第04讲 集合的运算（讲义，上海专用沪教版）数学初升高衔接

第04讲 集合的运算 预习目标 知识回顾 1．理解交集、并集和补集的概念，会准确使用集合的运算符号“∩”“U”“”(重点) 2.掌握集合之间的交、并运算，会求给定集合中一个子集的补集.(重、难点) 3.会用维恩图、数轴等图形语言表示集合的三种运算，体会困形对理解抽象概念的作用，感悟数形结合思想.(难点) 1. 子集（包含关系） 2. 集合相等 3. 真子集（真包含关系） 4. 非子集（不包含关系） 5. 空集 6. 维恩图：元素完全相同 新知导图 预习精讲 知识点1 交集 自然语言 定义 由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合，叫做集合与的交集,记 符号语言 图形语言 (1)两集合为不包含关系时 ①与有部分公共元素: ② (2) 两集合为包含关系时： ① ② ③ 仍是一个集合，中的任意元素都是与的公共元素，同时与的公共元素都属于 ． 2.交集概念中的＂且＂即＂同时＂的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素． 3.交集概念中的＂所有＂两字不能省略，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同的元素全部找出来． 4.当集合和集合没有公共元素时，不能说集合与集合没有交集，而是集合与集合的交集为空集，即． 2.交集的运算性质 性质 说明 两个集合的交集满足交换律 空集与任何集合的交集都为空集 集合与集合本身的交集仍为集合本身 多个集合的交集满足结合律 交集关系与子集关系的转化 两个集合的交集是其中任一集合的子集 求两个集合的交集的方法 (1)对于有限集,逐个挑出两个集合的公共元素即可. (2)对于无限集,一般借助数轴求交集,两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围,要注意端点值的取舍. 已知集合，1，3，，，则_________. 【答案】， 【分析】根据交集的概念计算即可． 【详解】解：集合，1，3，，， 由交集定义得，． 故答案为：， 知识点2 并集 自然语言 定义 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的并集,记 符号语言 图形语言 （1）两集合为不包含关系时: ①A与B有部分公共元素; ②A与B没有公共元素 （2）两集合为包含关系时 ① ② ③ 并集的运算性质 性质 说明 两个集合的并集满足交换律 任何集合与空集的并集仍为集合本身 集合与集合本身的并集仍为集合本身 多个集合的并集满足结合律 并集关系与子集关系的转化 任何集合都是该集合与另一集合并集的子集 求集合的并集的方法 (1)对于有限集,直接把集合的素合并在一起写在大括号内，要注意集合中元素的互异性.(2)对于无限集,一般地在数轴画出集合相应图形所覆盖的域，然后找出图形覆盖的全部域，要注意端点值的取舍. 已知集合，，，则_________. 【答案】，． 【分析】结合并集的定义，即可求解． 【详解】解：集合，，，则，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查并集的定义，属于基础题。 知识点3 全集与补集 1.全集的概念 在数学研究中,所研究的对象往往是某个确定集合的一个子集或元素,这个确定的集合称为全集,常用符号U表示.它含有我们所要研究问题的全部可能的元素 2.补集的概念 自然语言 定义 设为全集,A是的子集.由中所有不属于的元素组成的集合称为集合在全集中的补集，记作 （读作＂ 补＂）．有时为了强调全集 ，集合 在全集 中的补集 符号语言 图形语言 3.补集的运算性质 性质 说明 任何集合与其补集的并集为全集 任何集合与共补集的交集为空集 任何集合的补集的补集为集合本身 全集的补集为空集，空集的补集为全集 求集合的补集的方法 (1)对于有限集,通过列举法把集合中的元素一一列举出来，然后根据补集的定义求解. (2)对于无限集,借助数形结合在数轴上画出已知集合与全集所覆盖的区域，然后根据补集的定义 求解. 设全集，集合，则__________. 【答案】 【详解】由题意可知 题型速练 题型一．求集合的并集 已知集合，，，，若，则中所有元素之和为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 【分析】根据可求参数的值，从而可求的元素之和． 【详解】解：因为，集合，， 故或， 若，则，与元素的互异性矛盾； 若，则（舍或，故，， ，， 故，1，， 所以中所有元素之和为． 故选：． 【点评】本题主要考查并集的运算，属于基础题。 【解题方法】 定义并集：集合A和集合B的并集是所有属于A或属于B的元素组成的集合，记为A∪B．元素合并：将A和B的所有元素合并，去重，得到并集． 集合，，，，若，则_________. 【答案】，1，． 【分析】根据集合的交集以及并集的定义即可求解． 【详解】解：集合，，，，， 则， 故，1，． 故答案为：，1，． 【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题。 已知集合，3，，，3，，则_________. 【答案】，2，3，5，． 【分析】利用并集的意义求解即可． 【详解】解：因为，3，，，3，，所以，2，3，5，． 故答案为：，2，3，5，． 【点评】本题主要考查并集的运算，属于基础题。 已知集合，2，，，．若，2，4，，则_________. 【答案】4． 【分析】根据集合并集的定义求解． 【详解】解：集合，2，，，， 若，2，4，， 则． 