1.2 常用逻辑用语自测题（提高版）-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

**基本信息** 沪教版高中数学常用逻辑用语同步练习（提高版），通过基础概念辨析、条件关系推理及综合应用分层设计，构建从单一到综合的知识巩固路径，培养数学推理与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|命题改写、反证法步骤等单一概念|填空题1-4题直接考查定义，选择题结合空集等基础概念| |能力提升|充分必要条件判断、含参范围求解|填空题5-8题关联集合与条件关系，解答题17-18题分步论证充要条件| |综合应用|跨情境逻辑分析、新定义问题|选择题融入诗句/名言条件判断，解答题21题综合集合与命题关系，体现数学语言表达|

【学生版】 【沪教版】1.2 常用逻辑用语自测题（提高版） （时间：90分钟；满分：100分） 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分； 1．将命题“菱形的对角线互相垂直”改写成“若p，则q”的形式为 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 2．命题“若且，则”的否命题是 3．用反证法证明“已知x，，，求证：”时，第一步应假设_______________． 4．设，是非空集合，则是的 条件．（填”充分”或”必要”） 5．已知非空集合，，且集合满足条件，集合满足条件，若，则是的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 6．已知p：，q：，，且p是q成立的必要非充分条件，则实数a的取值范围是________． 7．已知集合，非空集合，若是的必要条件，则实数m的取值范围为______． 8．用反证法证明命题“设，为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是 9．已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 10．若下列两个关于的方程，中至少有一个方程有实根，则实数的取值范围是 11．著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是 12．已知表示不超过的最大整数.例如，，，若，，是的充分不必要条件，则的取值范围是______. 二、选择题(本大题共有4题，满分12分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分； 13．下列四个命题中，正确的命题是（     ） A．空集没有子集 B．空集是任何集合的一个真子集 C．空集的元素个数为0 D．任何一个集合至少有两个不同子集 14．唐代诗人王维，字摩诘，在后世有“诗佛”之称，北宋苏轼评曰 “味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗.”在王维《相思》这首诗中，哪一句可以作为命题（ ） A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思 15．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．“已知：中，，求证：”．下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： （1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾，； （2）所以； （3）假设； （4）那么，由，得，即 这四个步骤正确的顺序应是（ ） A．（1）（2）（3）（4） B．（3）（2）（4）（1） C．（3）（4）（1）（2） D．（3）（4）（2）（1） 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤； 17、（本小题满分8分） 已知，求证：的充要条件是. 18、（本小题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分） 已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：m<1. （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若p，q中一真一假，求实数m的取值范围. 19、（本小题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分） 已知命题：，命题：． （1）当时，命题和中至少有一个为真命题，求的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 20、（本小题满分12分，第1小题满分5分，第2小题满分7分） 已知，． （1）是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 21、（本小题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分） 已知集合，，回答下列问题： （1）设命题，命题，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围； （3）若不存在实数使且同时成立，求实数的取值范围. 【解析版】 【沪教版】1.2 常用逻辑用语自测题（提高版） （时间：90分钟；满分：100分） 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分； 1．将命题“菱形的对角线互相垂直”改写成“若p，则q”的形式为 【提示】根据题意，得到命题的条件和结论，准确改写，即可求解； 【答案】若四边形为菱形，则四边形的对角线互相垂直； 【解析】由命题：菱形的对角线互相垂直，可得命题的条件为四边形为菱形，结论为对角线互相垂直， 所以改写成为：若四边形为菱形，则四边形的对角线互相垂直. 故答案为：若四边形为菱形，则四边形的对角线互相垂直； 【说明】本题考查了命题的概念、指出命题的条件和结论； 2．命题“若且，则”的否命题是 【提示】根据否命题定义直接写出结果； 【答案】若或，则； 【解析】由否命题定义可得原命题的否命题为：“若或，则”. 故答案为：若或，则； 【说明】本题考查了写出原命题的否命题及真假判断； 3．用反证法证明“已知x，，，求证：”时，第一步应假设_______________． 【提示】根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得结论； 【答案】不都为零； 【解析】根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立， 而的否定为“不都为零”. 故答案为：不都为零. 【说明】本题考查了反证法的概念辨析； 4．设，是非空集合，则是的 条件．（填”充分”或”必要”） 【提示】根据必要条件的定义：若 ,那么是的必要条件，判断即可得出答案； 【答案】必要； 【解析】由，， 可知”“是”“的必要条件． 【说明】本题考查必要条件的判别；需要注意分清楚谁是条件，谁是结果，谁可以推出谁； 5．已知非空集合，，且集合满足条件，集合满足条件，若，则是的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”） 【提示】根据题意得集合是集合的真子集，进而充分不必要条件的概念判断即可； 【答案】充分不必要； 【解析】因为非空集合，，， 所以，集合是集合的真子集， 因为集合满足条件，集合满足条件， 所以，是的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 【说明】本题考查了判断两个集合的包含关系、判断命题的充分不必要条件； 6．已知p：，q：，，且p是q成立的必要非充分条件，则实数a的取值范围是________． 【提示】根据题意可得，即可建立不等关系求解； 【答案】； 【解析】因为p是q成立的必要非充分条件，所以， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 【说明】本题主要考查了根据必要不充分条件求参数； 7．已知集合，非空集合，若是的必要条件，则实数m的取值范围为______． 【提示】由是的必要条件，得，进一步转化为两集合端点值间的关系求解即可； 【答案】； 【解析】∵，非空集合， 若是的必要条件，则， ∴，解得， ∴m的取值范围是， 故答案为：. 【说明】本题考查了根据必要不充分条件求参数； 8．用反证法证明命题“设，为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是 【提示】根据反证法的推理逻辑，即可容易求得； 【答案】方程没有实根； 【解析】原命题的结论为：方程至少有一个实根， 故假设是：方程没有实根. 故答案为：没有实根. 【说明】本题主要考查了反证法的概念辨析；与考查反证法的推理逻辑； 9．已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为 【提示】注意理解集合性质并等价转化； 【答案】； 【解析】．因为，所以集合不是空集，即，解得．由题意知集合A是集合的真子集，即或，解得或．综上所述，实数a的取值范围为． 【说明】本题考查了根据集合的包含关系求参数、补集的概念及运算、根据充分不必要条件求参数； 10．若下列两个关于的方程，中至少有一个方程有实根，则实数的取值范围是 【提示】先求出二个方程均无实根时，实数的取值范围，即可求出结果； 【答案】或； 【解析】若方程无实根，则，得到， 若方程无实根，则，得到， 则当两方程均无实根时，， 所以若两个方程至少有一个方程有实根时，或， 故答案为：或. 【说明】本题考查了方程与不等式与集合的交汇； 11．著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是 【提示】从命题的否定入手可解； 【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和； 【解析】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和. 【说明】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题； 12．已知表示不超过的最大整数.例如，，，若，，是的充分不必要条件，则的取值范围是______. 【提示】由题可得，然后利用充分不必要条件的定义及集合的包含关系即求； 【答案】； 【解析】∵表示不超过的最大整数， ∴，，即， 又是的充分不必要条件，， ∴AB，故，即的取值范围是. 故答案为：. 【说明】本题考查了根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、函数新定义； 二、选择题(本大题共有4题，满分12分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分； 13．下列四个命题中，正确的命题是（     ） A．空集没有子集 B．空集是任何集合的一个真子集 C．空集的元素个数为0 D．任何一个集合至少有两个不同子集 【提示】根据空集、子集及真子集的概念与性质，选出答案即可； 【答案】C； 【解析】空集的子集是它本身，故A错误； 空集是任何非空集合的一个真子集，故B错误； 空集的元素个数为0 ，故C正确； 空集只有一个子集，是它本身，故D错误. 故选：C； 【说明】本题考查了空集的概念以及判断、判断命题的真假；注意：空集是特殊的集合，没有任何元素，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集； 14．唐代诗人王维，字摩诘，在后世有“诗佛”之称，北宋苏轼评曰 “味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗.”在王维《相思》这首诗中，哪一句可以作为命题（ ） A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思 【提示】根据命题的定义可得出结论； 【答案】A； 【解析】对于A选项，“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以，本句为命题； 对于B选项，“春来发几枝”是疑问句，不是命题； 对于C选项，“愿君多采撷”是祈使句，不是命题； 对于D选项，“此物最相思”是感叹句，不是命题. 故选：A. 【说明】本题考查了命题的概念的实际应用； 15．荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【提示】根据充分条件与必要条件的概念判断； 【答案】B； 【解析】“积跬步”不一定“至千里”，但“至千里”必有“积跬步”， “积跬步”是“至千里”的必要不充分条件. 故选：B. 【说明】本题考查判断命题的必要不充分条件的实际应用； 16．“已知：中，，求证：”．下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： （1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾，； （2）所以； （3）假设； （4）那么，由，得，即 这四个步骤正确的顺序应是（ ） A．（1）（2）（3）（4） B．（3）（2）（4）（1） C．（3）（4）（1）（2） D．（3）（4）（2）（1） 【答案】C； 【解析】试题分析：根据题意，由于“已知：中，，求证：”，由于证明比较难，则否定结论得到，（3）假设，然后推理论证，（4）那么，由，得，即，得出矛盾，（2）所以；故可知（1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾，，故答案为（3）（4）（1）（2），选C. 【说明】本题综合考查了反证法的概念辨析；考查了运用反证法思想求证不等式的问题； 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤； 17、（本小题满分8分） 已知，求证：的充要条件是. 【提示】分别证明充分性与必要性即可； 【证明】充分性：如果， 所以， 必要性：如果， 那么 由于，则 所以，即 综上知，的充要条件是. 【说明】本题考查了充要条件的证明； 18、（本小题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分） 已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：m<1. （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若p，q中一真一假，求实数m的取值范围. 【提示】（1）由题意可得只需Δ=8-4m>0即可； （2）先确定命题p，命题q均为真命题时m的范围,然后讨论p真q假，p假q真得到m的范围，最后取并集即可； 【答案】（1）m<2；（2）1≤m<2. 【解析】（1）若p为真命题，则应有Δ=8-4m>0，解得m<2. （2）若q为真命题，即m<1，又p，q一真一假， ∴①当p真q假时，有得1≤m<2； ②当p假q真时，有无解. 综上，m的取值范围是1≤m<2. 【说明】本题主要考查了命题的真假确定参数的取值范围； 19、（本小题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分） 已知命题：，命题：． （1）当时，命题和中至少有一个为真命题，求的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【提示】（1）通过解一元二次不等式以及真命题的知识求得的取值范围； （2）根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围； 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）当时，命题，即为， 命题，即为 因为命题和中至少有一个是真命题， 所以，即的取值范围. （2）因为是的充分不必要条件，即集合是集合的真子集， 当时，，解得，此时满足题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，即实数的取值范围． 【说明】本题考查了已知命题的真假求参数、根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式； 20、（本小题满分12分，第1小题满分5分，第2小题满分7分） 已知，． （1）是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）是否存在实数，使是的必要条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【提示】（1）由列出等式求解即可； （2）分和两类情况讨论即可； 【答案】（1）要使是的充要条件，需使， 即，此方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． （2)存在， 【解析】（1）要使是的充要条件，需使， 即，此方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． （2）要使是的必要条件，需使． 当时，，解得，满足题意； 当时，，解得，要使，则有 ，解得，所以． 综上可得，当实数时，是的必要条件． 【说明】本题考查了由必要条件、根据充要条件求参数； 21、（本小题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分） 已知集合，，回答下列问题： （1）设命题，命题，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围； （3）若不存在实数使且同时成立，求实数的取值范围. 【提示】（1）首先解一元二次不等式求出集合，即可求出，依题意真包含于，即可得到不等式组，解得即可； （2）依题意可得，分、两种情况讨论，分别求出参数的取值范围； （3）依题意，分、两种情况讨论，分别求出参数的取值范围； 【答案】（1）；（2）或；（3）或； 【解析】（1）由，即，解得或， 所以或， 所以， 即命题， 又命题，且是成立的充分不必要条件，即推得出，推不出， 所以真包含于，又，所以，解得， 即实数的取值范围为； （2）因为，所以， 若，即，解得，此时符合题意； 若，则或，解得或， 综上可得实数的取值范围或； （3）因为不存在实数使且同时成立， 所以， 若，即，解得，此时符合题意； 若，则，解得； 综上可得实数的取值范围为或. 【说明】本题综合考查了根据交集结果求集合或参数、根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式； 第7页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $