1.1.4 集合的运算（讲义）高一数学沪教版必修第一册

本讲义聚焦集合的运算核心知识点，系统梳理交集、并集、补集的定义、符号表达式及韦恩图，衔接运算性质与逻辑区别，构建从概念理解到性质应用的学习支架。 资料设计“即学即练”即时巩固，“题型分类+解题贴士”引导数学思维，结合韦恩图培养几何直观，符号语言强化数学表达。课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升运算与推理能力。

第1章 集合与逻辑 1.1.4 集合的运算 课标要点 1.熟记交集、并集、全集与补集的教材定义，会写出对应符号表达式与韦恩图。 2.掌握交、并、补集合运算的各类性质，能利用包含关系快速简化运算。 3.分清交集中“且”、并集中“或”的数学逻辑，准确区分二者概念差异。 4.能结合韦恩图理解集合运算含义，利用性质完成基础集合计算题型。 学习重难点 重点： 1.交集、并集、补集的定义、符号写法，配套韦恩图的图形表达形式。 2.交、并、补的基础运算性质，子集条件下、推论。 3.“且”与“或”的逻辑区别，空集、全集参与运算时的计算规则。 难点： 1.理解并集“或”的三层逻辑，区分数学用语和日常生活里“或”的含义。 2.无公共元素两集合交集为，容易误认为两集合不存在交集。 3.灵活运用子集对应的交、并推论，结合图形转化文字集合条件。 知识点一 交集 1.定义 由所有既属于集合又属于集合的元素构成的集合，叫做与的交集，记作，读作“交”。符号语言： 2.交集常用性质 ，，，， 高频推论：若，则 3.概念解读 （1）本身是集合，元素必须同时属于、； （2）定义中“所有”代表不能遗漏公共元素，例：，； （3）两集合无公共元素时，交集为空集，不能说没有交集； 。 即学即练 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合，，所以. 知识点二 并集 1.定义 由所有属于集合或属于集合的元素构成的集合，叫做与的并集，记作，读作“并”。符号语言： 2.并集常用性质 ，，，， 高频推论：若，则 3.概念解读 （1）为集合，“或”是数学专用逻辑词，分三种情况：①且；②且；③且； （2）和日常口语“或（二选一）”不同，数学并集允许元素同时属于两个集合。 即学即练 3．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据并集的定义,，，可得. 【点睛】 4．已知集合，集合，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 知识点三 全集与补集 1.全集 研究若干集合时，包含所有待研究元素的给定集合称为全集，常用符号表示。 2.补集定义 设为全集，，由中所有不属于的元素组成的集合，称为中子集的补集，记作。符号语言： 3.补集核心性质 ，， 即学即练 5．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 6．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， 所以. 题型01并集的运算 解题贴士 有限数集直接合并全部元素，根据互异性删掉重复元素；不等式集合画数轴，取两个区间全部覆盖范围，保留原端点虚实。 典｜例｜精｜析 【例1】设集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由集合，集合，则. 【例2】已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以. 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：已知集合， ， ． 【变式1-2】若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以 所以， 所以 【变式1-3】已知集合，若，则满足题意的集合的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因，，则或． 故选：B. 题型02交集的运算 解题贴士 有限集合逐一比对，只保留两集合公共元素，无公共元素结果写；不等式集合借助数轴，取区间重叠部分，严格对应题干开闭端点。 典｜例｜精｜析 【例3】已知集合，，则 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以. 【例4】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得. 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合是点集，元素是点；集合是数集，元素是实数，故. 【变式2-2】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合，，则 【变式2-3】已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，又因为，所以， ∴. 题型03根据交集或并集的运算求集合或参数 解题贴士 依靠交、并集结果划分公共、独有元素，反向推出未知集合；含参数题型利用运算条件列等式解出参数，再代回原集合检验元素互异性。 区间类题目画数轴，分参数在区间左、中、右三类讨论，最后验证所有解是否匹配题目给定的交、并范围，舍去不符合题意的解。 典｜例｜精｜析 【例5】已知集合，则（    ） A．1 B．2 C．7 D．4 【答案】D 【详解】由，，， 所以，即，此时，，满足题设. 故选：D 【例6】下列结论正确的是（ ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 【答案】B 【详解】当时，即， 则实数的取值范围为，因此选项A不正确，选项B正确. 当时，即， 则实数的取值范围为，因此选项CD不正确． 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．2 【答案】B 【详解】若，则， 所以或. 当时，. 此时不符合集合中元素的互异性，所以； 当时，， 即. 因为，所以，所以， 即. 当时，. 综上所述，. 【变式3-2】设，，且，则实数组成的集合是_______. 【答案】 【详解】由， 当时，，满足，故； 当时，，由可得：， 所以或解得或， 即实数组成的集合是， 故答案为： 【变式3-3】已知集合，若，求实数t的取值范围. 【答案】或. 