当时，集合，2，，符合题意． 故答案为：4． 【点评】本题考查集合的运算，属于基础题。 已知集合，，，，则_________. 【答案】，，． 【分析】利用并集的定义和运算法则计算求解． 【详解】解：由已知集合和， 可得，，，，，． 故答案为：，，． 【点评】本题考查并集的运算性质，是基础题。 题型二．集合并集关系的应用 已知集合，，且，则实数的取值范围是_________. 【答案】． 【分析】根据并集的运算结果可得出实数的取值范围． 【详解】解：因为，，且，故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了集合基本运算的应用，属于基础题． 【解题方法】 求参数的取值或取值范围的关健，是转化条件得到相应参数的方程或不等式．本题根据元素与集合之间的从属关系得到参数的方程，然后通过解方程求解．求解中需注意两个方面：一是考虑集合元素的无序性，由此按分类讨论解答，二是涉及其它知识点例如函数与方程的思想，函数的零点，恒成立问题等等． 设，，若，则实数的取值集合为_________. 【分析】求出，通过讨论，时的情况，得到关于的方程，求出的值即可． 【详解】解：若，则， 时，， 时，， 而，， 故或，解得：或， 综上：的取值集合是． 故答案为：． 【点评】本题考查了集合的包含关系，考查分类讨论思想，转化思想，属于基础题． 已知集合，，且，则实数的取值范围是_________. 【答案】，． 【分析】分和两种情况分别求解即可． 【详解】解：因为，则， 当时，即当时，，满足题意； 当时，即当时，， 由可得， 解得，此时．综上所述，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了利用集合间的包含关系求参数范围的问题，属于基础题． 已知，，2，，则集合所有可能的个数是　 　 个． 【分析】结合并集的定义，即可求解． 【详解】解：，，2，，则可能情况有：，，，，，，2，， 故集合所有可能的个数是4个． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查并集关系的应用，属于基础题． 满足，2，，2，3，的集合的个数为　 　 个． 【答案】8． 【分析】结合并集的定义，即可求解． 【详解】解：，2，，2，3，， 则，，，，，，，，1，，，1，，，2，，，1，2，，共8个． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查并集的运算，属于基础题． 题型三．求集合的交集 已知集合，则_________. 【答案】，． 【分析】结合交集的定义，即可求解． 【详解】解：集合，则，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查交集的定义，属于基础题． 【解题方法】 解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图． 已知集合，，，0，1，2，，，则_________. 【答案】，0，． 【分析】先计算集合，结合交集的定义得到结果； 【详解】解：，，，0，1，2，， ， 由交集定义得，0，， 故答案为：，0，． 【点评】本题考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 已知集合，，则_________. 【答案】． 【分析】结合交集的定义，即可求解． 【详解】解：集合，， 联立，解得，， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查交集的运算，属于基础题． 设集合，，则_________. 【答案】，1，． 【分析】利用交集的定义去求， 【详解】解：集合，，代表整数集， ，1，． 故答案为：，1，． 【点评】本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 题型四．Venn图表示交集 设集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用韦恩图，结合交集的定义求解即得． 【详解】解：集合，， 由韦恩图可知，阴影部分表示的集合． 故选：． 【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题． 【解题方法】 在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，结合题目应很好地使用Venn图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念．Venn图解题，就必须能正确理解题目中的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来． 已知集合，2，3，，，4，，则图中阴影部分表示的集合为　　 A．， B．， C．，4， D．，2，3， 【答案】 【分析】图中阴影部分表示的集合为，由此能求出阴影部分表示的集合． 【详解】解：集合，2，3，，，4，， 图中阴影部分表示的集合为： ，． 故选：． 【点评】本题考查阴影部分表示的集合的求法，交集定义等基础知识，是基础题． 已知集合是8的约数，，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A． B． C．， D． 【答案】 【分析】求得集合，，利用交集的意义求解即可． 【详解】解：由题意，集合，2，4，， 由，可得，解得， 则． 故选：． 集合和，关系的图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素是（　　） A． B．0 C．1 D．5 【答案】 【分析】根据给定的韦恩图，利用交集的定义直接求解即得． 【详解】解：因为集合和，， 故阴影部分表示的集合为， 所以阴影部分表示的集合中的元素是1． 故选：． 【点评】本题主要考查了韦恩图的应用，还考查了集合的基本运算，属于基础题． 设集合，3，4，，，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A． B．， C．， D．，3， 【答案】 【分析】利用交集定义、韦恩图直接求解． 【详解】解：集合，3，4，，， 则图中阴影部分表示的集合为，． 故选：． 【点评】本题考查交集定义、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 题型五．集合交集关系的应用 已知集合，，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）． （2）． 【分析】（1）根据，即可求解． （2）根据列出不等式，即可求解； 【详解】解：（1）由，得，， 所以，即的取值范围是． （2）由， 则， 得，， 所以，则的取值范围是． 已知集合，，若，则实数_________. 【答案】或0或． 【分析】利用列举法表示集合，再利用交集的结果，结合包含关系求解． 【详解】解：集合，，， 由，得， 当时，； 当时，，解得； 当时，，解得． 故答案为：或0或． 已知集合，，若，则_________. 【答案】． 【分析】先判断出，的关系并求解出，然后根据和进行分类讨论，由此可求出结果． 【详解】解：因为，所以，且，， 当时，，则，因为， 所以或，所以或； 当时，，此时满足，故符合条件； 综上所述，的取值为． 故答案为：． 设集合，，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2），． 【分析】（1）解方程，化简出集合，结合求出集合的可能情况，进而算出实数的取值集合，可得答案； （2）由题意得集合是集合的子集，然后根据集合的四种情况，建立关于的关系式，分别解出实数满足的条件，进而求出实数的取值范围． 【详解】解：（1）根据的解为或2，可得集合，， 由，可得，集合可能是或或或，， 根据集合，可知有如下几种情况： ①时，方程变为，没有实数根，此时，满足； ②时，方程等价于，即， 若，则，解得；若，则，解得； ③若，，则不可能同时等于1，2，此种情况不成立． 综上所述，实数的取值范围是； （2）根据，可得，则集合可能是或或或，， 集合， 方程的根据的判别式△， ①当△时，，符合题意，此时，解得； ②当是单元素集时，△，即，解得或， 若，则方程变为，此时，满足， 若，则方程变为，此时，不满足，舍去； ③当，时，方程与同解， 可得，找不到符合条件的实数． 综上所述，，实数的取值范围是，． 【点评】本题主要考查集合的概念与基本运算、一元二次方程根的判别式、韦达定理等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 【方法点拨】 求参数的取值或取值范围的关健，是转化条件得到相应参数的方程或不等式．本题根据元素与集合之间的从属关系得到参数的方程，然后通过解方程求解．求解中需注意两个方面：一是考虑集合元素的无序性，由此按分类讨论解答，二是涉及其它知识点例如函数与方程的思想，函数的零点，恒成立问题等等． 题型六．求集合的补集 已知全集，1，，集合，则_________. 【答案】，． 【分析】根据补集的定义计算即可． 【详解】解：全集，1，，集合， 则． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查补集的运算，属于基础题． 已知集合，若全集，则_________. 【答案】，． 【分析】根据补集运算求解即可． 【详解】解：由题意可得，． 故答案为：， 【点评】本题主要考查了集合补集运算，属于基础题． 已知全集，集合，，则，，， ． 【答案】，，，． 【分析】结合补集的定义，即可求解． 【详解】解：全集，集合，，则，，，． 故答案为：，，，． 【点评】本题主要考查补集的运算，属于基础题． 已知全集，2，3，4，，集合，3，，则　 　． 【答案】，． 【分析】利用集合的补集运算即可得解． 【详解】解：因为，2，3，4，，，3，， 所以，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题． 题型七．集合补集关系的应用 已知全集，2，3，4，，集合，3，，，，则（　　） A． B．， C．，2，3， D． 【答案】 【分析】先根据补集定义求集合，2，，再求与的交集即可． 【详解】解：根据补集定义，集合包含全集中不属于的元素， 即，2，； 集合和的交集包含同时属于和的元素，由，3，，，2，， 即． 故答案为：． 【点评】本题考查集合补集和交集的运算性质，属于基础题型． 已知集合，0，1，，，若，，则（　　） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】 【分析】由题意可得，，根据、2是的根求解即可． 【详解】解：由题可得，， 故，2是方程的两个根， 则． 故选：． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，考查计算能力，属于基础题． 设全集，2，，，，则实数　 　 ． 【分析】根据全集、补集的定义，结合已知有求参数，再根据集合的性质确定参数值． 【详解】解：由题设知：， 所以或，显然时中元素不满足互异性，而满足题设， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了集合补集运算，属于基础题． 已知为实数，全集，2，，，．若，则 　 　 ． 【分析】根据补集运算性质即可求． 【详解】解：为实数，全集，2，，，．， ． 故答案为：1． 【点评】本题考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 题型八．集合的交并补混合运算 设全集，，，，，集合，，，集合，，则　 　． 【答案】． 【分析】先求出，再求出其补集即可． 【详解】解：由，，，，可得，，，， 因此． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了集合基本运算，属于基础题． 【知识总结】 集合交换律 　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． 集合结合律 　（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）． 集合分配律 　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）． 集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB． 集合吸收律 　A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A． 集合求补律 　A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅． 设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（　　） A． B． C．或 D． 【答案】 【分析】由题意可知：阴影部分可表示为，结合集合的并集和补集运算求解． 【详解】解：因为或，， 所以或， 所以阴影部分所表示的集合为． 故选：． 【点评】本题主要考查了利用图表示集合间的基本运算，属于基础题． 设全集为，集合、满足，，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】利用补集的性质求解即可． 【详解】解：因为，所以，则，． 故选：． 【点评】本题考查集合的运算，属于基础题． 已知全集，2，3，4，，集合、是子集，满足，，，则（　　） A． B．， C．，4， D． 【答案】 【分析】根据集合的基本运算求解即可． 【详解】解：全集，2，3，4，，集合、是子集，，，， ，2，，故，，，，，， 故． 故选：． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题． 若，，则　 　． 【答案】． 【分析】分别求解集合和，再结合集合的基本运算求解即可． 【详解】解：由，可得， 可得，解得，故， 由，可得或， 解得或，故或， 可得， 则． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，考查计算能力，属于基础题． 若，，，则　 　． 【答案】 【分析】求出两个集合，再求出补集，最后求出交集即可． 【详解】解：，，， ， ，，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查并集、交集、补集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 设集合，0，1，，，则　 　． 【答案】，． 【分析】根据集合的基本运算求解即可． 【详解】解：因为集合，0，1，，， 所以或， 所以，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题． 题型九．Venn图表示交并补混合运算 若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】由图示分析阴影部分与集合，的关系，再根据集合的运算可得结果． 【详解】解：由图可知，阴影部分表示的集合是集合与集合的交集． 因为全集，集合，所以，或． 因为集合，所以． 即阴影部分表示的集合为． 故选：． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题． 如图表示图形阴影部分的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】由已知结合集合的交并运算即可求解． 【详解】解：结合韦恩图可知，阴影部分为． 故选：． 【点评】本题主要考查了韦恩图表示集合的交并运算，属于基础题． 已知全集，2，3，4，，集合，满足，，，则下列结论正确的是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】 【分析】根据题设条件，利用交并补集的定义，求出集合，，即可逐一判断各选项． 【详解】解：因，2，3，4，，集合，满足，，， 可得，，，，1，，1，， 故，，，，如图所示． 故错误；错误；正确；错误． 故选：． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题． 若全集，集合，或，则图中阴影部分所表示的集合为（　　） A． B． C．或 D． 【答案】 【分析】根据给定的韦恩图，利用并集、补集的定义求解． 【详解】解：由题可得或， 故图中阴影部分所表示的集合为． 故选：． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题． 如图所示，已知矩形图表示全集，、是的两个子集，则阴影部分可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据集合间的交、并、补的运算直接判断． 【详解】解：阴影部分可表示为． 故选：． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题． 设全集为，集合，是的子集，其文氏图如图所示．列选项中，能够表示该图中阴影部分的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】在阴影部分区域中任取一个元素，分析与集合、的关系，由此可得出结论． 【详解】解：在阴影部分区域中任取一个元素，则且， 所以，图中阴影部分可表示为． 故选：． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题． 题型十．集合交并补混合关系的应用 已知表示不超过的最大整数，集合，，且，则集合的子集个数为（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】 【分析】先化简集合，再由，可得，再对分类讨论即可求解． 【详解】解：根据题意，集合，，且， ，又， ①当时，则2是的根，， ，1，2，； ②当时，则1是的根，， ，2，1，， 综合①②可得集合的元素有4个， 集合的子集的个数为． 故选：． 【点评】本题考查集合的基本运算，集合的包含关系，分类讨论思想，属中档题． 学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，有3人同时参加参加径赛和田赛，有3人同时参加径赛和球类比赛，没有人同时参加三项比赛．只参加球类比赛的人数为 　 　． 【答案】8． 【分析】利用韦恩图求解即可． 【详解】解：设全班参加比赛的同学为全集，参加径赛的同学为集合， 参加田赛的同学为集合，参加球类比赛的同学为集合， 设同时参加田赛和球类比赛的有人， 根据题意，画出韦恩图如图所示， 在相应的位置填上数字，则， 解得， 所以同时参加田赛和球类比赛的有3人， 所以只参加球类比赛的人数为人． 故答案为：8． 【点评】本题考查了集合交并补关系的应用，属于基础题． 已知集合，，若，则的范围是　 　． 【分析】分两种情况考虑：当集合不为空集时和集合为空集时，分别解出不等式的解集得到的范围，综合讨论结果可得所有满足题意的范围． 【详解】解：分两种情况考虑： 若不为空集，可得， 解得：， ， ， ，， ，且， 解得：， 此时的范围为； 若为空集，符合题意，可得， 解得：， 综上，实数的范围为，． 【点评】此题考查了并集及其运算，以及两集合的包含关系，根据题意得出集合为集合的子集是解本题的关键． 集合，中只含有1个元素，则实数的取值是　 　． 【分析】集合表示的是方程的解；讨论当二次项系数为0时是一次方程满足题意；再讨论二次项系数非0时，令判别式等于0即可． 【详解】解：当时，满足题意 当时，要集合仅含一个元素需满足 △解得 故的值为0；1 故答案为：0或1 【点评】本题考查解决二次型方程的根的个数问题时需考虑二次项系数为0的情况、考虑判别式的情况． 已知集合，若，则实数的取值范围　 　． 【分析】由题意可得恒成立，即 恒成立，故判别式△，解不等式求得的取值范围． 【详解】解：要使若，需恒成立，即 恒成立． 当时，不等式即，显然成立；当时，由△，解得， 故答案为：，． 【点评】本题主要考查集合关系中参数的取值范围，得到△，是解题的关键． 基础过关 已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合， 集合，故． 已知集合，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以或， 当时，与集合元素的互异性矛盾； 当时，可得，此时,满足 故. 已知集合，，则的元素个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】集合，， 方程组解得或， 所以，元素个数为2. 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合， 则. 已知，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用并集的定义求解即可 【详解】解：因为，，若， 所以， 故选：A 集合 ，集合 ，则 ______ 【答案】 （或区间形式） 【详解】∵ 集合，集合， ∴求两个集合的交集，则 需同时满足和，取两个范围的公共部分可得， ∴ . 已知集合，，若，则实数__________． 【答案】 【详解】因为，所以. 得，解得，. 当时，，满足； 当时，，满足； 综上所述，. 若集合，则集合的子集个数为______________. 【答案】8 【分析】由有三解可得中有3个元素，根据子集个数与元素个数的关系计算即可求解. 【详解】由，得或或， 则中有3个元素，所以的子集个数为. 故答案为：8 已知集合，若，则中所有元素之和为_____． 【答案】3 【分析】根据可求参数的值，从而可求的元素之和． 【详解】因为，故或， 若，则，与元素的互异性矛盾； 若，则（舍）或，故，故， 所以中所有元素之和为3， 故答案为：3. 集合，，且，则实数的取值范围____. 【答案】 【分析】由并集的结果直接得到的范围. 【详解】因为，，且， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为： 已知集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}的集合B共有__________个. 【答案】16 【分析】由题意可得集合B等于集合A的子集中加上元素5即可，所以集合B的个数就是集合A子集的个数 【详解】因为集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}， 所以集合B等于集合A的子集中加上元素5即可， 所以集合B的个数就是集合A子集的个数，即为， 故答案为：16 已知集合，集合． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据并集、交集的定义求解即可； （2）分、两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，又， ，． （2）由， 若，则，解得； 若，则或，解得. 综上所述，实数的取值范围为． 能力提升 设是中两个子集，对于，定义：，若对任意，若，则用描述法表示集合___________ 【答案】 【分析】由，得的值一个为0，另一个为1，即，必有，或时，必有，再根据可求出. 【详解】对于任意，，则的值一个为0，另一个为1， 即，必有，或时，必有， 所以A、B的关系为，又， 则， 故答案为： 已知全集，，，，则_____. 【答案】 【分析】首先用列举法写出全集，然后再根据交集和补集的定义得到集合中含有元素1，3，5，不含4，6，8，对于0，2，7，9利用反证法即可证明集合不含0，2，7，9即可求得. 【详解】由题意得， 可得集合中含有元素3， 可得中含有元素4，6，8，集合中不含元素4，6，8， ，集合含有元素1，5，集合中含元素1，5， 对于元素0，假设集合中含有元素0，则由可知不含元素0， 则必含元素0，与矛盾，同理可得集合中不含元素2，7，9， 综上所述：，故. 故答案为： 设为非空实数集满足：对任意给定的（、可以相同），都有，则称为封闭集．关于封闭集有下列结论： ①集合为封闭集；   ②集合为封闭集； ③若集合为封闭集，则为封闭集； ④若集合为封闭集，则一定有； ⑤若集合为封闭集，则为封闭集． 其中正确结论的序号是________________． 【答案】②④⑤ 【分析】本题主要涉及封闭集的定义概念，通过对每个结论逐一根据封闭集的定义进行判断来求解. 【详解】对于集合，取，，则，不满足封闭集的定义，所以①错误. 对于集合，设，，. ，因为，所以. ，因为，所以. ，因为，所以.满足封闭集的定义，所以②正确. 令，，都是封闭集. 中，取（），（），，不满足封闭集的定义，所以③错误. 因为对任意，有，所以若集合为封闭集，则一定有，所以④正确. 因为，为封闭集，设，则且. 因为是封闭集，所以，，. 因为是封闭集，所以，，. 所以，，，满足封闭集的定义，所以⑤正确. 故答案为：②④⑤. 已知集合或，. (1)求； (2)若，当时，求实数的取值范围； (3)若，当时，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）直接根据补集定义求解； （2）分、、三种情况讨论集合的范围，结合子集关系求解； （3）分和两种情况，结合交集为空的条件求解. 【详解】（1）因为，，所以. （2）当时，，满足； 当时，，由得，解得； 当时，，由得，解得. 综上，实数的取值范围是. （3）当时，，解得； 当时，，由得或，即或. 结合，得或. 综上，实数的取值范围是. 挑战一刻 对于集合，定义集合且． (1)若，求集合和； (2)给定集合、，求所有满足方程组的集合（用、表示）； (3)用表示集合中的元素个数．给定正整数，集合．对于实数集的非空有限子集，定义集合．求证：． 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）直接根据定义求解即可； （2）根据题设定义及韦恩图，结合集合方程组用表示出即可； （3）分中至少含有一个不在S中的元素和，且，两种情况讨论即可. 【详解】（1）由，则，； （2）由，则或， 再结合，则， 所以 （3）表示集合中的元素个数，则， 若中至少含有一个不在S中的元素， 则，即. 若，且，则， 此时A中最小的元素，B中最小的元素， 所以C中最小的元素，则， 因为，所以，即. 综上所述，. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 集合的运算 预习目标 知识回顾 1．理解交集、并集和补集的概念，会准确使用集合的运算符号“∩”“U”“”(重点) 2.掌握集合之间的交、并运算，会求给定集合中一个子集的补集.(重、难点) 3.会用维恩图、数轴等图形语言表示集合的三种运算，体会困形对理解抽象概念的作用，感悟数形结合思想.(难点) 1. 子集（包含关系） 2. 集合相等 3. 真子集（真包含关系） 4. 非子集（不包含关系） 5. 空集 6. 维恩图：元素完全相同 新知导图 预习精讲 知识点1 交集 自然语言 定义 由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合，叫做集合与的交集,记 符号语言 图形语言 (1)两集合为不包含关系时 ①与有部分公共元素: ② (2) 两集合为包含关系时： ① ② ③ 仍是一个集合，中的任意元素都是与的公共元素，同时与的公共元素都属于 ． 2.交集概念中的＂且＂即＂同时＂的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素． 3.交集概念中的＂所有＂两字不能省略，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同的元素全部找出来． 4.当集合和集合没有公共元素时，不能说集合与集合没有交集，而是集合与集合的交集为空集，即． 2.交集的运算性质 性质 说明 两个集合的交集满足交换律 空集与任何集合的交集都为空集 集合与集合本身的交集仍为集合本身 多个集合的交集满足结合律 交集关系与子集关系的转化 两个集合的交集是其中任一集合的子集 求两个集合的交集的方法 (1)对于有限集,逐个挑出两个集合的公共元素即可. (2)对于无限集,一般借助数轴求交集,两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围,要注意端点值的取舍. 已知集合，1，3，，，则_________. 知识点2 并集 自然语言 定义 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的并集,记 符号语言 图形语言 （1）两集合为不包含关系时: ①A与B有部分公共元素; ②A与B没有公共元素 （2）两集合为包含关系时 ① ② ③ 并集的运算性质 性质 说明 两个集合的并集满足交换律 任何集合与空集的并集仍为集合本身 集合与集合本身的并集仍为集合本身 多个集合的并集满足结合律 并集关系与子集关系的转化 任何集合都是该集合与另一集合并集的子集 求集合的并集的方法 (1)对于有限集,直接把集合的素合并在一起写在大括号内，要注意集合中元素的互异性.(2)对于无限集,一般地在数轴画出集合相应图形所覆盖的域，然后找出图形覆盖的全部域，要注意端点值的取舍. 已知集合，，，则_________. 知识点3 全集与补集 1.全集的概念 在数学研究中,所研究的对象往往是某个确定集合的一个子集或元素,这个确定的集合称为全集,常用符号U表示.它含有我们所要研究问题的全部可能的元素 2.补集的概念 自然语言 定义 设为全集,A是的子集.由中所有不属于的元素组成的集合称为集合在全集中的补集，记作 （读作＂ 补＂）．有时为了强调全集 ，集合 在全集 中的补集 符号语言 图形语言 3.补集的运算性质 性质 说明 任何集合与其补集的并集为全集 任何集合与共补集的交集为空集 任何集合的补集的补集为集合本身 全集的补集为空集，空集的补集为全集 求集合的补集的方法 (1)对于有限集,通过列举法把集合中的元素一一列举出来，然后根据补集的定义求解. (2)对于无限集,借助数形结合在数轴上画出已知集合与全集所覆盖的区域，然后根据补集的定义 求解. 设全集，集合，则__________. 题型速练 题型一．求集合的并集 已知集合，，，，若，则中所有元素之和为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题方法】 定义并集：集合A和集合B的并集是所有属于A或属于B的元素组成的集合，记为A∪B．元素合并：将A和B的所有元素合并，去重，得到并集． 集合，，，，若，则_________. 已知集合，3，，，3，，则_________. 已知集合，2，，，．若，2，4，，则_________. 已知集合，，，，则_________. 题型二．集合并集关系的应用 已知集合，，且，则实数的取值范围是_________. 【解题方法】 求参数的取值或取值范围的关健，是转化条件得到相应参数的方程或不等式．本题根据元素与集合之间的从属关系得到参数的方程，然后通过解方程求解．求解中需注意两个方面：一是考虑集合元素的无序性，由此按分类讨论解答，二是涉及其它知识点例如函数与方程的思想，函数的零点，恒成立问题等等． 设，，若，则实数的取值集合为_________. 已知集合，，且，则实数的取值范围是_________. 已知，，2，，则集合所有可能的个数是　 　 个． 满足，2，，2，3，的集合的个数为　 　 个． 题型三．求集合的交集 已知集合，则_________. 【解题方法】 解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图． 已知集合，，，0，1，2，，，则_________. 已知集合，，则_________. 设集合，，则_________. 题型四．Venn图表示交集 设集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（　　） A． B． C． D． 【解题方法】 在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，结合题目应很好地使用Venn图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念．Venn图解题，就必须能正确理解题目中的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来． 已知集合，2，3，，，4，，则图中阴影部分表示的集合为　　 A．， B．， C．，4， D．，2，3， 已知集合是8的约数，，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A． B． C．， D． 集合和，关系的图如图所示，则阴影部分表示的集合中的元素是（　　） A． B．0 C．1 D．5 设集合，3，4，，，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A． B．， C．， D．，3， 题型五．集合交集关系的应用 已知集合，，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 已知集合，，若，则实数_________. 已知集合，，若，则_________. 设集合，，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【方法点拨】 求参数的取值或取值范围的关健，是转化条件得到相应参数的方程或不等式．本题根据元素与集合之间的从属关系得到参数的方程，然后通过解方程求解．求解中需注意两个方面：一是考虑集合元素的无序性，由此按分类讨论解答，二是涉及其它知识点例如函数与方程的思想，函数的零点，恒成立问题等等． 题型六．求集合的补集 已知全集，1，，集合，则_________. 已知集合，若全集，则_________. 已知全集，集合，，则_________. 已知全集，2，3，4，，集合，3，，则　 　． 题型七．集合补集关系的应用 已知全集，2，3，4，，集合，3，，，，则（　　） A． B．， C．，2，3， D． 已知集合，0，1，，，若，，则（　　） A．0 B．1 C．2 D． 设全集，2，，，，则实数　 　 ． 已知为实数，全集，2，，，．若，则 　 　 ． 题型八．集合的交并补混合运算 设全集，，，，，集合，，，集合，，则　 　． 【知识总结】 集合交换律 　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． 集合结合律 　（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）． 集合分配律 　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）． 集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB． 集合吸收律 　A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A． 集合求补律 　A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅． 设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（　　） A． B． C．或 D． 设全集为，集合、满足，，则（　　） A．， B．， C．， D．， 已知全集，2，3，4，，集合、是子集，满足，，，则（　　） A． B．， C．，4， D． 若，，则　 　． 若，，，则　 　． 设集合，0，1，，，则　 　． 题型九．Venn图表示交并补混合运算 若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A． B． C． D． 如图表示图形阴影部分的是（　　） A． B． C． D． 已知全集，2，3，4，，集合，满足，，，则下列结论正确的是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 若全集，集合，或，则图中阴影部分所表示的集合为（　　） A． B． C．或 D． 如图所示，已知矩形图表示全集，、是的两个子集，则阴影部分可表示为（　　） A． B． C． D． 设全集为，集合，是的子集，其文氏图如图所示．列选项中，能够表示该图中阴影部分的集合是（　　） A． B． C． D． 题型十．集合交并补混合关系的应用 已知表示不超过的最大整数，集合，，且，则集合的子集个数为（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，有3人同时参加参加径赛和田赛，有3人同时参加径赛和球类比赛，没有人同时参加三项比赛．只参加球类比赛的人数为 　 　． 已知集合，，若，则的范围是　 　． 集合，中只含有1个元素，则实数的取值是　 　． 已知集合，若，则实数的取值范围　 　． 基础过关 已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 已知集合，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 已知集合，，则的元素个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 已知，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 集合 ，集合 ，则 ______ 已知集合，，若，则实数__________． 若集合，则集合的子集个数为______________. 已知集合，若，则中所有元素之和为_____． 集合，，且，则实数的取值范围____. 已知集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}的集合B共有__________个. 已知集合，集合． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 能力提升 设是中两个子集，对于，定义：，若对任意，若，则用描述法表示集合___________ 已知全集，，，，则_____. 设为非空实数集满足：对任意给定的（、可以相同），都有，则称为封闭集．关于封闭集有下列结论： ①集合为封闭集；   ②集合为封闭集； ③若集合为封闭集，则为封闭集； ④若集合为封闭集，则一定有； ⑤若集合为封闭集，则为封闭集． 其中正确结论的序号是________________． 已知集合或，. (1)求； (2)若，当时，求实数的取值范围； (3)若，当时，求实数的取值范围. 挑战一刻 对于集合，定义集合且． (1)若，求集合和； (2)给定集合、，求所有满足方程组的集合（用、表示）； (3)用表示集合中的元素个数．给定正整数，集合．对于实数集的非空有限子集，定义集合．求证：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $