 若选5，7，则1，3，9，11，6不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． 若选6，7，则2，3，10，11，5不可选， 又只能选一个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个． ③5，6，7中只选1个，又四个集合，，，每个集合至多选1个元素，故1，2，3⋯，11中属于集合的元素个数不超过5个， 由上可知，属于集合的元素至多只有5个 【点睛】方法点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 【变式3】设集合.如果对于的每一个含有个元素的子集P，P中必有3个元素的和等于，称正整数m为集合的一个“相关数”. (1)当时，判断6和4是否为集合的“相关数”，说明理由； (2)若m为集合的“相关数”，判断是否为集合的“相关数”，请说明理由，并证明. 【答案】(1)当时，是集合的“相关数”，不是集合的“相关数”. (2)不是集合的“相关数”，且.证明见解析. 【分析】（1）根据“相关数”新定义，找出相应的子集来验证是否满足条件； （2）通过对集合元素的分析和组合来推导即可. 【详解】（1）当时，，. 的含有个元素的子集为，其中，，，满足对于的含有个元素的子集，必有个元素的和等于10， 所以是集合的“相关数”. 的含有个元素的子集，其中任意个元素的和都不等于10， 不满足对于的含有个元素的子集，必有个元素的和等于10， 所以不是集合的“相关数”. （2）先证明. 将集合中的元素分成组：，，，， 每组两个元素的和都为. 要使子集不满足有个元素的和等于，那么在选取元素时， 最多从这组中选取个元素（每组选一个），再加上这个元素， 此时子集元素个数为个. 而为“相关数”，所以要保证一定能出现个元素的和等于， 则至少要比大，即，移项可得; 所以不是集合的“相关数”. 【点睛】思路点睛：数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移. 【变式4】已知集合，如果中的元素满足 ，就称为“完美集”. (1)判断集合是否为“完美集”，并说明理由； (2)已知集合为“完美集”，求证： ； (3)是否存在，且为“完美集”？若存在，求出所有这样的；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)存在，是“完美集” 【分析】（1）根据“完美集”的定义判断即可； （2）根据“完美集”的定义，结合基本不等式和二次不等式的性质证明即可； （3）设，得到，分，，进行讨论即可求解. 【详解】（1）因为， ，， 所以不是“完美集”； （2）因为，所以， 又，所以，所以， 令，则，解得（舍）或， 即，因为，所以； （3）假设存在，且为“完美集”，则，， 不妨设， 因为， 即， 所以， 当时，有，故或， 若，则，无解，即不存在满足条件的“完美集”； 若，则，解得，即是“完美集”； 当时，有， 故只能，，则，解得， 即是“完美集”； 当时，因为， 所以， 又， 与矛盾， 所以当时，不存在“完美集”， 综上，存在，，是“完美集”. 【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略：通过给出的一个新的定义，或约定一种新的运算，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 1．已知或，或．若是的充分条件，则实数的最大值为 ；若是的必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设出两个集合，若是的充分条件，则，从而得到不等式，求出答案；由是的必要条件可得，分和两种情况，得到不等式，求出的取值范围. 【详解】或，或， 若是的充分条件，则，所以，解得， 即实数的最大值是； 若是的必要条件，则， ①当，即时，，此时成立； ②当，即时，， 若，则，解得，又，故无解， 综上，的取值范围是． 故答案为：-4， 2．若集合，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由集合的互异性得，解出即可. 【详解】由集合的互异性有，解得且， 所以， 故答案为：. 3．已知集合，，若，则实数的值是 . 【答案】0或1或 【分析】由题可知，则或即可求解. 【详解】由题易得，，， 或，或. 故答案为：0或1或. 4．设全集，集合，若，则 ． 【答案】4 【分析】根据补集定义求出集合A，然后由韦达定理可得. 【详解】因为，，所以， 所以和是方程的两根，故，经检验满足题意. 故答案为：4 5．设集合若集合为单元素集，则实数的值为 . 【答案】或 【分析】分与两种情况，根据题意讨论求解即可. 【详解】①当时，，此时集合，符合题意； ②当时，要使方程只有一解， 则，此时集合，符合题意； 综上，实数的值为或. 故答案为：或 6．若或，则 ． 【答案】 【分析】根据集合交集的定义求解即可. 【详解】由可知，集合包含所有的偶数， 因为为偶数，又或， 所以集合中的元素都为奇数，所以. 故答案为： 7．集合A中的元素都是正整数，元素最小值为1，最大值为100，除1之外每个元素都等于A中的两个数（可以相同）的和.求集合A中元素至少有 个元素. 【答案】9 【分析】先根据数据计算集合至少有八个数，再应用反证法证明恰好有八个元素不成立，即可求出元素的最小值. 【详解】设A中的数从小到大排列为 则；；；；； 于是A至少有八个数； 假设A恰好有八个元素，由于； 故必须有，， 又，同理， 但此时，，矛盾， 故A不可能恰好有八个元素， 因此A至少有九个元素. 其九个数可以为：1，2，3，6，12，13，25，50，100. 故答案为：9. 8．设，，，，是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是 ． 【答案】 【分析】先得到与的元素不同，则元素个数为4，并得到中元素个数至少4个，进而对元素的个数由小到大进行分类分析验证是否满足． 【详解】因为,， 所以元素个数为4，所以中元素个数至少个, ①假设集合中含有个元素，可设，则， ，这与矛盾； ②假设集合中含有个元素，可设，， ，，，满足题意. 综上所述，集合中元素个数最少为. 故答案为：. 9．若集合，，，且集合均恰有两个元素，则由所有三元数对组成的集合为 【答案】 【分析】若，此时，为的根，再分和两种情况，求出相应的， 得到两个三元数对，若，即，此时为的根，同理可得到两个三元数对，得到答案. 【详解】由题意得为方程的一个解， 是的一个解， 若，即，此时为的根， 故是的根，将代入得①， 若②， 式子①②联立得，此时中也只有两个元素， 故一个三元数对为， 若，则是的另一个根， 故③， 式子①③联立得，此时中也只有两个元素， 故一个三元数对为， 若，即，此时为的根， 故为的根，即④， 若⑤， 式子④⑤联立得，此时中只有两个元素， 故一个三元数对为， 若，则是的另一个根， 故⑥， 式子④⑥联立得，此时中只有两个元素， 故一个三元数对为， 故答案为： 10．设为非空实数集满足：对任意给定的（、可以相同），都有，则称为封闭集．关于封闭集有下列结论： ①集合为封闭集；   ②集合为封闭集； ③若集合为封闭集，则为封闭集； ④若集合为封闭集，则一定有； ⑤若集合为封闭集，则为封闭集． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】②④⑤ 【分析】本题主要涉及封闭集的定义概念，通过对每个结论逐一根据封闭集的定义进行判断来求解. 【详解】对于集合，取，，则，不满足封闭集的定义，所以①错误. 对于集合，设，，. ，因为，所以. ，因为，所以. ，因为，所以.满足封闭集的定义，所以②正确. 令，，都是封闭集. 中，取（），（），，不满足封闭集的定义，所以③错误. 因为对任意，有，所以若集合为封闭集，则一定有，所以④正确. 因为，为封闭集，设，则且. 因为是封闭集，所以，，. 因为是封闭集，所以，，. 所以，，，满足封闭集的定义，所以⑤正确. 故答案为：②④⑤. 11．已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或解得. 综上，，即m的取值范围是.    故选：C. 12．对于非空集合和，把所有属于但不属于的元素组成的集合称为和的差集，记为，那么总等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义，画出韦恩图即可求解. 【详解】由题意指图（1）中阴影部分构成的集合， 同样指图（2）中阴影部分构成的集合， ， 故选：A. 13．设，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】由可推出同号，则根据分类讨论可得出，根据，两边同乘可得，即可选出选项. 【详解】由题知，则同号， 当时，有， 当时，有， 故能推出， 当成立时，又， 对不等式两边同时乘以可得， 故“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 14．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】，或， 所以前者可以推得后者，后者不能推得前者， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 15．已知集合，． (1)当时，求，； (2)若时，存在集合，使，求出所有的集合； (3)集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，，，，， (3)能， 【分析】（1）先求出集合，再根据并集，补集的定义求解即可； （2）由题设可得是非空集合，且是的真子集，进而求解即可； （3）由题设可得，进而分和讨论求解即可. 【详解】（1）当时，， ， 所以，． （2）当时，， 又因为，所以， 因为（是非空集合，且是的真子集），， 所以这样的集合共有6个：，，，，，． （3）能，由，可得， 若，此时由，可得； 若，由（1）知， ① 当时，，即， 此时，不是的一个子集，舍去； ② 当时，，即， 此时，此时是的一个子集； ③ 当时，，即， 此时，此时是的一个子集． 综上可得，当或时，满足， 此时实数的取值范围为． 16．对于集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分为两个集合B和C，满足，，且B的所有元素之和与C的所有元素之和相等，则称集合A为“可分集合”．分别判断下列集合是否为“可分集合”，并说明理由： (1)； (2)． 【答案】(1)不是“可分集合”，理由见解析； (2)是“可分集合”，理由见解析. 【分析】（1）根据可“可分集合”的定义，当去掉2时，即可判断， （2）根据可“可分集合”的定义，即可逐一论证去掉任何一个元素均满足 “可分集合”的定义求解. 【详解】（1）集合不是“可分集合”，理由如下： 因为， 当去掉元素2时，计算知： ，，． 可见集合去掉元素2后，剩余元素组成集合不可能分为两个交集为空集、且各自所有元素之和相等的集合，即集合不是“可分集合”． （2）集合是“可分集合”， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 因此任意去掉集合中的一个元素之后，剩余的所有元素组成集合总能分为两个交集为空集、且各自所有元素之和相等的集合． 17．已知集合P为非空数集，定义 (1)若集合，请直接写出集合和； (2)若且，集合满足，求n的最小值； (3)若集合，且，求证：． 【答案】(1)； (2)675； (3)证明见解析 【分析】 （1）直接根据和的定义即可得到结果； （2）先说明当时条件不满足，再说明当时条件满足，即可得到n的最小值是． （3）先由﹣P的性质确定，然后反复讨论的取值，即可得到所要证明的结论． 【详解】（1） 由和的定义，得 （2） 当时，因为，所以． 所以由题中新定义知，，，这与矛盾； 当时，对任意，此时，所以，． 所以满足． 综上可得，满足题意的n的最小值是． （3） 证明：因为 所以，且． 显然中不包含负数，且一定包含0， 因为，所以． 再由知，即． 由，知，即． 由，知，即． 所以， 综上，原命题得证． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 集合与逻辑单元题型大总结 教学目标 1.通过实例了解集合的含义,集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题。 2.会用集合语言表示有关数学对象：描述法，列举法。 3. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，理解子集、真子集的概念。 4.理解两个集合的并集与交集的含义，补集的含义，会求简单集合的交、并运算，会求给定子集的补集。 5.正确理解充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念，会判断命题的充分条件、必要条件、充要条件． 教学重难点 教学重点: ①由实际问题抽象集合的概念，理解集合间的关系与运算; ②通过集合间的关系，探究充分条件与必要条件; 教学难点: ①抽象研究对象--集合; ②根据集合间关系，利用集合的运算对参数进行求解; ③对充分条件和必要条件关系的理解。 知识点01 集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是 ，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就 ，我们把这个性质称为集合元素的 . （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是 的，也就是说，集合中的元素是 ，我们把这个性质称为集合元素的 . （3）无序性：集合中的元素是 ，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的 . 【即学即练】已知，则实数 . 知识点02集合的表示方法 1常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符合 2集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素 ，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有 的元素所组成的集合表示为 这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 【即学即练】集合，则的真子集个数为 个． 知识点03 子集 一般地，对于两个集合，，如果集合中 都是集合中的元素，我们就说这两个集合有 ，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 【即学即练】已知集合，则满足的集合个数为 知识点04 真子集 如果集合 ，但存在元素 ，我们称集合是集合的 ; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 【即学即练】设集合，则的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 知识点05 交集 一般地，由既 又 的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作 .记作： . 交集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 【即学即练】已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 知识点06 并集 一般地，由所有属于集合 属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 .记作： . 并集的性质：,,,,. 高频性质：若. 图形语言 【即学即练】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 知识点07 全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即 . 补集的性质： , , . 【即学即练】设全集，则（    ） A． B． C． D． 知识点08 充分条件，必要条件、充要条件 【定义】1.对于两个陈述句与，如果，就称是的 ，亦称是的 【定义】2.对于两个陈述句与，如果 ，又有 ，就称是的 条件，简称充要条件，记作，读作与等价或者成立当且仅当成立 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. （6）判断命题与命题所表示的范围，再根据“小范围推的出大范围，大范围推不出小范围”的原则，判断命题与命题的关系． 【即学即练】命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 题型01 元素（集合）与集合 【典例1】下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】已知集合.则（   ） A． B． C． D． 【变式2】设全集，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】若集合，则（   ） A． B． C． D． 元素与集合 属于 不属于 集合与集合 包含 不包含 题型02 集合中元素的三个特性 【典例1】设集合，，且满足，则． (1)求出只含2个元素的集合； (2)满足题设条件的集合共有几个？列举出来． 【变式1】已知集合的子集B满足：对任意x，，有，则集合B中元素个数的最大值是（   ） A．506 B．507 C．1012 D．1013 【变式2】集合中元素的个数为（    ） A．18 B．12 C．8 D．5 【变式3】已知集合，，若，则的取值集合是 ． 【变式4】已知为一个数集，集合． (1)设，求集合A的元素个数； (2)设，证明：若，则． 题型03集合的表示方法综合 【典例1】集合可用列举法表示为 ． 【变式1】集合用列举法表示为 . 【变式2】集合，用列举法表示是 . 【变式3】集合中的元素个数为 ． 【变式4】下列各组集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 题型04 子集（真子集）个数 【典例1】已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 【变式1】集合，则的子集有（    ）个 A．8 B．7 C．6 D．3 【变式2】已知集合，，满足，，则集合的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式3】设集合满足Ü，则满足条件的有 个． 【变式4】已知集合，且满足：“若，则”，则满足条件的集合的个数为 ． 若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 题型05 根据包含关系求参数 【典例1】已知集合，，，. (1)求p，a，b的值； (2)若，且，求m的值. 【变式1】已知集合， (1)当时，求与; (2)若，求实数a的取值范围． 【变式2】已知集合． (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【变式3】已知集合． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 【变式4】设全集，集合，， (1)求，； (2)若，求实数a的取值范围. 题型06 交集、并集、补集运算 【典例1】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知集合，则的整数元素的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式4】已知，则（   ） A． B． C． D． 题型07 根据交集、并集、补集运算结果求参数 【典例1】已知全集，集合. (1)若，求集合； (2)若，求实数的取值范围. 【变式1】已知集合或，，回答下列问题. (1)若，试求，； (2)若，求实数的取值范围； 【变式2】设全集为，集合或，. (1)当时，求图中阴影部分表示的集合； (2)在（1）；（2）；（3）这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围. 【变式3】已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 【变式4】已知为实数，集合，全集. (1)若，求； (2)若，求实数的值. 题型08 充分性与必要性的判断 【典例1】已知，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件. 【变式3】“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4】“成立”是“成立”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 题型09 根据充分性与必要性求参数 【典例1】已知集合，. (1)当时，求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，若实数的取值范围. 【变式1】（1）求不等式的解集； （2）已知不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围； （3）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【变式2】设集合. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【变式3】设全集，集合，集合，其中. (1)若，求. (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【变式4】设全集为R，，． (1)若，求，； (2)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围． 充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 题型10 新定义题 【典例1】已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 【变式1】已知数集（，且），若，均有，则称具有性质．规定集合，集合，设集合中的元素个数为，集合中的元素个数为． (1)试判断集合和集合是否具有性质； (2)若具有性质，，证明：； (3)若具有性质，试比较a，b的大小，并说明理由． 【变式2】设是正整数，是的非空子集（至少有两个元素），如果对于中的任意两个元素，，都有，则称具有性质． (1)试判断集合是否具有性质？并说明理由； (2)若集合，证明不可能具有性质； (3)若集合具有性质和，中最多有几个元素，并说明理由． 【变式3】设集合.如果对于的每一个含有个元素的子集P，P中必有3个元素的和等于，称正整数m为集合的一个“相关数”. (1)当时，判断6和4是否为集合的“相关数”，说明理由； (2)若m为集合的“相关数”，判断是否为集合的“相关数”，请说明理由，并证明. 【变式4】已知集合，如果中的元素满足 ，就称为“完美集”. (1)判断集合是否为“完美集”，并说明理由； (2)已知集合为“完美集”，求证： ； (3)是否存在，且为“完美集”？若存在，求出所有这样的；若不存在，请说明理由. 1．已知或，或．若是的充分条件，则实数的最大值为 ；若是的必要条件，则实数的取值范围是 ． 2．若集合，则实数a的取值范围是 ． 3．已知集合，，若，则实数的值是 . 4．设全集，集合，若，则 ． 5．设集合若集合为单元素集，则实数的值为 . 6．若或，则 ． 7．集合A中的元素都是正整数，元素最小值为1，最大值为100，除1之外每个元素都等于A中的两个数（可以相同）的和.求集合A中元素至少有 个元素. 8．设，，，，是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是 ． 9．若集合，，，且集合均恰有两个元素，则由所有三元数对组成的集合为 10．设为非空实数集满足：对任意给定的（、可以相同），都有，则称为封闭集．关于封闭集有下列结论： ①集合为封闭集；   ②集合为封闭集； ③若集合为封闭集，则为封闭集； ④若集合为封闭集，则一定有； ⑤若集合为封闭集，则为封闭集． 其中正确结论的序号是 ． 11．已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．对于非空集合和，把所有属于但不属于的元素组成的集合称为和的差集，记为，那么总等于（   ） A． B． C． D． 13．设，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 14．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知集合，． (1)当时，求，； (2)若时，存在集合，使，求出所有的集合； (3)集合能否满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由． 16．对于集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分为两个集合B和C，满足，，且B的所有元素之和与C的所有元素之和相等，则称集合A为“可分集合”．分别判断下列集合是否为“可分集合”，并说明理由： (1)； (2)． 17．已知集合P为非空数集，定义 (1)若集合，请直接写出集合和； (2)若且，集合满足，求n的最小值； (3)若集合，且，求证：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$