【详解】由，包括两种情况： ① 当时，，即； ② 当时，或，解得， 综上，t的取值范围为或 题型04补集的运算 解题贴士 有限集合先写出全集所有元素，剔除属于的元素得到补集；不等式数轴先标注全集边界，去掉集合对应区间，剩余部分为补集。 典｜例｜精｜析 【例7】已知全集，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为全集，， 所以. 【例8】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由集合，， 根据集合补集的定义与运算，可得或. 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】已知集合，全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，解得或，故集合或， 又全集，. 故选：C. 【变式4-2】已知全集，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 集合由中满足的元素构成， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， 所以，则. 【变式4-3】已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得或， 当时，，此时集合不满足互异性，舍去， 当时，，此时，满足题意， 则. 题型05根据补集的结果求集合或参数 解题贴士 用全集剔除补集元素即可得到原集合；根据补集范围列方程求解参数，求出后回代检验，既要满足全集取值限制，也要保证集合元素互不重复。 区间题型结合数轴讨论参数分界点，单独验证端点数值，防止忽略全集约束产生错解。 典｜例｜精｜析 【例9】设全集，集合，，则a的值是（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【详解】已知全集，， 则，又，所以，解得． 【例10】已知全集，，若，则的值为（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【详解】因为，，所以， 又，所以，所以. 故选：C 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】已知全集，集合，若，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】因为 ，且 ，所以从全集 中去掉元素 后，得到 又 ，因此解得 【变式5-2】设全集，集合，若，则______． 【答案】4 【详解】因为，，所以， 所以和是方程的两根，故，经检验满足题意. 故答案为：4 【变式5-3】设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 【答案】B 【详解】由补集知且，对比得， 则. 故选：B 题型06集合的交、并、补的混合运算 典｜例｜精｜析 【例11】设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，故. 【例12】已知集合，集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：，或，A不符合. 对于B：，，B不符合. 对于C：，，C符合. 对于D：或，或，D不符合. 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，则 【变式6-2】已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由条件可知，，且， 所以. 故选：B 【变式6-3】已知全集是的两个子集，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，可知， 且，所以. 故选：B. 题型07韦恩图 典｜例｜精｜析 【例13】已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 所以阴影部分所表示的集合为 【例14】已知全集U及其两个非空真子集M，N，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图：. 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，阴影部分由属于不属于的元素构成， 因为，， 所以阴影部分表示的集合为 【变式7-2】已知是全集的两个子集，则如图所示的阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由韦恩图可知，阴影部分为不在集合且在集合中的元素所构成的， 所以阴影部分所表示的集合为， 故选：C 【变式7-3】下图中的三个圆形区域分别表示全集的三个子集，则阴影部分能表示集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在韦恩图中，表示长方形内圆A外的所有阴影， 表示圆B内除去外的阴影部分，韦恩图如下图所示， 观察各选项，排除C、D； 表示圆A和圆C相交的阴影部分，韦恩图表示如下： 则表示上述两部分阴影的并集，韦恩图表示为： A选项不符合，选项B中的阴影部分符合． 故选：B． 题型08集合运算的新定义问题 解题贴士 用全集剔除补集元素即可得到原集合；根据补集范围列方程求解参数，求出后回代检验，既要满足全集取值限制，也要保证集合元素互不重复。 区间题型结合数轴讨论参数分界点，单独验证端点数值，防止忽略全集约束产生错解。 典｜例｜精｜析 【例15】设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（   ） A．0是任何数环的元素 B．集合是一个数环 C．集合是一个数环 D．若集合为数环，则也为数环 【答案】C 【详解】由数环的定义可知，设，则，则，， 故0是任何数环的元素，A正确； 偶数与偶数相加、相减、相乘的结果均是偶数，所以是一个数环，B正确； 设，则， 因为不是整数，所以，所以集合不是数环，C错误； 设，因为为数环，则，又为数环， 则，所以，D正确．故选C． 【例16】对任意，，记，并称为集合，的对称差.例如：若，，则.下列命题中，为假命题的是（   ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．对任意，，都有 【答案】A 【详解】对于A，因为⊕，所以,，故，故A错误； 对于B，，且⊕，则,， 即与是相同的，所以，故B正确； 对于C，，且⊕，则,， 故，且中元素不能出现在中，故，故C正确； 对于D，⊕,， 其中，， 故⊕，,， 而⊕,，故⊕⊕，故D正确． 故选：A． 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】B 【详解】若，则，A正确； 当时，，B错误； ，C正确； ， ，， ， 故，D正确. 【变式8-2】定义集合与的运算：，且，，且.若，则以下错误的是（    ） A．或 B．或 C． D．或 【答案】C 【详解】由题意可知：，， 因为集合， 对于选项A：因为， 所以或，故A正确； 对于选项B：因为， 所以或，故B正确； 对于选项C：因为或，则或， 所以，故C错误； 对于选项D：因为或，则， 所以或，故D正确； 故选：C. 【变式8-3】设，为集合，定义集合为与的笛卡尔乘积，记作，则下列结论正确的是（   ） A．笛卡尔乘积满足交换律，即有 B．若，，则集合含有6个元素 C．若，，则集合含有8个元素 D．若，，则 【答案】B 【详解】对于A，若，，则，，显然，故A错误； 对于B，，含有6个元素，故B正确； 对于C，， ， ，含有9个元素，故C错误； 对于D，集合是所有偶数的集合，集合是所有奇数的集合， 因此，包含所有形如（偶数，奇数）的有序对，包含所有形如（奇数，偶数）的有序对， 显然并不能覆盖所有形如（整数，整数）的有序对，因为缺少（偶数，偶数）和（奇数，奇数）的有序对，故D错误． 故选：B． 基础通关 一、填空题 1．已知集合，，则______________． 【答案】 【详解】因为，，所以. 2．已知全集，集合，，则____. 【答案】 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 3．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为__________． 【答案】 【详解】由韦恩图可知，如图所示的阴影部分表示的集合为， 又，， 则 ， 所以． 4．已知集合，，若，则实数__________． 【答案】 【详解】因为已知集合，，， 所以，解得. 5．若，，且，则实数取值的集合是____________. 【答案】 【详解】因为，，且，则， 所以且由互异性知， 则有或或， 所以实数取值的集合是. 6．已知集合，若，则中所有元素之和为_____． 【答案】3 【详解】因为，故或， 若，则，与元素的互异性矛盾； 若，则（舍）或，故，故， 所以中所有元素之和为3， 故答案为：3. 二、单选题 7．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合，，则 8．已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，又因， 则. 9．已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以， 又，则. 10．已知全集，且，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】全集，而，则 因此，所以集合. 三、解答题 11．已知全集，集合，， (1)求，； (2)求，. 【答案】(1)， (2)， 【分析】 【详解】（1）集合，， 利用数轴分别表示出全集及集合，，如下图： 则， . （2）依题意可得， ， 所以， . 12．已知全集，，求： (1)； (2). 【答案】(1)，； (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 由交集的定义得，如图：    ， 又由并集的定义得，如图：  ， 因此，，. （2）由全集，，得或. 又，由交集的定义得，如图： .   13．已知集合， (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1). (2). 【详解】（1）当时，，或，则. （2），， 则，解得，所以实数的取值范围为. 14．设集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】 【详解】（1）当时，， 或 或 所以或 （2）因为，所以. ①当时，有， ②当时，有，即 综上可得， 故实数的取值范围 素养提升 1．已知集合，，若，则实数的取值范围为______． 【答案】 【详解】因为集合，，且， 当是空集时，，所以； 当不是空集时，集合中是非负数， 所以，无解； 综上，实数的取值范围为． 故答案为：. 2．已知集合，则的子集个数是（   ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【详解】联立，得，解得， 则的解为，，， 集合，故， 所以的子集个数是. 3．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】联立可得， 若方程组无解，则，所以． 故选：A． 4．设集合，集合，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当，即时，，此时，符合题意； 当，即时，， 由，得，或. 解得，或. 综上所述，实数m的取值范围为，或，或, 即. 故选：D. 5．在上海中学东校科技节中，李明同学定义了可分比集合：若集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．若集合均为可分比集合，且（为正整数），则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】取，，满足题意，此时； 若，若， 因为和，故， 因为，故， 此时考虑元素8：因为且，故； 因为且，故， 所以8无法划分，与矛盾， 当时，类似推导可得矛盾，例如：若，则， 进而，元素无法划分，矛盾； 故正整数n的最大值为7． 故选：B. 6．已知集合及非空集合. (1)若，求的值； (2)当为非空集合时，是否存在实数，使得，若存在，求出与的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）由题意得，， 若时，； 若，则，则或，得或， 所以时，的值为； （2）由于，则且， 由（1）可知，当为非空集合且时，或； 当时，，， 因为，则，得，此时，符合题意； 当时，，， 因，则，得，此时，符合题意， 综上，或 迁移创新 1．集合，若且，则的取值为_________． 【答案】 【详解】由集合， 因为，则或，解得或或， 当时，集合，可得，不满足，舍去； 当时，集合，可得，不满足，舍去； 当时，集合，可得，满足. 故答案为：. 2．《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【答案】D 【详解】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合，记观看《浪浪山小妖怪》的同学为集合，记观看《长安的荔枝》的同学为集合， 则根据题意：有15人观看了《南京照相馆》，记， 有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记， 有14人观看了《长安的荔枝》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记， 没有人同时观看三部电影．记， 设同时观看和的人数为（因无人看三部，就是只同时看、的人数）， 只看的人数：， 只看的人数： 要求的只看的人数： 由所有不重叠部分加和等于总人数30， 可得： ，解得， 因此只看的人数为人. 3．已知集合，集合. (1)若集合，且满足，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）因为， 所以，解得， 由韦达定理可得， 所以， 又因为， 所以，解得或， 又因为， 所以； （2）因为， 所以且， 又因为， 所以， 当时，， 解得； 当为单元素集时， 则有，解得， 此时，满足； 当时， 即方程的两个根为， 所以，解得； 综上，， 所以实数的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 集合与逻辑 1.1.4 集合的运算 课标要点 1.熟记交集、并集、全集与补集的教材定义，会写出对应符号表达式与韦恩图。 2.掌握交、并、补集合运算的各类性质，能利用包含关系快速简化运算。 3.分清交集中“且”、并集中“或”的数学逻辑，准确区分二者概念差异。 4.能结合韦恩图理解集合运算含义，利用性质完成基础集合计算题型。 学习重难点 重点： 1.交集、并集、补集的定义、符号写法，配套韦恩图的图形表达形式。 2.交、并、补的基础运算性质，子集条件下、推论。 3.“且”与“或”的逻辑区别，空集、全集参与运算时的计算规则。 难点： 1.理解并集“或”的三层逻辑，区分数学用语和日常生活里“或”的含义。 2.无公共元素两集合交集为，容易误认为两集合不存在交集。 3.灵活运用子集对应的交、并推论，结合图形转化文字集合条件。 知识点一 交集 1.定义 由所有既属于集合又属于集合的元素构成的集合，叫做与的交集，记作，读作“交”。符号语言： 2.交集常用性质 ，，，， 高频推论：若，则 3.概念解读 （1）本身是集合，元素必须同时属于、； （2）定义中“所有”代表不能遗漏公共元素，例：，； （3）两集合无公共元素时，交集为空集，不能说没有交集； 。 即学即练 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 知识点二 并集 1.定义 由所有属于集合或属于集合的元素构成的集合，叫做与的并集，记作，读作“并”。符号语言： 2.并集常用性质 ，，，， 高频推论：若，则 3.概念解读 （1）为集合，“或”是数学专用逻辑词，分三种情况：①且；②且；③且； （2）和日常口语“或（二选一）”不同，数学并集允许元素同时属于两个集合。 即学即练 3．设集合，则（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，集合，则为（    ） A． B． C． D． 知识点三 全集与补集 1.全集 研究若干集合时，包含所有待研究元素的给定集合称为全集，常用符号表示。 2.补集定义 设为全集，，由中所有不属于的元素组成的集合，称为中子集的补集，记作。符号语言： 3.补集核心性质 ，， 即学即练 5．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 题型01并集的运算 解题贴士 有限数集直接合并全部元素，根据互异性删掉重复元素；不等式集合画数轴，取两个区间全部覆盖范围，保留原端点虚实。 典｜例｜精｜析 【例1】设集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【例2】已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式1-1】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】若集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知集合，若，则满足题意的集合的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型02交集的运算 解题贴士 有限集合逐一比对，只保留两集合公共元素，无公共元素结果写；不等式集合借助数轴，取区间重叠部分，严格对应题干开闭端点。 典｜例｜精｜析 【例3】已知集合，，则 （     ） A． B． C． D． 【例4】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式2-1】设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 题型03根据交集或并集的运算求集合或参数 解题贴士 依靠交、并集结果划分公共、独有元素，反向推出未知集合；含参数题型利用运算条件列等式解出参数，再代回原集合检验元素互异性。 区间类题目画数轴，分参数在区间左、中、右三类讨论，最后验证所有解是否匹配题目给定的交、并范围，舍去不符合题意的解。 典｜例｜精｜析 【例5】已知集合，则（    ） A．1 B．2 C．7 D．4 【例6】下列结论正确的是（ ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 变｜式｜巩｜固 【变式3-1】已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．2 【变式3-2】设，，且，则实数组成的集合是_______. 【变式3-3】已知集合，若，求实数t的取值范围. 题型04补集的运算 解题贴士 有限集合先写出全集所有元素，剔除属于的元素得到补集；不等式数轴先标注全集边界，去掉集合对应区间，剩余部分为补集。 典｜例｜精｜析 【例7】已知全集，，则（   ） A． B． C． D． 【例8】已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式4-1】已知集合，全集，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知全集，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 题型05根据补集的结果求集合或参数 解题贴士 用全集剔除补集元素即可得到原集合；根据补集范围列方程求解参数，求出后回代检验，既要满足全集取值限制，也要保证集合元素互不重复。 区间题型结合数轴讨论参数分界点，单独验证端点数值，防止忽略全集约束产生错解。 典｜例｜精｜析 【例9】设全集，集合，，则a的值是（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【例10】已知全集，，若，则的值为（    ） A． B．2 C． D．5 变｜式｜巩｜固 【变式5-1】已知全集，集合，若，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【变式5-2】设全集，集合，若，则______． 【变式5-3】设全集，集合或，，则（    ） A．0 B．2 C．5 D．10 题型06集合的交、并、补的混合运算 典｜例｜精｜析 【例11】设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【例12】已知集合，集合，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式6-1】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知全集，，则集合（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知全集是的两个子集，且，则（   ） A． B． C． D． 题型07韦恩图 典｜例｜精｜析 【例13】已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【例14】已知全集U及其两个非空真子集M，N，则（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 【变式7-1】已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（     ）    A． B． C． D． 【变式7-2】已知是全集的两个子集，则如图所示的阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】下图中的三个圆形区域分别表示全集的三个子集，则阴影部分能表示集合的是（   ） A． B． C． D． 题型08集合运算的新定义问题 解题贴士 用全集剔除补集元素即可得到原集合；根据补集范围列方程求解参数，求出后回代检验，既要满足全集取值限制，也要保证集合元素互不重复。 区间题型结合数轴讨论参数分界点，单独验证端点数值，防止忽略全集约束产生错解。 典｜例｜精｜析 【例15】设G为非空数集，若对于任意的，都有，，，则称G是一个数环.关于数环，下列说法错误的是（   ） A．0是任何数环的元素 B．集合是一个数环 C．集合是一个数环 D．若集合为数环，则也为数环 【例16】对任意，，记，并称为集合，的对称差.例如：若，，则.下列命题中，为假命题的是（   ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．对任意，，都有 变｜式｜巩｜固 【变式8-1】对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【变式8-2】定义集合与的运算：，且，，且.若，则以下错误的是（    ） A．或 B．或 C． D．或 【变式8-3】设，为集合，定义集合为与的笛卡尔乘积，记作，则下列结论正确的是（   ） A．笛卡尔乘积满足交换律，即有 B．若，，则集合含有6个元素 C．若，，则集合含有8个元素 D．若，，则 基础通关 一、填空题 1．已知集合，，则______________． 2．已知全集，集合，，则____. 3．已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为__________． 4．已知集合，，若，则实数__________． 5．若，，且，则实数取值的集合是____________. 6．已知集合，若，则中所有元素之和为_____． 二、单选题 7．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 9．已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知全集，且，则集合（    ） A． B． C． D． 三、解答题 11．已知全集，集合，， (1)求，； (2)求，. 12．已知全集，，求： (1)； (2). 13．已知集合， (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 14．设集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 素养提升 1．已知集合，，若，则实数的取值范围为______． 2．已知集合，则的子集个数是（   ） A．8 B．7 C．4 D．3 3．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D．2 4．设集合，集合，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．在上海中学东校科技节中，李明同学定义了可分比集合：若集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．若集合均为可分比集合，且（为正整数），则的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．已知集合及非空集合. (1)若，求的值； (2)当为非空集合时，是否存在实数，使得，若存在，求出与的值，若不存在，请说明理由. 迁移创新 1．集合，若且，则的取值为_________． 2．《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 3．已知集合，集合. (1)若集合，且满足，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $